Aritmética e Álgebra Elementares-1

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18/06/2020 Aritmética e Álgebra Elementares
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Lição 01
Aritmética e Álgebra Elementares
Matemática
Começar a aula
1. Introdução
As informações numéricas estão presentes em diversas situações do nosso dia a dia. Nos meios de
comunicação, como jornais e revistas, por exemplo, para leitura de gráficos e tabelas, em
informações percentuais, entre outros. Não podemos esquecer das atividades de rotina de casa,
como pesquisas para compras de supermercado ou cálculos de descontos sobre alguma compra.
Ou seja, números e informações numéricas fazem parte de nossas vidas e precisamos sempre
melhorar nossa visão e conhecimento sobre eles, para compreendermos e termos uma visão crítica.
Considerando sua importância, é de fundamental importância revisar assuntos de matemática
básica, para compreender com clareza as outras técnicas que serão estudadas ao longo da
disciplina.
Estudar aritmética e álgebra elementares são essenciais para o desenvolvimento do aluno em
outros assuntos da matemática.
2. Conjuntos numéricos
Nesta disciplina, todas as operações serão discutidas o âmbito do Conjunto dos Números Reais.
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O conjunto dos Números Reais é o maior conjunto infinito e é composto da união dos outros
conjuntos numéricos.
Todos os conjuntos de números surgiram, historicamente, com a necessidade de resolver
problemas. São eles:
 
Conjuntos dos Números Naturais N.
Este conjunto é formado apenas por números inteiros e positivos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
 
Conjuntos dos Números Inteiros Z.
O Conjuntos dos números inteiros é formado por números Inteiros, positivos e negativos.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 
Conjunto dos Números Racionais Q
Segundo Smole e Diniz (2003), o surgimento dos números racionais está diretamente associado à
noção de medidas. Então, os números inteiros já não eram suficientes para representar situações do
cotidiano, assim, cria-se o conjunto dos números racionais.
O conjuntos dos números racionais, Q, tem como elementos, todos os números que podem ser
escritos na forma p/q, em que p e q são números inteiros e q ≠ 0. Ou seja, todos os números que
podem ser escritos na forma de fração são elementos desse conjunto.
Exemplos de números racionais:
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Percebemos que novas formas de representação numérica foram surgindo da necessidade do
homem de resolver situações problemas. Mesmo sabendo que conjuntos numéricos são infinitos, ou
seja, não é possível mensurar a quantidade de números que temos em cada um, podemos perceber
que tipos de números estão aumentando.
Primeiro, tratava-se apenas de números inteiros e positivos, o segundo conjunto passou a
relacionar os números inteiros positivos e negativos, e agora, temos todos os números, positivos e
negativos, que podem ser transformados em forma de fração.
Conjunto dos Números Irracionais I
Durante as aplicações com números, observou-se que nem sempre números encontrados seriam
Racionais, isto é, têm representação decimal infinita e não periódica. Assim, surgiu conjunto dos
Números Irracionais.
A Dizima Periódica pertence ao conjunto dos Números Racionais, conforme visto no exemplo. Mas,
como transformar dizimas periódicas em forma de Fração?
Questão para pensar.
É importante pensar na relação entre conjuntos.
Dizemos que um Conjunto A é Subconjunto de B, se todo elemento de A também for elemento de
B. Neste caso, dizemos que “A está contido em B” e a simbologia é A ⊂ B.
Vamos ilustrar a situação:
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Conjunto dos Números Reais R
O conjunto dos números Reais reúne todos os conjuntos estudados até agora. É o maior conjunto
dos conjuntos numéricos estudados aqui.
Ou seja, todos os outros conjuntos são subconjuntos do Conjunto dos Números reais. Podemos
também dizer que os Números Reais resultam da união dos números racionais com números
irracionais.
Q ∪ I = R
Os números reais podem ser representados geometricamente na Reta Numérica ou Reta Real. A
reta numérica é um segmento de reta, com origem no zero, estabelecendo dois sentidos, um
positivo e outro negativo.
Cada número real corresponde a um único ponto da reta real. Este número é chamado de Abscissa.
Vamos pensar no problema que motivou a discussão e existência de um conjunto numérico, onde
números expressam razões que não são números Racionais:
Como medir a Diagonal de um quadrado utilizando seu lado como unidade de medida? Considere
lado do quadrado igual a 1 unidade. Então, aplicando Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo,
d² = 1² + 1²
d² = 2
d = √2
Com auxílio de calculadora, encontramos o valor: √2 ≅ 1,4142135629...
Este número não pode ser expresso com número finito de casas decimais, portanto, não é
considerado um número Racional.
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Essa correspondência entre os elementos de R e os pontos da reta real é denominada Sistema de
Coordenadas.
2.1. Intervalos Numéricos
Devemos saber representar intervalos numéricos na reta real, pois nem sempre as aplicações ou
cálculos solicitados estarão relacionados apenas a uma coordenada.
Assim, temos a representação dos Intervalos:
a) Intervalos Infinitos
b) Intervalos Fechados, abertos e semiabertos
Intervalo fechado
Representação [a; b] = {x|a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto
Representação ]a; b[ = {x|a < x < b}
Intervalo semiaberto
Representação ]a; b] = {x|a < x ≤ b}
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Representação [a; b[ = {x\a ≤ x < b}
Esses intervalos numéricos são amplamente utilizados para resolução de inequações.
É importante lembrar que, em qualquer operação matemática, seja dentro de um contexto de
aplicação ou simplesmente um cálculo aritmético simples, são utilizadas propriedades de operações
com números.
Temos algumas observações sobre operações que são importantes e é necessário relembrá-las. Veja
abaixo:
Operações com números.
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Operações com números fracionários
1. Somando ou subtraindo frações – necessário sempre igualar denominadores
antes da operação ser feita. Para isso, utiliza-se o MMC (mínimo múltiplo comum).
2. Multiplicando frações – multiplica-se numerador por numerador e denominador
por denominador.
3. Dividindo frações – para dividir frações, multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda
Propriedades das desigualdades
1. Somando-se ou subtraindo-se a ambos os membros de uma desigualdade um mesmo
número, o sentido da desigualdade se mantém (ou seja, se era maior, continua sendomaior; se era menor, continua sendo menor).
2. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros da desigualdade por número
positivo, o sentido da desigualdade se mantém.
3. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros da desigualdade por número
negativo, o sentido da desigualdade muda.
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3. Potenciação
Vamos iniciar essa discussão, pensando em uma situação problema.
Uma escola tem 364 alunos. Um deles inventou uma fofoca e, em um minuto, contou a 3 colegas.
Pelo jeito, a fofoca era boa porque, 10 minutos depois, cada um desses 3 contou a novidade a 3
colegas que ainda não conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre transmitia a 3
colegas desinformados, gastando, para isso, 10 minutos.
Veja como a fofoca se espalha:
Tempo (min) 10 20 30 40 50 60 70
Novos alunos que ouvem a fofoca 3
ou 3
3 x 3
ou 3
3 x 3
ou 3
3 x 3
ou 3
3 x 3
ou 3
3 x 3
ou 3
3 x 3
ou 3
I. 3 alunos contaram a novidade a mais 3 colegas, então, 3 x 3 = 9 alunos ficaram sabendo do
boato no vigésimo minuto.
II. Os 9 alunos que sabiam da fofoca contaram para mais 3 alunos cada, então, 3 x 3 x 3 = 27 (ou
3 x 3 = 27) alunos ficaram sabendo do boato no trigésimo minuto.
III. Na primeira hora (60 minutos), conforme verificamos na tabela, 3 x 3 = 3 = 729 alunos
ficariam sabendo da fofoca.
IV. Assim, como a escola tem 364 alunos, todos os alunos ficaram sabendo do boato em 1 hora.
 
Potência com expoente natural
Considere um número real positivo a. Para todo número natural n maior que 1, a potência a é o
produto de n fatores iguais ao número a.
A notação a é a representação de uma potência. a é chamado de base e n é o expoente, com n
significando a quantidade de vezes que a base aparece como fator de uma multiplicação.
Assim:
2 = 2 x 2 x 2 x 2
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
5 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
 
1 2
2
3
3
4
4
5
5 
6
6
7
2
5 6
n 
n
4
6
10 
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Potência com expoente inteiro
Para o cálculo de potências cuja base é um número real positivo e o expoente é um número inteiro
negativo, que iremos representar por -n, sendo n um número natural, temos:
Exemplos:
 
Potência com expoente racional
A potência a a , com a> 0 e a ≠ 1, para todo r ∈ Q tal que r= m/n, com m pertencendo ao conjunto
dos número Reais e n pertencendo ao conjunto dos números Naturais, excluindo o zero, é definida
como
Ou seja:
Por definição, consideram-se verdadeiras as seguintes afirmações:
a = a (todo número real a elevado a 1 é igual a ele mesmo).
a = 1, para qualquer número a ≠ 0 (todo número real, a, não-nulo, elevado a zero é
igual a 1).
1
0
r
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Propriedade das potências
A partir da definição de potências, é possível observar algumas de suas características. Essas
características das potências são decorrentes unicamente da relação entre a definição de potência e
as operações de multiplicação e divisão.
Considere
a, b ∈ R* e m, n ∈ Q
 
