AulasT(09-03-24e09-03-31)

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UNB

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Noberto Frota
20/06/2020
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Derivadas
Derivadas
(24-03-2009 e 31-03-2009)
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Recta Tangente
Seja C uma curva de equação y = f(x). Para determinar a recta
tangente a C no ponto P de coordenadas (a, f(a)), i.e,
P (a, f(a)), começamos por considerar um ponto Q(x, f(x)), com
x 6= a e calculamos a inclinação da recta secante PQ:
mPQ =
f(x) − f(a)
x − a
Depois, ”aproximamos o ponto Q” do ponto P , fazendo x tender
para a. Se mPQ tender para um número m, então definimos a
recta tangente t como a recta que passa por P e tem inclinação
m.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) é a
recta que passa por P e tem inclinação
m = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
( ou m = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
)
desde que esse limite exista.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Velocidade
Suponha um objecto a mover-se sobre uma linha recta de acordo
com a equação y = s(t), onde s é o deslocamento do objecto a
partir da origem. A função s que descreve o movimento é chamada
função posição do objecto. No intervalo de tempo entre t = a e
t = a + h, a variação na posição será de s(a + h) − s(a)
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
A velocidade média nesse intervalo é
velocidade média =
deslocamento
tempo
=
s(a + h) − s(a)
h
que é igual à inclinação da recta secante PQ.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Suponha que a velocidade média é calculada em intervalos cada
vez menores [a, a + h], isto é, fazemos h tender para 0.
Definimos velocidade (ou velocidade instantânea), v(a), no
instante t = a como o limite dessas velocidades médias:
v(a) = lim
h→0
s(a + h) − s(a)
h
Assim, a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da recta
tangente a y = s(t) em P (a, s(a)).
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Taxa de variação
(Recordemos...)
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra
quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f(x).
Se x variar de a para a + h, então a variação de x é
∆x = (a + h) − a = h
e a variação correspondente de y é
∆y = f(a + h) − f(a)
O quociente
∆y
∆x
=
f(a + h) − f(a)
h
designa-se por taxa média de variação de y em relação a x no
intervalo [a, a + h].
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Consideremos as taxas médias de variação em intervalos cada vez
menores (fazendo h tender para 0, logo ∆x tende para 0). O
limite das taxas médias de variação é designado por taxa
(instantânea) de variação de y em relação a x em x = a.
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se este limite existir.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Assim, a velocidade de uma part́ıcula é a taxa de variação do
deslocamento em relação ao tempo.
Seja R = R(x) a função de receita total para um produto.
Definimos receita marginal para um produto como a taxa de
variação instantânea de R em relação a x. Assim,
Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é dada por
lim
h→0
R(a + h) − R(a)
h
desde que esse limite exista.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Derivadas
O limite da forma
lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
surge sempre que calculamos uma taxa de variação em várias áreas
de estudo. Uma vez que este tipo de limite surge amplamente, são
dados a ele um nome e uma notação especiais.
Definição
A derivada de uma função f num ponto a, denotada por f ′(a), é
f ′(a) = lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
se o limite existir.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Algumas notações alternativas para a derivada da função y = f(x):
f ′(x), y
′
,
dy
dx
,
df
dx
Por exemplo, sendo
y = f(x) = sinx
então a derivada pode ser designada por
f ′(x) = cos x, y′ = cos x,
dy
dx
= cos x,
df
dx
= cos x
Iremos utilizar mais a notação f ′(x).
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Assim,
A recta tangente a uma curva y = f(x) no ponto P (a, f(a)) é a
recta que passa por P e tem inclinação m = f ′(a).
(É a recta de equação: y − f(a) = f ′(a)(x − a) )
Se y = s(t) for a função posição de um objecto, então a
velocidade do objecto no instante t = a, v(a), é s′(a).
A taxa de variação (instantânea) de y = f(x) em relação a x
quando x = a é f ′(a).
Se a função receita total para um produto for dada por y = R(x),
onde x é o número de unidades vendidas, então, a receita marginal
para a unidades é R′(a).
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Em aulas anteriores já determinámos a derivada de algumas
funções. Por exemplo, vimos que a derivada da função f(x) = ex é
f ′(x) = ex, a derivada de g(x) = lnx é g′(x) = 1
x
, a derivada de
h(x) = sinx é h′(x) = cos x e a derivada de m(x) = cos x é
m′(x) = − sinx.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Fazendo uma análise ao gráfico da função constante f(x) = c
observamos que o gráfico é a recta horizontal y = c, cuja
inclinação é 0, logo devemos ter f ′(x) = 0.
Por definição podemos constatar que tal se verifica:
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
c − c
h
= lim
h→0
0
h
= 0
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Derivada de uma função constante
Se f(x) = c, para c uma constante, então f ′(x) = 0.
Exemplos
Se f(x) = 5 então f ′(x) = 0.
Se f(x) = 13 então f
′(x) = 0.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Iremos apresentar a derivada de várias funções sem fazer a
respectiva demonstração.
Regra da potência
Se n for um número real qualquer, então para f(x) = xn vem
f ′(x) = nxn−1.
Exemplos
Se f(x) = x então f ′(x) = 1x0 = 1
Se f(x) = x2 então f ′(x) = 2x1 = 2x
Se f(x) = x3 então f ′(x) = 3x2
Se f(x) = x
1
3 então f ′(x) = 13 × x
( 1
3
−1) = 13 × x
−
2
3
Se f(x) = 1
x2
então f(x) = x−2 logo f ′(x) = −2x(−2−1) = −2x−3
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Função exponencial f(x) = ex
Se f(x) = ex então f ′(x) = ex.
Função exponencial f(x) = ax, com a > 0 e a 6= 1
Se f(x) = ax então f ′(x) = ax ln a.
Exemplos
Se f(x) = 2x então f ′(x) = 2x ln 2
Se f(x) = (23)
x então f ′(x) = (23)
x ln 23
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Função logaritmo neperiano f(x) = lnx
Se f(x) = lnx então f ′(x) = 1
x
.
Função logaritmo de base a f(x) = loga x, com a > 0 e a 6= 1
Se f(x) = loga x então f
′(x) = 1
x ln a .
Exemplos
Se f(x) = log3 x então f
′(x) = 1
x ln 3
Se f(x) = log 1
4
x então f ′(x) = 1
x ln 1
4
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Função seno
Se f(x) = sinx então f ′(x) = cos x.
Função cosseno
Se f(x) = cos x então f ′(x) = − sinx.
Quando uma função é formada a partir de outras funções (das
quais sabemos a sua derivada) por adição, multiplicação ou
divisão, a sua derivada pode ser calculada em termos das derivadas
dessas funções, pelas regras que se seguem.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Constante c a multiplicar por uma função g
Se f(x) = cg(x) então f ′(x) = cg′(x).
Exemplos
Se f(x) = 3x então f ′(x) = (3x)′ = 3(x)′ = 3 × 1 = 3
Se f(x) = 2 sinx então f ′(x) = (2 sin x)′ = 2(sinx)′ = 2cos x
Se f(x) = 4x3 então f ′(x) = (4x3)′ = 4(x3)′ = 4(3x2) = 12x2
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Soma de funções
Se f(x) = g(x) + h(x) então f ′(x) = g′(x) + h′(x), i.e,
[g(x) + h(x)]′ = g′(x) + h′(x)
”a derivada da soma é igual à soma das derivadas”
Exemplos
Se f(x) = x2 + lnx e g(x) = 2x4 + cos x − ex então
f ′(x) = (x2 + lnx)′
= (x2)′ + (ln x)′
= 2x + 1
x
g′(x) = (2x4 + cos x − ex)′
= (2x4)′ + (cos x)′ + (−ex)′
= 2(x4)′ − sinx + (−1)(ex)′
= 2(4x3) − sinx + (−1)ex
= 8x3 − sinx − ex
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Multiplicação de funções
Se f(x) = g(x)h(x) então f ′(x) = g′(x)h(x) + g(x)h′(x), i.e,
[g(x)h(x)]′ = g′(x)h(x) + g(x)h′(x)
”a derivada do produto é igual à
derivadada primeira vezes a segunda
mais
a primeira vezes a derivada da segunda”
Exemplo
Se f(x) = x3 sinx então
f ′(x) = (x3 sinx)′
= (x3)′ sinx + x3(sinx)′
= 3x2 sinx + x3 cos x
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Quociente de funções
Se f(x) =
g(x)
h(x)
então f ′(x) =
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
, i.e,
[ g(x)
h(x)
]′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
”a derivada do quociente é igual à
derivada do numerador vezes o denominador
menos
o numerador vezes a derivada do denominador,
tudo a dividir pelo
quadrado do denominador”
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
[ g(x)
h(x)
]′
=
g′(x)h(x) − g(x)h′(x)
[h2(x)]
Exemplo
Se f(x) =
cos x
2x
então
f ′(x) =
[cos x
2x
]
′
=
(cos x)′(2x) − (cos x)(2x)′
[2x]2
=
(− sinx)(2x) − (cos x)(2)
4x2
=
−2x sinx − 2 cos x
4x2
=
−2(x sinx + cos x)
4x2
=
−(x sinx + cos x)
2x2
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Composição de funções
Se f(x) = g(x) ◦ h(x) então f ′(x) = g′(h(x)).h′(x), i.e,
[g(x) ◦ h(x)]′ = g′(h(x)).h′(x)
Exemplos
Se f(x) = sin(3x5) então
[
(sin(u))′ = d
du
sin(u) = cos u, fazendo
u = 3x5 vem cos(3x5)
]
f ′(x) = [sin(3x5)]′
= [cos(3x5)].(3x5)′
= [cos(3x5)].[3(x5)′]
= [cos(3x5)].[3(5x4)]
= [cos(3x5)].(15x4)
= 15x4 cos(3x5)
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Tabela de Derivadas
f = f(x), g = g(x) funções, c =constante e α =uma constante
não nula
(c)′ = 0 (ef )′ = f ′ef
(x)′ = 1 (af )′ = f ′af ln a, a > 0, a 6= 1
(cf)′ = cf ′ (ln f)′ = f
′
f
(f + g)′ = f ′ + g′ (loga f)
′ = f
′
f ln a , a > 0, a 6= 1
(fg)′ = f ′.g + f.g′ (sin f)′ = f ′ cos f
(f
g
)′ = f
′.g−f.g′
g2
(cos f)′ = −f ′ sin f
(fα)′ = αf ′fα−1
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Exerćıcios
1 Determine uma equação da recta tangente à parábola
y = x2 + 1 nos pontos indicados.
(a) (0, 1)
(b) (−1, 2)
(c) Faça um esboço da parábola y = x2 + 1 e das rectas
obtidas nas aĺıneas anteriores.
2 Um projéctil é lançado verticalmente do solo com uma
velocidade inicial de 112 metros por segundo. Após t
segundos, a sua distância ao solo é de 112t − 4, 9t2 metros.
Determine:
(a) a velocidade do projéctil para t = 2.
(b) o instante em que o projéctil atinge o solo.
(c) a velocidade em que o projéctil atinge o solo.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Monotonia de uma função
Se uma função f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive positivo,
então a curva está a subir no intervalo e a função é crescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f ′(x), logo, se f ′(x) > 0 num intervalo, então f(x) é
crescente nesse intervalo.
Se uma função f ≡ f(x) tiver derivada num intervalo (a, b) e se
cada recta tangente à curva nesse intervalo tiver declive negativo,
então a curva está a descer no intervalo e a função é decrescente.
Mas, o declive da recta tangente a f em x é dado pela derivada de
f em x, f ′(x), logo, se f ′(x) < 0 num intervalo, então f(x) é
decrescente nesse intervalo.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Extremos de uma função
Máximo
Uma função f ≡ f(x) tem um máximo local (ou máximo relativo)
em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A função f(x) = −x2 tem um máximo local em 0 pois
f(0) ≥ f(x) para valores de x próximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Mı́nimo
Uma função f ≡ f(x) tem um ḿınimo local (ou ḿınimo relativo)
em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo
A função f(x) = x2 tem um ḿınimo local em 0 pois f(0) ≤ f(x)
para valores de x próximos de c.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Os valores máximos e ḿınimos locais de uma função f são
chamados extremos locais.
A derivada f ′(x) pode mudar de sinal somente nos valores de x
onde f ′(x) = 0 ou f ′(x) não está definida.
Ponto cŕıtico
Um valor cŕıtico de uma função f é um número c no doḿınio de f
onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe. O ponto correspondente ao
valor cŕıtico c designa-se por ponto cŕıtico.
Se f tiver um máximo ou um ḿınimo local em c então f ′(c) = 0
ou f ′(c) não está definida, isto é, c é um valor cŕıtico.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Exemplo
Esta função tem dois máximos locais, um em x = a e outro em
x = c. Em x = a a derivada é zero e em x = c a derivada não
existe. Esta função tem um ḿınimo local em x = b e f ′(b) = 0.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Como determinar máximos e ḿınimos locais de uma função f
1 Calcular f ′(x).
2 Determinar os valores cŕıticos de f , isto é, determinar os x
tais que f ′(x) = 0 ou f ′(x) não existe.
3 Calcular f ′(x) em alguns valores de x à esquerda e à direita
de cada valor cŕıtico (fazendo um quadro de sinais).
(a) se f ′(x) > 0 à esquerda e f ′(x) < 0 à direita do valor
cŕıtico, então f tem um máximo local nesse valor cŕıtico.
(b) se f ′(x) < 0 à esquerda e f ′(x) > 0 à direita do valor
cŕıtico, então f tem um ḿınimo local nesse valor cŕıtico.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Exemplo
Determinar os máximos e ḿınimos locais de
f(x) = 13x
3 − x2 − 3x + 2.
1 Calculemos f ′(x). f ′(x) = x2 − 2x − 3
2 Determinemos os valores cŕıticos de f . Como f ′(x) existe
para todo o x em R, basta determinar os x tais que f ′(x) = 0.
f ′(x) = 0 x =
2 ± 4
2
x2 − 2x − 3 = 0 x = −2
2
∨ x = 6
2
x =
2 ±
√
4 + 12
2
x = −1 ∨ x = 3
x =
2 ±
√
16
2
Os valores cŕıticos de f são x = −1 e x = 3.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Exemplo (cont.)
3 Calculemos f ′(x) em alguns valores de x à esquerda e à
direita de cada valor cŕıtico (fazendo um quadro de sinais).
f ′(−2) = 5 > 0 f ′(0) = −3 < 0 f ′(4) = 5 > 0
−1 3
f ′ + 0 − 0 +
f ր Máx ց min ր
Como f ′(x) > 0 à esquerda e f ′(x) < 0 à direita do valor
cŕıtico x = −1, então f tem um máximo local em x = −1.
Como f ′(x) < 0 à esquerda e f ′(x) > 0 à direita do valor
cŕıtico x = 3, então f tem um ḿınimo local em x = 3.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Exemplo (cont.)
Pela análise gráfica podemos confirmar a localização do máximo e
do ḿınimo.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Se a primeira derivada de f for zero no valor cŕıtico c mas não
mudar de positiva para negativa ou de negativa para positiva
conforme x passa por c, então f não tem nem máximo nem
ḿınimo local em c.
Exemplo
Os valores cŕıticos da função f(x) = 14x
4 − 23x3 − 2x2 + 8x + 4
são x = −2 e x = 2. A função f tem ḿınimo local em x = −2 e
não tem nem máximo nem ḿınimo em x = 2.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Aplicação: Rectângulo de área máxima
Suponhamos o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
peŕımetro igual a 100 metros, de modo ao rectângulo ter área
máxima.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
A área é dada por A = xy e o peŕımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com o mesmo
peŕımetro e áreas distintas. Por exemplo:
para x = 10 e y = 40 vem P = 100 e A = 400
para x = 20 e y = 30 vem P = 100 e A = 600
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter P = 100 e obter o valor máximo para A.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Vamos escrever a função área como uma função de uma só
variável.
Como o peŕımetro é 100 metros, temos
2x + 2y = 100
x + y = 50
y = 50 − x
Substituindo y por 50 − x em A = xy obtemos
A = x(50 − x)
que é uma função na (única) variável x.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Determinemos o(s) máximo(s) da função área
A(x) = x(50 − x) = −x2 + 50x
Comecemos por determinar a suaderivada.
A′(x) = −2x + 50
Determinemos os valores cŕıticos de A. Como A′(x) existe para
todo o x em R, basta determinar os x tais que A′(x) = 0.
A′(x) = 0 ⇔ −2x + 50 = 0 ⇔ x = 25
O (único) valor cŕıtico de A é x = 25.
Derivadas Matemática II 2008/2009
Derivadas
Calculemos A′(x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 25
(fazendo um quadro de sinais).
A′(24) = 2 > 0 A′(26) = −2 < 0
25
A′ + 0 −
A ր Máx ց
Como A′(x) > 0 à esquerda e A′(x) < 0 à direita do valor cŕıtico
x = 25, então A tem um máximo local em x = 25.
Uma vez que y = 50 − x, vem y = 50 − 25 = 25.
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Derivadas
Conclúımos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e a
área máxima é atingida se o rectângulo for um quadrado.
O valor máximo da área rectangular que é posśıvel conter dentro
do peŕımetro 100 metros será
A = 25 × 25 = 625m2
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Aplicação: Rectângulo de peŕımetro ḿınimo
Suponhamos agora o seguinte problema.
Pretende-se determinar as medidas dos lados de um rectângulo, de
área igual a 100 m2, de modo ao rectângulo ter peŕımetro ḿınimo.
Designemos os comprimentos dos lados do rectângulo por x e y
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A área é dada por A = xy e o peŕımetro por P = 2x + 2y
Observemos que podemos ter rectângulos distintos com a mesma
área e peŕımetros distintos. Por exemplo:
para x = 2 e y = 50 vem A = 100 e P = 104
para x = 5 e y = 20 vem A = 100 e P = 50
O que se pretende aqui, é determinar os valores de x e de y para se
ter A = 100 e obter o valor ḿınimo para P .
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Derivadas
Vamos escrever a função peŕımetro como uma função de uma só
variável.
Como a área é 100 metros, temos
xy = 100
y =
100
x
(É claro que x 6= 0, caso contrário a área seria nula. É também
óbvio que 0 < x ≤ 100 e 0 < y ≤ 100)
Substituindo y por 100
x
em P = 2x + 2y obtemos
P = 2x + 2.
100
x
= 2x +
200
x
que é uma função na (única) variável x.
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Determinemos o(s) ḿınimo(s) da função peŕımetro
P (x) = 2x +
200
x
Comecemos por determinar a sua derivada.
P ′(x) = (2x+200x−1)′ = 2+200(−1)x(−1−1) = 2−200x−2 = 2−200
x2
Determinemos os valores cŕıticos de P . Como P ′(x) existe para
todo o x em causa (0 < x ≤ 100), basta determinar os x tais que
P ′(x) = 0.
P ′(x) = 0 ⇔ 2 − 200
x2
= 0 ⇔ 2x
2 − 200
x2
= 0
Assim 2x2 − 200 = 0, logo x2 = 100, e portanto x = ∓10. Mas
x = −10 não faz sentido (uma vez que x representa um
comprimento). Assim, o único candidato a valor ḿınimo de P , que
nos interessa, é x = 10.
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Calculemos P ′(x) em valores de x à esquerda e à direita de x = 10
(fazendo um quadro de sinais).
P ′(9) = −38
81
< 0 P ′(11) =
42
121
> 0
10
P ′ − 0 +
P ց ḿın ր
Como P ′(x) < 0 à esquerda e P ′(x) > 0 à direita do valor cŕıtico
x = 10, então P tem um ḿınimo local em x = 10.
Uma vez que y = 100
x
, vem y = 10010 = 10.
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Derivadas
Conclúımos que os quatro lados têm o mesmo comprimento e o
peŕımetro ḿınimo é atingido se o rectângulo for um quadrado.
O valor ḿınimo do peŕımetro rectangular que é posśıvel delimitar
uma área de 100 metros quadrados será
P = 2 × 10 + 2 × 10 = 40m
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Exerćıcio
A receita semanal de um filme lançado recentemente é dada por
R(t) =
50t
t2 + 36
, t ≥ 0
onde R está em milhões de euros e t em semanas.
1 Determine os extremos locais.
2 Durante quantas semanas a receita semanal aumentará?
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