cap3-Análise_Malha_Fechada_v2_24out

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PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Cap´ıtulo 3
Ana´lise de Sistemas em Malha Fechada
1. Introduc¸a˜o
2. Estabilidade
3. Propriedades em Regime Permanente (ana´lise de erros)
4. Sensibilidade e Robustez
5. Estudo de Caso
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1. Introduc¸a˜o
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2. Estabilidade
H(z) H(z)
u(z) y(z) w(z) y(z)
-
+
(”H”e´ SLIT)
Ana´lise de Estabilidade
- Crite´rio de Jury;
- Diagrama de Bode e Margens de Ganho e de Fase;
- Lugar das Ra´ızes;
- Curva e Crite´rio Nyquist; Lyapunov...
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Crite´rio de Jury:
• Ana´logo ao crite´rio de Routh Hurwitz para sistemas cont´ınuos.
• Determina quando ra´ızes de mo´dulo > 1 esta˜o presentes em um polinoˆmio
Seja A(z) = a0zn + a1zn−1 + . . .+ an, com a0 > 0 e an 6= 0.
zn zn−1 zn−2 · · · z2 z z0
a0 a1 a2 an−2 an−1 an
an an−1 an−2 a2 a1 a0 αn =
an
a0
b0 b1 b2 bn−2 bn−1
bn−1 bn−2 bn−3 b1 b0 αn−1 =
bn−1
b0
c0 c1 c2 cn−2
cn−2 cn−3 cn−4 c0 αn−1 =
cn−2
c0
...
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obs.: - A 3a. linha e´ obtida multiplicando a segunda por αn e subtraindo o
resultado da primeira linha, isto e´,
3a. linha = 1a. linha - 2a. linha × αn
- A 4a. linha e´ a 3a. linha invertida
- O esquema e´ repetido para as pro´ximas linhas
Teorema:
Todas as ra´ızes de A(z) estara˜o dentro do c´ırculo unita´rio sss todos os
coeficientes com ı´ndice 0 forem positivos. 2
obs.: Uma condic¸a˜o necessa´ria (mas na˜o suficiente) para que todos os coeficientes
de ı´ndice 0 sejam positivos e´:
 A(1) > 0(−1)nA(−1) > 0
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¦ Caso Particular:
Sistemas de 2a. ordem → A(z) = z2 + a1z + a2

(a2)2 < 1
a2 > −1 + a1, a1 > 0
a2 > −1− a1, a1 < 0
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
a1 
a2 Região de Estabilidade 
−2 −1 1 2 
−1 
1 
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Crite´rio de Jury (2):
• Outra formulac¸a˜o para o Crite´rio de Jury.
Seja A(z) = a0zn + a1zn−1 + . . .+ an, com a0 > 0 e an 6= 0.
zn zn−1 zn−2 · · · z2 z z0
1 an an−1 an−2 a2 a1 a0
2 a0 a1 a2 an−2 an−1 an
3 bn−1 bn−2 bn−3 b1 b0
4 b0 b1 b2 bn−2 bn−1
5 cn−2 cn−3 cn−4 c0
6 c0 c1 c2 cn−2
...
2n− 5 p3 p2 p1 p0
2n− 4 p0 p1 p2 p3
2n− 3 q2 q1 q0
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• Os coeficientes das linhas 3 a 2n− 3 sa˜o calculados por:
bk =
∣∣∣∣∣∣ an an−1−ka0 ak+1
∣∣∣∣∣∣ , k = 0, . . . , n− 1
ck =
∣∣∣∣∣∣ bn−1 bn−2−kb0 bk+1
∣∣∣∣∣∣ , k = 0, . . . , n− 2
qk =
∣∣∣∣∣∣ p3 p2−kp0 pk+1
∣∣∣∣∣∣ , k = 0, 1, 2
• O polinoˆmio A(z) tera´ todas as ra´ızes dentro do c´ırculo unita´rio se todas as
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condic¸o˜es abaixo forem satisfeitas:
1 A(1) > 0
2
A(−1) > 0 p/ n par
A(−1) < 0 p/ n impar
3 |an| < a0
4 |bn−1| > |b0|
|cn−2| > |c0|
...
|q2| > |q0|
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Estabilidade Relativa: Margens de Fase e Ganho
Definic¸a˜o: Seja um sistema em malha fechada cujo ramo direto e´ H(z) e seja
w0 a menor frequeˆncia tal que ∠H(ejw0∆t) = −pi. A margem de ganho e´
definida como sendo: Amargem =
1
|H(ejw0∆t)| ou − |H(e
jw0∆t)|dB
Definic¸a˜o: Seja um sistema em malha fechada cujo ramo direto e´ H(z) e seja
wc (frequeˆncia de corte ou crossover frequency) a menor frequeˆncia tal que
|H(ejwc∆t)| = 1 ou 0dB. A margem de fase e´ definida como sendo
φmargem = pi + ∠H(ejwc∆t)
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Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ph
as
e 
(de
g)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
10−1 100 101
−270
−225
−180
−135
−90
−45
0
Figura 1: H(s) = 2/(s2 + 1.4s+ 1), ∆t = 0.4
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• O sistema e´ esta´vel em malha fechada se a margem de ganho e a margem de
fase forem positivas.
• O sistema e´ esta´vel se, na frequeˆncia onde ∠H(ejw0∆t) = −pi, tem-se
|H(ejw0∆t)|dB < 0.
• O sistema e´ esta´vel se, na frequeˆncia onde |H(ejw0∆t)|dB = 0, tem-se
∠H(ejw0∆t) > −pi.
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3. Propriedades em Regime
Permanente
• Motivac¸a˜o: analisar um sistema em malha fechada esta´vel de acordo com
especificac¸o˜es em regime permanente (erros em relac¸a˜o a refereˆncia).
H(z)
u(z)w(z) y(z)
-
+
C(z)
e(z)
Y (z) =
L(z)
1 + L(z)
W (z)
L(z): Func¸a˜o de transfereˆncia do ramo direto do sistema em malha fechada
(L(z) = C(z)H(z)).
• Para este sistema, pode-se definir o sinal de erro como sendo
e(k) = w(k)− y(k) e em regime permanente
e∞ = w∞ − y∞
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O valor de e∞ e´ dado por:
e∞ = lim
z→1
(1− z−1) [W (z)− Y (z)]
• Pode-se identificar treˆs situac¸o˜es poss´ıveis para e∞:

e∞ = 0
e∞ 6= 0, constante e limitado
e∞ → ∞
• Definic¸o˜es:
Classificac¸a˜o de sistemas quanto ao erro em regime permanente:
Tipo 0: e∞ constante, limitado e 6= 0 para entradas em degrau.
Tipo I: e∞ constante, limitado e 6= 0 para entradas em rampa. Apresentam
e∞ = 0 para entrada em degrau.
Tipo II: e∞ constante, limitado e 6= 0 para entradas em para´bola.
Apresentam e∞ = 0 para entrada em degrau e rampa.
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• Alguns resultados de sistemas em malha fechada esta´vel sem perturbac¸a˜o e
realimentac¸a˜o unita´ria.
• Refereˆncias em Degrau ⇒W (z) = z
z − 1 =
1
1− z−1
e∞ = lim
z→1
[
1
1 + L(z)
]
e∞ =
1
1 +Kp
e Kp = lim
z→1
L(z)
Kp constante de erro de posic¸a˜o.
obs.: O erro e´ inversamente proporcional ao ganho do ramo direto do sistema
em malha fechada. Para erro nulo, o ramo direto deve ter pelo menos um
po´lo em z = 1.
• Ref. em Rampa ⇒W (z) = ∆tz
(z − 1)2 =
∆tz−1
(1− z−1)2
e∞ = lim
z→1
(
1
1 + L(z)
)
∆tz−1
1− z−1
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e∞ =
1
Kv
e Kv = lim
z→1
1− z−1
∆t
L(z)
Kv constante de erro de velocidade.
cont.
obs.1: Para erro nulo, o L(z) deve ter pelo menos dois po´los em 1.
obs.2: Sistemas Tipo I, possuem necessariamente erro nulo para entradas em
degrau.
• Refereˆncias em para´bola W (z) = ∆t
2(1 + z−1)z−1
2(1− z−1)3
e∞ = lim
z→1
(
1
1 + L(z)
)
∆t2(1 + z−1)z−1
2(1− z−1)2
e∞ =
1
Ka
e Ka = lim
z→1
(1− z−1)2
∆t2
L(z)
Ka constante de erro de acelerac¸a˜o.
v0 (2s/2003) 3-16
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• Em resumo:
Degrau Rampa Para´bola
Tipo 0 1/(1 +Kp) ∞ ∞
Tipo I 0 1/Kv ∞
Tipo II 0 0 1/Ka
v0 (2s/2003) 3-17
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4. Sensibilidade e Robustez
Sensibilidade
H(z)
u(z)w(z) y(z)
-
+
e(z) ++
+
+
++
+
+
C(z)
v(z) d(z)
n(z)
y(z) =
L
1 + L
w(z) +
H
1 + L
v(z) +
1
1 + L
d(z) +
−L
1 + L
n(z)
• A Func¸a˜o S(z) e´ denominada Func¸a˜o de Sensibilidade
S(z) =
1
1 + L(z)
, L(z) = C(z)H(z)
• T (z) e´ denominada Func¸a˜o de Sensibilidade Complementar
T (z) =
L(z)
1 + L(z)
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Note que S(z) + T (z) = 1.
• S(z) e´ tambe´m a func¸a˜ode transfereˆncia entre w(z) (refereˆncia) e e(z) (sinal
de erro).
• S(z) esta´ relacionado com o seguimento de trajeto´ria, e sob este enfoque e
tambe´m sob o ponto de vista de rejeic¸a˜o a` perturbac¸o˜es
⇒ e´ deseja´vel que S(z) ≈ 0, ∀ |z| = 1.
• T (z) esta´ relacionado com o efeito do ru´ıdo do sensor no sinal de sa´ıda e, sob
este enfoque
⇒ e´ deseja´vel que T (z) ≈ 0, ∀ |z| = 1.
• Existe um compromisso entre seguimento de trajeto´ria (S(z) ≈ 0 e T (z) ≈ 1)
e insensibilidade a ru´ıdos no sensor (S(z) ≈ 1 e T (z) ≈ 0).
⇒ S(z) ≈ 0 para baixas frequeˆncias e T (z) ≈ 0 para altas frequeˆncias.
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Bode Magnitude Diagram
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
Bode Magnitude Diagram
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
10−1 100 101
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
|S(z)| |T(z)| 
v0 (2s/2003) 3-20
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• Tomando como base a func¸a˜o L(z), tem-se:
- Se L(z)À 1, ⇒ S(z) ≈ 0 e T (z) ≈ 1,
- Se L(z)¿ 1, ⇒ S(z) ≈ 1 e T (z) ≈ 0
Bode Mag. Diagram of L(z)
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
Requisitos p/
Ruídos na
medida e
Incertezas 
no modelo Requisitos p/
Desempenho
e Errros em
regime 
permanente 
w
c
 
v0 (2s/2003) 3-21
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Sensibilidade a erros de modelagem (Robustez)
• Incertezas Multiplicativas: H0(z) = H(z)(1 + ∆m(z))
• Incertezas Aditivas: H0(z) = H(z) + ∆a(z)
Teorema: Seja Hmf (z) e H0,mf (z) o sistema em malha fechada (entrada
w(k) e sa´ıda y(k)) onde o processo e´ dado por H(z) e H0(z). O sistema em
malha fechada H0,mf (z) sera´ esta´vel se:
- Hmf (z) for esta´vel; H(z) e H0(z) tiverem o mesmo nu´mero de po´los fora
do c´ırculo unita´rio; e
∣∣∣∣∆a(z)H(z)
∣∣∣∣ = |∆m(z)| ≤ 1|T (z)| , ∀ |z| = 1
⇒ Quando menor for T (z) maior sera´ a margem para erros de modelagem do
sistema em malha fechada (estabilidade).
