DEFLEXÃO EM VIGAS

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Eng. Domingos F. O. Azevedo 1 
DEFLEXÃO EM VIGAS 
Sabe-se o cálculo da deflexão em vigas para pequenas deflexões e 
ainda no regime de comportamento elástico do material, pode ser obtida pela 
dupla integração da equação (1). 
(1) 
 
Exemplo: Uma viga engastada com uma seção uniforme AB e um 
carregamento F na extremidade livre B (figura 1). Determinar a inclinação em B 
e a equação elástica da curva. 
 
Figura 1: Representação simplificada 
Estabelecendo-se as equações de equilíbrio e usando-se o diagrama 
de corpo livre da porção BC da viga, onde C está localizado a uma distância x 
da extremidade B no plano cartesiano x,y conforme mostrado na figura 2. 
 
 
Figura 2: Diagrama de corpo livre 
L 
A B 
F 
y
 
x 
C 
B 
M 
x
V 
F 
L 
A 
2
2
dx
yd
IE
M =
∑ ∑ == 00 MeF
Eng. Domingos F. O. Azevedo 2 
Da figura 2 tem-se então que as reações são: 
(2) 
(3) 
Onde V é a reação cortante e M é o momento fletor reativo. 
Isolando-se M na equação (1) e substituindo-o por - Fx tem-se: 
(4) 
 
Integrando-se ambos os membros em x. 
(5) 
 
Obtém-se: 
(6) 
 
Pode-se determinar a inclinação na extremidade B através desta 
equação ao encontrar-se o valor da constante C1. Observando-se que no lado 
A engastado a inclinação será θ = dy/dx = 0, pois a tangente da curva neste 
ponto é paralela ao eixo x, e ocorre quando x = L, substituem-se os valores em 
(6) e resolve-se para C1, tem-se: 
(7) 
 
Substituindo-se o valor encontrado para C1 tem-se que a inclinação no 
ponto B será dada pela equação (8) quando x = 0: 
(8) 
 
A equação que dá a inclinação para qualquer valor de x entre 0 e L 
será obtida por: 
(9) 
 
FxM
FV
−=
−=
Fx
dx
yd
IE −=
2
2
dxFxdx
dx
yd
IE
LL
∫∫ −= 00 2
2
1
2
2
C
Fx
dx
dy
IE +−=
2
2
1
FL
C =
IE
FL
dx
dy
B 2
2
=




=θ
( )22
2
1
FLFx
IEdx
dy +−==θ
Eng. Domingos F. O. Azevedo 3 
 
Para determinar a deflexão na viga integram-se ambos os membros da 
equação (9). 
(10) 
Resultando então em: 
(11) 
 
Sabe-se que quando x = L, y = 0, por tanto, substituindo em (11) tem-
se: 
(12) 
Isolando-se C2, tem-se: 
 (13) 
Substituindo o valor de C2 obtido em (13) na equação (11) tem-se: 
(14) 
 
Simplificando tem-se: 
 
A deflexão y na extremidade B ocorre quando x = 0, desta forma 
obtém-se: 
(15) 
 
Figura 3: Viga flexionada 
y 
L 
A 
B 
x = L, y = 0, θ = 0 
yB 
x 
dxFLFx
IE
dx
dx
dy LL
∫∫ +−= 0
22
0 2
1





 ++−= 2
2
3
32
1
CxFL
Fx
IE
y
3
32
1
0
3
2
2
2
3
FL
C
CLFL
FL
IE
yA
−=





 ++−==
( )323
3
2
3
23
6
332
1
LxLx
IE
F
y
FL
xFL
Fx
IE
y
−+−=





 −+−=
IE
FL
yB 3
3
−=