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VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 1. Calcule o valor numérico das expressões a seguir: 1.1 𝑝(𝑥) = 2 − 𝑥 + 𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1. 1.2 𝑝(𝑥) = −4𝑥3 + 6𝑥2 − 5𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1. 1.3 𝑝(𝑥) = 1 + 2𝑥 + 4𝑥3 + 6𝑥4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2. 1.4 𝑓(𝑦) = 𝑦6 − 3𝑦4 + 5𝑦2 + 4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = −1. 1.5 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3. 1.6 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦−3𝑥+4𝑦+1 𝑥2+𝑦2 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2 𝑒 𝑦 = 3. 1.7 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2)𝜋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 2 e 𝑦 = √3 2 . 1.8 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑥 − 7𝑦 + 2, para 𝑥 = − 1 2 e 𝑦 = 1 3 . Solução: 𝑓 (− 1 2 , 1 3 ) = (− 1 2 ) 2 + ( 1 3 ) 2 − 3(− 1 2 ) . 1 3 + 4 (− 1 2 ) − 7. 1 3 + 2 = = 1 4 + 1 9 + 1 2 − 2 − 7 3 + 2 = = 1 4 + 1 9 + 1 2 − 7 3 = 9 + 4 + 18 − 84 36 = = − 53 36 1.9 𝑔(𝑥, 𝑦) = − 1 2 ( 𝑥3 − 𝑦3) + 3( 𝑥4 4 − 𝑦4 4 ) Para 𝑥 = 2 3 e 𝑦 = −2. 1.10 ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧 + 6𝑦𝑧 para 𝑥 = −2, 𝑦 = −3 e 𝑧 = − 1 3 1.11 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = ℎ + 1. 1.12 𝑔(𝑥) = −2𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = ℎ − 2 AULA 0 PROF: KERLY MONROE PONTES ÁLGEBRA ELEMENTAR DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Solução: 𝒇(𝒉 + 𝟏) = (𝒉 + 𝟏)𝟐 − (𝒉 + 𝟏) + 𝟐 = = 𝒉𝟐 + 𝟐𝒉 + 𝟏 − 𝒉 − 𝟏 + 𝟐 = 𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝒉𝟐 + 𝒉 + 𝟐. Solução: 𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐(𝒉 − 𝟐)𝟑 + 𝟒(𝒉 − 𝟐)𝟐 − (𝒉 − 𝟐) + 𝟏 = 𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐(𝒉𝟑 − 𝟔𝒉𝟐 + 𝟏𝟐𝒉 − 𝟖) + 𝟒(𝒉𝟐 − 𝟒𝒉 + 𝟒) − 𝒉 + 𝟐 + 𝟏 = = −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟐𝒉𝟐 − 𝟐𝟒𝒉 + 𝟏𝟔 + 𝟒𝒉𝟐 − 𝟏𝟔𝒉 + 𝟏𝟔 − 𝒉 + 𝟐 + 𝟏 = −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟔𝒉𝟐 − 𝟒𝟏𝒉 + 𝟑𝟓 = 𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟔𝒉𝟐 − 𝟒𝟏𝒉 + 𝟑𝟓. 1.13 𝑡(𝑥, 𝑦) = 1 2 (𝑥3 − 𝑦3) − 4 3 (2𝑥√𝑥 − 𝑦2), para 𝑥 = 4, 𝑦 = −1. 1.14 Dado que 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥. Calcule 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ . SOLUÇÃO: 𝑓(𝑥 + ℎ) = −2(𝑥 + ℎ)3 + 3(𝑥 + ℎ) = = −2𝑥3 − 6𝑥2ℎ − 6𝑥ℎ2 − 2ℎ3 + 3𝑥 + 3ℎ. 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = = −6𝑥2ℎ − 6𝑥ℎ2 − 2ℎ3 + 3ℎ ℎ = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = −6𝑥2 − 6𝑥ℎ − 2ℎ2 + 3. 1.15 Calcule 𝑝(𝑧) = 𝑧2−1 𝑧2+1 , para 𝑧 = ℎ+1 ℎ−1 . SOLUÇÃO: 𝑝 ( ℎ + 1 ℎ − 1 ) = ( ℎ + 1 ℎ − 1 ) 2 − 1 ( ℎ + 1 ℎ − 1 ) 2 + 1 = 4ℎ (ℎ − 1)2 2ℎ2 + 2 (ℎ − 1)2 = 𝑝 ( ℎ + 1 ℎ − 1 ) = 4ℎ (ℎ − 1)2 . (ℎ − 1)2 2ℎ2 + 2 = 2ℎ ℎ2 + 1 1.16 Calcule ℎ(𝑦) = 2𝑦2 + 4𝑦 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 2𝑥 − 1. SOLUÇÃO: ℎ(2𝑥 − 1) = 2(2𝑥 − 1)2 + 4(2𝑥 − 1) + 1 = ℎ(2𝑥 − 1) = 2(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) + 8𝑥 − 4 + 1 = 8𝑥2 − 8𝑥 + 2 + 8𝑥 − 4 + 1 = ℎ(2𝑥 − 1) = 8𝑥2 − 2 1.17 Calcule 𝑓(𝑡) = 𝑡+2 −𝑡+1 , para 𝑡 = 𝑥+1 𝑥−2 SOLUÇÃO: 𝑓 ( 𝑥 + 1 𝑥 − 2 ) = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 + 2 − 𝑥 + 1 𝑥 − 2 + 1 = 3𝑥 − 3 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 = 𝑓 ( 𝑥 + 1 𝑥 − 2 ) = − 3(𝑥 − 1) (𝑥 − 2) . (𝑥 − 2) 3 = 𝑓 ( 𝑥 + 1 𝑥 − 2 ) = −(𝑥 − 1) = −𝑥 + 1 1.18 Calcule 𝑓(𝑡) = 2𝑡+1 −3𝑡+7 , para 𝑡 = 2𝑦 𝑦+2 . 1.19 Calcule 𝑓(𝑧) = 𝑧2+1 −𝑧2+2 , para 𝑧 = √ 2𝑡 𝑡+2 . SOLUÇÃO: 𝑓 (√ 2𝑡 𝑡 + 2 ) = (√ 2𝑡 𝑡 + 2) 2 + 1 −(√ 2𝑡 𝑡 + 2) 2 + 2 = 𝑓 (√ 2𝑡 𝑡 + 2 ) = 2𝑡 𝑡 + 2 + 1 − 2𝑡 𝑡 + 2 + 2 = 3𝑡 + 2 𝑡 + 2 4 𝑡 + 2 = 𝑓 (√ 2𝑡 𝑡 + 2 ) = 3𝑡 + 2 𝑡 + 2 . 𝑡 + 2 4 = 3𝑡 + 2 4 . 1.20 Calcule 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥4, para 𝑥 = 1 − 𝑡2. 1.21 Dado que 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 − 1. Calcule 1.22 Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥. Calcule 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ . 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ . 1.23 Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1. Calcule 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ . 1.24 Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 𝑥+1 . Calcule 𝑓 ( 𝑥 + 1 𝑥 − 1 ) − 𝑓 ( 𝑥 − 1 𝑥 + 1 ) 1.25 Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+𝑦2 𝑥2−𝑦2 para 𝑥 = √ 𝑡2−1 𝑡2+1 e 𝑦 = √ 𝑡2+1 𝑡2−1 1.26 Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑥2−𝑦2 para 𝑥 = √ 𝑡2−1 𝑡2+1 e 𝑦 = √ 𝑡2+1 𝑡2−1 1.27 Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 para 𝑥 = √ 𝑡 𝑡−1 , 𝑦 = √ 𝑡−1 𝑡 e 𝑧 = √ 𝑡−1 𝑡3 . SOLUÇÃO: = (√ 𝑡 𝑡 − 1) 2 + (√ 𝑡 − 1 𝑡 ) 2 + (√ 𝑡 − 1 𝑡3 ) 2 √ 𝑡 𝑡 − 1 . √𝑡 − 1 𝑡 + √ 𝑡 𝑡 − 1 . √𝑡 − 1 𝑡3 +√ 𝑡 − 1 𝑡 √𝑡 − 1 𝑡3 = 𝑡 𝑡 − 1+ 𝑡 − 1 𝑡 + 𝑡 − 1 𝑡3 1 + 1 𝑡 + 𝑡 − 1 𝑡2 = 𝑡4 + 𝑡2(𝑡 − 1)2 + (𝑡 − 1)2 𝑡3(𝑡 − 1) 𝑡2 + 𝑡 + 𝑡 − 1 𝑡2 = = 2𝑡4 − 2𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 + 1 𝑡3(𝑡 − 1) 𝑡2 + 2𝑡 − 1 𝑡2 = 2𝑡4 − 2𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 + 1 𝑡4 + 𝑡3 − 3𝑡2 + 𝑡 1.29 Calcule 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧 para 𝑥 = 2𝑟, 𝑦 = 3𝑟 𝑒 𝑧 = −𝑟 . 1.30 Calcule 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧. Para 𝑥 = 𝑟, 𝑦 = −2𝑟 𝑒 𝑧 = 4𝑟. SIMPLIFICAÇÃO DE POLINÔMIOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2. Simplifique as expressões a seguir: 2.1 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 3𝑥2𝑦2 − 10𝑥2𝑦 + 5𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 − 𝑥2𝑦2 + 11𝑥2𝑦 − 9𝑥𝑦2 SOLUÇÃO: 4𝑥2𝑦 − 19𝑥𝑦2 + 7𝑥2𝑦2 2.2 𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣2 − 2𝑢2 + 3𝑢𝑣 − 4𝑢2𝑣2 − 𝑢𝑣 + 𝑣2 + 3𝑢2 + 12𝑢2𝑣2 − 2𝑣2 + 7𝑢𝑣 SOLUÇÃO: 2𝑢2 + 10𝑢𝑣 + 8𝑢2𝑣2 2.3 4𝑥3𝑦2 − 5𝑥2𝑦3 + 6𝑥4𝑦 − 8𝑥𝑦4 − 12𝑥2𝑦3 + 3𝑥𝑦4 − 4𝑥3𝑦2 + 9𝑥4𝑦 − 𝑥2𝑦3 + 7𝑥𝑦4 SOLUÇÃO: −18𝑥2𝑦3 + 15𝑥4𝑦 + 2𝑥𝑦4 2.4 4ℎ2𝑥 + 5ℎ𝑥2 − 12ℎ𝑥 − 8ℎ𝑥2 + 3ℎ2𝑥 − 11ℎ𝑥2 + ℎ𝑥 − 7ℎ2𝑥 + 10ℎ𝑥2 − 11ℎ𝑥 SOLUÇÃO: −4ℎ𝑥2 − 22ℎ𝑥 2.5 𝑥2𝑦𝑧 + 3𝑥𝑦2𝑧 − 2𝑥𝑦𝑧2 + 6𝑥2𝑦2𝑧 − 9𝑥2𝑦𝑧2 − 12𝑥𝑦2𝑧2 − 𝑥2𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦2𝑧 + 2𝑥𝑦𝑧2 − 6𝑥2𝑦2𝑧 + 10𝑥2𝑦𝑧2 + 12𝑥𝑦2𝑧2 = SOLUÇÃO: 𝑥2𝑦𝑧2 2.6 3𝑥2𝑎 − 5𝑥2𝑎−1 + 4𝑥2𝑎−2 + 𝑥2𝑎 + 4𝑥2𝑎−1 + 𝑥2𝑎−2 − 3𝑥2𝑎 − 7𝑥2𝑎−2 + 𝑥2𝑎−1 + 3𝑥2𝑎−2 = SOLUÇÃO: 𝑥2𝑎 + 8𝑥2𝑎−2 2.7 7𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 4𝑥3𝑧𝑦𝑤+5𝑥𝑤𝑦4𝑧 + 8𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 10𝑥3𝑧𝑦𝑤 + 17𝑥𝑤𝑦4𝑧−8𝑥𝑧𝑦3𝑤 + 9𝑥3𝑧𝑦𝑤 − 7𝑥𝑧𝑦3𝑤 + 12𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 𝑥𝑧𝑦3𝑤 = SOLUÇÃO: 23𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 5𝑥3𝑧𝑦𝑤 + 22𝑥𝑤𝑦4𝑧 − 16𝑥𝑧𝑦3𝑤 2.8 (𝑥1 − 𝑥2) + (𝑥2 − 𝑥3) + ⋯+ (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1) SOLUÇÃO: 𝒙𝟏 − 𝒙𝒏+𝟏 2.9 (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) + (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) + (𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2) − (𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) 2.10 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 + (𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑑)2 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑)2 + (𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑑)2 − 4(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2) SOLUÇÃO: 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 − 2𝑏𝑑 − 2𝑐𝑑 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑 − 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 − 2𝑐𝑑 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑 − 2𝑏𝑐 − 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑 − 4𝑎2 − 4𝑏2 − 𝑐2 − 4𝑑2 = 0 2.11 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 + (𝑎 − 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑐)2 + (𝑏 − 𝑐)2 − 3(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) 2.11 (𝑥 − 𝑦)2 + (𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑧 + 𝑥)(𝑦 + 𝑧 − 𝑥) + (𝑧 − 𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 𝑥 − 𝑦) + 𝑧(𝑧 − 2𝑥) 2.12 (𝑎 − 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) + (𝑐 − 𝑎)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑎) + (𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑎) 2.13 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 − (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)3 − 6𝑏[(𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2] MULTIPLICAÇÃO E POTÊNCIAS DE MONÔMIOS E RADICAIS PROPRIEDADES E RESULTADOS I. 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 II. 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 III. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 IV. (𝑎𝑝. 𝑏𝑞)𝑛 = 𝑎𝑝𝑛. 𝑏𝑞𝑛 𝐼. √𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚 𝑛 II. √𝑎𝑚. 𝑛 √𝑎𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑚 𝑛 . 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑚 𝑛 + 𝑝 𝑞 III. √𝑎 𝑛 . √𝑏 𝑛 = √𝑎𝑏 𝑛 IV. √ √𝑎 𝑚𝑛 = √𝑎 𝑛.𝑚 { 𝑆𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 √𝒂𝑛 𝑛 = 𝒂, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝒂. 𝑆𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 √𝒂𝑛 𝑛 = 𝒂, 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝒂 > 𝟎 { 𝑆𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 √𝑏 𝑛 = √𝑎𝑛𝑏 𝑛 . 𝑆𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 { 𝑎 √𝑏 𝑛 = √𝑎𝑛𝑏 𝑛 , 𝑠𝑒 𝑎 > 0 𝑎√𝑏 𝑛 = −√𝑎𝑛𝑏 𝑛 , 𝑠𝑒 𝑎 < 0 3. Multiplique os monômios a seguir: 3. 1 (−2𝑥3𝑦4). (+3𝑥4𝑦5). (−4𝑥𝑦6). (−5𝑥2𝑦) 3. 2 (−𝑟3𝑠2𝑡6). (−3𝑟5𝑠5𝑡7). (+4𝑟7𝑠2𝑡9) 3. 3 (−4𝑚−2𝑛−3). (−5𝑚7. 𝑛−2). (+6𝑚−1𝑛5) 3. 4 (−2√𝑚).(−3√𝑚2 3 ) . (+6√𝑚3 4 ) 3. 5 (−4𝑥2√𝑥𝑦3) . (+5𝑥4𝑦√𝑥3𝑦4 5 ) (−7𝑦3√𝑥𝑦) 3. 6 (−3𝑟5𝑠√𝑟) (+4𝑟𝑠2√𝑟3𝑠2 4 ) (−2𝑟2√𝑟5𝑠7 6 ) 3. 7 (−2𝑢 2 3. 𝑣−2) (+3𝑢−1𝑣 4 3) (−7𝑢− 1 2√𝑣3) 3. 8 (+5𝑥 3 2𝑦−2) . (−3√𝑥3 4 𝑦 5 7) . (−2√𝑥√𝑥3𝑦2 4 ) 3. 9 (− 2 3 𝑎𝑥−2𝑦𝑏3𝑦−𝑥𝑐4𝑥) (+ 12 5 𝑎−2𝑥+𝑦𝑏 𝑥 3 −𝑦𝑐−4𝑥) 3. 10 (−2𝑥𝑧−3𝑦𝑦𝑥−3𝑧𝑧2𝑥+7𝑦)(+3𝑥2𝑧+3𝑦𝑦4𝑧−5𝑥𝑧−3𝑥) 3. 1 1 (−3𝑥3𝑦2)4 = (− 2 3 𝑥−4𝑦5) −3 = (−2𝑚3𝑛−2)3 = (+4𝑚−3𝑛 2 3𝑝5) −3 3. 12 (− 1 5 𝑢 3 4𝑣7𝑤− 1 2) 4 (− 3 4 𝑟− 3 4𝑠2𝑡 1 2) 2 (−2𝑎2𝑥𝑏4𝑦𝑐− 2 3 𝑧) 2𝑥𝑦𝑧 (−3 2𝑥𝑎− 3𝑥𝑏7𝑥𝑐5𝑥)− 1 𝑥 (−3𝑎2𝑏4√𝑎3𝑏 4 ) 4 (𝑥 1 2𝑦3√𝑥4𝑦3 5 √𝑥3𝑦) 10 MULTIPLICAÇÃO E POTÊNCIAS DE POLINÔMIOS: PRODUTOS NOTÁVEIS Lembrando: I. (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 II. (𝒙 + 𝒂)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 III. (𝒙 + 𝒂)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒂 + 𝟑𝒙𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 I. (𝒙 + 𝒚 + 𝒛)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒙𝒛 + 𝟐𝒚𝒛 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4. Efetue e simplifique os polinômios a seguir: 4.1 (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) = 4.2 (−2𝑥 + 6𝑥2)(𝑥3 − 𝑥) = 4.3 (𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2)(−2𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑦) = 4.4 (𝑥2 − 2𝑥 + 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 4.5 (3𝑥2 − 4𝑥 + 3)(−𝑥2 + 𝑥 − 2) = 4.6 (3𝑥 − 1)(3 − 𝑥)(1 − 2𝑥) = 4.7 (1 − 𝑥)(2 − 𝑥)(3 − 𝑥) = 4.8 (2𝑥 + 3)2 = 4.9 (−3𝑥 + 𝑥3)2 = 4.10 (−4𝑡2 + 5𝑡3)2 = 4.11 ( 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 ) 2 = 4.12 (2𝑥𝑦2 − 4𝑥3𝑦4)2 = 4.13 (− 4𝑚3𝑛2 3 + 3 2𝑚𝑛3 ) 2 = (− 4𝑚3𝑛2 3 ) 2 + 2. (− 4𝑚3𝑛2 3 ) ( 3 2𝑚𝑛3 ) + ( 3 2𝑚𝑛3 ) 2 = = 16𝑚6𝑛4 9 − 4𝑚2 𝑛 + 9 4𝑚2𝑛6 4.14 (−2𝑥 + 𝑥2 − 4𝑥3)2 = = (−2𝑥)2 + (𝑥2)2 + (−4𝑥3)2 + 2. (−2𝑥). 𝑥2 + 2. (−2𝑥). (−4𝑥3) + 2. 𝑥2. (−4𝑥3) = 4𝑥2 + 𝑥4 + 16𝑥6 − 4𝑥3 + 16𝑥4 − 8𝑥5 = = 16𝑥6 − 8𝑥5 + 17𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2. 4.15 (4𝑥2𝑦𝑧 − 1 2𝑥𝑦3𝑧2 + 𝑥3𝑦2𝑧) 2 = 4.16 (𝑥 − 1)2(3 − 𝑥) = 4.17 (𝑥 + 1)(2 − 𝑥)2 − 2𝑥(3 − 6𝑥)(1 − 𝑥) = 4.18 (−𝑥2 + 4𝑥 + 1)(3𝑥2 − 𝑥 + 1)—2𝑥 + 1(5𝑥 − 2) = 4.19 (𝑡 − 2)(𝑡2 + 2𝑡 + 4) − (𝑡 − 2)3 + 2(4 − 2𝑡) = 4.20 (𝑡2 − 𝑡)2 − 2𝑡(𝑡2 + 3𝑡) + (𝑡2 + 3𝑡 − 4)2 + (𝑡 − 2)(−𝑡2 + 𝑡 − 4) = 4.21 (1 − 𝑡)(2 + 𝑡) − 3𝑡(2 − 4𝑡) − 7(𝑡2 − 2𝑡 + 2) = 4.22 (𝑡 − 𝑡2 + 1)2 + 2𝑡(𝑡 − 1)(6 − 3𝑡) − 3𝑡(𝑡 + 1)2 = 4.23 2(𝑡 + 4) − 3(8 − 𝑡2) + 6(𝑡2 + 2𝑡) − (−2𝑡 + 𝑡2) = 4.24 (3 − 𝑥)2(1 + 2𝑥)2 − 3(𝑥 − 4)(8𝑥 − 1) + (−1 + 𝑥)2 + 2(𝑥2 − 3𝑥 + 1)2 = 4.25 −𝑥(2𝑥 + 3) + 3𝑥(1 − 2𝑥) + (𝑥 − 1)2 = 4.26 𝑎2(𝑎𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 − 𝑐) − 𝑏2(𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐) − 𝑐2(𝑏 − 𝑎) − (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)(𝑏2 − 2𝑐) = 4.27 [𝑎(𝑎2 + 5𝑎 + 3) − 8𝑏 − 4]𝑏 − (𝑎2 − 3𝑏 − 4)(𝑎 + 𝑏) = 4.28 (𝑟 − 𝑠)(𝑟 + 𝑠)6 − (𝑠 − 𝑟𝑠 − 𝑡)𝑟 − [(𝑠 − 6)(𝑠 − 𝑡 + 7𝑠𝑟𝑡2) − (𝑠 − 𝑡)(𝑠 + 𝑡)] = 4.29 (8𝑥5𝑦 + 4𝑥4𝑦3 − 9𝑥2𝑦4 − 𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦 + 1)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 1) 4.30 (𝑤 − 1)(𝑤 − 2) − 3𝑤(𝑤 + 3) + 2[(𝑤 + 2)(𝑤 + 1) − 3][(𝑤 − 5)(𝑤2 − 2)] = 4.31 (4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 7𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑒𝑥 − 2𝑒2𝑥) − 𝑒2𝑥(5𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) + 3𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 4.32 1 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)[(𝑎 − 𝑏)2 + (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑎 − 𝑐)2] 4.33 (𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑎𝑏)(𝑎2 + 2𝑏2 − 2𝑎𝑏) 4.34 (√𝑥 3 − √2 3 ) (√𝑥2 3 + √2𝑥 3 + √4 3 ) = FATORAÇÃO 1º TIPO: TERMO COMUM EM EVIDÊNCIA 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 = 𝐴(𝑥 + 𝑦) 2º TIPO: AGRUPAMENTO 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐴𝑦) + (𝐵𝑥 + 𝐵𝑦) = = 𝐴(𝑥 + 𝑦) + 𝐵(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝐴 + 𝐵) 3º TIPO: DIFERENÇA DE QUADRADOS 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) 4º TIPO: SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS I. 𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2) II. 𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2) 4º TIPO: QUADRADO PERFEITO 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2 5º TIPO: CUBO PERFEITO 𝐴3 ± 3𝐴2𝐵 + 3𝐴𝐵2 ± 𝐵3 = (𝐴 ± 𝐵)3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5. Fatore as expressões algébricas a seguir: 5.1 3𝑥2ℎ − 2𝑥ℎ2 = 5.2 8𝑥3ℎ2 − 4𝑥2ℎ3 + 6𝑥4ℎ2 = 5.3 4𝑥4𝑦3𝑧5 − 𝑥3𝑦5𝑧4 + 5𝑥5𝑦4𝑧4 = 5.4 12𝑚3𝑛4 − 18𝑚2𝑛5 = 5.5 5ℎ3 − 10𝑥ℎ2 + 15ℎ4 = 5.6 12𝑥1 3𝑥2 4𝑥3 6 − 30𝑥1 5𝑥2 5𝑥3 7 + 𝑥1 4𝑥2 6𝑥3 5 = 5.7 𝑥2𝑦7 + 𝑥6𝑦2 − 𝑥4𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑥9𝑦3 + 𝑥12𝑦4 = 5.8 −30𝑎9𝑏15𝑐3𝑑15 − 105𝑎7𝑏10𝑐8 − 135𝑎12𝑏6𝑐15𝑑4 − 45𝑎9𝑏18𝑐23𝑑11 − 60𝑎19𝑏13𝑐9𝑑12 = 5.9 𝑥2𝑦4 − 64𝑧4 = 5.10 𝑥8𝑦4 − 16𝑧6 = 5.11 𝑚3𝑛6 − 64 = 5.12 216𝑚6 − 1 5.12 𝑥6 − 64𝑦3 = 5.13 𝑥12𝑦6 − 64𝑧18 = 5.14 𝑥3 + 27𝑦6 = 5.15 125𝑝6 + 𝑞9 = FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Podemos fatorar polinômios desde que conheçamos uma de suas raízes usando, para isso, o Teorema de D’Alembert que diz: “ Se 𝑥0 é raiz do polinômio 𝑃(𝑥), isto é, 𝑃(𝑥0) = 0, então 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑥0, ou seja, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑄(𝑥). Comentário: Para obtermos a fatoração 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑄(𝑥) basta dividir 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑥0 usando o MÉTODO DA CHAVE. Exemplo: O número real 𝑥0 = 2 é raiz do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2. Logo, pelo teorema de D’Alembert é divisível por 𝑥 − 2. Assim, obtemos 𝑄(𝑥) fazendo a seguinte divisão: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Fatore os seguintes polinômios, sabendo que 𝑥0 é a respectiva raiz: a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 6, 𝑥0 = 2 b) 𝑃(𝑥) = −4𝑥 3 + 23𝑥2 + 9𝑥 − 18, 𝑥0 = 6 c) 𝑃(𝑥) = −6𝑥3 + 22𝑥2 − 20𝑥, 𝑥0 = 3 d) 𝑃(𝑥) = −2𝑥4 + 7𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 3, 𝑥0 = 2 RACIONALIZAÇÃO LEMBRE-SE: I. O Racionalizante de √𝑎𝑚 𝑛 é √𝑎𝑛−𝑚 𝑛 ; II. O Racionalizante de √𝑎 − √𝑏 é √𝑎 + √𝑏 e vice versa; III. O Racionalizante de √𝑎 3 − √𝑏 3 é √𝑎2 3 + √𝑎𝑏 3 + √𝑏2 3 e vice versa; IV. O Racionalizante de √𝑎 3 + √𝑏 3 é √𝑎2 3 − √𝑎𝑏 3 + √𝑏2 3 e vice versa. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Racionalize os denominadores: a) 2 √2 b) 2 √3 c) 3 √2 4 d) 𝑎 √𝑎3 5 e) 3 √3 + √2 f) 2 √3 − 2 g) 3 √3 3 − √2 3 h) 3 √2 3 − 1 i) 𝑥 − 2 √𝑥 + √2 j) ℎ √ℎ + 2 + √2 k) ℎ √ℎ + 2 3 − √2 3 l) 𝑥 − ℎ √𝑥 3 − √ℎ 3 2. Racionalize o numerador: a) √ 5 5 b) √6 36 c) √ 5 3 5 d) √𝑏3 4 𝑏 e) 3 − √3 1 + √2 f) √3 3 − 1 2 g) √ 4 3 − √2 3 2 h) √2 3 + 1 3 i) √𝑥 − 1 − √𝑥 j) √1 + √2 − √1 − √2 k) √𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 l) √𝑥2 + 𝑥 − √𝑥 𝑥2 m) 1 √𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥 𝑥2 n) √2 (𝑥 + ℎ) − 1 3 − √2𝑥 − 1 3 ℎ SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 1. Simplifique as frações algébricas a seguir: a) 𝑥2 − 4 𝑥 + 2 b) 𝑥3 − 8 𝑥2 − 4 c) 4𝑥2 − 9 2𝑥 + 3 d) 𝑥 + 𝑥−2 1 + 𝑥−2 e) 1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 f) 1 𝑥 + ℎ − 1 𝑥 ℎ g) (𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3 ℎ h) 𝑥 𝑥 + 2 − 4 𝑥 + 2 𝑥 − 3 − 6 𝑥 + 2 i) 9 − 𝑥2 5𝑥 − 10 × 5 𝑥 − 3 j) 𝑥2 − 4𝑦2 𝑥𝑦 + 2𝑦2 . 2𝑦 𝑥 − 2𝑦 k) 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 1 + 𝑥𝑦 1 − 𝑥𝑦 − 𝑥2 1 + 𝑥𝑦 l) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 × 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 1 𝑎𝑏 + 1 𝑎𝑐 + 1 𝑏𝑐 m) 1 (𝑥 + ℎ)3 − 1 𝑥3 ℎ n) 1 √𝑥 + ℎ − 1 √𝑥 ℎ o) 2(𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 + ℎ) − 2𝑥2 + 𝑥 ℎ p) 1 √𝑥 + ℎ 3 − 1 √𝑥 3 ℎ 𝑤 𝑤 − 3 − 3 𝑤 + 3 1 𝑤 − 3 − 1 𝑤 + 3 1 1 + 1 1 + 1 𝑥 + 1 EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU Resolva as equações do 1º e 2º grau: a) 2𝑥 = 9 b) −5𝑥 = 15 c) 3 4 𝑥 = 18 d) − 9 5 𝑥 = 18 25 e) 7𝑥 − 5 = 22 − 2𝑥 f) 5𝑥 − (𝑥 − 8) = 2𝑥 + 6 g) 𝑥 + 2 2 = 4 − 2𝑥 + 1 2 h) 3𝑥(𝑥 + 2) = (𝑥 − 3). 2𝑥 i) 5(7𝑥 − 2) − 10𝑥 = 15 + 2(𝑥 − 5) j) (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = (5𝑥 − 4)(𝑥 − 3) − 14 k) 2𝑥 + 1 2𝑥 − 1 + 8 1 − 4𝑥2 = 2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 l) 2𝑥 + 1 6𝑥 − 4 + 8 − 9𝑥2 27𝑥2 − 12 = 8 9𝑥 + 6 m) 𝑥 𝑥 − 2 − 𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 𝑥 − 8 𝑥 − 6 − 𝑥 − 9 𝑥 − 7 n) 5𝑥 − 8 𝑥 − 2 + 6𝑥 − 44 𝑥 − 7 − 10𝑥 − 8 𝑥 − 1 = 𝑥 − 8 𝑥 − 6 o) 1 (𝑥 + 1)2 + 4 𝑥(𝑥 + 1)2 = 5 2𝑥(𝑥 + 1) p) 2𝑥 + 19 5𝑥2 − 5− 17 𝑥2 − 1 − 3 1 − 𝑥 = 0 q) 3𝑥 − 3 2𝑥2 − 2 − 2𝑥 + 2 3𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 5(𝑥 − 1) 12𝑥2 − 24𝑥 + 12 r) 𝑥 + 𝑎 𝑎 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑎 𝑎 + 𝑥 = 𝑎 𝑎2 − 𝑥2 s) 𝑥 𝑎 (3𝑎𝑏 + 1) = 3𝑎𝑏 1 + 𝑎 + (2𝑎 + 1)𝑥 𝑎(𝑎 + 1)2 + 𝑎2 (𝑎 + 1)3 t) 𝑘𝑥 − 𝑙𝑥 2𝑘 + 2𝑙 + 𝑘𝑙𝑥 𝑘2 − 𝑙2 − 𝑘 − 𝑥 𝑘 − 𝑙 = 𝑥 2 + 𝑘 + 𝑥 𝑘 + 𝑙 INTERVALOS DA RETA 1. Represente cada subconjunto na reta: a) [−4,8] b) ]-2,1] ∪ [3,∞) c) (−∞, 5] ∪ [6,∞[ d) [4,8[∪ {10,16} e) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 3 𝑜𝑢 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 = 2} f) {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 < 5 𝑒 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1} g) {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≠ 5} h) ] − 2,4[∪ {5} 2. Represente os subconjuntos representados na reta na forma de conjunto: INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU Resolva a inequações do 1º e 2º grau: a) 2𝑥 − 4 > 0 b) −2𝑥 + 5 ≤ 13 c) 3(𝑥 − 2) − 2(4 − 2𝑥) < 6(3 + 𝑥) − 2(5𝑥 − 1) d) 𝑥 − 8 2 − 2𝑥 5 < 4𝑥 − 1 3 e) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 > 0 f) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 < 0 g) −𝑥2 + 𝑥 + 20 ≤ 0 h) −9𝑥2 + 18𝑥 ≥ 0 i) 2(𝑥 − 3)(−𝑥 + 1) ≥ 3(2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) − 5𝑥(𝑥 − 2) j) 𝑥(𝑥 − 1) 12 − 3𝑥(2𝑥 + 1) 18 < 4 − 𝑥 3 + 5𝑥(𝑥 − 1) 5 k) −2𝑥2 + 32 < 0 l) (𝑥 − 3)2 − 16 < 0 SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DE 1 E 2º GRAU Resolva os sistemas de inequações: a) { 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ≤ 0 𝑥2 − 9𝑥 + 14 < 0 b) { 𝑥 2 − 4𝑥 < 0 𝑥2 − 6𝑥 + 5 ≥ 0 c) { 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0 𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 3𝑥 − 3 d) { 𝑥2 − 3𝑥 + 2 > 0 𝑥2 − 2𝑥 − 1 < 0 3𝑥 − 1 < 0 2𝑥 − 3 ≥ 0 e) { 𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 −𝑥2 + 6𝑥 < 0 (2𝑥 − 1)2 ≤ (−𝑥 + 3)2 f) { −3𝑥2 + 9 ≤ 0 0 < 𝑥2 ≠ 1 −2 < 𝑥2 + 𝑥 ≠ 3 g) { 3𝑥 − 4𝑥(5𝑥 + 1) ≤ 2𝑥(𝑥 − 1) + 3(2 − 5𝑥) (3 − 𝑥)(4𝑥 − 3) − 2(𝑥 + 5)(2 − 𝑥) ≤ (3 + 𝑥)2 h) { 𝑥2 − 8 ≥ 0 𝑥4 − 4𝑥2 + 3 ≥ 0 𝑥3 − 4𝑥 < 0 −2𝑥4 + 8 ≥ 0 0 ≤ 𝑥4 + 𝑥2 ≠ 6 i) 2 ≤ 𝑥2 − 𝑥 ≤ 20 − 2𝑥 h) 7 ≤ 𝑥2 + 3 < 4𝑥 j) −2𝑥 + 3(𝑥 − 4) ≤ 6 − 2𝑥 + 8𝑥 ≤ 6 − 4𝑥 k) 2𝑥2 + 3𝑥 − 5 ≤ 4𝑥 − 4 ≤ 3𝑥2 + 5𝑥 − 8 INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE Resolva as inequações produto