O ENSINO DAS OPERAÇÕES DO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO

Prévia do material em texto

Fundamentos Metodológicos 
do Ensino de Matemática
O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra, Edda Curi
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni 
5
• Introdução
• O ensino das operações de adição e multiplicação 
• Campo Conceitual das Estruturas Aditivas
Você vai realizar algumas atividades que possibilitam um resgate de suas memórias do 
tempo de estudante; vai ainda ler textos e discutir, no fórum, questões sobre o ensino 
atual dessas noções. 
As discussões realizadas nesta unidade estão baseadas nos estudos de Gerard Vergnau 
(1996) (colocar link com bibliografia) sobre o Campo conceitual aditivo. 
Amplie os conhecimentos sobre o assunto com as leituras recomendadas no texto. 
Nesta unidade vamos discutir o ensino das operações do campo 
aditivo. Você já deve ter percebido que, nos anos iniciais do 
ensino fundamental, o foco do trabalho com a Matemática está 
nas quatro operações denominadas fundamentais. Mas por que 
será que, mesmo com o ensino centrado nesse tema, as crianças 
têm tanta dificuldade para resolver problemas envolvendo essas 
operações e também para calcular o resultado de operações. 
Estudos e pesquisas recentes discutem a mudança de foco 
no ensino das operações, partindo sempre da resolução de 
problemas e deixando a criança mais livre para escolher 
sua estratégia de resolução. Esses estudos servem de base a 
documentos curriculares publicados nos últimos anos, daí a 
necessidade de conhecê-los. É o que faremos nesta unidade. 
O ensino das operações do Campo 
Conceitual Aditivo
• Significado de Composição
• Significado de Transformação
• Significado de Comparação
• Significado de Composição de Transformação
• Sobre Procedimentos de Cálculo
6
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Contextualização
Nesta unidade vamos refletir sobre o ensino e a aprendizagem das operações do campo 
conceitual aditivo. Você já ouviu falar em campo conceitual aditivo?
O autor que discute esse tema é Gerard Vergnaud (1996). Para ele, cada conceito matemático 
está inserido em um campo conceitual, e este é constituído por um conjunto de situações de 
diferentes naturezas. 
Ele sugere o trabalho conjunto com os problemas aditivos e subtrativos, pois fazem parte de 
um mesmo campo conceitual, denominado de campo aditivo. 
O campo conceitual aditivo é formado por um conjunto de situações que envolvem as 
operações de adição e subtração, com base em um campo mais amplo de significados do que 
tem sido usualmente realizado. 
Ele considera que não basta o professor ensinar aos seus alunos as estratégias dos algoritmos 
da adição e subtração; esses cálculos precisam estar relacionados a situações problemas em 
contextos variados. 
Com a finalidade de avançar nas práticas de ensino de Matemática com relação às operações 
do campo aditivo, as atividades propostas nesta unidade visam aos seguintes objetivos:
• identificar concepções e práticas sobre ensino e aprendizagem das operações com números 
naturais que integram o campo aditivo; 
• incentivar reflexões sobre a contribuição de teorias sobre o tema; 
• discutir investigações sobre procedimentos pessoais de cálculo realizados pelas crianças, 
sobre o cálculo mental, a compreensão de algoritmos, o uso da calculadora; 
• analisar práticas de sala de aula; discutir sequências de atividades relativas ao tema. 
7
Introdução
Na primeira parte deste texto, vamos refletir sobre o ensino das operações de adição e 
subtração ao longo dos últimos quarenta anos; depois vamos apresentar os estudos de Vergnaud 
sobre o ensino das operações do campo aditivo. Na segunda parte, discutiremos alguns estudos 
sobre procedimentos de cálculos para resolver essas operações. 
Para Pensar
Compatibilize seu mapa conceitual sobre o ensino das operações de adição e subtração com a leitura 
da primeira parte do texto. Faça anotações para discutir no fórum.
O ensino das operações de adição e multiplicação 
Ao longo dos últimos anos, o ensino das operações sofreu várias modificações. Certamente, ao 
fazer seu mapa conceitual, você identificou algumas daquelas afirmações com períodos em que você 
estudou. Agora você vai fazer a leitura do texto e se situar no tempo, certamente evocando outras 
lembranças, e, depois, vai analisar o que vem sendo proposto, hoje, para o ensino desse tema.
Nos anos sessenta, a ênfase maior era para as técnicas operatórias, ensinadas mecanicamente, 
sem justificativas, seguidas da “prova real” e da “prova dos nove” para verificação de resultados. 
Às vezes, a criança perdia tanto tempo ao realizar a prova real e errava nessa prova, achando 
que havia errado a operação. Assim, apagava a sua resolução e começava tudo de novo; resolvia 
a operação e depois a prova real. O trabalho com cálculo mental era pouco desenvolvido, 
a não ser nas “tabuadas” da adição, que eram aprendidas e memorizadas por causa de um 
treinamento constante. 
O ensino das operações era realizado por passos, de acordo com a ordem de grandeza 
dos números envolvidos e as possíveis dificuldades que eles poderiam causar e com o ano de 
escolaridade da criança. Assim, no geral, o professor ensinava adição e subtração com números 
da ordem das unidades, depois passava para números da ordem das dezenas, ampliava para 
a ordem das centenas e chegava, na antiga quarta série, até a ordem das unidades de milhar. 
O professor propunha problemas para as crianças resolverem somente após o estudo e o 
domínio das operações. Os significados trabalhados eram restritos. Também os problemas eram 
propostos paulatinamente, após o estudo de cada operação. Assim, o professor trabalhava com 
os cálculos de adição e, após muito treino, apresentava problemas que se resolviam a partir 
dessa operação. Depois fazia o mesmo com a subtração. A criança não identificava o significado 
do problema, resolvia automaticamente, usando a operação recém-ensinada. Com esse foco, 
o problema era usado como aplicação dos conhecimentos já estudados.
8
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Na década de setenta, o ensino de Matemática, no Brasi, foi fortemente influenciado por um 
movimento internacional denominado “Matemática Moderna”. 
Nessa fase, o ensino das operações era baseado na teoria dos conjuntos. A adição era 
apresentada por meio da união de dois conjuntos distintos; a subtração era apresentada como 
conjunto complementar. O sentido de equivalência entre as duas operações era enfatizado, ou 
seja, se havia uma adição com um termo desconhecido, era possível determinar esse termo com 
uma subtração. O diagrama de Venn era usado com a intenção de facilitar a visualização dessas 
operações. Os conjuntos eram representados por diagramas.
Quanto ao cálculo mental, nessa época, foi inteiramente abandonado. A ênfase ficava nas 
propriedades das operações (comutativa, associativa, elemento neutro, fechamento) e não nos 
cálculos. Dizia-se que era mais importante que a criança identificasse a propriedade comutativa 
da adição do que soubesse calcular uma adição, ou seja, era mais importante que a criança 
identificasse que 5 + 4 = 4 + 5 (propriedade comutativa) do que calculasse, mentalmente, o 
resultado de 5 + 4. 
A partir da década de 1980, as ideias do “Movimento Matemática Moderna” começaram a ser 
questionadas. Um movimento ocorrido nos Estados Unidos denominado “Agenda para ação” 
rompeu com a abordagem das operações por meio da teoria de conjuntos e colocou o foco no 
trabalho com a resolução de problemas. No Brasil esse foco começou a surgir no final dos anos 
80, quando alguns Estados modificaram suas orientações curriculares, que foram influenciadas 
pelo movimento americano. Assim, a indicação era que se trabalhasse com problemas que 
focalizassem algumasideias das operações, como juntar, tirar, comparar, complementar, medir.
Nessa época, acreditava-se que as crianças aprendiam a 
calcular usando os denominados “materiais concretos”. As 
escolas tinham o Material Dourado, as barras de Cuisenaire, 
entre outros, e havia uma proposta de uso desses materiais 
para potencializar o trabalho com os algoritmos (técnicas 
operatórias). Dessa forma, buscava-se a compreensão 
dessas técnicas operatórias, como o “vai um” na adição, os 
“empréstimos” na subtração. A reta numérica também era 
usada para representar as operações.
