Livro Pesquisa operacional

Prévia do material em texto

Pesquisa 
Operacional
Pesquisa Operacional
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia
Organizado por Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Rodrigo Dalla Vecchia
Obra organizada pela Universidade Luterana do Brasil. 
Informamos que é de inteira responsabilidade dos autores 
a emissão de conceitos.
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
por qualquer meio ou forma sem prévia autorização da 
ULBRA.
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido na Lei 
nº 9.610/98 e punido pelo Artigo 184 do Código Penal.
ISBN: 978-85-5639-122-3
Dados técnicos do livro
Diagramação: Jonatan Souza
Revisão: Igor Campos Dutra
Conselho Editorial EAD
Andréa de Azevedo Eick
Ângela da Rocha Rolla
Astomiro Romais
Claudiane Ramos Furtado
Dóris Gedrat
Honor de Almeida Neto
Maria Cleidia Klein Oliveira
Maria Lizete Schneider
Luiz Carlos Specht Filho
Vinicius Martins Flores
A disciplina de Pesquisa Operacional envolve aplicações da Matemáti-ca e da Modelagem Matemática no cotidiano de empresas. De modo 
geral, tratam-se de otimizações de processo por meio de recursos mate-
máticos e computacionais, visando à minimização de custos ou recursos, 
maximização de lucros, melhor alocação de recursos etc.
Ao todo, a disciplina é composta por 10 capítulos. No primeiro, intitu-
lado “Introdução à Pesquisa Operacional”, é apresentado um breve histó-
rico acerca das origens da Pesquisa Operacional. Além disso, faz-se uma 
explanação teórica acerca da MM, buscando uma compreensão do que 
é e como pode ser conduzida. Por fim, apresenta-se uma lista de alguns 
softwares e linguagens que comumente são utilizados para resolução de 
modelos.
O segundo capítulo trata de uma apresentação dos primeiros exemplos 
de Programação Linear, que consiste em um dos principais tópicos relacio-
nados à Pesquisa Operacional. Além da montagem do modelo, aborda-se 
a resolução por meio do processo gráfico.
O terceiro capítulo envolve a resolução de modelos matemáticos por 
meio do software Solver, que é um suplemento do Excel. A apresentação 
foca a compreensão da preparação da planilha Excel para que o Sol-
ver possa ser usado, bem como no reconhecimento e aplicação de seus 
recursos. A finalidade maior está no uso de problemas com uma maior 
quantidade de variáveis, que é justamente o foco do Capítulo 4. Neste 
último, são abordados a primeira parte de um conjunto de problemas mais 
elaborados, que envolvem mais do que duas variáveis e que, por esse 
Apresentação
Apresentação v
motivo, não podem ser resolvidos pelas mesmas técnicas gráficas apresen-
tadas no Capítulo 2. A segunda parte desse conjunto de exemplos envolve 
o Capítulo 5. Nele, é discutido o clássico problema da otimização de lucro 
de uma refinaria.
O sexto capítulo está relacionado a Problemas de Transporte. Esse tipo 
de problema consiste na busca por soluções que visam minimizar o custo 
de transporte unitário de produtos em várias situações. No capítulo pos-
terior, o sétimo, são discutidos problemas de Designação, que abarcam a 
melhor alocação de recursos. Nos casos abordados, a designação é única, 
isto é, cada recurso, se alocado, estará associado a uma única atividade.
O oitavo capítulo envolve a programação de projetos, como, por 
exemplo, a execução de uma obra, isto é, busca-se minimizar o tempo 
de conclusão de um conjunto de atividades que apresentam tempos es-
pecíficos de desenvolvimento e relações de precedência bem definidas. 
Com modelos semelhantes, mas que envolve problemáticas diferentes está 
o Capítulo 9, que aborda a otimização de rotas, buscando a minimização 
do trajeto final.
Por fim, apresenta-se a Teoria das Filas. No recorte dado a esse capí-
tulo, buscaremos recursos matemáticos que permitam compreender o fun-
cionamento de uma classe específica de filas. Diferentemente dos capítulos 
anteriores, o estudo matemático não é feito para otimizar o processo, mas 
sim para apresentar alguns indicadores na tomada de decisão.
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia
Doutor em Educação Matemática
 1 Introdução à Pesquisa Operacional .......................................1
 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica .............15
 3 Introdução à Programação Linear: Utilização do Solver 
para Solução de Modelos Lineares ......................................34
 4 Introdução à Programação Linear: Montagem e Solução 
de Problemas Aplicados Parte I ...........................................55
 5 Introdução à Programação Linear: Montagem e Solução 
de Problemas Aplicados Parte II ..........................................72
 6 Problemas de Transporte .....................................................87
 7 Problemas de Designação ...................................................99
 8 Problema de Programação de Projetos ..............................108
 9 Introdução à Otimização de Rotas .....................................118
 10 Teoria das Filas .................................................................130
Sumário
1
1 Doutor em Educação Matemática.
Introdução à Pesquisa 
Operacional
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo 1
2 Pesquisa Operacional
Introdução
Neste capítulo, apresentaremos um breve histórico acerca das 
origens da Pesquisa Operacional. Além disso, faremos uma ex-
planação teórica acerca da MM, buscando uma compreensão 
do que é e como pode ser conduzida. Por fim, apresentaremos 
uma lista de alguns softwares e linguagens que comumente 
são utilizados para resolução de modelos.
1.1 Histórico
Conforme Moreira (2007), o termo Pesquisa Operacional foi 
cunhado no ano de 1938, para descrever a atuação de cien-
tistas em análises de situações militares. Entretanto, foi ao lon-
go da Segunda Guerra Mundial que esse termo se consolidou. 
Nesse contexto histórico, a principal atuação desses cientistas 
esteve relacionada à alocação de recursos escassos às várias 
operações militares.
Com o término do conflito, a Pesquisa Operacional foi diri-
gida para âmbito civil, atingindo um grande crescimento até a 
década de 70. Isso possibilitou às grandes empresas resolve-
rem problemas relacionados à otimização logística, designa-
ção, misturas, alocação de recursos e outros. Entretanto, nessa 
época, a maioria dos modelos construídos para as situações 
despendia uma grande quantidade de cálculos manuais. Foi 
a partir da popularização dos computadores nos anos 70 que 
uma nova transformação ocorreu, possibilitando outro salto 
importante para a área. Segundo Moreira (2007, p. 2), “[...] 
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 3
cálculos longos e tediosos, impraticáveis para o ser humano, 
agora se tornavam comuns”.
Com a evolução computacional, esses recursos se tor-
naram mais comuns, possibilitando aos pesquisadores e às 
empresas aplicarem cada vez mais a Pesquisa Operacional 
no seu cotidiano. Atualmente, existe uma gama de recursos 
computacionais que pode contribuir de modo definitivo para o 
processo de resolução dos modelos construídos.
1.2 Conceito
Conforme Bronson (1985), a Pesquisa Operacional consiste 
em um processo que associa ciência e arte. Para esse autor, a 
esse campo de investigação
[...] diz respeito à alocação eficiente de recursos escassos 
e é tanto uma arte como uma ciência. A arte consiste 
na habilidade de exprimir os conceitos de eficiente e de 
escasso por meio de um modelo matemático bem defi-
nido para uma determinada situação; a ciência consiste 
na dedução de métodos computacionais para solucionar 
tais modelos. (BRONSON, 1985, p. 1)
1.3 Modelagem matemática
Um problema pode ser resolvido de muitos modos qualitati-
vamente distintos. Entretanto, os problemas associados à PO 
4 Pesquisa Operacional
são comumente encaminhados por meio da construção de 
modelos matemáticos.De modo simplificado, esse processo 
de construção de modelos matemáticos é chamado de Mode-
lagem Matemática (MM).
Um exemplo simples e clássico de modelagem matemática 
pode ser dado pela seguinte situação problema. Suponhamos 
que uma empresa deseja construir uma área restrita em seu 
pavilhão, de formato retangular e possui somente 90 metros 
de cordão de isolamento. Essa área pode ser construída de 
infinitas maneiras possíveis. Usando x para comprimento e y 
para largura, possíveis soluções para o problema são:
Caso I: x=15 e y=30
Caso II: x= 35 e y=10
Observamos que no Caso I temos uma área A, igual a 450 
metros quadrados, e no Caso II temos 350 metros quadra-
dos de área. Notadamente, há uma diferença considerável no 
valor das áreas, embora em ambos os casos usamos todo o 
comprimento do cordão de isolamento. Mas e se quiséssemos 
encontrar as dimensões que resultassem na maior área possí-
vel? Nesse caso, estamos falando de um problema matemáti-
co. Nosso objetivo é calcular a maior área possível. A expres-
são matemática resultante é A=x.y. Mas essa função possui 
uma restrição, dada pelo comprimento máximo de corda, que 
é 90. Desse modo, temos que os comprimentos dos quatro 
lados da área somados devem resultar em 90, isto é, x + x + 
y + y = 90, que simplificando resulta em 2.x + 2.y = 90. Na 
linguagem comumente usada em PO, chamamos a área de 
Função Objetivo (FO) e escrevemos:
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 5
Maximizar: A = x.y
Sujeito as Restrições
2.x +2.y = 90
x > 0
y > 0
Note que foram acrescentadas mais duas restrições, x > 0 
e y > 0, indicando que as duas dimensões devem ser positivas, 
pois o problema não admite valores negativos ou nulos para 
as dimensões. Essa estruturação matemática de um proble-
ma é apenas parte do processo de Modelagem Matemática. 
A partir de agora, é necessário resolver o problema. Várias 
técnicas podem ser usadas, Recursos computacionais, Cálculo 
Diferencial e Integral, Simplex, substituição da restrição na fun-
ção e aplicação de propriedade de funções são exemplos des-
sas técnicas que visam encontrar solução para a situação. No 
caso específico do exemplo, aprenderemos a resolver usando 
técnicas gráficas e também usando recursos computacionais. 
Por meio desses recursos, obteremos como solução x= 22,5 
e y = 22,5, o que resulta em uma área de 506,25 m2 (maior 
que as áreas mostradas no Caso I e no Caso II anteriormente). 
Em um processo normal de Modelagem Matemática, também 
é necessário verificar se o resultado encontrado é factível, isto 
é, se faz sentido para o problema ou se alguma hipótese sim-
plificou demais o problema, ou se foi negligenciada alguma 
restrição.
Com vistas a uma melhor compreensão de como esse pro-
cesso é definido e compreendido, apresentaremos algumas 
6 Pesquisa Operacional
visões de autores que teorizam sobre o assunto. Nesse sen-
tido, Kaiser, Schwarz e Tiedemann (2010) apresentam uma 
perspectiva geral de como ocorre a Modelagem Matemática. 
Nesse artigo, salientam que a MM tem como ponto de partida 
uma situação do mundo real. Essa situação é idealizada no 
sentido de que sua estrutura é simplificada criando o que os 
autores designam modelo do mundo real. A partir disso, esse 
modelo do mundo real é matematizado, isto é, é transforma-
do em uma situação matemática. As considerações matemá-
ticas produzem resultados matemáticos que são interpretados 
na situação real. A adequação desses resultados é checada 
(validada) e no caso de uma solução insatisfatória se inicia 
novamente todo o conjunto de etapas. Para compreender me-
lhor essas ideias, os autores apresentam uma descrição visual, 
dada pela Figura 1.
Figura 1 Descrição do Processo de Modelagem.
Adaptado de: Kaiser, Schwarz, Tiedemann (2010, p. 436, tradução minha)
Uma visão similar pode ser encontrada em Borromeu Ferri 
e Blum (2010), na qual a maneira como ocorre a Modela-
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 7
gem Matemática é vista como um ciclo e denotada por ciclo 
de modelagem (Figura 2). Nessa forma de conceber a MM, 
há um conjunto de passos que são seguidos e iniciam após 
a tarefa ser dada. O primeiro passo é, segundo os autores, 
imaginar a situação construindo um modelo para a mesma. 
Essa situação é simplificada, estruturada e idealizada, criando-
-se associações entre a situação investigada e a matemática. 
Após essa idealização, a estrutura é vista sob o ponto de vista 
da matemática e trabalhada matematicamente até encontrar 
resultados, também matemáticos. Esses resultados são inter-
pretados na situação real, sendo validados ou não. Se não 
forem validados, o ciclo recomeça; caso contrário, o processo 
se encerra com a exposição do resultado obtido.
Figura 2 Ciclo de modelagem sob uma perspectiva cognitivista.
Adaptado de: Borromeu Ferri, Blum (2010, p. 426)
No cenário nacional, Bassazezi (2004) é um dos autores 
que se destaca. Esse autor defende que a Modelagem Mate-
mática pode ser entendida como: “[...] um processo dinâmico 
8 Pesquisa Operacional
utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáti-
cos. É uma forma de abstração e generalização com a fina-
lidade de previsão e tendências”. Em sua visão, a MM passa 
por uma série de etapas, a saber: Experimentação, Abstração, 
Resolução, Validação e Modificação.
Conforme o autor, a Experimentação consiste na atividade 
de obtenção dos dados para a Modelagem Matemática. Os 
métodos experimentais são escolhidos de acordo com a na-
tureza da situação investigada. A segunda etapa definida por 
Bassanezi (2004) é chamada de Abstração e subdividida em 
quatro fases, iniciando pela seleção de variáveis. Essa consiste 
no processo de separação e definição clara das variáveis re-
levantes para construção do modelo. A segunda fase diz res-
peito à problematização, que está relacionada à formulação 
do problema teórico em uma linguagem clara, compreensível, 
operacional e específica da área em que se está trabalhando. 
Após a problematização, tem-se a formulação de hipóteses, a 
qual consiste nas suposições acerca das manifestações empíri-
cas específicas do fenômeno ou situação investigada. Confor-
me Bassanezi (2004, p. 28), essas hipóteses “[...] se referem à 
frequência da inter-relação entre as variáveis, observada expe-
rimentalmente (hipóteses observacionais)”. Como última fase 
da etapa de abstração, apresentam a simplificação. Devido à 
complexidade de detalhes que podem envolver um fenômeno, 
é necessário restringir e isolar o campo de estudo que mais 
se aproxima da situação investigada, de tal forma que os ele-
mentos matemáticos sejam tratáveis e cuja aproximação com 
o fenômeno seja relevante.
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 9
A terceira etapa da Modelagem Matemática consiste na 
Resolução, isto é, na busca de uma solução para o problema. 
Bassanezi (2004, p. 30) entende que “A resolução de modelos 
é uma atividade própria do matemático, podendo ser comple-
tamente desvinculada da realidade modelada”. Após a deter-
minação da solução, é necessário validá-la, isto é, partir para 
a quarta etapa denotada por Validação. Essa diz respeito à 
aceitação ou não do modelo proposto. Para tanto, Bassanezzi 
(2004) sugere que os modelos e as hipóteses sejam testados 
de forma comparativa com os dados empíricos. Como critério 
de validação, adota-se um determinado grau de aproximação 
desejado.
A quinta e última etapa é chamada de Modificação, na 
qual são analisados os aspectos ligados à situação investiga-
da. Caso haja alguma rejeição ou não aceitação do modelo, 
conduzindo a previsões incorretas ou que discordam de al-
guma forma da intuição, é necessário que sejam feitas alte-
rações. Essas alterações podem reconduzir todo processo ou 
etapas deste apenas. É interessante salientar que, mesmo que 
haja uma validaçãodo modelo, é possível que este seja refor-
mulado. Nesse sentido, Bassanezi (2004, p. 31) afirma que: 
“Nenhum modelo deve ser considerado definitivo, podendo 
sempre ser melhorado”. A ideia de melhoramento está relacio-
nada à ideia de “bom modelo”, levantada em dois momentos: 
um relacionado à capacidade de previsão e outro relacionado 
à criação de novos modelos. Conforme o próprio autor, tem-
-se em um primeiro momento que um bom modelo é “[...] 
aquele que tem a capacidade de previsão de novos fatos ou 
relações insuspeitas” (BASSANEZI, 2004, p. 30) e, posterior-
mente, afirma que “[...] um bom modelo é aquele que propicia 
10 Pesquisa Operacional
a formulação de novos modelos” (BASSANEZI, 2004, p. 31). 
Dessa forma, pode-se observar que o método defendido por 
esse autor busca um melhoramento constante, dado pela di-
nâmica que envolve a construção de modelos mais adequados 
ao propósito desejado, cuja medição é dada pelo aumento da 
capacidade de previsão.
Por meio das visões apresentadas nessa seção, é possível 
compreender que o processo de Modelagem Matemática e, 
consequentemente, os processos associados à Pesquisa Ope-
racional, formam um conjunto de ações que envolvem não so-
mente um sólido conhecimento em Matemática, mas também 
um processo no qual é necessário o espírito investigativo.
1.4 Principais softwares
Salvo raras exceções, a construção de um modelo matemático 
em PO envolve uma grande quantidade de variáveis. Apesar 
de existirem alguns métodos como o Simplex, que permite en-
contrar soluções ótimas para um modelo linear com restrições 
também lineares, esse é um processo lento, que pode durar 
horas, dias ou semanas, dependendo da quantidade de variá-
veis. Felizmente, atualmente é possível contar com um grande 
número de softwares que auxiliam na busca de soluções ade-
quadas. Dentre todos, destacamos o Solver do Excel, software 
LINDO e a Linguagem R.
O Solver é um complemento de Excel e será o principal 
software trabalhado neste livro. Trata-se de uma ferramenta 
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 11
muito utilizada e de fácil acesso que permite trabalhar com 
Programação Linear e Programação Não Linear, abrangendo 
inclusive soluções inteiras e binárias. Possui uma capacidade 
máxima de 300 variáveis e 150 restrições.
Outro software muito conhecido é o construído pela What’s 
Best, da LINDO. Este também é usado como um suplemento 
no Excel e possui funcionalidades semelhantes ao do Solver, 
apresentando, porém, uma interface mais intuitiva. A Lindo 
trabalha também com outros dois softwares, o LINGO e o LIN-
GO API, que apresentam uma interface própria e possui um 
poder computacional maior.
Essa linguagem foi criada originalmente para trabalhar 
com estatística e construir gráficos. Foi desenvolvida colabo-
rativamente por diversas pessoas em vários locais do mundo. 
Apesar de ser conhecida há muitas décadas, sua relevância 
têm aumentado nos últimos anos, principalmente devido à sua 
potencialidade frente aos desafios de Big Data. Além de ser 
uma linguagem livre, apresenta como diferencial sua poten-
cialidade frente a problemas com um grande número de variá-
veis. Sua maior limitação está relacionada à sua interface, que 
trabalha praticamente com linguagens de comando.
1.5 Assuntos trabalhados
São muitos os assuntos que a Pesquisa Operacional abarca. 
Serão focados neste livro tópicos considerados basilares. Em 
suma, serão abordados aspectos referentes à Programação Li-
12 Pesquisa Operacional
near. Em um primeiro momento, serão trabalhados exemplos 
básicos envolvendo uma resolução visual, por meio da cons-
trução de gráficos. Em seguida, será feito um aprofundamento 
no uso de recursos computacionais. Em particular, será abor-
dada a resolução de problemas via o suplemento Solver, do 
Excel. A partir disso, serão discutidos, além de exemplos mais 
elaborados, Problemas de Transporte, Problema de designa-
ção, Otimização de tarefas, Introdução à otimização de rotas 
e Teoria das Filas.
Recapitulando
A Pesquisa Operacional (PO) surgiu em 1938 no âmbito mi-
litar, e sua consolidação se deu ao longo da Segunda Guer-
ra Mundial. Outro marco importante no avanço da PO foi o 
acesso às Tecnologias Informáticas, que possibilitou às empre-
sas trabalharem em seus problemas com esses recursos.
Conforme Bronson (1985), a PO trata da alocação eficien-
te de recursos escassos. Para isso, faz uso de formulações ma-
temáticas, havendo uma intersecção com o processo de Mo-
delagem Matemática. Dentre os pesquisadores que tratam de 
MM, destacamos Bassanezi. Segundo esse autor, a MM passa 
por uma série de etapas, a saber: Experimentação, Abstração, 
Resolução, Validação e Modificação.
Alguns dos softwares e linguagens usados em PO são o 
Solver, que é um suplemento do Excel, What’s Best, que tam-
bém trabalha com a interface do Excel e a linguagem R.
Capítulo 1 Introdução à Pesquisa Operacional 13
Referências
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com Modelagem 
Matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, 2004.
BORROMEO FERRI, R.; BLUM, W. Insights into Teachers’ Un-
conscious Behaviour in Modeling Contexts. In: LESH, R.; 
GALBRAITH, P.; HAINES, C. R.; HURFORD, A. (Org.). Mo-
deling Students’ Mathematical Modeling Competen-
ces. New York: U.S.A., Springer, 2010.
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-
-Hill do Brasil, 1985.
KAISER, G.; SCHWARZ, B., TIEDEMANN, S. Future Teachers’ 
Professional Knowledge on Modeling. In: LESH, R.; GAL-
BRAITH, P.; HAINES, C. R.; HURFORD, A. (Org.). Modeling 
Students’ Mathematical Modeling Competences. New 
York: U.S.A., Springer, 2010.
MOREIRA, A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São 
Paulo: Thomson Learning, 2007.
Atividades
 1) Quais foram os marcos da Pesquisa Operacional?
 2) Que procedimentos devem ser levados em consideração 
para se desenvolver projetos que envolvam o uso de Pes-
quisa Operacional?
14 Pesquisa Operacional
 3) Quais são os principais softwares para trabalhar com Pes-
quisa Operacional?
 4) Qual a relação existente entre Pesquisa Operacional e 
Modelagem Matemática?
 5) O que é Pesquisa Operacional?
Introdução à 
Programação Linear: 
Solução Gráfica
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo 2
1
1 Doutor em Educação Matemática.
16 Pesquisa Operacional
Introdução
Neste capítulo, traremos uma apresentação dos primeiros 
exemplos de Programação Linear, que consiste em um dos 
principais tópicos relacionados à Pesquisa Operacional. Além 
da montagem do modelo, aborda-se a resolução por meio do 
processo gráfico.
2.1 Programação linear
De modo geral, a Programação Linear se constitui em uma 
Função Objetivo z , linear, que pode ser maximizada ou mi-
nimizada e possui um conjunto de restrições também lineares 
que se constituem por equações ou inequações. Em termos 
matemáticos, tem-se:
∑
=
=
n
i
ii xaz
1
Sujeito a equações e inequações que podem assumir a forma:
∑
=
≤
m
j
jjj dxc
1 e/ou 
∑
=
=
p
l
lll fxe
1 e/ou 
∑
=
≥
q
k
kkk hxg
1
onde
n é o número de incógnitas
ix são as variáveis consideradas
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 17
Rhgfedca kklljji ∈,,,,,,
nqnm ≤,,
Deseja-se, nesse tipo de situação, encontrar uma solução 
que atenda todas as restrições e, ao mesmo tempo, maximize 
ou minimize a Função Objetivo. Um exemplo matemático des-
se tipo de situação é o seguinte problema:
EXEMPLO 1
Função Objetivo: Maximizar yx 23 +
Sujeito a:
Para contextualizar o processo de construção da Função 
Objetivo e das restrições, apresenta-se outro exemplo inspira-
do em Moreira (2007), que associa essas ideias matemáticas 
a uma situação problema.
EXEMPLO 2
A empresa EVDOM Ltda. produz dois tipos de peças paratra-
tores agrícolas, o tipo A e o tipo B. Para produzir cada uma 
dessas peças, são necessários dois processos distintos, o que 
exige duas máquinas diferentes. A primeira máquina (M1) tem 
disponibilidade de tempo de 240 horas para esses dois pro-
dutos. A segunda máquina (M2) disponibiliza 160 horas para 
18 Pesquisa Operacional
os dois produtos. A produção do produto A gasta 4 horas em 
cada uma das máquinas. A produção do produto B gasta seis 
horas na primeira máquina e duas horas na segunda máqui-
na. O produto A é vendido com um lucro de R$ 800,00 a 
unidade. Já o produto B resulta em um lucro para a empresa 
de R$ 600,00 cada unidade. Qual é o número de peças do 
tipo A e do tipo B que se deve produzir para maximizar o lucro 
da empresa?
SOLUÇÃO:
A solução é composta de duas etapas. A primeira é a mate-
matização dos dados, colocando-os na forma de um modelo 
matemático. Em outras palavras, a Função Objetivo e as res-
trições são determinadas. A segunda etapa consiste na busca 
por uma solução ao modelo proposto.
ETAPA I DA SOLUÇÃO: determinação da Função Objetivo 
e das restrições.
O primeiro passo para a resolução do problema é a de-
terminação do número de variáveis do problema. Na especifi-
cidade da situação, existem apenas duas variáveis, que são o 
número de peças do tipo A e do tipo B que serão produzidas. 
Chamaremos de x a quantidade de peças do tipo A e y a 
quantidade de peças do tipo B.
Tendo determinado o número de variáveis, parte-se para 
a construção da Função Objetivo, que é maximizar o lucro. 
Como cada uma das peças do tipo A gera um lucro de R$ 
800,00, e cada peça do tipo B gera um lucro de R$ 600,00, 
temos que a Função Objetivo pode ser dada pela expressão:
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 19
Maximizar yx 600800 +
No que diz respeito às restrições do problema, estas estão 
relacionadas ao tempo disponível de cada uma das máquinas. 
A primeira máquina (M1) tem 240 horas para a produção de 
cada uma das peças, enquanto que a segunda máquina (M2) 
tem apenas 160 horas. Ainda há a necessidade de associar o 
tempo de produção de cada produto em cada máquina. Uma 
das formas de organizar os dados é por meio de tabelas, re-
lacionando os produtos com as máquinas. É desejável que as 
restrições componham as linhas dessa tabela, conforme segue:
Horas da Peça A 
em Cada Máquina
Horas da Peça B 
em Cada Máquina
Restrição da 
Máquina em horas
M1 4 6 240
M2 4 2 160
Para se construir as equações e inequações relacionadas à 
restrição, é preciso se preocupar como cada uma das peças 
“gasta” as horas de cada uma das máquinas. Em relação à 
M1, cada peça do tipo A ocupa 4 horas de montagem, en-
quanto cada peça do tipo B ocupa seis horas para ser mon-
tada. Associando essas informações ao contexto matemático, 
pode-se escrever que as horas ocupadas pela primeira máqui-
na podem ser descritas por:
yx 64 +
Entretanto, há uma restrição de 240 horas para a M1. Por-
tanto, não se pode atribuir aleatoriamente valores de produ-
ção para as variáveis x (da peça A) e y (da peça B), uma vez 
que o resultado poderia ultrapassar o limite de horas que a M1 
20 Pesquisa Operacional
comporta. Desse modo, para quaisquer candidatos a valores 
de x e y, a expressão yx 64 + não deve ultrapassar o valor 
máximo permitido, que é de 240 horas, isto é, deve ser menor 
ou igual a 240 horas. Assim, obtemos a seguinte expressão da 
restrição:
24064 ≤+ yx
Para a segunda máquina, a peça do tipo A ocupa quatro 
horas, enquanto a peça do tipo B ocupa 2 horas. A disponibi-
lidade máxima de M2 é de 160 horas. Seguindo um raciocínio 
análogo à primeira restrição, obtém-se:
16024 ≤+ yx
Além das restrições explícitas do problema em si, existem 
duas restrições implícitas, nomeadas de condições de não 
negatividade. Como o resultado do modelo construído deve 
abarcar a quantidade de peças do tipo A (variável x) e a quan-
tidade de peças do tipo B (variável y), não faz sentido trabalhar 
com números negativos. Portanto, todas as soluções devem 
ser compostas por números positivos. Em termos matemáticos, 
essa condição pode ser obtida pelas inequações:
0
0
≥
≥
y
x
Por simplificação, costuma-se escrever as condições de 
não negatividade da seguinte forma:
0, ≥yx
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 21
Reunindo-se todas as informações, temos o seguinte mo-
delo matemático:
FO: Maximizar yx 600800 +
Sujeito a:
24064 ≤+ yx
16024 ≤+ yx
0, ≥yx
ETAPA II DA SOLUÇÃO: solução do modelo matemático.
Existem vários modos de resolver o modelo matemático 
construído. Usaremos, nesse primeiro momento, a solução 
gráfica. Nesse método, primeiro traçam-se os gráficos das 
funções associadas às inequações ou equações que formam 
as restrições em um único plano cartesiano. Dessa forma, ob-
tém-se uma região em comum a todas as áreas (intersecção 
entre as áreas). A solução será um dos pontos pertencentes a 
essa região. Porém, como se trata apenas de funções lineares, 
existe um teorema matemático que garante que os valores de 
x e y que geram o máximo ou o mínimo da Função Objetivo 
nessa região podem ser encontrados nos pontos que formam 
os vértices da região poligonal obtida. Assim, basta identificar 
esses pontos e substituí-los na Função Objetivo. Como deseja-
-se maximizar a solução, escolhe-se o ponto que gera o maior 
valor dentre os encontrados.
Para compreender melhor esse processo, passemos aos 
cálculos, iniciando pela construção de cada um dos gráficos 
associados às restrições.
