Aula 8 - U2 - Probabilidade - Probabilidade e Estatística

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Aula 8 – Probabilidade
Prof.: Me. Caio Tácito M. Castro
Campina Grande – PB
O estudo das probabilidades se faz necessário em
estatística, devido a maioria dos fenômenos
Estatísticos ser de natureza aleatória ou
probabilística. Assim, o conhecimento de aspectos
fundamentais do cálculo de probabilidades se faz
essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou
Inferencial.
INTRODUÇÃO
• Experimento aleatório é um procedimento cujo
resultado é incerto. Ou que, mesmo repetidos
várias vezes, sob condições semelhantes,
apresentam resultados imprevisíveis.
– Exemplos:
• Resultado ao lançar um dado ou uma moeda;
• Sortear um número inteiro de um a cem;
• Condições climáticas do próximo domingo;
• Tempo de duração da vida de uma lâmpada.
EXPERIMENTO ALETÓRIO
• Espaço Amostral (S) é o conjunto de todos os
resultados possíveis de um dado experimento.
Pode também ser chamado de conjunto universo.
– Exemplo:
• No lançamento de um dado, o espaço amostral é: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• No lançamento de uma moeda, o espaço amostral é: S = {Ca,Co}
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
• Evento (E) é qualquer subconjunto do um espaço
amostral “S” de um experimento aleatório.
– Exemplo:
• No lançamento de um dado, o conjunto E = {1, 3, 5} (ocorrência de
um número ímpar) é um evento de S.
• No lançamento de uma moeda, o conjunto E = {Ca} (ocorrência de
cara) é um evento de S.
Se 𝐸𝐸 = 𝑆𝑆, E é chamado evento certo;
Se 𝐸𝐸 ⊂ 𝑆𝑆, e 𝐸𝐸 é um conjunto unitário, E é chamando evento elementar.
Se 𝐸𝐸 = ∅, 𝐸𝐸 é chamado de evento impossível.
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Exemplos de Eventos
 No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5 e 6},
temos:
• 𝐴𝐴 = 2, 4, 6 ⊂ 𝑆𝑆, logo A é um evento de S
Evento: “Obter um número par ao jogar um dado”
• 𝐵𝐵 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ⊂ 𝑆𝑆, logo B é um evento certo de S (B = S)
Evento: “Obter um número menor ou igual a 6 ao jogar um dado”
• 𝐶𝐶 = 4 ⊂ 𝑆𝑆, logo C é um evento elementar de S
Evento: “Obter o número 4 ao jogar um dado”
• 𝐷𝐷 = ∅ ⊂ 𝑆𝑆, logo D é um evento impossível de S
Evento: “Obter um número maior que 6 ao jogar um dado”
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral,
vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma
chance de acontecer.
Probabilidade de um evento E (𝐸𝐸 ⊂ 𝑆𝑆)
𝑛𝑛 𝐸𝐸 é 𝑜𝑜 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝐸𝐸
𝑛𝑛 𝑆𝑆 é 𝑜𝑜 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑒𝑒𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑒𝑒𝑜𝑜𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑛𝑛 S
PROBABILIDADE
𝑃𝑃 𝐸𝐸 =
𝑛𝑛(𝐸𝐸)
𝑛𝑛(𝑆𝑆)
0 ≤ 𝑃𝑃 𝐸𝐸 ≤ 1
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo 𝑃𝑃(𝐴𝐴) a
probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e 𝑃𝑃(�̅�𝐴) a probabilidade
de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe
sempre a relação.
• Assim, se a probabilidade de um evento é 𝑝𝑝 = 1/5, a probabilidade que ele
não ocorra é:
𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(�̅�𝐴) = 1 ⇒ 𝑃𝑃(�̅�𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑝𝑝(�̅�𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1 −
1
5
=
4
5
PROBABILIDADE
EVENTOS COMPLEMENTARES
- O complementar de A corresponde a ocorrência de um evento
que não seja A.
𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 1 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴)
Operação de Complementação
PROBABILIDADE
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização
ou não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da
realização do outro e vice-versa.
• Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe
do resultado obtido no outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se
realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades
de realização dos dois eventos.
𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) × 𝑃𝑃(𝐵𝐵) 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
PROBABILIDADE
EVENTOS INDEPENDENTES
𝑃𝑃 = 𝑝𝑝1 × 𝑝𝑝2 =
1
6
×
1
6
=
1
36
= 0,028 = 2,8%
PROBABILIDADE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos
quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Ou
seja, não podem ocorrer ao mesmo tempo
• No lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são
mutuamente exclusivos, já que ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
• Se a cirurgia foi um sucesso, fica excluída a possibilidade de ter sido um fracasso.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de
que um ou outro se realize é igual a soma das probabilidades de
que cada um deles se realize
𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐵𝐵) 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵)
PROBABILIDADE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵) =
1
6
+
1
6
=
2
6
=
1
3
= 33,33%
PROBABILIDADE
OPERAÇÃO UNIÃO DE EVENTOS NÃO EXCLUISIVOS
Por exemplo, a probabilidade de jogar
um dado e obter um número menor
que três ou um número impar.
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 + 𝑃𝑃 𝐵𝐵 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝑛𝑛 𝐵𝐵)
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵 =
2
6
+
3
6
−
1
6
=
4
6
=
2
3
= 0,66 = 66%
• INTERSEÇÃO
– Note que neste caso A ∩ B corresponde a
ocorrência simultânea dos dois eventos
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL (EVENTOS
DEPENDENTES)
• Denomina-se probabilidade condicional à
probabilidade de ocorrer um evento A, dado que
ocorreu um outro evento B.
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL (EVENTOS
DEPENDENTES)
Exemplo: Calcule a probabilidade de obter soma 8 no
lançamento de dois dados em que o resultado do lançamento foi
dois números ímpares.
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL (EVENTOS
DEPENDENTES)
PROBABILIDADE
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐵𝐵 =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵) =
2
36
9
36
=
2
9 = 0,2222 = 22,22%
PROBABILIDADE CONDICIONAL (EVENTOS
DEPENDENTES)
Exemplo: Calcule a probabilidade de se extrair uma carta do
baralho comum de 52 cartas e obter um Às, sabendo que ela é
uma carta de copas.
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CONDICIONAL (EVENTOS
DEPENDENTES)
PROBABILIDADE
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐵𝐵 =
𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵) =
1
52
13
52
=
1
13 = 0,077 = 7,7%
RESUMO DAS OPERAÇÕES
PROBABILIDADE
1. (ACAFE) Num sorteio com número de 1 a 25, a probabilidade
de ser sorteado um número múltiplo de 3 é:
a) 0,24
b) 0,40
c) 0,32
d) 0,25
e) 0,80
EXERCÍCIOS
2. (ACAFE) Uma urna contém 6 bolas brancas e 24 pretas. A
probabilidade de sortearmos uma bola branca é de:
3. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar
uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3
vermelhas e 5 azuis, é:
a) 40% b) 25% c) 80% d) 75% e) 20%
a) 40% b) 25% c) 80% d) 33% e) 20%
EXERCÍCIOS
4. Um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. Qual
é a probabilidade de ocorrer cara na moeda e face 6 no
dado?
5. Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade
de ocorrer cara nas duas jogadas.
EXERCÍCIOS
Uma6. carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a
probabilidade de sair uma carta de espada ou um ás?
Uma7. urna contém quatro bolas: duas brancas, uma
vermelha e uma azul. Retira-se uma bola da urna ao acaso.
Qual a probabilidade de ter saído uma bola colorida, isto é,
azul ou vermelha?
EXERCÍCIOS
8. Você seleciona uma carta do baralho. Encontre a
probabilidade de a carta ser um 4 ou um Ás.
9. Você joga um dado. Encontre a probabilidade de sair um
número menor que três ou um número ímpar.
10. Uma carta será retirada ao acaso de um baralho. Qual é a
probabilidade de sair um rei, sabendo que é uma carta de
espadas.
EXERCÍCIOS
11. Duas cartas são selecionadas, sem reposição da primeira
carta, de um baralho de 52 cartas. Encontre a probabilidade
de selecionar um rei depois de uma rainha.
12. Calcule a probabilidade de se obter soma 4 no lançamento
de dois dados.
13. Calcule a probabilidade de se obter soma 4 no lançamento
de dois dados, sabendo que o resultado do lançamento
foram dois números pares.
EXERCÍCIOS
	PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31