Flambagem de Euler

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Flambagem de Euler
Leonhard Euler, 1744
configuração ligeiramente fletida
x
P P
y e z são eixos principais
l
x
Em uma posição determinada pelo coordenada x: zM Py=
Como 
2
2
d y
d x
M
EI
z
= −
resulta 
2
2
2 0
d y
d x
k y+ = onde 
2k
P
EI
=
solução y A kx B kx= +sin cos
Flambagem de Euler
solução: y A sen kx B kx= + cos
condições de contorno:
y=0 para x=0, resultando B = 0 e
y=0 para x= l
resultando A sen kl = 0
Esta última equação pode ser satisfeita de três maneiras possíveis:
A = 0, que significa que a barra não tem deflexão alguma, permanecendo reta
kl = 0, que signica que nenhuma carga está sendo aplicada
kl = nπ, que é a condição que interessa, quando ocorre a flambagem da barra. 
Assim:
Flambagem de Euler
2 2 2
2
n P
EI
P
n EIπ π
l l





 = ⇒ =
fazendo-se n=1 (barra com articulações em ambas extremidades), 
a carga crítica de Euler é dada por
P
EI
cr =
2
2
π
l
fazendo I=Ag r
2
( )
σ
π
cr
E
r
=
2
2
l
Tensões residuais são tensões que permanecem em uma barra após o processo 
de fabricação que lhe dá forma. Tais tensões resultam de deformações plásticas, 
que no aço estrutural podem resultar de diferentes fontes: 
(1) resfriamento não uniforme que ocorre após o processo de laminação; 
(2) dobragem ou calandragem a frio durante a fabricação; 
(3) operações de puncionamento e corte durante fabricação; e 
(4) soldagem. 
Tensões residuais
Análise considerando imperfeição inicial
configuração ligeiramente fletida
x
P P
y e z são eixos principais
l
xe0e
Considerando-seque a força normal é aplicada com uma excentricidade inicial, 
qual o valor da força normal que leva ao escoamento da fibra mais comprimida? 
Isto é
f
WA ygg
eNN
≤+
onde e é a excentricidade da carga no meio do vão:
e e
N
N
N
EI
e
e=
−
=0
2
2
1
1
, onde
π
l
Análise considerando imperfeição inicial
Fazendo 
ρ η λ= = =
N
A f
A
W
e
A f
Ng y
g e
g
g y
e
,
0
e substituindo-se em f
WA ygg
eNN
≤+
1
1
1
1
2
≤








−
+
λρ
ηρresulta
Fazendo-se β
η λ
λ
=
+ +1
2
2
resulta
2
2 1
λ
βρ β −−=
Análise considerando imperfeição inicial
Assim sendo, o escoamento da fibra mais comprimida dar-se-á quando a 
força normal atingir o valor correspondente a r calculado, isto é
N A fg y= ρ
Entretanto, a dedução acima foi desenvolvida considerando-se que a barra 
encontra-se em regime elástico até a flambagem, o que não é verdade, tendo em 
vista que tensões residuais presentes na seção transversal fazem com que a 
relação ηηηη não se mantenha constante. Para levar em conta esse efeito, a 
NBR 8800/86 utiliza a seguinte relação
η α λ= −
2 0 04.
Adicionalmente, introduz um parâmetro Q para levar em conta a flambagem 
local do elementos que compõem a seção transversal da barra. 
fANN
fQ
ygcn
y
Q
cd
Er
KL
ρ
λρβρ
αβ
π
λ
φφ
λ
β
λλ
λ
=
<≤=−−=





 +−+==
≤ 
)20,00 para 00,1(
1
04.01
11
2
2
22
2
Dimensionamento à compressão segundo a 
Norma brasileira NBR-8800/86
Os valores de “α” variam de acordo com os tipos de seção e eixos de 
flambagem, de acordo com a Tabela 3,
α = 0,158 para a curva “a”
α = 0,281 para a curva “b”
α = 0,384 para a curva “c”
α = 0,572 para a curva “d”
K = parâmetro de flambagem (ver 5.3.2)
ℓ = comprimento real, não contraventado. 
r = raio de giração da seção transversal bruta, relativo ao eixo em torno do qual se 
dá a flambagem
Q = 1,0 para seções cujos elementos tem relações b/t iguais ou inferiores às 
dadas na Tabela 1 para seções classe 3, solicitadas por força normal. Não se 
cumprindo esta condição tem-se Q < 1,0 (ver Anexo E)
onde φc = 0,90 
Curvas de flambagem
λ
ρ