22 Pesquisa Operacional
Partimos da expressão 24064 ≤+ yx . Sugere-se, em um 
primeiro momento, que se substitua a desigualdade por uma 
igualdade, obtendo a equação 24064 =+ yx . Dessa forma, 
encontra-se o gráfico que delimita a região formada pela ine-
quação. Como a expressão 24064 =+ yx constitui-se em uma 
reta no plano (é uma função linear de y em função de x), 
bastam dois pontos para expressá-las. Aconselha-se que, sem-
pre que possível, sejam encontrados os pontos de intersecção 
dessa reta com os eixos coordenados. Para tanto, basta saber 
o valor de x tal que 0=y e o de y tal que 0=x . Entende-se 
que um modo prático de obter tais valores é usar o comum 
método tabular para construção de gráficos, preenchendo a 
seguinte tabela:
x y
0
0
Para encontrar o valor de y quando x é zero, basta substituir 
o valor de x por zero na equação 24064 =+ yx , obtendo o 
seguinte valor:
Dessa forma, a tabela começa a ser preenchida, obtendo-se:
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 23
x y
0 40
0
Para encontrar o outro ponto, basta substituir o valor de y 
por zero na equação:
Assim, temos a tabela completa, dada por:
x Y
0 40
60 0
Com essa informação, é possível traçar os pontos no plano 
cartesiano e construir o seguinte gráfico:
24 Pesquisa Operacional
É importante que sejam feitas duas observações. A primei-
ra é que, devido às condições de não negatividade, o gráfico 
deve ser expresso apenas no primeiro quadrante, uma vez que 
qualquer outro quadrante admitiria valores negativos tanto 
para x quanto para y.
O segundo aspecto importante é que não se pode con-
fundir esse gráfico (dado pela equação 24064 =+ yx ) com 
a região formada pela inequação 24064 ≤+ yx . Para repre-
sentar essa região, deve-se admitir o gráfico construído como 
limite (ou contorno) da mesma, considerando também todas 
as infinitas retas que são “menores ou iguais” a esse contorno. 
Desse modo, a região formada pela inequação encontra-se 
“abaixo da reta” e pode ser visualizada pela figura que segue, 
destacada em azul.
Novamente, destaca-se que a região ocupa apenas o pri-
meiro quadrante, devido às condições de não negatividade. 
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear:Solução Gráfica 25
Fazendo um procedimento análogo para a segunda restrição 
( 16024 ≤+ yx ), obtém-se a seguinte região a seguir, eviden-
ciada em vermelho.
Para continuar o processo de construção da solução, é ne-
cessário sobrepor as duas áreas, indicando a região de inter-
secção das mesmas. Nos gráficos a seguir, a intersecção entre 
as duas áreas está indicada em verde.
26 Pesquisa Operacional
A partir disso, necessita-se identificar os pontos extremos 
da região de intersecção das regiões. No caso específico do 
problema trabalhado, o gráfico nos mostra que estes são 
constituídos pelos pontos (0,0), (0,40), (40,0) e pelo ponto que 
está na intersecção entre as duas retas, conforme destaque da 
figura a seguir:
Dos quatro pontos que formam a região, três já são conhe-
cidos. Resta encontrar o ponto que está na intersecção entre as 
retas que formam parte do contorno da região. Como se trata 
do ponto que é comum a duas retas, basta resolver o sistema 
formado pelas equações das mesmas. Esse processo pode ser 
visualizado a seguir:
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 27


=+
=+
16024
24064
yx
yx
Dividindo-se ambas as equações por 2, para facilitar o 
processo, temos:
Isolando y na segunda equação, obtém-se . 
Substituindo na primeira equação:
Substituindo-se em , tem-se:
Sendo assim, o ponto de intersecção entre as duas retas 
é (30,20). De posse desse dado, concluímos a listagem de 
todos os quatro pontos que formam a região de intersecção 
entre as duas regiões, que são (0,0), (0,40), (40,0) e (30,20). 
28 Pesquisa Operacional
A partir disso, considera-se um importante teorema matemá-
tico, que afirma que a solução ótima para o problema está 
em um dos pontos extremos da região de intersecção entre os 
gráficos. Isso quer dizer que para encontrar a solução, basta 
substituir esses pontos na Função Objetivo. Dentre os valores 
obtidos, aquele que resultar no valor máximo é o que satisfaz 
o problema. Com efeito, sendo a Função Objetivo dada por 
yx 600800 + , tem-se:
Para o ponto (0,0): 00.6000.800 =+
Para o ponto (0,40): 
Para o ponto (40,0): 
Para o ponto (30,20): 
Observa-se, por meio desses cálculos, que o ponto (30,20) 
é o que maximiza a Função Objetivo, uma vez que resulta no 
maior valor (R$ 36.000,00). Desse modo, temos que a solu-
ção para o problema é fabricar 30 unidades do produto A e 
20 unidades do produto B.
Recapitulando
De modo geral, a Programação Linear se constitui em uma 
Função Objetivo z , linear, que pode ser maximizada ou mi-
nimizada, e possui um conjunto de restrições também lineares 
que se constituem por equações ou inequações. Em termos 
matemáticos, tem-se:
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 29
∑
=
=
n
i
ii xaz
1
Sujeito a equações e inequações que podem assumir a for-
ma:
∑
=
≤
m
j
jjj dxc
1 e/ou 
∑
=
=
p
l
lll fxe
1 e/ou 
∑
=
≥
q
k
kkk hxg
1
onde
n é o número de incógnitas
ix são as variáveis consideradas
Rhgfedca kklljji ∈,,,,,,
nqnm ≤,,
Um exemplo de Programação Linear pode ser dado por:
FO: Maximizar yx 600800 +
Sujeito a:
24064 ≤+ yx
16024 ≤+ yx
0, ≥yx
Esse problema pode ser resolvido pelo método visual. Bas-
ta fazer o gráfico das regiões dadas pelas inequações das 
restrições. Os candidatos a máximo (ou mínimo) da Função 
Objetivo são os pontos que formam os vértices da região que 
constitui a intersecção de todas as regiões encontradas.
30 Pesquisa Operacional
Para encontrar a solução final, basta substituir os pontos 
encontrados na Função Objetivo e selecionar o máximo (ou o 
mínimo, dependendo do problema). No caso do exemplo, a 
solução é o ponto (30,20).
Referências
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à Pesquisa 
Operacional no Ambiente de Gestão. Curitiba: IBPEX, 
2010.
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-
-Hill do Brasil, 1985.
COLIN, E. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de 
Decisões. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MOREIRA, A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São 
Paulo: Thomson Learning, 2007.
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2007.
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 31
Atividades
 1) (MOREIRA, 2007, p. 56) Uma empresa do ramo de con-
fecções está considerando quanto deve produzir de seus 
dois modelos de terno, denominados Executivo Master e 
Caibem, de forma a maximizar o lucro. Será impossível fa-
bricar quanto se queira de cada um dos modelos, porque 
existem limitações nas horas disponíveis para a costura e 
o acabamento, as duas operações básicas na fabricação. 
No caso da costura, há apenas 180 horas-máquina dispo-
níveis, enquanto para o acabamento, que é feito manual-
mente, haverá, no máximo, 240 homens-hora. Em termos 
de lucro unitário e produção, os dois modelos apresentam 
as seguintes características:
Executivo Master
 Â lucro unitário: R$ 120,00
 Â horas-máquina de costura por unidade: 2
 Â homens-hora de acabamento por unidade: 2
Caibem
 Â lucro unitário: R$ 70,00
 Â horas-máquina de costura por unidade: 1
 Â homens-hora de acabamento por unidade: 4
Pede-se:
32 Pesquisa Operacional
a) formular o problema como um modelo de programa-
ção linear;
b) resolver graficamente o problema.
 2) (BRONSON, 1985, p. 7) Um carpinteiro possui 6 peças de 
madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccio-
nar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito 
bem no ano passado, de maneira que ele se limitou a 
esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças 
de madeira e 7 horas de trabalho, enquanto o modelo II 
necessita de 1 peça de madeira e 8 horas de trabalho. Os 
preços do modelo são, respectivamente, 120 dólares e 80 
dólares. Quantos biombos de cada modelo o carpintei-
ro deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido 
com as vendas?
 3) (LACHTERMACHER, 2009, p. 26) A empresa Have Fun 
S.A. produz uma bebida energética muito consumida pelos 
frequentadores de danceterias noturnas. Dois componen-
tes utilizados na preparação da bebida são soluções com-
pradas de laboratórios terceirizados – solução Red e solu-
ção Blue – que proveem os principais ingredientes ativos 
do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia 
quer saber quantas doses de 10 ml de cada solução deve 
incluir em cada lata da bebida para satisfazer às exigên-
cias mínimas padronizadas de 48 g de extrato de guaraná 
e 12 g de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo 
de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma-
-padrão também prescreve que a quantidade de cafeína 
seja de, no máximo, 20 g por lata. Uma dose da solução 
Capítulo 2 Introdução à Programação Linear: Solução Gráfica 33
Red contribui com 8 g de extrato de guaraná e 1 g de ca-
feína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 
6 g de extrato de guaraná e 2 g de cafeína. Uma dose de 
solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue 
custa 0,08. Resolva pelo método gráfico.
 4) Resolva graficamente o seguinte problema de programa-
çao Linear.
Maximizar yx +3
Sujeito a:
0, ≥yx
 5) Resolva graficamente o seguinte problema de programa-
çao Linear.
FO: Minimizar yx +2
Sujeito a:
0, ≥yx
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo ?
1
1 Doutor em Educação Matemática.
Introdução à 
Programação Linear: 
Utilização do Solver 
para Solução de 
Modelos Lineares
Introdução à Programação Linear: Utilização...
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo 3
1
1 
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 35
Introdução
O terceiro capítulo do presentelivro envolve a resolução de 
modelos matemáticos por meio do software Solver, que é um 
suplemento do Excel. A apresentação foca a compreensão da 
preparação da planilha Excel para que o Solver possa ser usa-
do, bem como o reconhecimento e aplicação de seus recur-
sos. A finalidade maior está no uso de problemas com uma 
maior quantidade de variáveis.
3.1 O uso de recursos tecnológicos 
para resolução de modelos de 
programação linear
Conforme Moreira (1997), o uso de recursos computacionais 
potencializou as aplicações da Pesquisa Operacional. No atu-
al contexto histórico, existe uma gama grande de softwares 
que possibilitam a resolução de modelos matemáticos lineares 
e não lineares. Dentre eles, destaca-se o suplemento Solver 
da planilha Excel. Esse recurso, além de fácil manuseio e fácil 
acesso, apresenta ferramentas poderosas, possibilitando a in-
clusão e centenas de variáveis.
