Aula 04 _ Processo de Cross

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Estudo de Vigas Contínuas: 
MÉTODO DE CROSS
UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS
PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE
Estudo de Vigas Contínuas
SOLUÇÃO: Criar relações entre o 
carregamento e a deformação.
Método das Forças
Método das Deformações
Hipóteses Preliminares
Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as 
reações das vigas contínuas são todas verticais.
n Reações = n Apoios
GH = (n-2) Redundantes
Sistema 
Estrutural 
Hiperestático
Equações da 
Estática não 
suficientes
Deve-se criar 
uma nova 
equação
Excesso de reações
nulo
Eliminação do Apoio Central
Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0)
A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: 
Supõe-se a eliminação do apoio central; 
Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: 
eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; 
Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a 
deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; 
Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente 
eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas 
pelas equações da estática.
Eliminação do Apoio Central
Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0)
A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: 
Supõe-se a eliminação do apoio central; 
Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: 
eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; 
Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a 
deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; 
Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente 
eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas 
pelas equações da estática.
Quanto maior o número de incógnitas, 
mais complexas se tornam essas 
equações → solução do sistema exige o 
uso de cálculo matricial. 
Método de Cross
Introdução
Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas 
desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo 
que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios 
engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que 
possuem continuidade e nós indeslocáveis.
Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado;
Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. 
Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira 
que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é 
correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.
(Método da Distribuição dos Momentos)
Método de Cross
Momentos de Engastamento Perfeito
Engaste-Apoio:Bi-Engastado: Em Balanço:
12
2
,
lq
M BA

−=
8
2lq
M A

−=
2
2lq
M A

−=
2
2
l
baP
M A

−=
( )
22 l
blbaP
M A
+


−=
lPM A −=
2
2
l
baP
M B

−= MEP
Método de Cross
E quando não há engaste?
Há rotação nos apoios.
Condição de Continuidade da Viga:
O giro é igual, mas com sinal contrário.
Método de Cross
Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, 
pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como 
inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie 
de giro.
Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo 
ser horário ou anti horário. 
MEPMEP
Método de Cross
Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente 
diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente 
diferentes, significa que o nó considerado engastado não está 
equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo.
Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos
adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual 
ao do direito, a menos dos sinais.
Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)
M
Método de Cross
Princípio Importante:
“O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.”
Coeficiente de Rigidez
A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento
e inversamente proporcional ao comprimento.
Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma 
articulação e um engaste
l
IE
K

= 75,0
l
IE
K

=
1
2 1 2
Método de Cross
Fator de Distribuição
O FD dos momentos de uma barras com relação ao nó é dado pela 
razão entre a rigidez da barra e o somatório de cada parcela dos tramos
que convergem para o nó. Cada barra tem sempre dois FD. A soma 
desses fatores entre barras adjacentes a um nó é igual a 1.
Nota: FD nos apoios extremos:
Fator de Propagação
O FP dos momentos de uma extremidade à outra é dado pela razão 
entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro pelo 
momento na extremidade que sofre o giro.

=
adjK
K
FD
2
1
=FP
FD=1
FD=1
FD=0
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo:
Tramo 1 Tramo 2
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo:
Tramo 1:
Tramo 2:
FDBCFDBA
FDBA FDBC
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo 
(momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo.
FDBA FDBC
FDBA FDBC
Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente 
engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos 
momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e 
com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, 
condição de equilíbrio. 
FDBA FDBC
FDBA FDBC
FDBA FDBC
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de 
apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada 
tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem 
levar em conta o momento no apoio.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
O momento no 
apoio interno alivia 
as reações dos 
apoios extremos e 
sobrecarrega as do 
apoio interno.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as 
forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas.
Método de Cross
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
Quando a viga contínua 
apresenta mais de dois 
tramos, a liberação dos nós 
é feita para um nó de cada 
vez, mantendo os demais 
perfeitamente engastados.
O nó, depois de 
equilibrado, volta a ser 
imobilizado.
O momento distribuído 
para cada lado do nó é 
propagado para os nós 
vizinhos, que 
permaneceram 
engastados.
Método de Cross
Procedimento de Cálculo
O momento propagado provoca alteração no valor do momento 
desequilibrado, sendo algebricamente somado a este.
Processo de propagação:
Método de Cross
Exemplo Numérico
Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços 
Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross:
Método de Cross
Exemplo Numérico
1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:
Método de Cross
Exemplo Numérico
2) Cálculo dos fatores de distribuição:
Considera-se: E x I = 1
Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 1
Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 2
Método de Cross
Exemplo Numérico
3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito:
Tramo 3
Método de Cross
Exemplo Numérico
4) Distribuição dos momentos desequilibrados:
OBS
Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades 
de momento de tf.m para tf.cm.
Método de Cross
Exemplo Numérico
5) Transmissão dos momentos equilibrantesaos nós adjacentes:
OBS
As iterações continuam até que, 
em cada nó, a diferença entre os 
valores absolutos dos momentos 
do lado esquerdo e direito seja 
desprezível ( 5% de diferença)
Exemplo 
Numérico
6) Somatório dos 
momentos nos nós 
equilibrados:
Exemplo 
Numérico
7) Somatório das 
reações 
considerando 
vãos isostáticos 
independentes:
momentos 
nos apoios
reações 
isostáticas
efeitos dos 
momentos 
das vigas 
contínuas
Exemplo 
Numérico
8) Somatório das 
reações 
considerando o 
efeito dos 
momentos 
negativos nos 
apoios centrais:
Método de Cross
Exemplo Numérico
9) Traçado do DEC:
Método de Cross
Exemplo Numérico
10) Traçado do DMF: