2014_combinacoes_lineares

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Combinações Lineares
Definição
Seja V um espaço vetorial. Dizemos que o vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V se existem reais
a1, a2, . . . , an tais que
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn.
Exemplo
O vetor v = (1, 2, 0) ∈ R3 é uma combinação linear de v1 =
(2, 4, 6) e v2 = (3, 6, 10), pois v = 5v1 − 3v2.
Combinações Lineares
Definição
Seja V um espaço vetorial. Dizemos que o vetor v ∈ V é uma
combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vn ∈ V se existem reais
a1, a2, . . . , an tais que
v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn.
Exemplo
O vetor v = (1, 2, 0) ∈ R3 é uma combinação linear de v1 =
(2, 4, 6) e v2 = (3, 6, 10), pois v = 5v1 − 3v2.
Combinações Lineares
Exemplo
O polinômio p = 3 + 3t + 5t3 não é combinação linear dos po-
linômios p1 = t + t
3, p2 = t + t
2 + t3, p3 = t
2 + 2t3.
Exemplo
Determine se a matriz A =
[
−1 4
4 −1
]
é combinação linear das
matrizes V1 =
[
0 3
2 1
]
, V2 =
[
1 2
0 3
]
e V3 =
[
1 5
2 4
]
.
Combinações Lineares
Exemplo
O polinômio p = 3 + 3t + 5t3 não é combinação linear dos po-
linômios p1 = t + t
3, p2 = t + t
2 + t3, p3 = t
2 + 2t3.
Exemplo
Determine se a matriz A =
[
−1 4
4 −1
]
é combinação linear das
matrizes V1 =
[
0 3
2 1
]
, V2 =
[
1 2
0 3
]
e V3 =
[
1 5
2 4
]
.
Combinações Lineares
Definição
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. Dizemos
que um vetor v ∈ V é uma combinação linear de elementos de X
se existirem v1, v2, . . . , vn ∈ X tais que v seja uma combinação
linear de v1, . . . , vn.
Exemplo
Sejam V = {f : R→ R} e X = {pi ; i ∈ N∪{0}}, onde pi : R→ R
é dada por pi(x) = x
i.
1. A função f(x) = 5 + 10x3 + x10 é uma combinação linear de
elementos de X .
2. A função h(x) = 1 + x + x
2
2! +
x3
3! + · · · não é uma
combinação linear de elementos de X .
Combinações Lineares
Definição
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. Dizemos
que um vetor v ∈ V é uma combinação linear de elementos de X
se existirem v1, v2, . . . , vn ∈ X tais que v seja uma combinação
linear de v1, . . . , vn.
Exemplo
Sejam V = {f : R→ R} e X = {pi ; i ∈ N∪{0}}, onde pi : R→ R
é dada por pi(x) = x
i.
1. A função f(x) = 5 + 10x3 + x10 é uma combinação linear de
elementos de X .
2. A função h(x) = 1 + x + x
2
2! +
x3
3! + · · · não é uma
combinação linear de elementos de X .
Combinações Lineares
Definição
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. Dizemos
que um vetor v ∈ V é uma combinação linear de elementos de X
se existirem v1, v2, . . . , vn ∈ X tais que v seja uma combinação
linear de v1, . . . , vn.
Exemplo
Sejam V = {f : R→ R} e X = {pi ; i ∈ N∪{0}}, onde pi : R→ R
é dada por pi(x) = x
i.
1. A função f(x) = 5 + 10x3 + x10 é uma combinação linear de
elementos de X .
2. A função h(x) = 1 + x + x
2
2! +
x3
3! + · · · não é uma
combinação linear de elementos de X .
Combinações Lineares
Definição
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. Dizemos
que um vetor v ∈ V é uma combinação linear de elementos de X
se existirem v1, v2, . . . , vn ∈ X tais que v seja uma combinação
linear de v1, . . . , vn.
Exemplo
Sejam V = {f : R→ R} e X = {pi ; i ∈ N∪{0}}, onde pi : R→ R
é dada por pi(x) = x
i.
1. A função f(x) = 5 + 10x3 + x10 é uma combinação linear de
elementos de X .
2. A função h(x) = 1 + x + x
2
2! +
x3
3! + · · · não é uma
combinação linear de elementos de X .
Combinações Lineares
Propriedade
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. O con-
junto de todas as combinações lineares de elementos de X é um
subespaço vetorial de V. Este espaço é denominado o subespaço
gerado por X e é denotado por [X ].
Observações
I Na condição acima, dizemos que os elementos de X geram
(ou são os geradores) de [X ].
I Quando X = {v1, v2, . . . , vn} denotamos [X ] = [v1 . . . , vn] e
dizemos que este subespaço é finitamente gerado.
Combinações Lineares
Propriedade
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. O con-
junto de todas as combinações lineares de elementos de X é um
subespaço vetorial de V. Este espaço é denominado o subespaço
gerado por X e é denotado por [X ].
Observações
I Na condição acima, dizemos que os elementos de X geram
(ou são os geradores) de [X ].
I Quando X = {v1, v2, . . . , vn} denotamos [X ] = [v1 . . . , vn] e
dizemos que este subespaço é finitamente gerado.
Combinações Lineares
Propriedade
Seja X um subconjunto não vazio do espaço vetorial V. O con-
junto de todas as combinações lineares de elementos de X é um
subespaço vetorial de V. Este espaço é denominado o subespaço
gerado por X e é denotado por [X ].
Observações
I Na condição acima, dizemos que os elementos de X geram
(ou são os geradores) de [X ].
I Quando X = {v1, v2, . . . , vn} denotamos [X ] = [v1 . . . , vn] e
dizemos que este subespaço é finitamente gerado.
Combinações Lineares
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2}
onde v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, 0, 1).
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2, v3}
onde v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1).
Exemplo
Seja V = M(2, 2). Determine o subespaço gerado por X =
{A,B}, onde A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
2 4
3 −1
]
.
Combinações Lineares
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2}
onde v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, 0, 1).
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2, v3}
onde v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1).
Exemplo
Seja V = M(2, 2). Determine o subespaço gerado por X =
{A,B}, onde A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
2 4
3 −1
]
.
Combinações Lineares
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2}
onde v1 = (1, 1, 0) e v2 = (1, 0, 1).
Exemplo
Seja V = R3. Determine o subespaço gerado por X = {v1, v2, v3}
onde v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (0, 1, 1).
Exemplo
Seja V = M(2, 2). Determine o subespaço gerado por X =
{A,B}, onde A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
2 4
3 −1
]
.