Por apresentar essa praticidade, o suplemento Solver será 
o programa padrão utilizado nos exercícios desse e dos próxi-
mos capítulos. Nas seções que seguem, serão apresentadas as 
informações necessárias para utilizá-lo em problemas envol-
vendo a Programação Linear.
36 Pesquisa Operacional
3.2 Instalando o suplemento
Os passos para instalação do Solver do Excel são os seguintes:
1. Clicar no Botão Office do Excel
2. Clicar em “Opções do Excel”
3. Na nova janela que se abrirá, clicar em “Suplementos”
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 37
4. Clicar em “Ir”, na parte inferior da janela
5. Na nova janela que abrirá, marcar o suplemento solver 
e clicar em “OK”.
38 Pesquisa Operacional
6. Após clicar em “OK”, aparecerá a mensagem “Microsoft 
Office Excel não pode executar este suplemento. Este re-
curso não está instalado no momento. Deseja instalá-lo 
agora?”. Clique na Opção “Sim”.
7. Depois de feita essa instalação, o Solver poderá ser 
acessado na aba “dados”.
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 39
3.3 Preparando a planilha Excel 
para resolver um problema de 
programação linear
Para utilizar o Solver para resolver um problema de Progra-
mação Linear, é necessário primeiro organizar os dados e as 
funções na planilha Excel. Como forma de contextualizar o 
processo, serão utilizados os mesmos dados do Exemplo 2 do 
primeiro módulo (Capítulo 1), que versava sobre quantidade 
de produtos.
Para iniciar a explicação, expõe-se, na planilha Excel, a ta-
bela formada no processo de resolução do Exemplo 2, que re-
laciona as horas de cada peça em cada máquina e a restrição 
de horas. Além dos aspectos usados anteriormente, optou-se 
por acrescentar os valores que cada uma das peças resulta de 
lucro.
40 Pesquisa Operacional
É importante salientar que não há necessidade de se esco-
lher alguma célula ou um conjunto de células em específico 
para utilizar o Solver. A organização fica por conta de quem 
está construindo a planilha.
Para continuar o processo de organização para utilização 
do Solver, na resolução do problema, é preciso relembrar o 
modelo construído:
FO: Maximizar yx 600800 +
Sujeito a:
24064 ≤+ yx
16024 ≤+ yx
0, ≥yx
Como o modelo matemático possui duas variáveis, é pre-
ciso expressá-las na planilha. Para tanto, basta separar duas 
células que serão assumidas como tais. Na especificidade do 
exemplo, foram escolhidas as células A9 e B9 destacadas em 
azul na figura a seguir.
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 41
A partir disso, parte-se para a construção da Função Objeti-
vo, formada pela expressão matemática yx 600800 + . Deve-se 
selecionar uma célula qualquer para escrever essa expressão. 
Observa-se na figura anterior que o número oitocentos está na 
célula G4, a variável x está na célula 9A, o número 600 está 
na célula H4 e a variável y está na célula B9. Lembrando que 
as operações básicas no Excel são soma (+), subtração (-), 
multiplicação (*), divisão (/) e potenciação (^), pode-se cons-
truir a fórmula yx 600800 + com a expressão G4*A9+H4*B9. 
Cabe lembrar que no Excel toda fórmula deve estar dentro de 
parênteses, precedida do símbolo da igualdade, ficando da 
seguinte forma: =(G4*A9+H4*B9). Na planilha construída, a 
Função Objetivo foi colocada na célula D10, em verde.
Para as restrições, procede-se de forma análoga. A princi-
pal diferença é que o conjunto de restrições se mostra compos-
ta por equações (igualdades) e inequações (desigualdades). 
Para colocá-las no Excel, é necessário construir em cada célu-
la somente a parte que contempla as variáveis. Por exemplo, 
42 Pesquisa Operacional
na restrição 24064 ≤+ yx , constrói-se apenas a expressão 
yx 64 + , que na notação do Excel fica =(C4*A9+D4*B9). 
Note que C4 é o número de horas que a peça A precisa ser 
processada pela máquina M1, A9 é a variável x, D4 é o núme-
ro de horas que a peça B precisa para ser processada e B9 é 
a célula que corresponde à variável y. Essa etapa do processo 
pode ser observada na figura que segue:
Um aspecto importante de ser ressaltado é que a restrição 
de 240 horas já se encontra na planilha, na célula E4, e será 
associada à expressão yx 64 + somente por meio do uso do 
Solver, que será visto posteriormente.
Voltando ao problema, a parte que envolve as variáveis da 
segunda restrição ( yx 24 + ) pode ser construída por meio da 
expressão C5*A9+D5*B9 e visualizada na figura a seguir:
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 43
Tendo sido construídas a Função Objetivo e a parte que 
envolve as variáveis, é possível utilizar o Solver para resolver o 
problema.
3.4 Usando o solver para resolver o 
problema de programação linear
Para utilizar o Solver, é preciso abri-lo. Ele se encontra na aba 
“dados” da planilha Excel.
Após clicar no ícone, aparecerá a seguinte tela:
44 Pesquisa Operacional
A Função Objetivo (FO) deverá ser colocada na parte su-
perior, no espaço destinado a “Definir célula de destino”. Bas-
ta clicar no item e selecionar a célula na qual se encontra a 
Função Objetivo, que no exemplo que está sendo construído 
é D10. Logo abaixo, escolhe-se uma das opções: Máx (maxi-
mizar), Min (Minimizar) ou Valor de (para os casos nos quais a 
Função Objetivo necessita ter um valor fixo). Como deseja-se 
maximizar o lucro, marca-se a opção “Máx”. Na figura a se-
guir, é possível observar a célula de destino definida e a opção 
Máx selecionada. Observa-se que o solver coloca a célula se-
leciona entre cifrões (D10 é escrito como $D$10). Esse é um 
recurso interno da ferramenta e não influencia no processo.
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 45
Para a utilização do solver, é necessário também definir as 
células das variáveis. Todas devem ser selecionadas de uma só 
vez no espaço destinado a “Células das variáveis”. No caso da 
planilha construída, as variáveis são A9 e B9, visualizadas na 
próxima imagem.
Resta ainda acrescentar as restrições. Para tanto, deve-se 
clicar em “adicionar”.
Feito isso, aparecerá uma nova janela que necessita ser 
preenchida com três informações acerca das restrições. Na in-
formação da esquerda, deve ser colocada a parte da restrição 
que contém as fórmulas; no centro, a igualdade ou desigual-
dade; e no lado direito o valor da restrição. Nesse contexto, 
46 Pesquisa Operacional
a restrição 24064 ≤+ yx pode ser inserida da seguinte forma: 
no item destinado a “Referência de célula”, deve ser escolhida 
a célula D13, que contém a parte yx 64 + da inequação. No 
centro, desigualdade <= deve ser selecionada, pois está rela-
cionada ao símbolo matemático ≤ . No lado direito, seleciona-
-se a célula E4, que se refere à 240. Basta, agora, clicar em 
“adicionar” para incluir a restrição.
Para a segunda restrição, deve-se repetir o processo, pre-enchendo a janela com os dados referentes à mesma, confor-
me pode ser observado na figura a seguir.
Ao carregar todas as restrições, clica-se em OK para retor-
nar à janela principal do Solver. Antes de rodar o programa, 
mais dois aspectos devem ser considerados. O primeiro diz 
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 47
respeito às condições de não negatividade, e o segundo ao 
tipo de modelo usado, que está relacionado à Programação 
Linear. Para que essas condições sejam consideradas, é neces-
sário ir em opções e marcar “Presumir modelo linear” e “Pre-
sumir não negativos”. Em seguida, deve-se clicar em “Ok”. A 
sequência de figuras que segue mostra essa etapa.
Para finalizar, basta clicar em “Resolver” na janela principal 
do Solver, e o programa indicará o resultado que aparecerá 
nas células que foram definidas como as variáveis.
Na figura a seguir, é possível observar o resultado dado 
pelo Solver nas células 9A e 9B indicando a solução x = 30 
e y = 20 encontrada pelo método gráfico. Também se visua-
liza o valor que a Função Objetivo assume para essa solução 
48 Pesquisa Operacional
(36000 observado na célula D10), bem como o quanto de ho-
ras a solução ocupa na máquina 1 (240 observado na célula 
D13) e na Máquina 2 (160 observado na célula D14).
Observe que, nesse caso, a solução encontrada pelo Sol-
ver é composta somente por números inteiros. Caso o proble-
ma exija uma solução numérica inteira (como é o caso que 
está sendo avaliado) é conveniente acrescentar esse aspecto 
como uma restrição. Isso é importante, pois, em muitos casos, 
o Solver encontra soluções não inteiras. Para realizar esse pro-
cedimento, deve-se clicar em “adicionar” (restrição) na tela 
principal do Solver, selecionar todas as células das variáveis, 
marcar a opção “núm” (em outras versões do Excel pode apa-
recer a opção “int”) na coluna das desigualdades e clicar em 
OK, conforme figura a seguir. Destaca-se que o lado direito 
que diz respeito à restrição será preenchido automaticamente 
com a palavra “número”.
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 49
Recapitulando
O Solver é um suplemento do Excel que permite encontrar so-
luções para problemas de Programação Linear e Não Linear. 
Para usá-lo, é preciso inicialmente instalá-lo. Esse processo 
pode ser feito usando o seguinte sequenciamento:
1. Clicar no Botão Office do Excel
2. Clicar em “Opções do Excel”
3. Na nova janela que se abrirá, clicar em “Suplementos”
4. Clicar em “Ir”, na parte inferior da janela
5. Na nova janela que abrirá, marcar o suplemento solver 
e clicar em “OK”.
6. Após clicar em “OK”, aparecerá a mensagem “Microsoft 
Office Excel não pode executar este suplemento. Este re-
curso não está instalado no momento. Deseja instalá-lo 
agora?”. Clique na Opção “Sim”.