Havia algumas discussões sobre a importância do cálculo mental, mas este se reduzia aos 
fatos básicos das operações, ou seja, percebeu-se a importância de a criança saber de cor, por 
exemplo, o resultado de 5 + 4. 
O trabalho com as operações de adição e subtração era realizado separadamente, e a ordem 
de grandeza dos números era ampliada em cada série. Nessa fase, houve um incentivo ao uso 
de jogos, materiais manipulativos e problemas “não convencionais”.
No final dos anos 90, com o advento dos Parâmetros Curriculares Nacionais, o estudo das 
operações adição e subtração sofreu várias alterações e a mais importante é a realização de um 
trabalho articulado entre elas e entre os cálculos para a resolução de problemas. As ideias dessas 
operações foram ampliadas e o documento tomou por base os estudos de Gerard Vergnaud. 
A ênfase ficou na resolução de problemas não pelas técnicas operatórias já ensinadas pelo 
professor, mas por meio de estratégias pessoais das crianças. No trabalho com cálculos, valoriza-
se o cálculo mental, o cálculo com papel e lápis e o uso da calculadora. 
Clematytedusud - pt.wikipedia.org
9
No próximo item vamos focalizar os estudos de Vergnaud. 
Trocando Ideias
Faça um quadro com as ideias-chave de cada época a respeito do ensino das operações e compare 
com o mapa conceitual que você fez. Guarde suas anotações para discutir no fórum
Como já foi dito, os Parâmetros Curriculares Nacionais apoiam-se nas pesquisas de Gerard 
Vergnaud para o ensino das operações do campo conceitual aditivo. Vamos conhecê-las. 
Vergnaud (1996) é psicólogo de formação, foi discípulo de Piaget e trabalha com cognição. 
Para esse autor, um Campo Conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, 
situações, conceitos, relações, conteúdos e operações de pensamento que se relacionam e 
que provavelmente são interligados em sua aquisição. Segundo ele, o domínio de um campo 
conceitual faz-se ao longo de um grande período de tempo por meio de vivências que levem à 
maturação e à aprendizagem. 
Por causa dessa visão, Vergnaud defende que um conceito não deve ser estudado isoladamente, 
pois ele só ganha sentido quando surge em diferentes situações. Ele também defende que uma 
situação pode envolver mais de um conceito.
Campo Conceitual das Estruturas Aditivas
De acordo com Vergnaud (1996), o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é, ao mesmo 
tempo, o conjunto de situações que envolvem uma (ou mais de uma) Adição e/ou Subtração ou 
uma combinação dessas duas operações e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem 
analisar tais situações como tarefas matemáticas. 
Para ele, o Campo Conceitual das Estruturas Aditivas refere-se ao conjunto de problemas 
que envolvem a exploração de adições e/ou subtrações com diferentes graus de complexidade. 
Ele define seis relações de base em que é possível engrenar todos os problemas de Adição e 
de Subtração da aritmética comum (Vergnaud, 1996).
Essas relações são (Vergnaud, 1996, p. 172):
I. a composição de duas medidas numa terceira;
II. a transformação (quantificada) de uma medida inicial numa medida final;
III. a relação (quantificada) de comparação entre duas medidas;
IV. a composição de duas transformações;
V. a transformação de uma relação;
VI. a composição de duas relações. 
10
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
O autor sistematizou as relações aditivas, conforme segue no quadro: 
}
I II III
IV V VI
 Medida 
 Transformação ou relação (positiva ou negativa)
Quadro 1 – Relações Aditivas de Base
Passamos a explicitar melhor cada uma dessas categorias.
Significado de Composição
Para Vergnaud, o significado de composição aparece em problemas que juntam dois estados 
para obter um terceiro. Trata de situações em que basta “juntar” ou “tirar”, sem que haja 
nenhuma transformação no ambiente. 