Potência de base 10
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade tantos zeros quantas forem as
unidades do expoente.
Exemplos
a. 10² = 100
b. 10 = 10000000
c. 200 = 2 x 100 = 2x10²
d. 4 000 = 4 x 1000 = 4 x 10
7 
3
4. Porcentagem
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Seja i um número real. A notação i%, que lê-se: “i por cento”, é usada para representar a fração
i/1oo.
i% = i/100
Guidorizzi (2012) enfatiza que, nos livros de matemática financeira, administração financeira, entre
outros, a taxa i% é usualmente representada pela letra r (inicial de rate que, em inglês, significa
taxa), e essa letra será também adotada nesse texto.
A porcentagem é uma fração em que o denominador é 100 e é representada com %.
Vamos refletir sobre o percentual de uma taxa unitária. Por exemplo:
A taxa percentual 20% corresponde à taxa unitária
r = 20% = 20/100 = 0,2.
Seja x um número real, e considerando i% a taxa percentual, a frase
“i% de x, significa o produto (multiplicação) de i% por x.
i% de x = i% . x
Vamos aos exemplos:
 
Exemplo 01:
Calcular 12% de 500.
Solução:
Observamos que
12% = 12/100 = 0,12
e que a base para cálculo é 500. Então, temos
12% de 500 = 0,12 . 500 = 60
Assim, 12% de 500 é 60.
 
Exemplo 02:
Uma loja oferece descontos nas mercadorias sobre o preço que está na etiqueta, nas compras para
pagamento à vista. Uma calça de linho, cujo preço da etiqueta era R$ 219,00, foi vendida por R$
186,15. Qual foi o percentual de desconto, dado pela loja?
Valor do desconto = 219,00 - 186,15 = 32,85
Se x% foi o desconto dado, sendo preço base da etiqueta R$219,00, então, temos:
219 de x% = 32,85, 
ou seja
x% = 32,85/219 = 0,15
Lembrando que
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x% = x/100 = 0,15,
então:
0,15 . 100 = 15%
Foi dado 15% de desconto na compra da calça, realizando pagamento à vista.
 
Exemplo 03:
Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 3000,00 por 2 meses, a uma taxa de juros compostos
de 6% ao mês. Quanto esta pessoa deverá desembolsar para pagar a dívida em dois meses?
Solução:
Juros compostos de 6% ao mês significam que, ao final do mês, devem ser calculados juros sobre
saldo devedor um mês antes.
1º mês: 3000 + 6% de 3000
3000 + 0,06 . 3000 = 3180
2 mês: (3000 + 6% de 3000) + 6% de (3000 + 6% de 3000) + 3180 + 0,06 . 3180 = 3180 + 190,8 =
3370,80
Portanto, o valor da dívida após dois meses será de R$ 3.370,80. Logo, para liquidar a dívida, será
necessário desembolsar este valor.
 
Devemos lembrar que as porcentagens são utilizadas não só em problemas do cotidiano, conforme
exemplos dados acima, mas também em análises estatísticas de empresas e grandes indústrias,
apresentações de resultados e representações gráficas para análise de informações e tomada de
decisão, ou seja, estudo e análise de porcentagem estarão sempre presentes em diversas áreas e
para diversos fins.
Porcentagens em apresentações Estatísticas.
5. Expressões algébricas
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Por que o uso de letras? Vamos ver um exemplo de utilização, ilustrado pela figura abaixo: imagine
que seu quarto tenha as medidas x e y e você queira revesti-lo com carpete.
Como você indicaria a quantidade de tecido necessária? E caso seja colocado um viés em toda barra
da roupa de cama? Quanto seria utilizado?
Como você indicaria a quantidadede carpete necessária? E a de rodapé?
Nessas duas situações, utilizamos letras para representar a forma genérica de calcular área e
perímetro que, no caso acima, teve sua aplicação em relação à quantidade de carpete e rodapé
necessária para utilização em um quarto com dimensões x e y.
As generalizações são situações nas quais a letra pode assumir o papel de variável. Generalizar é
expressar, de forma geral, uma situação. É colocar em uma expressão uma representação válida
para toda uma série ou sequência.
Pode-se chegar a uma generalização intuitivamente ou por meio de tentativas, até que se consiga
enxergar uma forma de estabelecer uma relação entre os valores que conseguimos visualizar ou
determinar e os valores que são conseguidos a partir dos dados de entrada.
As generalizações são fundamentais para o desenvolvimento de habilidades mais complexas
utilizadas nas diversas ciências, e, em particular na Matemática, na qual esta linguagem é
denominada Álgebra. Generalizando a situação acima, temos:
A quantidade de tecido necessária para confecção da roupa de cama corresponde à área desse
quarto de formato retangular. A área do retângulo pode ser expressa pela fórmula: A = x . y
Já a quantidade de rodapé, não considerando o espaço da porta, corresponde ao perímetro do
quarto e pode ser expressa pela fórmula: P = x + y + x + y, ou seja, P = 2x + 2y.
Na fórmula da área do retângulo, a letra x ou y pode representar vários números, portanto, é uma
variável.
Na fórmula do perímetro, a letra P, de perímetro, também é uma variável e varia em função de x e
y.
As variáveis são utilizadas de forma muito significativa nas fórmulas, pois, além de simplificar a
comunicação, o uso das letras também é universal, já que, da forma escrita sem variáveis, de modo
textual, apenas quem entende o idioma português entende, ao passo que a fórmula com letras pode
ser compreendida por pessoas de todo o mundo.
 Observe o exemplo abaixo:
Se o perímetro do retângulo anterior for 18 m e y igual ao dobro de x, temos:
Dimensões de quarto Retangular.
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P = 6x e a equação : 6x = 18
Nessa equação, x é uma incógnita, um número desconhecido e, para encontrá-lo, basta resolver a
equação.
As expressões x . y, 2x + 2y, 6x = 18 são chamadas expressões algébricas. São formadas por
números e letras ou somente por letras e servem para simplificar fórmulas, resolver equações.
A parte da Matemática que lida com variáveis e incógnitas chama-se Álgebra. Com ela, podemos
expressar fatos da aritmética, geometria e ciências em geral, resolver problemas em diversas
situações (não somente na Matemática), mas também em outras áreas do conhecimento ou em
situações diversas com as quais nos deparamos no nosso dia a dia.
São exemplos de expressões algébricas:
São exemplos de fórmulas matemáticas:
5.1. Propriedades da Multiplicação
Algumas propriedades da Multiplicação são:
1. Comutativa
a.b = b.a
2. Associativa
a.(b.c) = (a.b) .c
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3. Distributiva
a. (b + c) = a.b + a.c
Exemplos:
a) 5.10 = 10.5 = 50
b) 10. (5.2) = (10.5) .2
 10. (100 = (50) .2 = 100
c) 4. (2 + 1) = 4.2 + 4.1 = 12
5.2. Produtos notáveis
A fim de economizar tempo e não ter que multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos
notáveis.
 
Quadrado da Soma
Indicado por: o quadrado de a mais b é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemplos:
a) (x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9
b) (2x + 5)² = (2x)² + 2.2x.5 + 5² = 4x² + 20x + 25
 
Quadrado da Diferença de dois termos
Indicado por: quadrado de a menos b é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Exemplos:
a) (x - 7)² = x² - 2.x.7 + 7² = x² - 14x + 49
b) (3x + 5)² = (3x)² - 2.3x.5 + 5² = 9x² - 30x + 25
 
Produto da Soma pela Diferença de dois termos
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Indicado por: o produto da soma de a e b, pela diferença de a e b, é o quadrado do primeiro termo
(a) menos o quadrado do segundo termo (b):
(a + b) . (a - b) = a² - b²
Exemplos:
a) (x + 5). (x - 5) = (x)² - 5² = x² - 25
b) (5x + 2) . (5x - 2) = (5x)² - 2² = 25x² - 4
 
Cubo da Soma de dois termos
Indicado por: cubo de a mais b é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro
vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplos:
a) (x + 3)³ = x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
b) (2x + 5)³ = (2x)³ + 3.(2x)² . 5 + 3.2x.5² + 5³ = 8x³ + 60x² + 150x + 125
 
Cubo da Diferença de dois termos
Indicado por: cubo de a menos b é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do
primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo
do segundo.
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplos:
a) (x - 2)³ = x³ - 3.x².2 + 3.x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x - 8
b) (3x - 1)³ = (3x)³ - 3.(3x)² . 1 + 3.3x.1² - 1³ = 27x³ - 27x² + 9x -1
Todos os produtos notáveis podem ser demonstrados com propriedades algébricas. As regras
existem para facilitar nossos cálculos algébricos.
6. Conclusão
Este Tópico procurou mostrar a vocês a importância de conteúdos básicos da matemática, suas
principais características e aplicações. Discutimos operações numéricas e algébricas.
Concluímos que, com essa base, você terá um melhor desempenho ao longo da disciplina, ainda
terá possibilidade de aplicar conceitos discutidos neste Tópico em tópicos seguintes.
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Até próximo desafio!
7. Referências
GUIDORIZZI, Hamiton Luiz. Matemática para Administração. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
SMOLE, Katia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira.Matemática – volume 01.
3.ed. São Paulo: Saraiva, 2003.
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