7. Depois de feita essa instalação, o Solver poderá ser 
acessado na aba “dados”.
50 Pesquisa Operacional
Para resolver um problema utilizando o solver, é preciso 
inicialmente preparar a planilha Excel com os dados. Os da-
dos, a Função Objetivo e as restrições devem ser expressos na 
linguagem específica do Excel. A figura a seguir mostra esse 
processo.
Após essa etapa, os dados devem ser associados ao solver. 
Em suma, é preciso escolher a célula que contém a Função 
Objetivo, selecionar se o problema é de maximização ou mi-
nimização, selecionar as células das variáveis e acrescentar as 
restrições. Em opções, é possível indicar se o problema é linear 
e se as variáveis são positivas. Por fim, clica-se em resolver 
para encaminhar a solução.
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 51
Referências
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à Pesquisa 
Operacional no Ambiente de Gestão. Curitiba: IBPEX, 
2010.
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-
-Hill do Brasil, 1985.
COLIN, E. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de 
Decisões. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MOREIRA, A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São 
Paulo: Thomson Learning, 2007.
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2007.
52 Pesquisa Operacional
Atividades
Use o Solver para encontrar a solução dos exercícios da seção 
anterior.
 1) (MOREIRA, 2007, p. 56) Uma empresa do ramo de con-
fecções está considerando quanto deve produzir de seus 
dois modelos de terno, denominados Executivo Master e 
Caibem, de forma a maximizar o lucro. Será impossível fa-
bricar quanto se queira de cada um dos modelos, porque 
existem limitações nas horas disponíveis para a costura e 
o acabamento, as duas operações básicas na fabricação. 
No caso da costura, existem apenas 180 horas-máquina 
disponíveis, enquanto para o acabamento, que é feito ma-
nualmente, haverá no máximo, 240 homens-hora. Em ter-
mos de lucro unitário e produção, os dois modelos apre-
sentam as seguintes características:
Executivo Master
 Â lucro unitário: R$ 120,00
 Â horas-máquina de costura por unidade: 2
 Â homens-hora de acabamento por unidade: 2
Caibem
 Â lucro unitário: R$ 70,00
 Â horas-máquina de costura por unidade: 1
 Â homens-hora de acabamento por unidade: 4
Capítulo 3 Introdução à Programação Linear: Utilização... 53
Resolver usando o Solver
 2) (BRONSON, 1985, p. 7) Um carpinteiro possui 6 peças de 
madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para confeccio-
nar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito 
bem no ano passado, de maneira que ele se limitou a 
esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 peças 
de madeira e 7 horas de trabalho, enquanto o modelo II 
necessita de 1 peça de madeira e 8 horas de trabalho. Os 
preços do modelo são, respectivamente, 120 dólares e 80 
dólares. Quantos biombos de cada modelo o carpintei-
ro deve montar se desejar maximizar o rendimento obtido 
com as vendas? Use o Solver para encontrar a solução.
 3) (LACHTERMACHER, 2009, p. 26) A empresa Have Fun 
S.A. produz uma bebida energética muito consumida pe-
los frequentadores de danceterias noturnas. Dois compo-
nentes utilizados na preparação da bebida são soluções 
compradas de laboratórios terceirizados – solução Red e 
solução Blue – que proveem os principais ingredientes ati-
vos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A compa-
nhia quer saber quantas doses de 10 ml de cada solução 
deve incluir em cada lata da bebida, para satisfazer às 
exigências mínimas padronizadas de 48 g de extrato de 
guaraná e 12 g de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar 
o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, 
a norma-padrão também prescreve que a quantidade de 
cafeína seja de, no máximo, 20 g por lata. Uma dose da 
solução Red contribui com 8 g de extrato de guaraná e 1 g 
de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui 
com 6 g de extrato de guaraná e 2 g de cafeína. Uma dose 
54 Pesquisa Operacional
de solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue 
custa 0,08. Resolva usando o Solver.
 4) Resolva o problema de programaçao Linear usando o Sol-
ver.
Maximizar yx +3
Sujeito a:
0, ≥yx
 5) Resolva o problema de programaçao Linear usando o Sol-
ver.
FO: Minimizar yx +2
Sujeito a:
0, ≥yx
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo ?
1
1 Doutor em Educação Matemática.
Introdução à 
Programação Linear: 
Montagem e Solução 
de Problemas Aplicados 
Parte I
Introdução à Programação Linear: Montagem...
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo 4
1
1 
56 Pesquisa Operacional
Introdução
No Capítulo 2, aprendemos a modelar problemas de Progra-
mação Linear e resolvê-los graficamente. Note que todos os 
problemas lá trabalhados envolviam apenas duas variáveis. 
Optamos por destacar somente esse tipo de problema,pois 
nesses casos é possível encontrar soluções por meio da utili-
zação de gráficos (solução gráfica). Entretanto, raramente são 
encontrados problemas aplicados que envolvem somente duas 
variáveis. Neste capítulo, trataremos da modelagem de alguns 
problemas envolvendo mais do que duas variáveis. Para resol-
vê-los, utilizaremos o Solver do Excel.
4.1 Primeiro exemplo
EXERCÍCIO: (BRONSON, 1985, p. 12) Uma loja de animais 
de estimação calculou as necessidades diárias de alimentação 
de cada hamster em, pelo menos, 70 unidades de proteína, 
100 unidades de carboidratos e 20 unidades de gordura. Se a 
loja dispõe de um estoque de seis tipos de ração mostrados na 
tabela a seguir, que mistura dessas rações satisfaz os requisitos 
alimentares a custo mínimo para a Loja?
Ração Proteína
Unids./onça
Carboidratos
Unids./onça
Gordura
Unids./onça
Custo
Cents/onça
A 20 50 4 2
B 30 30 9 3
C 40 20 11 5
D 40 25 10 6
E 45 50 9 8
F 30 20 10 8
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 57
SOLUÇÃO (Parcial):
Nomearemos:
1x = quantidade de ração do tipo A
2x = quantidade de ração do tipo B
3x = quantidade de ração do tipo C
4x = quantidade de ração do tipo D
5x = quantidade de ração do tipo E
6x = quantidade de ração do tipo F
Como o objetivo é diminuir o custo, e os custos associados 
a cada um dos tipos de ração são 2, 3, 5, 6, 8 e 8 Cents, te-
mos que a Função Objetivo é:
FO: Minimizar 654321 886532 xxxxxx +++++
Ao todo, são três restrições que a mistura deve ter, relacio-
nadas à proteína (pelo menos 70 unidades), carboidrato (pelo 
menos 100 unidades) e gordura (pelo menos 20 unidades). 
Desse modo, tem-se:
Restrição para Proteína: 
Restrição para Carboidrato: 
Restrição para Gordura: 
Respeitando as condições de não negatividade, temos que 
o problema se resume ao seguinte modelo de Programação 
Linear:
58 Pesquisa Operacional
FO: Minimizar 654321 886532 xxxxxx +++++
Sujeito a:
0≥ix com 6,5,4,3,2,1=i
Para resolver o problema utilizando o Solver, podemos cons-
truir a tabela apresentada em uma planilha Excel, separando um 
espaço para a Função Objetivo (FO), as Restrições e as Variá-
veis. Na figura a seguir, construímos a Função Objetivo, dada 
pela expressão G6*J3+G7*K3+G8*L3+G9*M3+G10*N3+
G11*O3. As células que contém as variáveis são de J2 a O2.
Para as restrições, devemos antes construir a parte esquer-
da das inequações. No caso usado nesse exemplo, a parte 
esquerda das restrições de Proteína, Carboidrato e Gorduras 
podem ser escritas respectivamente como:
D6*J3+D7*K3+D8*L3+D9*M3+D10*N3+D11*O3
E6*J3+E7*K3+E8*L3+E9*M3+E10*N3+E11*O3
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 59
F6*J3+F7*K3+F8*L3+F9*M3+F10*N3+F11*O3
A Figura a seguir mostra a planilha Excel com a última res-
trição sendo inserida. É importante notar que o lado direito das 
restrições (que são os valores 70, 100 e 20) também foram 
colocadas na planilha, mas em outra célula.
Após os dados serem inseridos na planilha, é preciso usar 
o Solver para encontrar a solução ótima. A Imagem a seguir 
mostra a primeira restrição sendo inserida.
60 Pesquisa Operacional
A figura a seguir mostra todas as restrições sendo coloca-
das. Também mostra a célula das variáveis, a célula da Função 
Objetivo e o tipo de otimização, que no caso é a minimização 
(Min).
Antes de finalizar o processo, é preciso ir em opções e mar-
car as opções “Presumir modelo linear” e “Presumir não ne-
gativos”. Em versões diferentes do Solver, a opção “presumir 
modelo linear” pode não aparecer. Nesse caso, aparecerá a 
opção para usar o modo “Simplex”.
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 61
A solução encontrada pelo Solver para o modelo matemá-
tico proposto pode ser observada na imagem a seguir. Nela, 
podemos observar que a melhor solução é utilizar 0,909091 
onças da ração do tipo A, 1,818182 onças da ração do tipo 
B e nenhuma onça das rações do tipo C, D, E e F. O custo de 
produção dessa mistura é de aproximadamente 7,27 cents. 
Essa ração possuirá 72,72 unidades de proteína por onça, 
100 unidades de carboidrato por onça e 20 unidades de gor-
duras por onça.
62 Pesquisa Operacional
4.2 Segundo exemplo
EXERCÍCIO: Uma pesquisa estatística mostrou que em um 
hospital a quantidade mínima de enfermeiros para atender a 
demanda dos médicos e pacientes pode ser dada pela tabela 
a seguir.
Dia da Semana seg ter qua qui sex sáb dom
Número de enfermeiros 4 6 8 6 5 8 3
Sabendo que cada enfermeiro trabalha cinco dias seguidos 
e folga dois, calcule o número mínimo de pessoas que devem 
ser contratadas para atender a demanda exigida, indicando o 
dia da semana que devem começar a trabalhar.
SOLUÇÃO: Para resolver esse problema, é preciso consi-
derar a quantidade de pessoas que será contratada em cada 
dia da semana. O importante a considerar é que se uma pes-
soa for contratada para iniciar a trabalhar no domingo, por 
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 63
exemplo, também trabalhará na segunda-feira, na terça-feira, 
na quarta-feira e na quinta-feira, folgando na sexta-feira e no 
sábado, pois trabalha cinco dias seguidos e folga dois. Desse 
modo, nomearemos:
1x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar na 
segunda-feira
2x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar na 
terça-feira
3x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar na 
quarta-feira
4x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar na 
quinta-feira
5x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar na 
sexta-feira
6x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar no 
sábado
7x = quantidade de pessoas que começa a trabalhar no 
domingo
Como o objetivo é minimizar a quantidade total de pessoas 
que serão contratadas, devemos minimizar a soma de todas as 
pessoas, isto é:
FO: Minimizar 7654321 xxxxxxx ++++++
Para continuar o processo de modelagem matemática da 
situação problemática, é preciso levar em conta que existe 
uma restrição para cada dia da semana. Iniciemos essa aná-
64 Pesquisa Operacional
lise pela segunda-feira. Notemos que as pessoas que traba-
lharão na segunda-feira não são somente as pessoas que ini-
ciam o trabalho na segunda ( 1x ). Estão também incluídos no 
conjunto de trabalhadores, as pessoas que iniciam o trabalho 
na quinta-feira ( 4x ), na sexta-feira ( 5x ), no sábado ( 6x ) e no 
domingo ( 7x ). Só não estão nesse conjunto as pessoas que co-
meçam na terça-feira (pois folgam no domingo e na segunda) 
e as pessoas que começam a trabalhar na quarta-feira (pois 
folgam na segunda-feira e na terça-feira). Como na segunda-
-feira precisamos de um número mínimo de 4 pessoas, a soma 
de todas as pessoas que trabalham na segunda-feira deve ser 
maior do que 4, isto é:
Segunda-feira: 476541 ≥++++ xxxxx
Repetindo o procedimento para os demais dias da semana, 
obtemos:
Terça-feira: 676521 ≥++++ xxxxx
Quarta-feira: 876321 ≥++++ xxxxx
Quinta-feira: 674321 ≥++++ xxxxx
Sexta-feira: 554321 ≥++++ xxxxx
Sábado: 865432 ≥++++ xxxxx
Domingo: 376543 ≥++++ xxxxx
Respeitando as condições de não negatividade e a neces-
sidade das soluções serem inteiras, temos que o problema se 
resume ao seguinte modelo de Programação Linear:
FO: Minimizar 7654321 xxxxxxx ++++++
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 65
Sujeito a:
476541 ≥++++ xxxxx
676521 ≥++++ xxxxx
876321 ≥++++ xxxxx
674321 ≥++++ xxxxx
554321 ≥++++ xxxxx
865432 ≥++++ xxxxx
376543 ≥++++ xxxxx
0≥ix e ix inteiro, com 7,6,5,4,3,2,1=i
Para encontrarmos uma solução para esse problema, po-
demos utilizar o Solver do Excel. O procedimento é análogo 
ao exercício anterior. A única diferença é que para esse caso 
precisamos indicar que as soluções são inteiras. Paraisso, há 
a necessidade de adicionar mais uma restrição. A Figura a 
seguir mostra o procedimento. O melhor modo de adicionar é 
no campo “Referência de célula” selecionar todas as variáveis 
ao mesmo tempo e no campo das desigualdades selecionar a 
opção “núm”. Não há a necessidade de preencher o campo 
da direita (“Restrição”).
66 Pesquisa Operacional
Como resultado, o Solver dará que o número máximo de 
pessoas a ser contratado é 9, indicando que uma pessoa ini-
ciará o trabalho na segunda-feira, duas na terça-feira, duas na 
quarta-feira, uma na quinta-feira, nenhuma na sexta-feira, três 
no sábado e nenhuma no domingo. A Figura a seguir mostra 
a solução apresentada.
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 67
Recapitulando
A utilização de recursos computacionais como o Solver pode 
ser muito útil para trabalhar com problemas que envolvem 
mais do que duas variáveis, pois nessa classe de situações o 
método gráfico pode não ser admissível.
Como problemas discutidos nessa seção, foram aborda-
dos dois problemas. O primeiro envolvendo uma mistura de 
rações com restrições máximas. O modelo proposto para re-
solução do problema foi:
FO: Minimizar 654321 886532 xxxxxx +++++
Sujeito a:
68 Pesquisa Operacional
0≥ix com 6,5,4,3,2,1=i
O segundo problema envolveu a contratação de enfermei-
ros em um hospital. O modelo que representa essa situação é:
FO: Minimizar 7654321 xxxxxxx ++++++
Sujeito a:
476541 ≥++++ xxxxx
676521 ≥++++ xxxxx
876321 ≥++++ xxxxx
674321 ≥++++ xxxxx
554321 ≥++++ xxxxx
865432 ≥++++ xxxxx
376543 ≥++++ xxxxx
0≥ix e ix inteiro, com 7,6,5,4,3,2,1=i
Referências
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à Pesquisa 
Operacional no Ambiente de Gestão. Curitiba: IBPEX, 
2010.
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 69
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-
-Hill do Brasil, 1985.
COLIN, E. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de 
Decisões. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MOREIRA, A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São 
Paulo: Thomson Learning, 2007.
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2007.
Atividades
 1) Utilizando o Solver, resolva o segundo problema apresen-
tado nessa seção.
 2) (BRONSON, 1985, p. 12) Uma empresa local de produtos 
manufaturados fabrica quatro tipos diferentes de artigos 
metálicos, cada um dos quais deve ser usinado, polido e 
montado. As necessidades específicas de tempo de traba-
lho (em horas) de cada um dos produtos são as seguintes:
Usinagem (horas) Polimento (horas) Montagem (horas)
Produto I 3 1 2
Produto II 2 1 1
Produto III 2 2 2
Produto IV 4 3 1
70 Pesquisa Operacional
A empresa dispõe para si, em uma base semanal, de 480 
horas de tempo de usinagem, 400 horas de tempo de poli-
mento e 400 horas de tempo de montagem. Os lucros unitá-
rios sobre os produtos são, respectivamente, $ 6, $ 4, $ 6 e 
$ 8. A empresa firmou um contrato com um distribuidor para 
fornecer-lhe semanalmente 50 unidades do produto I e 100 
unidades de qualquer combinação dos produtos II e III. Por 
intermédio de outros clientes, a empresa pode vender sema-
nalmente tantas unidades quanto produza dos produtos I, II 
e III, mas, apenas, um máximo de 25 unidades do artigo IV. 
Determine o modelo que maximize o lucro. Admita que peças 
inacabadas em uma semana possam ser completadas na se-
mana seguinte.
 3) Utilizando o Solver, encontre uma solução para o proble-
ma anterior.
 4) (BRONSON, 1985, p. 8) Uma excursionista planeja fazer 
uma viagem acampando. Há cinco itens que a excursionis-
ta deseja levar consigo, mas estes, juntos, excedem o limite 
de 60 lb que ela supõe ser capaz de carregar. Para ajudar 
a si própria no processo de seleção, ela atribuiu valores, 
por ordem crescente de importância, a cada um dos itens 
segundo a tabela.
Item I II III IV V
Peso (libras) 52 23 35 15 7
Valor 100 60 70 15 15
Capítulo 4 Introdução à Programação Linear: Montagem... 71
Encontre o modelo que indique quais itens devem ser con-
duzidos de forma a maximizar o valor total sem exceder as 
restrições de peso.
 5) Utilizando o Solver, encontre a solução do problema ante-
rior.
Introdução à 
Programação Linear: 
Montagem e Solução 
de Problemas Aplicados 
Parte II
Introdução à Programação Linear: Montagem...
Dr. Rodrigo Dalla Vecchia1
Capítulo 5
1
1 Doutor em Educação Matemática.
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 73
Introdução
Este capítulo se constitui em uma continuação do capítulo qua-
tro. Será apresentado aqui, de modo detalhado, um exemplo 
de otimização de misturas (Blending) adaptado de uma situa-
ção clássica e historicamente conhecida, que é a maximização 
do lucro diário de uma refinaria.
5.1 Otimização do lucro de refinaria
Uma refinaria produz 3 tipos de gasolina (gasolina 1, gasolina 
2 e gasolina 3). Cada tipo é produzido pela mistura de 3 tipos 
de petróleo (petróleo 1, petróleo 2 e petróleo 3). Os preços 
de venda por barril da gasolina e da compra de petróleo são:
Preço de Venda 
por Barril
Preço de compra 
por Barril
Gasolina 1 $ 70 Petróleo 1 $ 45
Gasolina 2 $ 60 Petróleo 2 $ 35
Gasolina 3 S 50 Petróleo 3 $ 25
A refinaria pode comprar até 5000 barris de cada tipo de 
petróleo por dia. Os 3 tipos de gasolina se diferem na octana-
gem e no enxofre presente. O petróleo misturado para fabricar 
a gasolina 1 precisa ter uma octanagem média de pelo menos 
10 e conter quando muito 1% de enxofre. O petróleo mistura-
do para fabricar a gasolina 2 precisa ter uma octanagem mé-
dia de pelo menos 8 e conter quando muito 2% de enxofre. O 
petróleo misturado para fabricar a gasolina 3 precisa ter uma 
74 Pesquisa Operacional
octanagem média de pelo menos 6 e conter quando muito 1% 
de enxofre. As taxas de octanagem e de enxofre que contêm os 
3 tipos de petróleo são as seguintes:
Octanagem Enxofre
Petróleo 1 12 0,5%
Petróleo 2 6 2%
Petróleo 3 8 3%
Custa $ 4 para transformar 1 barril de petróleo em 1 barril 
de gasolina, e a refinaria pode produzir até 14000 barris por 
dia. Os clientes da refinaria necessitam das seguintes quantias 
de cada tipo de gasolina: gasolina 1 – 3000 barris por dia; 
gasolina 2 – 2000 barris por dia; gasolina 3 – 1000 barris 
por dia. A empresa considera sua obrigação atender a essas 
demandas.
