Cálculo de Área e Integrais Definidas

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Curso GRA1569 CÁLCULO APLICADO – UMA VARIÁVEL ENGPD201 - 202010.ead-4824.01 
Teste ATIVIDADE 4 (A4) 
 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Dadas as curvas e e as retas verticais e , é necessário verificar 
qual dessas funções está limitando a região superiormente. Observe a região limitada ao 
gráfico da figura abaixo, que serve como suporte para o cálculo da área dessa região. 
Nesse sentido, encontre a área proposta e assinale a alternativa correta. 
 
Figura 4.2 - Região limitada pelas funções e e a reta 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para 
encontrar a área proposta, resolvemos a integral . 
Verifique que a função que limita superiormente é a 
exponencial, portanto, a função integranda é . Verifique, 
também, que a função exponencial não zera quando . 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
O método de substituição de variável é um método que nem sempre pode ser aplicado para 
resolver integrais de funções não elementares. Para tanto, deve-se, inicialmente, verificar 
se o método é aplicável e fazer a escolha para mudança de variável convenientemente. 
Assim, avalie a escolha correta para aplicar esse método para resolver a integral e 
assinale a alternativa correta. 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para 
resolver a integral por substituição de variável, fazemos 
a substituição: ; portanto, . 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Aplica-se o método de integração por partes para resolver a integral . Observe que a 
intenção é conseguir transformá-la em uma integral que não contém a função logarítmica, 
pois não é uma função elementar; portanto, não consta na tabela de integração. Nesse 
sentido, utilize a fórmula para resolver a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para 
resolver a integral por partes, fazemos a 
substituição: , e ; portanto, por meio 
dafórmula: 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva 
dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. 
Assim, considere as funções e , contínuas e, portanto, integráveis e analise 
suas primitivas. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas. 
 
I. é primitiva da função 
Pois: 
II. . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao 
derivarmos a função , temos que: , portanto, não 
é primitiva da , e a afirmativa I é falsa. A afirmativa II 
também é falsa, pois, derivando-se a 
função Consequentemente, . 
 
 Pergunta 5 
0 em 1 pontos 
 
Avalie a escolha correta para aplicar o método de substituição de variável na resolução da 
integral indefinida , que envolve a função exponencial. Para tanto, é necessário 
verificar a escolha adequada, tal que a derivada da parte escolhida esteja na integração a 
menos de alguma constante. Após a resolução da integral, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 (Apesar de respostas iguais, a alternativa correta é a 5) . 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta, pois, para resolver a 
integral por substituição de variável, fazemos a 
substituição: ; portanto, . 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Considere o gráfico da função , mostrado na figura abaixo, que servirá de suporte 
para resolução da questão. Verifique a região sombreada no gráfico e determine os pontos 
de interseção do gráfico da função com o eixo x. Avalie também de que forma é possível 
calcular a área limitada por integração. 
 
Figura 4.3 - Região limitada pela função e o eixo x 
 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
Considerando o contexto apresentado, sobre cálculo de área e integrais definidas, analise 
as afirmativas a seguir. 
 
I. A integral definida . 
II. A área hachurada no gráfico abaixo do eixo x é igual a 
III. Os pontos de interseção da curva e o eixo x são . 
IV. A área limitada pela curva e o eixo x ao 1º quadrante é igual a u.a. 
 
É correto o que se afirma em: 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a 
alternativa I é falsa, já que . A alternativa II verdadeira 
pois, por simetria, a área abaixo do eixo x é dada por: 
 A alternativa III é falsa, pois há interseção com o eixo x 
ocorre em . Finalmente, a alternativa IV é verdadeira, 
pois a área ao primeiro quadrante é dada por: 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O conceito da primitiva de uma função está interligado à definição de integral indefinida, 
assim como ao conceito de derivada de uma função. A integral indefinida de uma função é 
igual a uma família de primitivas. Apenas usando esse conceito é possível determinar a 
função integranda. Assim, considere as função e , contínuas, e analise suas 
derivadas ou integrais em relação à variável x. Nesse contexto, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. é primitiva da função . 
Pois: 
II. . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, ao 
derivarmos a função , temos: Portanto, a 
função é primitiva da 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Dada a integral indefinida , verifique que a função integranda é um produto entre uma 
função polinomial e a função seno. No entanto, sabemos que só é possível integrá-la pelo 
método por substituição de variável se conseguirmos fazer uma escolha adequada. Nesse 
sentido, resolva a integral e assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para 
resolver a integral por substituição de variável, fazemos 
a substituição: ; portanto, 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 Sabendo-se que a distância percorrida por uma partícula em um dado instante é a medida 
sobre a trajetória descrita no movimento, o seu valor depende da trajetória. Com essa 
informação, resolva a seguinte situação-problema. 
 
Considere a função velocidade de uma partícula que se desloca ao longo de uma 
reta, em que a velocidade é expressa em metros por segundo e o tempo em segundos. 
Utilize o gráfico da figura a seguir como suporte para ajudar na resolução da 
questão. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
 
I. A distância percorrida da partícula do tempo inicial até é igual a 100 m. 
Pois: 
II. A distância percorrida é igual a área da região hachurada do gráfico da Figura 7. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é 
uma justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a asserção I 
é uma proposição verdadeira, uma vezque a distância 
percorrida é igual à área dada por . Consequentemente, a 
asserção II também é verdadeira e justifica a I. 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre 
as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, 
como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse 
sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e 
assinale a alternativa correta. 
 
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para 
encontrar a área proposta, resolvemos a integral , pois, 
de a , a função limita superiormente e, 
 
de a , a função limita superiormente. A região é 
limitada simultaneamente por ambas as funções. Portanto: