Lista Vetores

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Universidade Federal de Itajubá - Campus Itabira
Exerćıcios extras sobre Vetores
1. Determinar o vetor −→w na igualdade
3−→w + 2−→u = 1
2
−→v +−→w ,
sendo dados −→u = (3,−1) e −→v = (−2, 4).
2. Encontrar os números a1 e a2 tais que
−→w = a1−→u + a2−→v ,
sendo −→u = (1, 2) e −→w = (−1, 8).
3. Dados os pontos A(−1, 2), B(3,−1) e C(−2, 4), determinar D(x, y) de modo que
−−→
CD =
1
2
−→
AB.
4. Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores −→u = (−2,−1, 1), −→v = (3, 0,−1) e
−→w = (−2, 2, 2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que −→w = a1
−→
AB+a2
−→u +a3−→v .
5. Dados os pontos P (1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1,−1), determinar as coordenadas de um ponto
S tal que P , Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.
6. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores −→u = (m + 1, 3, 1) e
−→v = (4, 2, 2n− 1).
7. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores −→u = (m + 1, 3, 1) e
−→v = (4, 2, 2n− 1).
8. Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremidades
A(x1, y1) e B(x2, y2).
Agora, vamos exercitar o Produto de vetores. Temos dois tipos de produtos entre vetores:
• Produto escalar: O resultado de −→u .−→w é um escalar que nos dá informação a respeito
do ângulo θ entre os vetores −→u e −→w . Lembrando que,
−→u .−→w = ||−→u ||||−→v || cos θ.
• Produto vetorial: O resultado de −→u ×−→w é um vetor com
– Norma numericamente igual à área de um paralelogramo
||−→u ×−→w || = ||−→u ||||−→v || sin θ.
– Direção perpendicular ao vetor −→u e ao vetor −→w .
– Sentido dado pela regra da mão direita.
1
9. Dados os vetores −→u = (4, α,−1) e −→v = (α, 2, 3) e os pontos A(4,−1, 2) e B(3, 2,−1), deter-
minar o valor de α tal que
−→u .(−→v +
−→
BA) = 5.
10. Sabendo que a distância entre os pontos A(−1, 2− 3) e B(1,−1,m) é 7, calcular m.
11. Determinar α para que o vetor −→v = (α,−1
2
, 1
4
seja unitário.
12. Provar que
|−→u +−→v |2 = |−→u |2 + 2−→u .−→v + |−→v |2.
13. Calcular o ângulo entre os vetores −→u = (1, 1, 4) e −→v = (−1, 2, 2).
14. Sabendo que o vetor −→v = (2, 1,−1) forma um ângulo de 60o com o vetor
−→
AB determinado
pelos pontos A(3, 1,−2) e B(4, 0,m), calcular m.
15. Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,−3, 3), B(2,−1, 2) e C(1, 0, 2).
16. Provar que o triângulo de vérticesA(2, 3, 1), B(2, 1,−1) e C(2, 2,−2) é um triângulo retângulo.
17. Determinar um vetor ortogonal aos vetores −→v1 = (1,−1, 0) e −→v2 = (1, 0, 1).
18. Determinar o vetor projeção de −→u = (2, 3, 4) sobre −→v = (1,−1, 0).
19. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores −→u = (2,−6, 3) e −→v =
(4, 3, 1).
20. Dados os vetores −→u = (1, 2,−1) e −→v = (0,−1, 3), calcular a área do paralelogramo deter-
minado pelos vetores 3−→u e −→v −−→u .
21. Sejam os vetores −→u = (3, 1,−1) e −→v = (a, 0, 2). Calcular o valor de a para que a área do
paralelogramo determinado por −→u e −→v seja igual a 2
√
6.
2