v0 (2s/2003) 3-22
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8. Estudos de Caso
8.1. Motor DC (Ex. A2)
• O sistema cont´ınuo: y(t): sinal de sa´ıda (posic¸a˜o angular) e u(t): sinal de
entrada (tensa˜o)
H(s) =
Y (s)
U(s)
=
1
s(s+ 1)
• Amostragem
H(z) =
Y (z)
U(z)
=
(∆t− 1 + e−∆t)z + (1− e−∆t −∆te−∆t)
(z − 1)(z − e−∆t)
v0 (2s/2003) 3-23
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• Assumindo a seguinte malha fechada
H(z)
u(z)w(z) y(z)
-+
K
e(z)
Se K ≈ 1, tem-se ∆t = 0.15 7→ H(z) = 0.0107079z + 0.0101858
z2 − 1.8607z + 0.8607
• Estabilidade em malha fechada de KH(z) (Jury)
G(z) =
KH(z)
1 +KH(z)
=
b1z + b2
z2 + a1z + a2
⇒ 0 < K < 13.67
v0 (2s/2003) 3-24
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• Diagrama de Bode (∆t = 0.15): A margem de ganho e´ 22.7dB e de fase e´
48.4o.(K = 1).
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ph
as
e 
(de
g)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−270
−225
−180
−135
−90
−80
−60
−40
−20
0
20
pi/dt 
wc 
w
m
g 
v0 (2s/2003) 3-25
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• Em regime permanente (malha fechada L(z) = KH(z))

Kp →∞ : ep = 0
Kv = K
1
∆t
0.0242752 = 0.1618K : ev =
6.18
K
Ka = 0 : ea →∞
v0 (2s/2003) 3-26
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• Desempenho em malha fechada (Lugar das Ra´ızes)
Root Locus
Real Axis
Im
ag
 A
xis
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
20.9
18.8
16.8
14.7 6.28
4.19
2.09
20.9
18.8
16.8
14.7
12.6 8.38
6.28
4.19
2.09
K=0.5 
K=13.7 
K = 0.5⇒ pmf = 0.905 + j0.095; zmf = −0.94
v0 (2s/2003) 3-27
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• Resposta (s.m.f.) a uma entrada em degrau (K = 0.5)
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Motor DC
sa
id
a
0 5 10 15
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
tempo [segundos]
co
n
tro
le
v0 (2s/2003) 3-28
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• As func¸o˜es de Sensibilidade e Sens. Complementar (C(z) = 0.5)
Bode Mag. Diagram |S(z)|
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
Bode Mag. Diagram |T(z)|
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
|S(z)| |T(z)| 
v0 (2s/2003) 3-29
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• Proposta de projeto PD: C(s) = K(1 + Tds).
ou C(z) = K
(
1 + Td
z − 1
z∆t
)
⇒
C(z) =
K(z − c)
z
= K(1− cz−1).
Kp =∞ e Kv = 0.1618K(1− c).
• Proposta de projeto PD: C(z) = 20(1− 0.75z−1). Kv e´ 10 × maior que no
caso anterior.
Root Locus: MotorDC + PD
Real Axis
Im
ag
 A
xis
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
20.9
18.8
16.8
14.7
12.6
10.5
8.38
6.28
4.19
2.09
20.9
18.8
16.8
14.7
12.6
10.5
8.38
6.28
4.19
2.09
K=20 
v0 (2s/2003) 3-30
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• Resposta (s.m.f.) a uma entrada em degrau0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
sa
id
a
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−5
0
5
10
15
20
co
n
tro
le
tempo [segundos]
v0 (2s/2003) 3-31
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• Margens de ganho/fase (c/ C(z)): 13.7dB e 51.2o.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ph
as
e 
(d
eg
)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−270
−225
−180
−135
−90
−60
−40
−20
0
20
40
w
c
 
w
mg 
v0 (2s/2003) 3-32
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• As func¸o˜es de Sensibilidade e Sens. Complementar
Bode Mag. Diagram |S(z)|
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
Bode Mag. Diagram |T(z)|
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
10−1 100 101
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
|S(z)| |T(z)| 
v0 (2s/2003) 3-33
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• Assuma a presenc¸a de perturbac¸o˜es no sistema
H(z)
u(z)w(z) y(z)
-
+
e(z) ++
+
+
++
+
+
C(z)
v(z) d(z)
n(z)
v0 (2s/2003) 3-34
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• Situac¸a˜o 1: Perturbac¸o˜es de carga na sa´ıda, e.g., d(k) e´ um degrau unita´rio
(t = 1 s)
0 5 10 15
−0.5
0
0.5
1
Sinais de saida: (a) K e (b) PD
(a)
0 5 10 15
−0.5
0
0.5
1
tempo [segundos]
(b
)
• Quando w → 0, |S| → 0
⇒ erro nulo em regime permanente para este tipo de perturbac¸a˜o.
v0 (2s/2003) 3-35
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
• Situac¸a˜o 2: Ru´ıdos na medida (sensor), e.g., n(k) e´ um sinal com frequeˆncia
w = 2 rad/s
0 5 10 15 20 25 30
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Sinais de saida: (a) K e (b) PD
(a)
0 5 10 15 20 25 30
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
tempo [segundos]
(b
)
• Na frequeˆncia do ru´ıdo, o ganho da func¸a˜o de sensibilidade complementar T
e´ 0.12 para C(z) = 0.5 e 1.2 para C(z)tipo PD.
• O ganho e´ similar em baixas e altas frequeˆncias, principal diferenc¸a esta´ na
largura de faixa.
v0 (2s/2003) 3-36
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
• Situac¸a˜o 3: Ru´ıdos na medida (sensor), e.g., n(k) e´ um sinal aleato´rio (me´dia
0, variaˆncia 0.5)
0 5 10 15
−2
0
2
Sinal de ruido (a) e sinais de saida: (b) K e (c) PD
(a)
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
(b
)
0 5 10 15
0
1
2
tempo [segundos]
(c)
v0 (2s/2003) 3-37
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
• Assuma que o processo real pode ser igual a
Hr =
(
1
s(s+ 1)
)(
s+ 10
s2 + 4s+ 10
)
⇒ ∆m(s) = s
2 + 3s
s2 + 4s+ 10
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
 A
xis
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
10 8 6 4 2
0.996
0.984
0.965 0.925 0.87 0.76 0.6 0.35
0.996
0.984
0.965 0.925 0.87 0.76 0.6 0.35
v0 (2s/2003) 3-38
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• Assuma que a lei de controle do segundo projeto, isto e´,
C(z) = 20(1− 0.75z−1)
• Resposta em frequeˆncia de 1
∆m
e
da func¸a˜o de sensibilidade complementar T
Bode Magnitude Diagram
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
∆
m
 
1 
T 
v0 (2s/2003) 3-39
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• Resposta ao degrau do sistema (real) em malha fechada
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
0 1 2 3 4 5 6
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
v0 (2s/2003) 3-40
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• Quando a lei de controle e´ C(z) = 0.5,
a resposta em frequeˆncia de
1
∆m
e
da func¸a˜o de sensibilidade complementar T e´
Bode Magnitude Diagram
Frequency (rad/sec)
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−1 100 101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
T 
∆
m
 
1 
v0 (2s/2003) 3-41
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
• Resposta ao degrau do sistema (real) em malha fechada
Step Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sistema nominal 
Sistema real 
v0 (2s/2003) 3-42
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• O segundo projeto, mais complexo, possui melhor desempenho no regime
transito´rio (+ ra´pido) e desempenho adequado no regime permanente
(entrada e pertubac¸a˜o). Para tanto, requer mais energia do mecanismo de
atuac¸a˜o. Entretanto, e´ mais sens´ıvel a` presenc¸a de ru´ıdos na medida e a´
presenc¸a de erros de modelagem (i.e., estabilidade: e´ insta´vel no exemplo
apresentado).
