AD1 2020.1 Met Det II - Gabarito

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Métodos Determińısticos II
1o Semestre de 2020
Questão 1 [4,0 pts] Considere a seguinte função
f(x) =

1− x2, se x ≤ −1,
0, se −1 < x ≤ 2,
2x + 1, se x > 2.
a) [1,0 pts] Faça o esboço do gráfico de f , fazendo o gráfico de f e os eixos na cor preta;
b) [1,0 pts] Marque os pontos do domı́nio no eixo 0x na cor vermelha;
c) [1,0 pts] Marque os pontos da imagem no eixo 0y na cor azul;
d) [1,0 pts] Analise o comportamento (crescimento, decrescimento ou constância) de f nos intervalos
de definição.
Solução: a), b), c) O gráfico da função tem 3 partes: x ≤ −1, −1 < x ≤ 2 e x > 2:
d) A função é crescente em (−∞,−1] ∪ [2,+∞) e constante em [−1, 2].
Questão 2 [2,0 pts] Sabendo que f(x) = 3x e g(x) = log3(x
2 + 1). Determine:
a) [1,0 pts] A expressão de (f ◦ g)(x);
b) [0,5 pts] (f ◦ g)(2);
c) [0,5 pts] (g ◦ f) (1).
Solução: a)(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 3g(x) = 3log3(x2+1) = x2 + 1;
b)(f ◦ g)(2) = 22 + 1 = 5;
c)(g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(31) = g(3) = log3(32 + 1) = log3(10);
Questão 3 [2,0 pts] Marque a alternativa que melhor descreve o significado de log3 5 = k:
1
a) Pela definição significa que 3k = 5;
b) Por contas significa que 53 = k;
c) Significa que 35 = k;
d) Nenhuma das anteriores.
Solução: Item a).
Questão 4 [2,0 pts] Calcule os seguintes limites:
a) [0,5 pts] lim
x→5
x2 − 25
x− 5
, c) [1,0 pts] lim
x→3
x2 − 2x− 3
x− 3
.
b) [0,5 pts] lim
x→1
x
x2 + 6x
,
Solução: a) Sabemos que, quando x 6= 5:
x2 − 25
x− 5
=
(x + 5)(x− 5)
x− 5
= (x + 5).
Então, quando x se aproxima de 5, a função complicada da esquerda é igual a função bem mais
simples da direita: x + 5. Logo, o limite da fração complicada, neste caso, é igual ao limite da
função de primeiro grau. Podemos sintedizar todo esse racioćınio da seguinte forma que já serve como
argumentação completa, sem precisar escrever este texto anterior:
lim
x→5
x2 − 25
x− 5
= lim
x→5
(x + 5)(x− 5)
x− 5
= lim
x→5
(x + 5) = 5 + 5 = 10;
b) lim
x→1
x
x2 + 6x
=
1
12 + 6.1
=
1
7
;
c) Como no item a)
lim
x→3
x2 − 2x− 3
x− 3
= lim
x→3
(x− 3)(x + 1)
x− 3
= lim
x→3
(x + 1) = 3 + 1 = 4.
Boa AD!!! “Eu descobri que quanto mais eu trabalho, mais sorte pareço ter.”
(Thomas Jefferson - terceiro presidente dos Estados Unidos)
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