O autor considera três estados: Estado Inicial (Ei), Estado Intermediário (I) e o Estado Final 
(Ef). Dados dois deles, obtém-se o terceiro estado. Os exemplos de problemas, a seguir, envolvem 
a ideia de composição.
1º Exemplo: busca o estado final
}7 Numa caixa de chocolates há 7 chocolates brancos e 8 chocolates ao leite. Quantos chocolates há nessa caixa? 8
11
2º Exemplo: busca o estado intermediário
}7Numa caixa há 15 carrinhos, sendo 7 azuis e os demais vermelhos. Quantos carrinhos vermelhos há nessa caixa? 15
 
Significado de Transformação
Para Vergnaud (1996), o significado de transformação envolve uma ação ocorrida a partir 
da situação, de forma direta ou indireta, causando aumento ou diminuição. O estado inicial 
da situação sofre uma transformação aditiva (ou subtrativa) para obter um resultado. Essa 
transformação é uma ação decorrente de verbos que surgem no enunciado da situação e 
permitem que a transformação seja de acréscimo ou de redução. 
O autor afirma que as crianças, mesmo antes da educação formal, já constroem um 
pensamento intuitivo de adição e subtração, relacionando espontaneamente o “ganho” e a 
“perda” vivenciados em situações do cotidiano.
Vergnaud caracteriza o raciocínio de transformação por uma situação dada por um Estado 
Inicial (Ei), geralmente correspondente a números que indicam medidas (quantidades, grandezas 
ou valores) que sofrem uma transformação (T) que produz mudanças em relação ao Estado 
Inicial, levando a um Estado Final (Ef).
Apresentamos, a seguir, alguns exemplos de situações em que ocorrem transformações 
positivas e negativas.
Luiz tinha 10 figurinhas. Ele ganhou 
de seu padrinho 6 figurinhas. 
Quantas figurinhas ele tem agora? 10
6
 O autor afirma que as situações de transformação são intuitivas pela ideia de juntar ou 
adicionar uma quantidade a outra já existente, possibilitando uma alteração do estado inicial.
A transformação também pode ser negativa, quando a situação correlaciona o estado inicial 
com o ato de perder algo que tinha, como ilustra o exemplo a seguir.
Gustavo tinha 12 figurinhas. Ele 
perdeu 7 no jogo de bafo. 
Quantas figurinhas ele tem agora? 12
7
12
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Você deve ter percebido que, nos dois problemas apresentados que envolvem a ideia de 
transformação (positiva e negativa), o estado inicial e a transformação são conhecidos e busca-
se o estado final. Mas há situações em que o estado inicial e o estado final são conhecidos 
e busca-se o valor da transformação, e há outras em que são conhecidos o estado final e a 
transformação e busca-se o estado inicial. O primeiro exemplo, a seguir, ilustra a situação em 
que o estado inicial e o estado final são conhecidos e busca-se o valor da transformação. No 
segundo exemplo, o estado final e a transformação são conhecidos e busca-se o estado inicial. 
Rafael tinha 8 carrinhos, ganhou 
alguns de sua mãe e ficou com 15. 
Quantos carrinhos ele ganhou? 8 15
No final de um jogo de bafo, Bernardo 
tinha 15 figurinhas. Durante o jogo 
ele perdeu 8. Quantas figurinhas ele 
tinha inicialmente?
8
15
 
Significado de Comparação
Vergnaud (1996) afirma que uma situação tem significado de comparação quando as 
quantidades são comparadas entre duas partes no sentido de relacionar essas partes. No 
raciocínio de comparação, osvalores não se transformam, apenas se estabelece a ideia de uma 
comparação entre dois estados. Segundo o autor, há três tipos de variação nesse significado, e 
estão apresentadas a seguir.
1) O valor de referência é conhecido e busca-se o referido a partir da relação dada.
2) Busca-se o valor de referência a partir do referido pela relação dada.
3) O valor de referência é conhecido, assim como o referido, e busca-se a relação.
A seguir apresentamos alguns exemplos de cada tipo de problema de comparação. 
1) Valor de referência é conhecido e busca-se o valor do referido a partir da relação dada.
Bianca tem 20 adesivos coloridos e Simone tem 10 a mais que Bianca. Quantos adesivos tem Simone? 
Sabemos quantos adesivos Bianca tem, portanto temos uma referência, e Bianca é o 
referente. Mas não sabemos quantos adesivos Simone tem; ela é nosso referido. A relação é 
dada: “Simone possui 10 a mais que Bianca”. A comparação é positiva e, portanto, nesse caso, 
o problema pode ser resolvido por meio de uma adição. 
13
2) Busca-se o valor de referência a partir do referido pela relação dada.
Simone tem 8 adesivos a menos que Bianca. Se Simone tem 15 adesivos, quantos adesivos Bianca tem?
Neste caso, sabemos quantos adesivos Simone tem, portanto temos uma referência, e 
Simone é o referente. Mas não sabemos quantos adesivos Bianca tem; ela é nosso referido. 
A relação é dada: “Simone tem 8 adesivos a menos que Bianca”. A comparação é negativa, 
mas, neste caso, o problema pode ser resolvido por meio de uma adição, pois, se Simone 
tem 8 adesivos a menos que Bianca, Bianca tem 8 adesivos a mais que Simone, então 
tenho a quantidade de adesivos de Simone. 
3) O valor de referência é conhecido, assim como o referido, e busca-se a relação.
Bianca tem 15 adesivos e Simone tem 8. Quantos adesivos Simone deve ganhar para ter o 
mesmo número que Bianca?
Nesse caso, temos a referência (Bianca) e o referido (Simone), mas não temos a relação. 
É essa relação que deve ser encontrada: Bianca tem 7 adesivos a mais que Simone, ou seja, 
Simone precisa ganhar 7 adesivos para ficar com o mesmo número que Bianca. 
No próximo exemplo, o referente é conhecido (a quantidade de adesivos de Bianca), o 
referido é desconhecido (a quantidade de adesivos de Simone), o texto evidencia uma perda, 
mas a operação que resolve esse problema é uma adição.
Bianca tem 15 adesivos. Ela tem 7 adesivos a menos que Simone. Quantos adesivos tem Simone? 
Segundo Vergnaud, para a criança é difícil discernir o valor de referência do referido, 
as relações existentes entre dois grupos e todas as combinações possíveis de obter com o 
significado de comparação.
Significado de Composição de Transformação
Vergnaud (1996) afirma que existem situações em que pode ocorrer mais de uma transformação 
sucessiva, gerando uma composição de transformação, e apresenta quatro possibilidades de 
composição de transformação:
a) Transformação positiva e positiva, quando a situação gera “ganho” e “ganho”.
No início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No decorrer do jogo, ele ganhou 
10 figurinhas e, em seguida, ganhou 25 figurinhas. O que aconteceu com suas figurinhas após 
essas duas rodadas do jogo?
14
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
b) Transformação positiva e negativa, quando ocorre a situação “ganho”, seguida de “perda”.
No início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No decorrer do jogo, ele ganhou 
20 figurinhas e em seguida, perdeu 7. O que aconteceu com suas figurinhas nesse jogo?
c) Transformação negativa e positiva, quando a proposta é de “perda” e, a seguir, de “ganho”.
No início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No decorrer do jogo, ele perdeu 
20 figurinhas e depois ganhou 7. O que aconteceu com suas figurinhas nesse jogo?
d) Transformação negativa e negativa, quando a situação é de “perde” e “perde”.
No início de um jogo, Rafael tinha certa quantia de figurinhas. No decorrer do jogo, ele perdeu 
20 figurinhas e depois perdeu 7. O que aconteceu com suas figurinhas nesse jogo?
Vergnaud (1996) defende que o processo de aprendizagem dos problemas que envolvem 
estruturas aditivas demanda uma série de atividades envolvendo vários tipos de problemas para 
que os alunos possam, por meio de resoluções de problemas, avançar na construção de conceitos. 
 
 Atenção
Cabe destacar que não basta reproduzir categorias de problemas em sala de aula, nem utilizar essas 
nomenclaturas com as crianças. De acordo com Curi (2004), algumas tentativas de levar essa teoria 
para a sala de aula têm se limitado a reproduzir as diferentes categorias de problemas propostos, 
o que, evidentemente, é um reducionismo em relação aos avanços que a teoria permite. A autora 
salienta que, embora seja muito positivo o fato de se utilizarem dados de pesquisas para orientação 
de ensino, ainda estamos longe de ver resultados desses estudos chegarem à sala de aula.
Sobre Procedimentos de Cálculo
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a construção de habilidades de cálculo 
depende de pontos de apoio, como contagens e tabuadas, fatos fundamentais, repertório 
básico das crianças, etc.
Por esse motivo, é preciso realizar um trabalho que envolve a construção, a organização e, 
como consequência, a memorização compreensiva desses fatos. 
15
O documento destaca que a construção dos fatos básicos apoia-se na resolução de problemas 
e confere significados a escritas do tipo a + b = c e que a organização dessas escritas e a 
observação de regularidades facilita a memorização compreensiva desses fatos. 
Na organização de um repertório básico de cálculo, os alunos começam a perceber, 
intuitivamente, algumas propriedades da adição, como a associatividade e a comutatividade, 
mesmo sem a apresentação do professor, por exemplo, em situações em que, ao adicionarem 5 
+ 9, invertem os termos e começam a contar pelo 9, o maior número.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam alguns procedimentos que os alunos 
costumam utilizar na construção e organização do repertório de cálculo no campo aditivo como:
• usar resultados de adições de números iguais, como 4 + 4, 7 + 7 para cálculos com números 
maiores como 40 + 40, 700 + 700, etc.
• “dobrar e adicionar um” para se chegar ao resultado de 5 + 6 como sendo 5 + 5 + 1; 
• adicionar pares de números iguais, como, por exemplo, 8 + 8, para calcular 7 + 9; 
• adicionar 10 e subtrair 1 para somar 9;
• aplicar as adições que resultam 10 em situações como 7 + 4 calculando (7 + 3) + 1 (um dos 
números é decomposto de maneira a completar um outro para formar dez); 
• usar regras ou padrões na construção de listas, como, por exemplo: 
 07 + 5 = 12 = 5 + 07
 17 + 5 = 22 = 5 + 17
 27 + 5 = 32 = 5 + 27
 37 + 5 = 42 = 5 + 37;
Fonte: BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília: Secretaria de Ensino 
Fundamental, 1996, p. 74,75. 
O documento destaca, ainda, que a construção dos fatos da subtração deve ser realizada a 
partir da compreensão de relações entre a adição e a subtração e da não validade de propriedades 
presentes na adição, tais como a comutatividade e a associatividade para a subtração.
A construção de um repertório básico constitui suporte para a ampliação dos diferentes 
procedimentos e tipos de cálculos que o aluno vai desenvolver ao longo dos ciclos iniciais: 
cálculo mental ou escrito, exato ou aproximado.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais destacam diferentes procedimentos e tipos de cálculo 
que se relacionam e se complementam. O documento chama atenção para o fato de que o 
cálculo escrito apoia-se no cálculo mental, nas estimativas e aproximações e que as estratégias 
de cálculo mental são limitadas e podem ter apoio de cálculos intermediários escritos. 
O documento recomenda que o professorprivilegie a exploração concomitante de 
procedimentos de cálculo mental e cálculo escrito, exato e aproximado, de tal forma que o aluno 
perceba as relações existentes entre esses tipos de cálculo e, com isso, possa aperfeiçoar seus 
procedimentos pessoais, tornando-os cada vez mais próximos das técnicas usuais. 
16
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
O cálculo mental é a base do cálculo aritmético usado no cotidiano; é realizado por meio de 
estratégias individuais de acordo com a vivência de cada um. 
Para Pensar
Analise os procedimentos de duas crianças para calcular mentalmente 57000+29000. Explique 
como procederam. Você faria esse cálculo da mesma forma que uma dessas crianças? Se fizer de 
outra maneira, reflita sobre seu procedimento. 
Procedimento de Mariana Procedimento de Felipe
57 000 mais 10 000, que é igual a 67 000 57 000 mais 30 000 é igual a 87 000
67 000 mais 10 000 que é igual a 77 000 87 000 menos 1 000 é igual a 86 000
77 000 mais 9 000 é igual a 86 000
Os procedimentos usados pelas crianças e talvez por você foram diferentes, pois, no cálculo 
mental, é possivel escolher a forma que mais se adapta a uma situação em função da vivência 
de quem está calculando, do tipo de número envolvido e das operações a serem resolvidas, 
transformando cada situação num problema aberto que pode ser resolvido de formas diferentes, 
com uso de procedimentos próprios que permitam encontrar o resultado. O cálculo mental é 
um grande aliado na validação do cálculo escrito. Por exemplo, no cálculo de 67-19, saber que 
67-20 = 47 vai ajudar a localizar corretamente o resultado da subtração proposta, ou seja, o 
resultado não pode ser menor que 47, pois 19 é menor que 20 e, quando se tira “menos” de 
um número, o resultado é maior do que quando se tira mais.
O cálculo escrito, tão valorizado pelos professores, é usado apenas na escola. Fora dela, o 
indivíduo deve optar por um tipo de cálculo que se adapta à situação que está enfrentando. 
Por exemplo, se for fazer o cálculo de um valor final de um apartamento comprado em 50 
meses, com entrada, parcelas fixas, parcelas intermediárias, etc., o indivíduo acaba usando 
a calculadora para saber o valor exato do apartamento a ser adquirido ou, então, faz uma 
estimativa do valor aproximado. 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a estimativa auxilia no desenvolvimento da 
capacidade de tomar decisões. O documento ressalta que, desde o início da escolarização, 
as estimativas devem estar presentes em situações que permitam aos alunos perceberem o 
significado de um valor aproximado e decidirem quando é conveniente usá-lo. O documento 
enfatiza que as estimativas devem extrapolar as relações “maior que”, “menor que” e o professor 
deve trabalhar com a relação “estar entre”. 
Quanto ao cálculo escrito, o documento destaca que as técnicas operatórias usualmente 
ensinadas na escola apoiam-se nas regras do sistema de numeração decimal e em propriedades 
e regularidades das operações. No entanto, da forma como são ensinadas mecanicamente, os 
alunos não reconhecem a presença dessas regras e propriedades nos cálculos. O documento 
enfatiza que isso acontece, provavelmente, porque a escola não explora os procedimentos 
pessoais dos alunos e chama a atenção para o fato de que os procedimentos usados pelos 
alunos são, muitas vezes, formas intermediárias para se chegar ao registro das técnicas usuais. 
17
O documento destaca alguns recursos que podem auxiliar a compreensão das técnicas 
operatórias:
A escrita decomposta dos números ajuda a evidenciar o estabelecimento de correspondência 
entre as unidades das diversas ordens no registro da técnica da adição e da subtração; também 
evidencia o “transporte”, no caso da adição, e o “empréstimo”, no caso da subtração, à ordem 
imediatamente superior. 
Exemplo 1: 255 + 148 
 200 50 5
+100 40 8
 300 + 90 + 13
 300 + 100 + 3
 400 + 3 = 403
 Exemplo 2: 355-168
 200 140 15
- 100 60 8 
 100 + 80 + 7
A aplicação da invariância da diferença — adicionar (ou subtrair) um mesmo número aos dois 
termos de uma subtração não altera a diferença — permite a compreensão de uma das técnicas 
utilizadas para subtrair.
 300 150 15
 200 70 
-100 60 8 
 100 + 80 + 7
Fonte: BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília: Secretaria de Ensino 
Fundamental, 1996, pg 80. 
Quanto ao uso da calculadora, os Parâmetros Curriculares Nacionais sugerem várias 
atividades em que a criança vai usar seu raciocínio para realizá-las.
• A partir de um número registrado no visor da calculadora, sem apagá-lo, fazer aparecer um 
outro número. Por exemplo, transformar:
a) 459 em 409
b) 7.403 em 7.003
c) 354 em 9.054
• Eliminar o “7” das seguintes escritas numéricas, sem apagá-las: 3.074, 32.479, 879. 
18
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
• Descobrir o resultado das operações, nas condições dadas:
a) 273 + 129, sem usar a tecla que indica adição; 
b) 1.000 : 43, usando só a tecla que indica a adição; só a tecla que indica a multiplicação, só 
a tecla que indica a divisão; 
c) partindo do número 572, com uma única operação, obter: 502; 5.720; 57, 2. 
Fonte: BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília: Secretaria de Ensino 
Fundamental, 1996, pg 82. 
Trocando Ideias
Na parte do texto que discute os diferentes tipos de cálculo, destaque o que mais lhe chamou a 
atenção e justifique sua escolha. 
 
 Atenção
A leitura do texto sobre procedimentos de cálculo permite concluir que um indivíduo não é proficien-
te em cálculo se souber apenas fazer cálculos com lápis e papel. Ele deve calcular usando estimativas 
e aproximações, fazer cálculo mental e usar calculadora e, mais ainda, deve ser capaz de escolher, 
numa dada situação, que tipo de cálculo é mais adequado. Só assim, podemos dizer que esse sujeito 
é proficiente no cálculo.
 
 Explore
Se quiser saber mais sobre procedimentos de crianças de 8 anos na resolução de problemas do 
campo aditivo leia os textos:
• De autoria da professora Solange Fátima Mariano: Procedimentos De Crianças Do 2º Ano 
Do Ensino Fundamental Na Resolução De Problemas Do Campo Aditivo Com O Sig-
nificado De Transformação, in: Educação Matemática: grupos colaborativos, mitos e práticas. 
Org. Curi, E. e Nascimento, J. C. P. Editora Terracota, 2012, p.95-114.
• De autoria da professora Janaína Pinheiro Vece: Alunos do 1º Ano do Ensino Fundamental 
e os Problemas De Transformação Negativa, in: Educação Matemática: grupos colaborati-
vos, mitos e práticas. Org. Curi, E. e Nascimento, J. C. P. Editora Terracota, 2012, p.71-94.
19
Em Síntese
Nesta unidade, você explorou:
• o ensino das operações de adição e subtração ao longo dos últimos quarenta anos;
• os estudos de Vergnaud sobre o ensino das operações do campo aditivo;
• a importância de se trabalhar com diferentes tipos de cálculo. 
20
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Material Complementar
Para seu aprofundamento, leia o texto dos Parâmetros Curriculares Nacionais 
de Matemática do 1º e 2º ciclos sobre orientações didáticas para o ensino das 
operações do campo aditivo, em especial sobre procedimentos de cálculo, nas páginas de 
74 até 82. Nesse texto, o documento apresenta algumas situações que podem ser desenvolvidas 
em sala de aula com o objetivo de desenvolver um repertório básico de cálculo e de ampliar 
procedimentos de cálculo.
21
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais para os 1º e 2º ciclos. Brasília: Secretaria 
de Ensino Fundamental, 1996. 
MARIANO, S. F. Procedimentos de crianças do 2º ano do ensino fundamentalna 
resolução de problemas do campo aditivo com o significado de transformação. In: 
CURI, E.; NASCIMENTO, J. C. P. (orgs.) Educação Matemática: grupos colaborativos, mitos e 
práticas. São Paulo: Editora Terracota, 2012.
PIRES, C. M. C. Educação Matemática: conversas com professores dos anos iniciais. 
São Paulo. Zapt Editora.2012. 
VECE, J.P. Alunos do 1º ano do ensino fundamental e os problemas de transformação 
negativa. In: CURI, E.; NASCIMENTO, J. C. P. (orgs.) Educação Matemática: grupos 
colaborativos, mitos e práticas. São paulo: Editora Terracota, 2012, p.71-94.
VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didática das Matemáticas. 
Tradução Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, 1996, p. 155-191.
22
Unidade: O ensino das operações do Campo Conceitual Aditivo
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000