Gabarito Exercicios Matemática Univesp 13-14

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MateMática
exercícios das aulas 13-14
aula 13
exercício 1
Observe os gráficos desenhados no plano cartesiano. 
A função f tem equação: f(x) = – 0,5x + 2.
Qual é a equação de g?
g(x)
f(x)
2
-2
x
y
exercício 2
Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos das 
funções:
f(x)  =  x2,  g(x)  =  x2 - 3  e  h(x)  =  (x - 3)2
2Matemática / Exercícios das aulas 13–14
Descreva as transformações que o gráfico de f deveria sofrer para coinci-
dir com o gráfico de g ou com o gráfico de h.
exercício 3
Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as 
funções f(x) = x2 e g(x) = (x – 3)2 – 3.
Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos 
impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).
exercício 4
Dada a função f(x) = −3x2 + 2x − 5, obtenha a equação da função g cujo 
gráfico é uma parábola simétrica à parábola de f em relação ao eixo x.
exercício 5
Observe os gráficos de três funções exponenciais. Sendo f(x) = 3x, e sa-
bendo que as expressões das demais funções são do tipo:
y = k + 3x + p
Determine as equações das funções g e h.
-1-2-3-4
-1
-3
-2
-4
1
5
4
3
6
h(x)
f(x)
g(x)
x
y
aula 14
exercício 1
Desenhe num mesmo plano cartesiano as parábolas que representam as 
funções f(x) = x2 e g(x) = (x – 3)2 – 3. 
Compare os dois gráficos e descreva as transformações que podemos 
impor ao gráfico de f(x) para que ele coincida com o gráfico de g(x).
3Matemática / Exercícios das aulas 13–14
exercício 2
A expressão x2 – 6x + 8 pode ser assim fatorada:
x2 - 6x + 9  – 9 + 8
   
    (x + 3)2    -1
Descreva as translações necessárias para que o gráfico da função y = x2 
se sobreponha ao gráfico da função y = (x – 3)2 – 1.
exercício 3
Dada a função quadrática g(x) = x2 + 4x – 3, escreva-a na forma 
y = (x + k)2 + p e determine as coordenadas do vértice da parábola que 
representa g(x) no plano cartesiano.
exercício 4
Escreva as expressões seguintes na forma y = (x + m)2 + n.
a. y = x2 + 8x + 5 
b. y = x2 – 4x – 2
c. y = x2 – 10x + 8 
d. y = x2 + 6x – 2
exercício 5
Obtenha a equação da função h, polinomial de 2º grau, cujo gráfico é 
representado a seguir.
4
3
2
1
5
-1
-1 1 32
g
x
y
Adicionamos e subtraímos 
9 unidades, pois 9  
é o quadrado de 3,  
que é a metade de 6.
4Matemática / Exercícios das aulas 13–14
exercício 6
A função g, de equação g(x) = x2 – 4x + 3 é definida apenas para x ≥ 2 e 
para y ≥ –1, como se pode observar por seu gráfico representado abaixo. 
Determine a equação de g –1 e escreva seu domínio e seu contradomínio:
4
2
1
3
0
-1
1 2 3 4
y
x
5Matemática / Exercícios das aulas 13–14
gabarito
aula 13
exercício 1
O gráfico de g(x) pode ser visto como uma reflexão do gráfico de f(x) em 
relação ao eixo das abscissas e, nesse caso, g(x) = –f(x). Logo, a equação 
de g(x) é: g(x) = –(–0,5x + 2) = 0,5x – 2.
Resposta: g(x) = 0,5x – 2.
exercício 2
Podemos construir uma tabela atribuindo valores a x e calculando seus 
respectivos correspondentes y para cada uma das funções. Em seguida, 
construiremos os gráficos.
x f(x) = x2 g(x) = x2 - 3 h(x) = (x - 3)2
-3 9 6 36
-2 4 1 25
-1 1 -2 16
0 0 -3 9
1 1 -2 4
2 4 1 1
3 9 6 0
-4 54321-1-2-3
-1
1
-2
6
5
4
3
2
h(x) = (x – 3)2
g(x) = x2 – 3
f(x) = x2
-3
Deslocando verticalmente o gráfico de f 3 unidades para baixo, este coin-
cidirá com o gráfico de g. De fato, essa condição pode ser percebida com-
parando as equações das duas funções:
6Matemática / Exercícios das aulas 13–14
f(x)  =  x2  e  g(x)  =  x2 - 3
Deslocando horizontalmente o gráfico de f 3 unidades para a direita, este 
coincidirá com o gráfico de h.
De fato, essa condição pode ser percebida comparando as equações 
das duas funções:
f(x)  =  x2  e  h(x)  =  (x - 3)2
exercício 3
Neste caso, o gráfico de f deve sofrer duas translações sucessivas, uma 
horizontal e outra vertical, para coincidir com o gráfico de g. Isso porque, 
ao compararmos as equações das duas funções, percebemos que:
 → De x2 para (x – 3)2: translação horizontal de 3 unidades para a direita;
 → De x2 para x2 − 3: translação vertical de 3 unidades para baixo
 → De x2 para (x – 3)2 − 3: translação horizontal de 3 unidades para a 
direita e translação vertical de 3 unidades para baixo.
-2
-3
-1
1
5
4
3
2
6
-2-3 -1 1 5432 6
y = x2 g(x) = (x – 3)2 – 3
Resposta: Os gráficos de f e g, em um único sistema cartesiano, são apre-
sentados acima.
exercício 4
Se os gráficos das duas funções são simétricos em relação ao eixo x, en-
tão temos que: 
f(x)  =  -g(x)
Dessa forma, multiplicamos a expressão de f(x) por (−1). Assim:
7Matemática / Exercícios das aulas 13–14
g(x)  =  (-1) × f(x)  =  (-1) × (-3x2 + 2x - 5)
g(x)  =  3x2 - 2x + 5
Observe os gráficos das funções f e g em um único sistema de eixos car-
tesianos. 
-4 -2 x
-2
2
-4
14
4
-6
g
f
-2
y
Resposta: g(x) = 3x2 − 2x + 5.
exercício 5
O gráfico de f coincidirá com o gráfico de g se for transladado 4 unidades 
para baixo. Assim: 
g(x)  =  f(x) - 4
Ou 
g(x)  =  - 4 + 3x
O gráfico de f(x) coincidirá com o gráfico de h(x) caso seja transladado de 
1 unidade para a esquerda. Assim:
h(x)  =  f(x + 1)
Ou
h(x)  =  3x + 1
Resposta: São estas as equações das funções:
g(x)  =  - 4 + 3x  e  h(x)  =  3x + 1
8Matemática / Exercícios das aulas 13–14
aula 14
exercício 1
Neste caso, o gráfico de f deve sofrer duas translações sucessivas, uma 
horizontal e outra vertical, para coincidir com o gráfico de g. Isso porque, 
ao compararmos as equações das duas funções, percebemos que:
 → De x2 para (x – 3)2: translação horizontal de 3 unidades para a direita;
 → De x2 para x2 − 3: translação vertical de 3 unidades para baixo
 → De x2 para (x – 3)2 − 3: translação horizontal de 3 unidades para a 
direita e translação vertical de 3 unidades para baixo.
-2
-3
-1
1
5
4
3
2
6
y = x2 g(x) = (x – 3)2 – 3
Resposta: os gráficos de f e g, em um único sistema cartesiano, são apre-
sentados acima.
exercício 2
Para que o gráfico de y = (x – 3)2 – 1 se sobreponha ao gráfico de y = x2, é 
preciso que ele sofra translação horizontal de 3 unidades para a esquer-
da e também uma translação vertical de 1 unidade para baixo.
exercício 3
Precisamos fatorar a expressão de g, transformando-a em um quadrado 
perfeito. Para tanto, vamos adicionar e subtrair 4 unidades:
g(x)  =  x2 + 4x + 4  – 4 - 3
   
  g(x)  =    (x + 2)2    -7
9Matemática / Exercícios das aulas 13–14
-2
-4
-6
-8
8
6
4
2
-4 -2 2-6 4
y
x
Obtivemos uma expressão equivalente à original na qual k = 2 e p = −7, 
portanto, a parábola que representa g no plano cartesiano, em relação 
ao gráfico de f(x) = x2, está deslocada 2 unidades para a esquerda (k é po-
sitivo) e 7 unidades para baixo. Desse modo, o vértice da parábola estará 
localizado no ponto de coordenadas (−2, −7), como podemos observar 
pelo gráfico da função. A função g pode ser escrita na forma y = (x + k)2 
+ p como:
g(x)  =  (x + 2)2 - 7
Resposta: o vértice da parábola que representa g é (−2, −7).
exercício 4
As respostas são as seguintes: 
 
a. (x + 4)2 – 11 
b. (x – 2)2 – 6 
c. (x – 5)2 – 17 
d. (x + 3)2 – 11
10Matemática / Exercícios das aulas 13–14
exercício 5
O vértice da parábola é o ponto V(1, 2), e a curva intercepta o eixo y no 
ponto (0, 4).
Substituiremos as coordenadas do vértice na expressão:
y  =  a × (x - xv)
2 + yv
Obtendo:
y  =  a × (x - 1)2 + 2
y  =  a × (x2 - 2x + 1) + 2 
Em seguida, substituímos na equação as coordenadas do ponto (0, 4) para 
determinar o valor do coeficiente a:
4  =  a × (02 - 2 × 0 + 1) +2
4  =  1a + 2
a  =  2
Resposta: a equação da função h é:
h(x)  =  2(x - 1)2 + 2
Ou, escrita na forma geral, desenvolvendo o quadrado: 
h(x)  =  2x2 - 4x + 4
exercício 6
Para obter a equação que representa g–1, podemos recorrer à fatoração 
da expressão de g(x). Observe
y  =  x2 - 4x + 3
y  =  x2 - 4x + 4 + 3 – 4  (somamos e subtraímos 4)
y  =  (x - 2)2 - 1
11Matemática / Exercícios das aulas 13–14
x  =  (y- 2)2 - 1  (Mudança de variável: y por x e x por y)
x + 1  =  (y - 2)2
±  x + 1   =  y - 2
y  =  2 ±  x + 1
A condição do domínio de g, ou do contra domínio de g–1 impõem que: 
g-1(x)  =  2 +  x + 1
3
3-1 1 2 4 5
-1
1
2
4
g-1
g
x
y
Observe os gráficos de g e de g–1 desenhados em um único sistema de 
eixos cartesianos. Note como um dos gráficos pode ser obtido a partir da 
reflexão do outro em relação à reta bissetriz do 1º quadrante.
Resposta: a equação da função inversa de g(x) = x2 – 4x + 3 no domínio 
e contradomínio considerados é:
g -1(x) =  2 +  x + 1
12Matemática / Exercícios das aulas 13–14
bibliografia recomendada
 Cadernos da Secretaria de Educação do Es-
tado de São Paulo. Ensino Médio, Volume 
1, 2º bimestre.