• O primeiro projeto, mais simples, possui melhor rejeic¸a˜o a` ru´ıdos na medida,
e´ mais robusto (possui maior margem para erros de modelagem) e requer
menos energia no sinal de controle. Pore´m, apresenta pior desempenho no
regime transito´rio. Possui desempenho adequado no regime permanente
(entrada e perturbac¸a˜o).
• Resumo
v0 (2s/2003) 3-43
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Desempenho 1: tipo P 2: tipo PD
transito´rio pior melhor
permanente (entrada) bom bom
robustez melhor pior
carga (baixa freq.) bom/pior bom/melhor
ruido (alta freq.) melhor pior
v0 (2s/2003) 3-44
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Exerc´ıcios
Computer Controlled Systems - Cap.3
• Exerc´ıcio 3.1
Confira suas respostas usando a calculadora ou o MATLAB.
• Exec´ıcio 3.2
Resposta: 0 < K < 0.705
• Exerc´ıcio 3.3
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.5
Resposta: x1(3) = 1 e x2(3) = 3
• Exerc´ıcio 3.6 (CD-II)
Resposta: E´ alcanc¸a´vel (Wc tem rank 2) e na˜o observa´vel (Wo tem rank 1).
• Exerc´ıcio 3.7 (CD-II)
Resposta: O sistema e´ alcanc¸a´vel quando a entrada e´ u(k). Pore´m, quando a
entrada e´ u′(k) o sistema na˜o e´ alcanc¸a´vel.
• Exerc´ıcio 3.8 (CD-II)
v0 (2s/2003) 3-45
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Resposta: (a) uma sequencia poss´ıvel e´ u(0) = u(1) = u(2) = 0.
(b) O nu´mero mı´nimo de passos para alcanc¸ar a origem e´ 2
(c) O sistema na˜o e´ alcanc¸avel, portanto na˜o e´ poss´ıvel levar o sistema para
qualquer ponto do espac¸o a partir da origem dada. O exemplo, o ponto [1 1 1]′ na˜o
faz parte do espac¸o de pontos poss´ıveis de serem alcanc¸ados pelo sistema, partindo
da origem dada.
• Exec´ıcio 3.11
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.12
Resposta: (a) Controle proporcional - ep =
0.5
K + 0.5
e ev =∞
(b) Controle com ac¸a˜o integral - ep = 0 e ev =
0.5
K
• Exerc´ıcio 3.13 (CD-II)
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.14
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.15
Resposta: ver notas de aula.
• Exerc´ıcio 3.16
v0 (2s/2003) 3-46
PPGEPS/CCET/PUCPR Prof. Gustavo Henrique da Costa Oliveira
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.18 (letras e e f , CD-II)
Respostas:
(a) Sim, caso (i).
(b) Sim, caso (i).
(c) Na˜o, caso (iii).
(d) Na˜o, caso (iii).
(e) Sim, caso (ii). (CD-II)
(f) Sim, caso (ii). (CD-II)
(g) Na˜o, caso (iii).
• Exerc´ıcio 3.19 (CD-II)
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.20
Resposta:
• Exerc´ıcio 3.21
Resposta: −0.6 < K < 1 e
v0 (2s/2003) 3-47