doc calculo exercício volumes e integrais duplas

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11ª Lista de Exercícios - INTEGRAIS DUPLAS
VOLUMES E INTEGRAIS DUPLAS
INTEGRAIS ITERADAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.
 Exemplo 1: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2]
2
R
1
y
0
3
x
Solução:==== == ou 
==== ==
O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura acima) 
Exemplo 2: Calcule , onde R = [1,2] x [0,]. 
Solução: 
Exemplo 3: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
Solução: 
Observemos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo
 R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura.
Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:
 
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por
y
y
R
x
D
D
0
x
0
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por
Cálculo da Integral Dupla sobre Regiões Planas Genéricas
Regiões planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja:
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
y = g2(x)
y = g2(x)
y = g2(x)
D
x
y
0
D
x
y
0
D
x
y
0
b
a
a
b
y = g1(x)
y = g1(x)
y = g1(x)
a
b
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
sempre que f for contínua em D.
Regiões planas inscritas em faixas horizontais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja:
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
x = h2(y)
x = h2(y)
0
y
x
D
0
y
x
D
y
0
x
d
x = h2(y)
d
d
D
x = h1(y)
c
c
x = h1(y)
c
x = h1(y)
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
sempre que f for contínua em D.
Exemplo 4: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
Solução: 				 x
y
–1
1
y = 2x2
y = 1 + x2
A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever:
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 }
Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:
Exemplo 5: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2.
Solução: 	D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto: D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x }
	
Assim, o volume é:
y = 2x
y = x2
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:
D = { (x,y) | 0 < y < 4, }
Portanto, o volume pode ser calculado como:
Exemplo 6: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
y2 = 2x + 6
Solução: 
y = x – 1
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:
[y2 = 2x + 6] [y = x – 1] e x = y + 1 y2 – 2y – 8 = 0
			 y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )
Portanto os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4).
Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva.
Assim, preferimos expressar D como:
D = { (x,y) | -2 < y < 4, < x < y + 1 }
Logo: 
Exemplo 7: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Solução: 	Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está.
	Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:
y
z
y
x
x = 2y
x + 2y + z = 2
(0, 0, 2)
(0, 1, 0)
(1, ½, 0)
T
x + 2y = 2
1
D
½ 
1
x
x = 2y
A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0.
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como:
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }.
Portanto o volume de T é:
Propriedades das Integrais Duplas:
1)
2), onde c é uma constantese D = D1 D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras.
3),
Exemplo 8: Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem , onde D é a região do plano xy limitada pelos gráficos de , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 
Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D.
y =3
x =/6
3
3y + x = 10
D
x = y2
y =1
/6
A região que tem como fronteira todas as curvas citadas é a parte sombreada do plano. Portanto essa é a região D. Assim, podemos descrevê-la de duas formas:
1) Inscrita na faixa vertical /6 x 4 e, nesse caso dividi-la em
	D1 = { (x,y) | /6 x 1, 1 y 3 } e
	D2 = { (x,y) | 1 x 4, }
2) Inscrita na faixa horizontal 1 y 3 e, nesse caso, dividi-la em
	D1 = { (x,y) | 1 y 2, /6 x y2 } e
	D2 = { (x,y) | 2 y 3, /6 x 10 – 3y }
Na forma 1), as integrais iteradas são:
Na forma 2), as integrais iteradas são:
Exercícios:
1) Calcule as integrais: 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j)
k) Resp: 252
l) 	 Resp: 10
m) , Resp: 0
n) 
o) 
p) , 
q) ,
r) 
s) , 
t) 
2) Sendo a região limitada pelas curvas ao lado de cada integral 
 i) coloque os limites 
 ii) calcule o valor da integral
a)_ e y = 
 entre y= 3 x² e y = 
c entre y = -3 x² e y = -
d entre y = - e y = 
e entre y = -4 x² e y = - 4x