Cálculo Diferencial e Integral

Prévia do material em texto

Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	2√10u.c.210u.c.
Você acertou!
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c.
livro-base: p. 21-24
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√5u.c.45u.c.
	
	D
	5√5u.c.55u.c.
	
	E
	6√10u.c.610u.c.
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
	
	A
	25π√20u.a.25π20u.a.
	
	B
	20π√10u.a.20π10u.a.
Você acertou!
Solução:
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a.
livro-base p. 15-20
	
	C
	22π√12u.a.22π12u.a.
	
	D
	23π√13u.a.23π13u.a.
	
	E
	21π√15u.a.21π15u.a.
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que apresenta o valor correto de 
I.I.
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy.
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	3232
Você acertou!
Solução:
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32.
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59.
	
	C
	5252
	
	D
	7272
	
	E
	9292
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir:
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por:
Nota: 10.0
	
	A
	16ππ
	
	B
	16ππ√1717 u.a.
Você acertou!
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.)
	
	C
	√1717 u.a.
	
	D
	√17π17π u.a.
	
	E
	2√17217 u.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a alternativa que corresponde a esse valor.
Nota: 10.0
	
	A
	-12
	
	B
	24
Você acertou!
Solução:
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)|01=8+12+4=24.
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016.  p.153 a p.155
	
	C
	15
	
	D
	-20
	
	E
	30
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é:
Nota: 10.0
	
	A
	16
	
	B
	25
	
	C
	30
Você acertou!
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base:  p. 75-76
	
	D
	36
	
	E
	40
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia a seguinte passagem de texto:
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por:
   
Nota: 10.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Você acertou!
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Dada a função f(x,y)=√x2+y2f(x,y)=x2+y2, o gradiente de ff no ponto P=(1,1)P=(1,1) é
Referência: Livro-Base, p. 86.
Nota: 10.0
	
	A
	∇f(1,1)=2√2^i+2√2^j.∇f(1,1)=22i^+22j^.   
	
	B
	∇f(1,1)=2√2^i−2√2^j.∇f(1,1)=22i^−22j^.   
	
	C
	∇f(1,1)=√22^i+√22^j.∇f(1,1)=22i^+22j^.   
Você acertou!
O gradiente de f(x,y)f(x,y) é definido por ∇f(x,y)=∂f∂x(x,y)^i+∂f∂y(x,y)^j.∇f(x,y)=∂f∂x(x,y)i^+∂f∂y(x,y)j^. Notamos que ∂f∂x(x,y)=2x2√x2+y2=x√x2+y2∂f∂x(x,y)=2x2x2+y2=xx2+y2 e ∂f∂y(x,y)=2y2√x2+y2=y√x2+y2.∂f∂y(x,y)=2y2x2+y2=yx2+y2. Com isso, ∂f∂x(1,1)=1√2=√22∂f∂x(1,1)=12=22 e ∂f∂y(1,1)=1√2=√22.∂f∂y(1,1)=12=22. Portanto,
∇f(1,1)=√22^i+√22^j.∇f(1,1)=22i^+22j^.
	
	D
	∇f(1,1)=√2^i−√2^j.∇f(1,1)=2i^−2j^.   
	
	E
	∇f(1,1)=√23^i−√23^j.∇f(1,1)=23i^−23j^.    
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
A área da superfície de revolução obtida ao girar o gráfico da função f(x)=2xf(x)=2xem torno do eixo xx, no intervalo [0,3][0,3], vale
Referência: Livro-Base, p. 15-20.
Nota: 10.0
	
	A
	12√5πu.a.125πu.a.   
	
	B
	18√5πu.a.185πu.a.   
Você acertou!
A área da superfície de revolução é dada por
Área=2π∫30f(x)√1+[f′(x)]2dx=2π∫302x√1+22dx=4√5π∫30xdx=4√5π(x22)∣∣∣30=18√5πu.a.Área=2π∫03f(x)1+[f′(x)]2dx=2π∫032x1+22dx=45π∫03xdx=45π(x22)|03=185πu.a.
	
	C
	9√5π u.a.95π u.a.   
95pu.a.
	
	D
	3√13πu.a.313πu.a.   
	
	E
	π√133u.a.π133u.a.   
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Qual a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero?
Referência: Vídeoaula número 4 e Livro-Base, p. 101-102.
Nota: 10.0
	
	A
	an=2nan=2n
Você acertou!
A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado,
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2);
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4);
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
	
	B
	an=2n+1an=2n+1
	
	C
	an=n+1an=n+1
	
	D
	an=2n−1an=2n−1
	
	E
	an=n−1an=n−1