MA23 resumoU5

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MA23 - Geometria Anaĺıtica
Unidade 5 - Elipse
João Xavier
PROFMAT - SBM
21 de agosto de 2013
Elipse
Originalmente, as cônicas são as curvas de intersecção de certos
planos com a superf́ıcie de um cone circular reto. Elas são: circun-
ferência, parábola, elipse e hipérbole. A circunferência é a intersecção
da superf́ıcie do cone com um plano, que não passa pelo vértice e é
perpendicular a seu eixo. A parábola é a intersecção da superf́ıcie do
cone com um plano paralelo a uma geratriz. A elipse é a intersecção
da superf́ıcie do cone com um plano obĺıquo a seu eixo, não paralelo a
uma geratriz. A hipérbole é a intersecção da superf́ıcie do cone com
um plano paralelo a seu eixo.
Nesta unidade, obteremos uma representação anaĺıtica para a elipse.
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Elipse
Figura: Cônicas
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Elipse
Sejam F1 e F2 dois pontos distintos pertencentes a um plano e, a > 0,
um número real maior que a metade da distância entre F1 e F2. O
conjunto dos pontos X tais que
d(X ,F1) + d(X ,F2) = 2a
chama-se elipse de focos F1 e F2.
A reta que passa nos focos chamaremos de eixo focal, e, os pontos de
intersecção do eixo focal com a elipse serão chamados de vértices da
elipse. Note que a distância entre os vértices é igual a 2a. Chamare-
mos a de semieixo focal da elipse.
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Elipse
Denominaremos por centro da elipse o ponto médio do segmento de
reta que une os focos; a mediatriz do segmento de reta que une os
focos será chamada de eixo normal da elipse. Seja b a metade da
distância entre os pontos de intersecção da elipse com o eixo normal.
Chamaremos b de semieixo normal. Se denotarmos por c a metade
da distância entre os focos, então, utilizando o Teorema de Pitágoras,
podemos concluir que a2 = b2 + c2.
Os elementos listados abaixo, estão identificados na próxima figura:
• F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles, denominada
distância focal, é 2c ;
• A1A2 é o eixo maior da elipse, denominado eixo focal, e sua medida
é 2a;
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Elipse
• B1B2 é o eixo menor da elipse, denominado eixo normal ou eixo
não focal, e sua medida é 2b;
• O número e = ca é denominado a excentricidade da elipse.
Figura: Elipse
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Elipse
No que segue, vamos considerar o caso em que os focos pertencem a
uma reta paralela ao eixo x . Ou seja, vamos supor que os focos são
da forma F1 = (n1,m) e F2 = (n2,m), com n1 < n2. Neste caso,
o centro da elipse é (x0, y0) = (
n1+n2
2 ,m) e n2 − n1 = 2c . Donde,
x0 − n1 =
n2−n1
2 = c e n2 = 2x0 − n1 = x0 + c .
Pela definição temos que um ponto P = (x , y) pertence à elipse se,
somente se,√
(x − n1)2 + (y −m)2 +
√
(x − n2)2 + (y −m)2 = 2a.
Portanto,√
(x − n1)2 + (y −m)2 = 2a −
√
(x − n2)2 + (y −m)2.
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Elipse
Elevando ao quadrado,
(x − n1)
2 + (y −m)2 = 4a2 − 4a
√
(x − n2)2 + (y −m)2
+ (x − n2)
2 + (y −m)2.
Simplificando,
a
√
[(x − x0) − c ]2 + (y − y0)2 = a
2 − c(x − x0).
Novamente elevando ao quadrado e simplificando obtemos
(a2 − c2)(x − x0)
2 + a2(y − y0)
2 = a2(a2 − c2).
A última igualdade implica
(x − x0)
2
a2
+
(y − y0)
2
b2
= 1.
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Elipse
A rigor, provamos acima apenas que as coordenadas (x , y) de um
ponto arbitrário da elipse satisfazem a equação encontrada. Mostra-
se, reciprocamente, que todo ponto cujas coordenadas satisfazem esta
equação pertence à elipse cujos focos são os pontos F1 = (n1, y0) e
F2 = (n2, y0), com x0 =
n1+n2
2 e n2 > n1.
Exemplo: A equação x
2
25 +
y2
16 = 1 representa a elipse centrada na
origem, de semieixo focal 5, semieixo normal 4 e focos nos pontos
(±3, 0).
Analogamente ao que vimos, se considerarmos os focos pertencentes
a uma reta paralela ao eixo y temos que a equação que representa a
elipse é:
(x − x0)
2
b2
+
(y − y0)
2
a2
= 1.
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Elipse
Chama-se excentricidade da elipse a razão entre c e a. Se denotarmos
por e a excentricidade, então e = ca . Note que a excentricidade da
elipse é um número situado entre zero e 1. No exemplo anterior, a
elipse tem excentricidade igual a 35 .
Consideremos a equação de uma elipse de centro no ponto (x0, y0) e
reta focal paralela ao eixo x
(x − x0)
2
a2
+
(y − y0)
2
b2
= 1.
Desenvolvendo essa equação, obtemos
b2x2 + a2y2 − 2b2x0x − 2a
2y0y + b
2x20 + a
2y20 − a
2b2 = 0
que é da forma
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
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Elipse
com A = b2, B = 0, C = a2, D = −2b2x0, E = −2a
2y0 e F =
b2x20 + a
2y0 − a
2b2.
Então, B = 0 e A e C têm o mesmo sinal. O mesmo vale para a
equação da elipse com centro no ponto (x0, y0) e reta focal paralela
ao eixo y . Reciprocamente, temos:
Proposição: Se os coeficientes A e C da equação do segundo grau
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 têm o mesmo sinal, então a
equação representa um dos seguintes conjuntos:
(i) uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados;
(ii) um ponto;
(iii) o conjunto vazio.
Os casos em que a equação do segundo grau acima, com AC > 0,
representa um ponto ou o conjunto vazio são denominados casos
degenerados da elipse.
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Elipse
Exemplo: Verifique se a equação x2 + 4y2 + 2x − 12y + 10 = 0
representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma
elipse, determine seus principais elementos.
Solução: Completando quadrados, obtemos
(x2 + 2x) + 4(y2 − 3y) = −10
(x2 + 2x + 1) + 4
(
y2 − 2 · 3
2
y +
9
4
)
= −10 + 1 + 9
(x + 1)2 + 4
(
y −
3
2
)2
= 0.
Donde conclúımos que a equação representa um ponto, a saber: P =
(−1, 3/2).
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