SOLUÇÃO: Para resolver esse problema, é preciso consi-
derar que cada gasolina será feita por uma mistura dos três 
petróleos. A gasolina 1, por exemplo, será uma mistura do pe-
tróleo 1, do 2 e do 3. A gasolina 2 e a três também serão uma 
mistura desses três petróleos. Desse modo, temos que o pro-
blema pode ser modelado por meio de 9 variáveis, que são:
 = quantidade de barris do petróleo 1 que vai para a 
gasolina 1
 = quantidade de barris do petróleo 1 que vai para a 
gasolina 2
 = quantidade de barris do petróleo 1 que vai para a 
gasolina 3
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 75
 = quantidade de barris do petróleo 2 que vai para a 
gasolina 1
 = quantidade de barris do petróleo 2 que vai para a 
gasolina 2
 = quantidade de barris do petróleo 2 que vai para a 
gasolina 3
 = quantidade de barris do petróleo 3 que vai para a 
gasolina 1
 = quantidade de barris do petróleo 3 que vai para a 
gasolina 2
 = quantidade de barris do petróleo 3 que vai para a 
gasolina 3
É importante observar que nas variáveis o primeiro índice 
(i) se refere ao tipo de petróleo, e o segundo índice (j) ao tipo 
de gasolina. Assim, se queremos falar sobre a gasolina 1, por 
exemplo, precisamos lembrar que ela é feita de uma mistura 
dos três tipos de petróleos, isto é, a gasolina 1 envolveas va-
riáveis , e . Se quisermos nos referir ao petróleo 1, por 
exemplo, teremos que considerar as variáveis , e , pois o 
petróleo 1 pode fazer parte da composição das três gasolinas. 
Em termos gerais, cada gasolina será uma soma de quan-
tidades dos três petróleos, e cada petróleo será dividido em 
três partes, cada uma indo para cada tipo de gasolina e que 
somadas resultam na quantidade total do tipo do petróleo. Em 
termos matemáticos, temos:
Gasolina 1 será composta por: 
76 Pesquisa Operacional
Gasolina 2 será composta por: 
Gasolina 3 será composta por: 
Petróleo 1 será composto por: 
Petróleo 2 será composto por: 
Petróleo 3 será composto por: 
Partindo disso, vamos construir a Função Objetivo. Como 
queremos maximizar o lucro, selecionaremos as variáveis que 
permitem criar a função lucro (lembrando que o lucro é a di-
ferença entre a receita (tudo que é ganho) e os custos). Come-
çamos a construir essa função observando a tabela dada no 
exercício.
Preço de Venda 
por Barril
Preço de compra 
por Barril
Gasolina 1 $ 70 Petróleo 1 $ 45
Gasolina 2 $ 60 Petróleo 2 $ 35
Gasolina 3 S 50 Petróleo 3 $ 25
Usando as variáveis de cada gasolina e de cada tipo de 
petróleo dadas acima e os valores da tabela, vamos indicar as 
receitas e os custos:
RECEITAS (por Barril)
Preço de Venda do Barril da gasolina 1: 
Preço de Venda do barril da gasolina 2: 
Preço de Venda do barril da gasolina 3: 
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 77
CUSTOS
Preço de compra do barril do petróleo 1: 
Preço de compra do barril do petróleo 2: 
Preço de compra do barril do petróleo 3: 
Temos ainda o custo de $ 4 para transformar 1 barril de 
petróleo em 1 barril de gasolina, que resulta nas restrições:
Custo de transformação do petróleo em gasolina 1: 
Custo de transformação do petróleo em gasolina 2: 
Custo de transformação do petróleo em gasolina 3: 
Como o lucro pode ser dado pela Receita menos os Cus-
tos, temos que a Função Objetivo (FO) será a soma de todas 
as receitas e a subtração de todos os custos:
FO Maximizar: + 
+ - - 
- - - - 
Resolvendo os parênteses, essa função pode ser simplifica-
da para:
FO: Maximizar 
Encontrada a Função Objetivo, vamos às restrições.
(i) A refinaria pode comprar até 5000 barris de cada tipo 
de petróleo por dia
78 Pesquisa Operacional
Petróleo 1: 
Petróleo 2: 
Petróleo 3: 
(ii) Os clientes da refinaria necessitam das seguintes 
quantias de cada tipo de gasolina: gasolina 1 – 3000 
barris por dia; gasolina 2 – 2000 barris por dia; gasolina 
3 – 1000 barris por dia
Gasolina 1: 
Gasolina 2: 
Gasolina 3 será composta por: 
(iii) A refinaria pode produzir até 14000 barris por dia
Isso significa que a soma das três gasolinas não pode ultra-
passar 14000 barris:
(iv) A gasolina 1 precisa ter uma octanagem média de 
pelo menos 10
Como cada gasolina é formada pela mistura dos três pe-
tróleos, devemos considerar que a octanagem do petróleo 1 é 
de 12, a do petróleo 2 é de 6 e a do petróleo 3 é de 8 (dados 
obtidos pela segunda tabela do exercício). As variáveis que 
envolvem a gasolina 1 são , e . Devemos considerar 
que tem octanagem 12, pois é a parte da gasolina que 
vem do petróleo 1. Seguindo o mesmo raciocínio, temos que 
 tem octanagem 6 e tem octanagem 8. Precisamos que 
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 79
a octanagem média da gasolina 1 seja maior do que 10, que 
em termos matemáticos pode ser escrito como:
Embora essa restrição já esteja correta, o Solver pode ter 
problemas ao lê-la por possuir uma divisão. Desse modo, 
entende-se ser necessário reescrevê-la de modo a não existir 
mais a divisão. Como todas as variáveis são positivas, pode-
mos proceder de modo análogo a uma equação envolvendo 
frações, na qual se elimina o denominador por meio do míni-
mo múltiplo comum. Dizendo isso de forma coloquial, pode-
mos “passar a fração para o outro lado multiplicando”.
Obtendo como restrição equivalente:
(v) A gasolina 2 precisa ter uma octanagem média de 
pelo menos 8
Simplificando a expressão, temos:
80 Pesquisa Operacional
(vi) A gasolina 3 precisa ter uma octanagem média de 
pelo menos 6
Simplificando a expressão, temos:
Observa-se que não há a necessidade de apresentar essa 
expressão no modelo final, pois como todas as variáveis são 
maiores que zero, essa expressão será verdadeira sempre. Op-
tamos por deixá-la na solução final devido a fins didáticos.
(vii) A gasolina 1 precisa conter quando muito 1% de en-
xofre
A análise do Enxofre é semelhante à da octanagem. O que 
muda é que a gasolina pode ter no máximo certa quantidade 
de enxofre (enquanto que a octanagem deveria ser um míni-
mo). Desse modo, temos:
Simplificando a expressão, temos:
(viii) A gasolina 2 precisa conter quando muito 2% de 
enxofre
Simplificando a expressão, temos:
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 81
(ix) A gasolina 3 precisa conter quando muito 1% de en-
xofre
Simplificando a expressão, temos:
A última restrição a ser considerada é que todas as variá-
veis são maiores ou iguais a zero. Com isso, podemos finalizar 
o modelo obtendo:
FO: Maximizar 
Sujeito a:
82 Pesquisa Operacional
 com { }3,2,1, =ji
Recapitulando
Neste capítulo, resolvemos o seguinte problema:
Uma refinaria produz 3 tipos de gasolina (gasolina 1, ga-
solina 2 e gasolina 3). Cada tipo é produzido pela mistura de 
3 tipos de petróleo (petróleo 1, petróleo 2 e petróleo 3). Os 
preços de venda por barril da gasolina e da compra de petró-
leo são:
Preço de Venda 
por Barril
Preço de compra 
por Barril
Gasolina 1 $ 70 Petróleo 1 $ 45
Gasolina 2 $ 60 Petróleo 2 $ 35
Gasolina 3 S 50 Petróleo 3 $ 25
A refinaria pode comprar até 5000 barris de cada tipo de 
petróleo por dia. Os 3 tipos de gasolina se diferem na octana-
gem e no enxofre presente. O petróleo misturado para fabricar 
a gasolina 1 precisa ter uma octanagem média de pelo menos 
10 e conter quando muito 1% de enxofre. O petróleo mistura-
do para fabricar a gasolina 2 precisa ter uma octanagem mé-
dia de pelo menos 8 e conter quando muito 2% de enxofre. O 
petróleo misturado para fabricar a gasolina 3 precisa ter uma 
octanagem média de pelo menos 6 e conter quando muito 1% 
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 83
de enxofre. A taxa de octanagem e de enxofre que contém os 
3 tipos de petróleo são as seguintes:
Octanagem Enxofre
Petróleo 1 12 0,5%
Petróleo 2 6 2%
Petróleo 3 8 3%
Custa $ 4 para transformar 1 barril de petróleo em 1 barril 
de gasolina, e a refinaria pode produzir até 14000 barris por 
dia. Os clientes da refinaria necessitam das seguintes quantias 
de cada tipo de gasolina: gasolina 1 – 3000 barris por dia; 
gasolina 2 – 2000 barris por dia; gasolina 3 – 1000 barris 
por dia. A empresa considera sua obrigação atender a essas 
demandas.
Obtivemos como modelo para o problema apresentado:
FO: Maximizar 
Sujeito a:
84 Pesquisa Operacional
 com { }3,2,1, =ji
Referências
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à Pesquisa 
Operacional no Ambiente de Gestão. Curitiba: IBPEX, 
2010.
BRONSON, R. Pesquisa Operacional. São Paulo: McGraw-
-Hill do Brasil, 1985.
COLIN, E. Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de 
Decisões. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
MOREIRA, A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São 
Paulo: Thomson Learning, 2007.
TAHA, H. A. Pesquisa Operacional. 8. ed. São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2007.
Capítulo 5 Introdução à Programação Linear: Montagem... 85
Atividades
 1) Usando o Solver, encontre a solução ótima para o exem-
plo apresentado neste capítulo.