e quociente: a) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ≥ 0 b) (−𝑥 − 2)(−3𝑥 − 4) < 0 c) 3𝑥+9 𝑥−4 ≥ 0 d) 5−2𝑥 𝑥+2 ≥ 1 e) (9𝑥2−𝑥)(3𝑥−4) 𝑥(2𝑥−5)(−𝑥2+𝑥−3) ≤ 0 f) (𝑥2+2𝑥−3)(𝑥2+5𝑥+6) −3𝑥−6 ≥ 0 g) (𝑥2−3𝑥+4) 3 (−3𝑥2−4𝑥) 4 (2𝑥4−3𝑥2)3 < 0 h) (𝑥2+2𝑥−3)(𝑥2+5𝑥+6) −3𝑥−6 ≥ 0 EQUAÇÕES MODULARES Resolva as equações modulares: a) |𝑥 − 4| = 1 b) |−2𝑥 + 3| = 4 c) |3𝑥 − 5| = |2𝑥 + 3| d) |2𝑥2 − 5| = |𝑥2 − 4| e) |2𝑥2 − 4𝑥| = 𝑥2 − 3 f) |7 − 2𝑥| = 2 − 6𝑥 g) |2𝑥3 − 4𝑥| = 𝑥2 + 3𝑥 h) |𝑥 + 1| − |𝑥| = 2𝑥 + 1 INEQUAÇÕES MODULARES Resolva as inequações modulares: a) |𝑥 − 2| < 6 b) | − 3𝑥 + 1| ≤ 3 c) |2𝑥 + 1| ≥ 7 d) |𝑥 + 2| < | − 4𝑥 + 1| e) |3𝑥 − 9| < 𝑥 + 1 f) |4𝑥−2| |−𝑥+5| ≥ 3 g) |𝑥2 + 3𝑥| + 𝑥2 − 2 > 0 h) |2𝑥 − 1| − |−𝑥 + 3| < 6𝑥 − 3 i) 𝑥|2𝑥 + 3| − (5𝑥 − 4)|𝑥| ≤ 2 − 𝑥 j) (|𝑥−1|−|2𝑥+4|) (|8−𝑥|−1)(𝑥|𝑥−1|−2) ≤ 0 POTENCIAÇÃO LEMBRE-SE: I. 𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏; II. 𝒂𝒎 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏; III. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏; IV. (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏; V. 𝒂−𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏 . EXERCÍCIO PROPOSTO 1. Aplique as propriedades de potenciação a seguir: a) 𝑎𝑥+2𝑎−2𝑥+4𝑎3𝑥+5𝑎−4𝑥−6 b) a) 𝑏2𝑥−4𝑏−4𝑥+5𝑏−3𝑥+5𝑏5𝑥+10𝑏−8𝑥+5𝑏−9𝑥𝑏12𝑥−4 c) b) 𝑚3𝑟−9𝑠𝑚8𝑟+9𝑠𝑚−4𝑠−8𝑟𝑚8𝑟+4𝑚−7𝑠−12𝑚6𝑠+1𝑚4𝑟−9 d) c) (𝑎2𝑥−1)3. (𝑎4)𝑥−4. (𝑎−5𝑥+3)7. (𝑎𝑥−4)0 e) d) (𝑏3)−𝑝+4𝑞(𝑏−8𝑞−𝑝)2(𝑏𝑝+4𝑞)5(𝑏0)9𝑝(𝑏10) 2𝑝+𝑞 10 f) (𝑎7: 𝑎2)5: (𝑎8: 𝑎9)3 g) 𝑐12𝑥+28 𝑐−23𝑥+19 h) (𝑚−2𝑝+7. 𝑚𝑝+6)4 (𝑚−𝑝+12: 𝑚−3𝑝+9)6 i) 𝑚−4𝑝.𝑚32𝑝+5 𝑚−8𝑝−12 j) e) (𝑛2𝑚+5: 𝑛−7𝑚+1)−𝑚+2. (𝑛𝑚−7. 𝑛5𝑚+4)4𝑚 k) 2−8. 35. 5−6 2−7. 36. 5−5 l) 2−4. 3−5. 5−6 2−6. 3−3. 5−6 m 2 1 4. 5− 3 2 2− 7 4. 5− 5 2 n) 4− 1 6. 9 3 8. 6−3 4 5 6. 9− 5 8. 6−3 o) ( 2−1. 3 1 4 2−3. 3 1 2 ) −2 p) ( 3−4. 5−1 32. 5−3 ) − 1 2 . ( 34. 53 32. 54 ) −1 LOGARÍTMO DEFINIÇÃO: 𝒃𝒙 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒃 ≠ 𝟏 ∧ 𝒂 > 𝟎 Decorre da definição o seguinte resultado 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎, com 0 < 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑎 > 0. PROPRIEDADES: I. 𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 0; II. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 1; III. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎+𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ; IV. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ; V. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑚 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 ; VI. 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑚 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 𝑚 , com 𝑚 ≠ 0; VII. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 , 0 < 𝑐 ≠ 1 . Consequência: 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 . VIII. ∃ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 0 < 𝑏 ≠ 1. OBSERVAÇÃO: Denotamos 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 ≔ 𝑙𝑛𝑥, onde 𝑒 = 2,718… EXERCÍCIO PROPOSTO 1. Calcule os logarítmos a seguir: a) 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐𝟖 √𝟐 𝟑 b) 𝒍𝒐𝒈√𝟑 𝟖𝟏 c) 𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓 √𝟏𝟐𝟓 𝟓 d) 𝒍𝒐𝒈 √𝟐𝟒𝟑 𝟓 𝟏 𝟑 e) 𝒍𝒐𝒈 √𝒂𝟐 𝟓 𝒂𝟑 f) 𝒍𝒐𝒈𝒃𝟓 √𝒃 𝟏𝟎𝟑 g) 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝟕 𝟒𝟗𝟒 h) 𝒍𝒐𝒈𝒂𝟔 √𝒂 𝟓𝟗 i) 𝑙𝑜𝑔625√0,2 j) log1000000 √0,0000001 5 REVISÃO DE TRIGONOMETRIA IDENTIDADES FUNDAMENTAIS ▪ 𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; ▪ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1; ▪ sec2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥. EXERCÍCIO PROPOSTO Mostre as identidades trigonométricas a seguir: a) 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 b) 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 c) 𝒕𝒈𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 d) 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝒙 e) 𝟏 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 f) (𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒃𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 + (𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 FÓRMULAS DE SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS ▪ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ± 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥; ▪ cos(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦; ▪ 𝑡(𝑥 ± 𝑦) = 𝑡𝑔𝑥±𝑡𝑔𝑦 1∓𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔𝑦 . ▪ 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥; ▪ cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥; VALORES DE SENO E COSSENO PARA ARCOS GERAIS 𝑠𝑒𝑛𝑘𝜋 = 0, 𝑘 ∈ ℤ; ▪ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑘𝜋 2 ) = { 0, 𝑠𝑒 𝑘 é 𝑝𝑎𝑟. 1, 𝑠𝑒 𝑘−1 4 ∈ ℤ −1, 𝑠𝑒 𝑘+1 4 ∈ ℤ 𝑠𝑒𝑛 [ 2𝑘 + 1 2 𝜋] = (−1)𝑘,𝑘 ∈ ℤ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋 = (−1)𝑘, 𝑘 ∈ ℤ cos ( 2𝑘 − 1 2 𝜋) = 0, 𝑘 ∈ ℤ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑘𝜋 2 ) = { 0, 𝑠𝑒 𝑘 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. 1, 𝑠𝑒 𝑘 4 ∈ ℤ −1, 𝑠𝑒 𝑘 + 2 4 ∈ ℤ OBSERVAÇÃO: Arcos côngruos e simétricos ao arco de 𝜋 6 radianos: (𝜋 − 𝜋 6 ) + 2𝑘𝜋 = 𝜋 − 𝜋 6 ; − (𝜋 − 𝜋 6 ) + 2𝑘𝜋 = 𝜋 6 5𝜋 6 (−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 (𝜋 − 𝜃)(−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 (2𝜋 − 𝜃)(−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 QUADRO DE VALORES DE SENO, COSSENO E TANGENTE DE ALGUNS ARCOS NOTÁVEIS ARCO SENO COSSENO TANGENTE 00 = 0 𝑟𝑎𝑑 0 1 0 300 = 𝜋 6 1 2 √3 2 √3 3 450 = 𝜋 4 √ 2 2 √2 2 1 600 = 𝜋 3 √ 3 2 1 2 √3 900 = 𝜋 2 1 0 Não existe 1800 = 𝜋 0 −1 0 2700 = 3𝜋 2 −1 0 Não Existe EXERCÍCIO PROPOSTO 1. Prove as fórmulas de redução ao primeiro quadrante, usando as fórmulas de soma e diferença de arcos: a) REDUÇÃO DO 2º AO 1º QUADRANTE 𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 b) REDUÇÃO DO 2º AO 1º QUADRANTE 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 c) REDUÇÃO DO 3º AO 1º QUADRANTE 𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 d) REDUÇÃO DO 3º AO 1º QUADRANTE 𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 e) REDUÇÃO DO 4º AO 1º QUADRANTE 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 f) REDUÇÃO DO 4º AO 1º QUADRANTE 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 g) ARCO COMPLEMENTAR 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 2 − 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 h) ARCO COMPLEMENTAR 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 2 − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 2. Prove as identidades: a) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋 + 𝑥) = (−1)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥 b) cos(𝑘𝜋 + 𝑥) = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 c) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋 − 𝑥) = (−1)𝑘+1𝑠𝑒𝑛𝑥 d) cos(𝑘𝜋 − 𝑥) = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 e) 𝑠𝑒𝑛 [𝑥 + (2𝑘 + 1)𝜋 2 ] = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑘 ∈ ℤ. f) 𝑐𝑜𝑠 [𝑥 + (2𝑘 + 1)𝜋 2 ] = (−1)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥,𝑘 ∈ ℤ. 3. Calcule o valor da expressão 𝐸 = sen ( 3π 2 ) ln(𝑒3) − √2𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 4 ) + (2𝑙𝑛3) log2 𝑒 − 4. 𝑙𝑛√9 4 𝑙𝑛3 𝑡𝑔 ( 𝜋 4 ) − 𝑠𝑒𝑛 ( 2𝜋 3 ) 𝑠𝑒𝑛 ( 4𝜋 3 ) − 2𝑠𝑒𝑛 ( 7𝜋 6 ) FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO a) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1 2 [𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)]; b) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1 2 [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]; c) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 = − 1 2 [cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]. d) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥+𝑦 2 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥−𝑦 2 ) ; e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥−𝑦 2 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥+𝑦 2 ) ; f) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥+𝑦 2 ) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥−𝑦 2 ) ; g) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥+𝑦 2 ) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥−𝑦 2 ). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Transforme os produtos trigonométricos em soma ou diferença: a) 𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛(−4𝑥)𝑐𝑜𝑠8𝑥 c) 𝑐𝑜𝑠6𝑥𝑐𝑜𝑠(−4𝑥) d) 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛6𝑥 e) 2𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 f) 5𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 2. Transforme em produto: a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛8𝑥 c) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 d) cos ( 𝑥 3 ) + 𝑐𝑜𝑠 ( 3𝑥 2 ) e) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝜋 2 ) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝜋 4 ) f) cos (2𝑥 − 𝜋 2 ) − cos (3𝑥 + 𝜋 2 ) 3. Prove as identidades: a) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠6𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑡𝑔2𝑥 c) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 𝑡𝑔 ( 𝑥 + 𝑦 2 ) d) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 ( 𝑥 + 𝑦 2 ) FÓRMULAS DO ARCO DUPLO E METADE a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 b) cos2 𝑥 = 1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 c) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 d) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 e) 𝑡𝑔2𝑥 = 2𝑡𝑔𝑥 1−𝑡𝑔2𝑥 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Prove as identidades a seguir: a) 𝑠𝑒𝑛23𝑥 − cos2 3𝑥 b) 4𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 ) cos ( 𝑥 2 ) c) 𝑠𝑒𝑛22𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 4 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 d) 𝑠𝑒𝑛2 ( 𝑥 2 ) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) e) cos2 ( 𝑥 2 ) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) f) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 g) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑡𝑔2𝑥 h) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑡𝑔2𝑥 1 + 𝑡𝑔2𝑥 i) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + cos4 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 j) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛3𝑥 k) 𝑠𝑒𝑛6𝑥 + cos6 𝑥 = 1 − 3 4 𝑠𝑒𝑛22𝑥 l) 8𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 1 2 𝑐𝑜𝑠5𝑥 m) 8𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 3 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 n) 1 − 𝑡𝑔𝑥 1 + 𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ALGUMAS INFORMAÇÕES ADICIONAIS SOBRE SENO E COSSENO ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ, temos −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1; ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ, temos −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1; ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − { (2𝑘−1)𝜋 2 , 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑡𝑔𝑥 ∈ ℝ; ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ∈ ℝ; ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − { (2𝑘−1)𝜋 2 , 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑥 ≥ 1; ▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ≥ 1; EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. Resolva as equações trigonométricas, dando a sua solução geral: a) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0 b) 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 − 𝜋 3 ) = 1 c) cos ( 5𝑥 7 ) = 0 d) cos ( 𝑥 5 + 3𝜋 4 ) = −1 e) 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 3 ) = √3 2 f) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 √2 g) 𝑠𝑒𝑛5𝑥 = − 1 2 h) cos ( 2𝑥 3 − 3𝜋 4 ) = − 3 2√3 i) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 2 − 𝜋 3 ) j) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 k) 𝑠𝑒𝑛5𝑥 = 𝑡𝑔5𝑥 l) 𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 m) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡𝑔2𝑥 n) 𝑠𝑒𝑐 4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3𝑥
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