Matemática - Teórico_VOLUME4

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA E TRIGONOMETRIA
GEOMETRIA ESPACIAL
Aulas 27 e 28: Funções compostas 6
Aulas 29 e 30: Funções trigonométricas 10
Aulas 31 e 32: Equações e inequações modulares 30
Aulas 33 e 34: Funções modulares 37
Aulas 27 e 28: Inequações trigonométricas 48
Aulas 29 e 30: Princípio fundamental da contagem 53
Aulas 31 e 32: Fatorial, permutação simples e permutação com repetição 58
Aulas 33 e 34: Arranjos 65
Aulas 27 e 28: Volume de prismas 74
Aulas 29 e 30: Pirâmides e troncos de pirâmides 81
Aulas 31 e 32: Cilindros 93
Aulas 33 e 34: Cones e troncos de cone reto 100
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Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
5
ÁLGEBRA: Incidência do tema nas principais provas
UFMG
A prova trará uma questão sobre as funções, 
na primeira ou segunda fase. Questões com 
temas aplicados ao nosso cotidiano ocorrem 
com frequência.
A prova exigirá conceitos mais específicos 
sobre as funções estudadas neste livro, e 
equações e inequações podem aparecer com 
grau elevado de dificuldade.
Na primeira e segunda fase podem aparecer 
funções modulares com função trigonométrica 
aplicada, em questões muito bem elaboradas 
e com elevado grau de dificuldade.
Questões de função composta e trigono-
métricas podem aparecer relacionadas com 
questões de domínio e imagem.
Questões elaboradas com boa interpretação 
de texto em funções trigonométricas. Dentre 
os temas abordados, módulo pode ser o 
mais difícil.
Apresenta alta incidência de função com-
posta, além de questões sobre inequações 
modulares e funções trigonométricas muito 
difíceis.
A prova possui questões com elevado grau de 
dificuldade.
A prova do Enem tem baixa incidência em 
questões das funções abordadas. Mesmo assim, 
quando aparece, pode ser uma questão difícil.
Funções modulares aparecem pouco e funções 
compostas ocorrem bastante. Os temas são 
abordados em questões com elevado grau de 
dificuldade.
O candidato pode se deparar com funções 
compostas em questões contextualizadas e 
medianas. Funções trigonométricas ocorrerão 
de forma objetiva
A prova de Matemática é diferente da prova 
do Enem, com questões de pouco texto e mais 
objetividade. Saber os conceitos de funções 
trigonométricas é fundamental.
A prova apresenta questões com os temas 
deste livro junto com outros grandes temas da 
Matemática.
A prova apresenta poucas questões, porém, 
abordando vários temas da Matemática. 
Assim, o candidato deve trazer todos os 
conceitos anteriores para somar com as aulas 
deste livro.
A prova de Matemática é muito bem 
elaborada, por isso, as aulas deste livro são 
totalmente necessárias para a resolução das 
questões.
A prova apresenta questões bem elaboradas 
em aritmética. Podem ocorrer questões de 
módulos e sua função, além de funções 
trigonométricas.
6
 FUNÇÕES COMPOSTAS
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
27 E 28
1. FUNÇÕES COMPOSTAS
1.1. Definição
Considere as funções f: A B e g: B C. Lembre-se de que:
 A é o conjunto domínio da função f;
 B é o contradomínio da função f e domínio da função g; e
 C é o contradomínio da função g.
É chamada de função composta de g com f a função g + f: 
A C, tal que: 
(g + f)(x) = g”f(x)”
Na forma de diagrama, tem-se:
x
A
B
C
f(x)
gf
g o f
g[f(x)]
Note que, como a função g + f associa valores do conjun-
to A diretamente a valores do conjunto C, o domínio da 
função composta é A, e seu contradomínio é o conjunto C.
Observe um procedimento análogo para as funções f: A 
B, definida por f(x) = 2x, e g: A C, definida por 
g(x) = x2. Perceba que o contradomínio B da função 
f é o mesmo domínio da função g.
 f: A B: a cada x [ A associa-se um único y [ A, tal 
que y = 2x
 g: A C: a cada y [ B associa-se um único z [ C, 
tal que z = y2
Nesse caso, é possível considerar uma terceira função 
h: A C, que faz a composição entre as funções f e g:
A B
f g
z
h
yx
C
 h: A C: a cada x [ A associa-se um único z [ C, tal 
que z = y2 = (2x)2 = 4x2
Essa função h de A em C, dada por h(x) = 4x2, é denomina-
da função composta de g e f.
De modo geral, para indicar como o elemento z [ C é de-
terminado de modo único pelo elemento x [ A, escreve-se:
z = g(y) = g(f(x))
1.1.1. Notação
A função composta de g e f será indicada por g + f 
(lê-se: g círculo f).
(g + f)(x) = g(f(x))
Resolução de funções compostas
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
 Aplicação do conteúdo
1. Sendo f(x) = 2x – 1 e f”g(x)” = 3 – x, determine g(x).
 Como tem-se f[g(x)], substitui-se x por g(x) em f(x):
f(x) = 2x – 1
f[g(x)] = 2g(x) – 1
7
 Como se sabe que f[g(x)] = 3 – x, tem-se:
2g(x) – 1 = 3 – x 
 Isolando g(x):
g(x) = 4 – x ____ 
2
 
2. Sendo f(x) = 2x + 1 e f o f(k) = 5, calcule o valor de k.
 Se f o f(k) = 5, então f(f(k)) = 5. Calculando f(k):
f(k) = 2k + 1
 Calculando f(f(k)):
f(f(k)) = f(2k + 1)
 Substituindo na função f:
f(2k + 1) = 2(2k + 1) + 1 = 4k + 3
 Como f(f(k)) = f(2k + 1) = 5, tem-se:
4k + 3 = 5
k = 1 __ 
2
 
3. Se f(x) = 1 _____ 
x − 8
 e g(x) = 2x2, encontre o domínio da 
função f(g(x)).
 O domínio da função f(x) pode ser calculado da se-
guinte maneira:
x – 8 ≠ 0
x ≠ 8
 No entanto, observe que, calculandof(g(x)), obtém-se:
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 – 8
 
 Note que é possível calcular:
f(g(8)) = 1 _______ 
2(8)2 – 8
 = 1 ___ 
120
 
 Ou seja, os domínios de f(x) e de f(g(x)) são diferentes. 
O domínio da composta deve ser calculado a partir da 
própria f(g(x)):
f(g(x)) = 1 ______ 
2x2 − 8
 
 O domínio é dado por:
2x2 − 8 ≠ 0
x2 ≠ 4
x ≠ ±2
 Assim, o domínio de f(g(x)) é R − {±2}.
1.2. Condição de existência
 Domínio de f(Df) seja igual ao contradomínio de g(CDg).
 Contradomínio de f(CDf) seja igual ao domínio de g(Dg).
Exemplo
Considere:
f: A B g: B C
f(x) = 2x – 3 g(x) = 5x
Assim:
Em f: Em g:
Para x = 1, tem-se: Para x= –1, tem-se:
f(1) = 2 · 1 – 3 = –1 g(– 1) = 5 · (–1) = –5
Para x = 2, tem-se: Para x = 1, tem-se:
f(2) = 2 · 2 – 3 = 1 g(1) = 5 · 1 = 5
Para x = 3, tem-se: Para x = 3, tem-se:
f(3) = 2 · 3 – 3 = 3 g(3) = 5 · 3 = 15
A função composta é utilizada em diversas situações. Por exemplo, quando é possível relacionar mais de duas gran-
dezas por meio de uma mesma função. Pode-se dizer que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera de 
uma determinada cidade depende da quantidade de carros que trafega por ela; no entanto, a quantidade de carros 
varia com o tempo. Em consequência, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo, o que determina 
uma função composta.
VIVENCIANDO
8
As funções compostas estão diretamente relacionadas às ações geológicas da Terra. Um geofísico, por exemplo, ao 
analisar precipitações no interior do planeta ou ao estudar características de novos planetas, necessita de mais de 
duas grandezas para relacionar temperatura, relevo, altura e pressões do ambiente. Além disso, as funções compostas 
também estão presentes na Medicina. No procedimento médico conhecido como angioplastia, os médicos inserem 
um cateter numa veia ou artéria e inflam um pequeno balão de formato esférico até que ele atinja certo volume. Por 
meio da função composta, pode-se determinar o tempo que o balão leva para atingir o volume necessário.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Na forma de diagrama, tem-se:
1
A
B
C
g(-1)g(1)g(3)
f(1)
f(2)
f(3)
-5
h(1)
h(2)
h(3)
5
15
-1
1
3
2
3
Note que existe uma função h que transforma diretamente 
os elementos de A em C. Assim:
 h: A C
 h(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = 5 · (2x – 3) = 10x – 15
 h(1) = 10 · 1 – 15 = –5
 h(2) = 10 · 2 – 15 = 5
 h(3) = 10 · 3 – 15 = 15
 h(x) = 10x – 15 é denominada função composta de g 
com f, podendo ser representada por:
h(x) = (g + f) (x) lê-se “g bola f de x”.
ou
h(x) = g(f(x)) lê-se “g de f de x”.
Assim, segue que h representa a aplicação da função g em 
f, e a função f, por sua vez, aplica-se em x.
9
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
D(f) = CD(g)
CD(f) = D(g)
A
B
C
(g o f) (x) = g[f(x)]
FUNÇÃO COMPOSTA
REPRESENTANDO 
EM DIAGRAMA
f: A B
g: B C
g o f: A C 
REPRESENTAÇÃO DA 
FUNÇÃO COMPOSTA
x
f(x)
g(x)
g o f
f g
 DIAGRAMA DE IDEIAS
10
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
29 E 30
1. ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do 
seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
R R
Em razão disso, definimos a função seno como a função 
real de variáveis reais que associa a cada número real x o 
valor real senx, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = senx
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para posterior 
obtenção do valor senx; bem como já foi estudado como 
obter os valores de senx para quaisquer valores x de medi-
das de ângulos (ou arco). A título de lembrança, x – medida 
de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
1.1. Gráfico da função seno
Para montar o gráfico da função seno, é necessário construir 
uma tabela com valores de x da primeira volta positiva. Há 
casos em que o seno será usado com valores aproximados.
x 0 p __ 6 
p
 __ 4 
p
 __ 3 
p
 __ 2 
2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p
senx 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1 
dXX 3 ___ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0
senx 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
x 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___ 
3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
senx – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 
dXX 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0
senx –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0
Primeiramente, observe o gráfico para x [ [0, 2p]; e DM 
seguida, para x [ R:
11
Uma vez que a função f(x) = senx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva pode ser esten-
dida para valores de x menores que zero e maiores que 2p. Portanto, o gráfico da função f: R é R, definida por f(x) = senx, é 
a curva chamada senoide, cujo aspecto é este:
Observações sobre a função seno
1. O domínio de f(x) = senx [ R, uma vez que, para qualquer valor real de x, existe um e apenas um valor para senx.
2. O conjunto imagem de f(x) = senx é o intervalo [–1, 1].
3. A função seno não é sobrejetiva, uma vez que [–1, 1] i R, isto é, sua imagem não é igual ao contradomínio.
4. A função seno não é injetiva, uma vez que os valores diferentes de x resultam no mesmo f(x). Por exemplo:
sen p __ 
2
 = sen 5p ___ 
2
 = sen ( – 3p ___ 2 ) = ... = 1
5. A função seno é função ímpar, isto é, seja qual for x [ D(f) = R, sen (–x) = –sen(x). Por exemplo:
sen ( – p __ 6 ) = –sen ( 
p __ 6 ) = – 
1 __ 
2
 
1.2. Periodicidade da função seno
Ao observar o gráfico da função seno, nota-se que a função 
repete periodicamente seus valores nos intervalos ..., [–2p, 0], 
[0, 2p], [2p, 4p],... Por isso, diz-se que a função seno é periódica.
Como se pode observar no gráfico anterior:
senx = sen(x + 2p) = sen(x + 4p) = ... para todo x [ R
Por isso, diz-se que o período da função seno é 2p, e 
indica-se p = 2p.
Para encontrar o período, basta observar no gráfico o desloca-
mento horizontal necessário para que ele comece a se repetir.
1.3. Sinal da função seno
Ao observar o sinal da função seno, nota-se que a função é 
positiva – para valores do primeiro e segundo quadrantes – 
e negativa – para valores do terceiro e quarto quadrantes.
12
1.4. Variação da função seno
Considerando valores de x [ [0, 2p], observe o que acon-
tece com senx1 e senx2, para x1 > x2 nos quatro quadrantes:
PRIMEIRO QUADRANTE
x1
x2
SEGUNDO QUADRANTE
x1
x2
TERCEIRO QUADRANTE
x1
x2
QUARTO QUADRANTE
x2
x1
No gráfico:
Analisada a variação em cada quadrante, obtém-se o se-
guinte quadro:
 Primeiro quadrante: se x cresce de 0 a p __ 
2
 , senx cresce 
de 0 a 1.
 Segundo quadrante: se x cresce de p __ 
2
 a p, senx decres-
ce de 1 a 0.
 Terceiro quadrante: se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , senx decres-
ce de 0 a –1.
 Quarto quadrante: se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, senx cresce 
de –1 a 0.
1.5. Resumo sobre a função seno
1. Função seno é a função de R em R definida por f(x) = senx.
2. A função seno tem D = R e Im = [–1, 1].
3. A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4. A função seno é função ímpar, isto é, –senx = sen(–x), 
 x R.
5. A função seno é periódica p = 2p.
6. senx = 0, para x = kp, com k [ Z.
7. senx > 0, para x do 1º e 2º quadrantes e senx = 1 
para x = p __ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
8. senx < 0, para x do 3° e 4° quadrantes e senx = –1 
para x = 3p ___ 
2
 + 2kp, com k [ Z.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine os valores reais que m pode assumir, para 
que exista um número real x que satisfaça a igualdade 
senx = 2m – 3.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx ≤ 1 ä –1 ≤ 2m – 3 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
–1 ≤ 2m – 3 ≤ 1 ä –1 + 3 ≤ 2m ≤ 1 + 3 ä 2 ≤ 2m ≤ 4 
ä 1 ≤ m ≤ 2
13
Logo, os valores de m são dados pelo conjunto:
{m [ R | 1 ≤ m ≤ 2}
2. Determine os valores reais de m para os quais a 
equação senx = m2 – m – 1 tenha solução.
Resolução:
Condição: –1 ≤ senx≤ 1 ä –1 ≤ m2 – m – 1 ≤ 1
Resolvida a dupla desigualdade, obtém-se:
m2 – m – 1 ≤ 1 ä m2 – m – 2 ≤ 0
D = 9
m’ = 2 e m” = –1
S1 = {m [ R | –1 ≤ m ≤ 2}
m2 – m – 1 ≥ –1 ä m2 – m ≥ 0
D = 1
m’ = 1 e m” = 0
S2 = {m [ R | m ≤ 0 ou m ≥ 1}
Quadro de resolução:
Os valores de m são dados por:
{m [ R | –1 ≤ m ≤ 0 ou 1 ≤ m ≤ 2}
3. Determine os valores máximo e mínimo da função 
y = 2 + 3 · senx.
Resolução:
Para –1, que é o valor mínimo de senx, obtém-se:
 y = 2 + 3(–1) = –1.
Para 1, que é o valor máximo de senx, obtém-se:
y = 2 + 3 · 1 = 5.
Logo, ymin = –1 e ymax = 5.
Observação: dessa forma, também pode-se afirmar que 
a imagem dessa função é [–1, 5].
2. ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Dado um número real x, pode-se associar a ele o valor do 
cosseno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
Em razão disso, define-se a função cosseno como a função 
real de variáveis reais, que associa a cada número real x, 
cosseno de x, ou seja:
f: R é R
x é f(x) = cosx
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter 
o valor cosx. Estudou-se também como obter os valores de 
cosx para quaisquer valores x de medidas de ângulos (ou 
arco). A título de lembrança, x, medida de ângulo (ou arco), 
é expresso em radianos.
2.1. Gráfico da função cosseno
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = cosx, para x [ [0, 2p] e, em seguida, para x [ R. Alguns valores 
de cosx serão aproximados.
x 0 p __ 6 
p
 __ 4 
p
 __ 3 
p
 __ 2 
2p ___ 
3
 3p ___ 
4
 5p ___ 
6
 p 7p ___ 
6
 5p ___ 
4
 4p ___ 
3
 3p ___ 
2
 5p ___ 
3
 7p ___ 
4
 11p ____ 
6
 2p
cosx 1 dXX 3 ___ 2 
 dXX 2 ___ 
2
 1 __ 
2
 0 – 1 __ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 
√
__
 3 ___ 
2
 –1 – 
dXX 3 ___ 
2
 – 
dXX 2 ___ 
2
 – 1 __ 
2
 0 1 __ 
2
 
dXX 2 ___ 
2
 
dXX 3 ___ 
2
 1
cosx 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
14
Uma vez que a função f(x) = cosx é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é , a cur-
va pode ser estendida para valores menores que zero e maiores que 2p. Por isso, o gráfico da função f: R é R, 
definida por f(x) = cosx, é a curva chamada de cossenoide, cujo aspecto é este:
Observações sobre a função cosseno
1. A cossenoide não é uma nova curva, mas uma senoi-
de transladada p __ 
2
 unidades para a esquerda. Observe no 
gráfico da senoide que, se o eixo y for inscrito no ponto 
de abscissa x = p __ 
2
 , obtém-se exatamente o gráfico 
daquela cossenoide. Resultado: a maioria dos as-
pectos relevantes da função cosseno é a mesma da 
função seno.
2. O domínio é o mesmo – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem D = .
3. A imagem é a mesma – f: R é R tal que f(x) = cosx 
tem Im = [–1, 1].
4. O período é o mesmo – a função cosseno é periódi-
ca de período p = 2p.
5. A função cosseno não é injetiva nem sobrejetiva.
6. A função cosseno é par, pois cos(-x)=cos(x) ? x [ R
As diferenças entre a função cosseno e a função seno di-
zem respeito aos aspectos que dependem dos valores das 
imagens associados aos domínios, que transladam p __ 
2
 uni-
dades para a esquerda.
2.2. Sinal da função cosseno
Ao observar o sinal da função f(x) = cosx, nota-se que a 
função cosseno é positiva, para valores do primeiro e do 
quarto quadrantes, e negativa, para valores do segundo e 
do terceiro quadrantes.
15
2.3. Variação da função cosseno
Analisada a variação no intervalo [0, 2p], obtém-se este 
quadro:
 Primeiro quadrante: 
se x cresce de 0 a p __ 
2
 , cosx decresce de 1 a 0.
 Segundo quadrante: 
se x cresce de p __ 
2
 a p, cosx decresce de 0 a –1.
 Terceiro quadrante: 
se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , cosx cresce de –1 a 0.
 Quarto quadrante: 
se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, cosx cresce de 0 a 1.
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de sen ( – p __ 6 ) + cos ( – 
p __ 
4
 ) .
Resolução:
Uma vez que a função seno é ímpar, sen(–x) = –senx.
Portanto, sen ( – p __ 6 ) = –sen p __ 6 = – 1 __ 2 .
Uma vez que a função cosseno é par, cos(–x) = cosx.
Portanto, cos ( – p __ 4 ) = cos p __ 4 = 
 dXX 2 ___ 
2
 .
Assim, sen ( – p __ 6 ) + cos ( – p __ 4 ) = – 1 __ 2 + 
 dXX 2 ___ 
2
 = 
dXX 2 – 1 ______ 
2
 .
3. ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Por definição, função tangente é a função real de variáveis 
reais, que associa a cada número real x o valor tgx, desde 
que x não seja p __ 
2
 nem 3p ___ 
2
 ; bem como nenhum de seus res-
pectivos arcos côngruos, isto é:
f: D ∫ R
x ∫ f(x) = tgx
do qual D = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, k [ Z } .
Já foi estudado o processo que permite associar um núme-
ro real x à medida x de um ângulo (ou arco) para se obter 
o valor de tgx. Estudou-se também como obter os valores 
de tgx para quaisquer valores de x ( x ≠ p __ 2 + kp, k [ Z ) 
de medidas de ângulos (ou arcos). A título de lembrança, x, 
medida do ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
3.1. Gráfico da função tangente
Inicialmente, vamos construir o gráfico da função f(x) = tgx 
no intervalo [0, 2p].
À medida que x tende aos valores em que tgx não existe 
( p __ 2 , 3p ___ 2 ) e seus respectivos arcos côngruos, como ( 5p ___ 2 , 7p ___ 2 etc. ), 
o gráfico da tangente tende ao infinito (positivo ou negati-
vo). As retas verticais tracejadas nesses valores são chama-
das assíntotas verticais, ou seja, retas essas cujo ponto de 
intersecção com o gráfico tende ao infinito.
Uma vez que o domínio da função f(x) = tgx corresponde 
a D = R – { x [ R | x = p __ 2 + kp, k [ Z } , a curva pode ser 
estendida para valores menores que zero e maiores que 
2p. Portanto, o gráfico da função f: D ∫ R, definida por 
f(x) = tgx, é a curva chamada tangentoide, cujo aspecto 
é este:
À luz desse gráfico, é possível fazer algumas afirmações 
sobre a função tangente:
 Tem D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, com k [ Z } e Im(f) = R.
 A função tangente não é injetiva, e sim sobrejetiva.
 A função tangente é função ímpar, isto é, tg(–x) = –tgx, 
? x [ D(f).
16
 A função tangente é periódica p = p, isto é, 
tgx = tg(x + kp), com k [ Z e x [ D(f).
3.2. Sinal da função tangente
Ao observar o sinal da função tangente, nota-se que a função 
é positiva, para valores do primeiro e do terceiro quadrantes, 
e negativa, para valores do segundo e do quarto quadrantes.
3.3. Variação da função tangente
Analisado o gráfico da função f(x) = tgx, obtém-se:
 Primeiro quadrante: 
se x cresce de 0 a p __ 
2
 , tgx cresce de 0 a +Ü.
 Segundo quadrante: 
se x cresce de p __ 
2
 a p, tgx cresce de –Ü a 0.
 Terceiro quadrante: 
se x cresce de p a 3p ___ 
2
 , tgx cresce de 0 a +Ü.
 Quarto quadrante: 
se x cresce de 3p ___ 
2
 a 2p, tgx cresce de –Ü a 0.
4. FUNÇÕES COSSECANTE, 
SECANTE E COTANGENTE
À luz das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente 
de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x.
 cossecx = 1 ____ sen x , para senx ≠ 0
 secx = 1 ____ cos x , para cosx ≠ 0
 cotgx = cos x ____ sen x , para senx ≠ 0
Se senx ≠ 0 e cosx ≠ 0, pode-se também escrever cotgx = 1 ___ tg x .
Veja o exemplo a seguir:
Se sen p __ 
6
 = 1 __ 
2
 , cos p __ 
6
 = 
dXX 3 ___ 
2
 e tg p __ 
6
 = √
__
 3 ___ 
3
 , pode-se calcular:
 cossec p __ 
6
 = 1 __ 
 1 __ 
2
 
 = 2 __ 
1
 = 2
 sec p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 2 ___ 
 dXX 3 
 = 2 
dXX 3 ____ 
3
 
 cotg p __ 
6
 = 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 ___ 
 1 __ 
2
 
 = 2 
dXX 3 ____ 
2
 = dXX 3 ou cotg p __ 
6
 = 1 ___ 
 
dXX 3 ___ 
3
 
 = 3 ___ 
 dXX 3 
 = dXX 3 
4.1. Função cossecante
Chama-se função cossecante a função definida por 
f(x) = cossecx ou f(x) = 1 ____ sen x , para todo x [ R, tal que senx ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}4.1.1. Gráfico de f(x) = cossecx
Se x tende aos valores em que a cossecx não existe, o gráfico da cossecante tende ao infinito (positivo ou negativo). As verticais 
tracejadas nesses valores de x são chamadas assíntotas.
17
4.2. Função secante
Chama-se de função secante a função definida por f(x) = sec x ou f(x) = 1 ____ cos x , para todo x [ R, tal que cos x ≠ 0.
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 2 + kp, com k [ Z } 
e Im(f) = {y [ R | y ≤ – 1 ou y ≥ 1}
4.2.1. Gráfico de f(x) = sec x
4.3. Função cotangente
Chama-se função cotangente a função definida por f(x) = cotgx ou f(x) = cos x ____ sen x , para todo x [ R, tal que sen x ≠ 0.
D(f) = {x [ R | x ≠ kp, com k [ Z} e Im(f) = R
4.3.1. Gráfico de f(x) = cotg x
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Além das funções trigonométricas estudadas, há ou-
tras que compreendem seno, cosseno, tangente, cos-
secante, secante e cotangente, chamadas de funções 
do tipo trigonométricas.
Por exemplo, as funções f, g, h e i, tais que:
 f(x) = 2 + cosx, com x [ R
 g(x) = sen2x, com x [ R
 h(x) = tgx + secx, com x ≠ p __ 
2
 + kp, com k [ Z
 i(x) = 1 – cossecx, com x ≠ kp, com k [ Z
5.1. Domínio de funções do 
tipo trigonométricas
O domínio de uma função do tipo trigonométrica é deter-
minado pela análise da condição de existência da função e 
de alguma restrição à própria expressão que a define.
18
 Aplicação do conteúdo
1. Construa e analise os gráficos das funções abaixo 
dando o seu domínio, sua imagem e seu período.
f(x) = 3 · senx
Resolução:
x senx 3 · senx y = f(x)
0 0 3 · 0 = 0 0
 p __ 2 1 3 · 1 = 3 3
p 0 3 · 0 = 0 0
 3p ___ 2 –1
3(–1) 
= –3
–3
2p 0 3 · 0 = 0 0
D = , Im = [–3, 3], p = 2p
f(x) = 1 + cosx
Resolução:
x cosx 1 + cosx y = f(x)
0 1 1 + 1 = 2 2
 p __ 2 0 1 + 0 = 1 1
p –1
1 + (–1) 
= 0
0
 3p ___ 2 0 1 + 0 = 1 1
2p 1 1 + 1 = 2 2
D = , Im = [0, 2], p = 2p
2. Determine, em cada item, o domínio da função f.
a) f(x) = 1 _______ 
1 – cos x
 
Resolução:
Se 1 – cosx ≠ 0, ou seja, se cosx 1 e se cosx = 1 para x = 2kp, 
logo:
D(f) = {x [ R | x 2kp, com k [ Z}
b) f(x) = dXXXXXX sen x 
Resolução:
Se senx ≥ 0, é possível obterem-se valores de x de acordo 
com a figura. Logo:
D(f) = {x [ R | 2kp ≤ x ≤ (2k + 1)p, com k [ Z}
c) f(x) = tg 3x
Resolução:
A condição de existência é de 3x ≠ p __ 
2
 + kp.
Daí, 3x ≠ p __ 
2
 + kp ä x ≠ p __ 
6
 + kp ___ 
3
 . Logo:
D(f) = { x [ R | x ≠ p __ 6 + kp ___ 3 , com k [ Z } . 
d) f(x) = secx + cossecx
Resolução:
Para que haja secx, deve haver cosx ≠ 0, ou seja, x ≠ p __ 
2
 + kp.
Para que haja cossecx, deve haver senx ≠ 0, ou seja, x ≠ kp.
A função f dada tem, portanto, como domínio:
D(f) = { x [ R | x ≠ k · p __ 2 , com k [ Z } .
19
5.2. Gráfico de uma função 
do tipo trigonométrica
 Aplicação do conteúdo
1.Trace os gráficos destas funções:
a) f(x) = 2 + senx
Resolução:
É necessário atribuírem-se valores a x, calcular y, marcar os 
pontos e traçar o gráfico por esses pontos. Para que o gráfico fi-
que bem definido, o ângulo deve ser igual a 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p:
f(x) = y = 2 + senx
x = 0 ∫ y = 2 + sen0 = 2 + 0 = 2
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 + sen p __ 
2
 = 2 + 1 = 3
x = p ∫ y = 2 + senp = 2 + 0 = 2
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 2 + sen 3p ___ 
2
 = 2 – 1 = 1
x = 2p ∫ y = 2 + sen 2p ∫ = 2 + 0 = 2
 
período = 2p
imagem = [1, 3]
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx com 
f(x) = 2 + senx, observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) de duas unidades para cima.
f(x) = senx
f(x) = 2 + senx
Considerada a função do tipo f(x) = a + senx, o gráfico 
de f(x) = senx será transladado para cima (a > 0) ou 
para baixo (a < 0) em a unidades.
b) f(x) = 2 · senx
Resolução:
x = 0 ∫ y = 2 · sen0 = 2 · 0 = 0
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 · sen p __ 
2
 = 2 · 1 = 2
x = p ∫ y = 2 · senp = 2 · 0 = 0
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 2 · sen 3p ___ 
2
 = 2 · (–1) = –2
x = 2p ∫ y = 2 · sen2p = 2 · 0 = 0
período = 2p
imagem = [–2, 2]
Observação
Se comparado ao gráfico da função f(x) = senx 
com f(x) = 2 · senx, observa-se que ele sofreu uma 
dilatação vertical (esticou) duas vezes.
f(x) = senx
20
f(x) = 2 · senx
Considerada a função do tipo f(x) = b · senx, o gráf-
ico de f(x) = senx será dilatado, se |b| > 1; ou, se 
0 < |b|< 1, será comprimido um número b de vezes. 
Caso b < 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao 
eixo x e fica simétrico ao gráfico com b > 0.
c) f(x) = sen2x
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x metade desses valores:
x = 0 ∫ y = sen(2 · 0) = sen 0 = 0
x = p __ 
4
 ∫ y = sen ( 2 · p __ 4 ) = sen p __ 2 = 1
x = p __ 
2
 ∫ sen ( 2 · p __ 2 ) = sen p = 0
x = 3p ___ 
4
 ∫ y = sen ( 2 · 3p ___ 4 ) = sen 3p ___ 2 = –1
x = p ∫ y = sen(2p) = 0
período = p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico 
de f(x) = sen2x, observa-se que ele sofreu uma com-
pressão horizontal de duas unidades, enquanto o 
período foi alterado para p.
f(x) = senx
f(x) = sen2x
Ao considerar o gráfico do tipo f(x) = sen(c · x), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será comprimido 
horizontalmente em c unidades, se |c| > 1; porém, sof-
rerá dilatação horizontal, se 0 < |c| < 1.
Além disso, o período é igual a 2p ___ 
|c|
 .
d) f(x) = sen ( x – p __ 3 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir x a esses valores aumentados em p __ 
3
 :
x = p __ 
3
 ∫ y = sen ( p __ 3 – p __ 3 ) = sen 0 = 0
x = 5p ___ 
6
 ∫ y = sen ( 5p ___ 6 – p __ 3 ) = sen p __ 2 = 1
x = 4p ___ 
3
 ∫ y = sen ( 4p ___ 3 – p __ 3 ) = sen p = 0
x = 11p ____ 
6
 ∫ y = sen ( 11p ____ 6 – p __ 3 ) = sen 3p ___ 2 = 1
x = 7p ___ 
3
 ∫ y = sen ( 7p ___ 3 – p __ 3 ) = sen 2p = 0
21
período = 2p
imagem = [–1, 1]
Observação
Ao comparar o gráfico de f(x) = senx com o gráfico de 
f(x) = sen ( x – p __ 3 ) , observa-se que ele sofreu um desloca-
mento (translação) horizontal para a direita de p __ 
3
 unidades.
f(x) = senx
f(x) = sen ( x – p __ 3 ) 
Considerado o gráfico do tipo f(x) = sen(cx – d), con-
clui-se que o gráfico de f(x) = senx será deslocado hor-
izontalmente em u d __ c u unidades para a direita, se d > 0; 
ou para a esquerda, se d < 0.
As conclusões da translação, da dilatação e da com-
pressão das funções do tipo f(x) = a + b · sen(cx + d) 
são válidas para as demais funções.
2. Trace os gráficos destas funções.
a) f(x) = y = 3 + 2 · cosx
Resolução:
x = 0 ∫ y = 3 + 2 · cos0 = 3 + 2 · 1 = 5
x = p __ 
2
 ∫ y = 3 + 2 · cos p __ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = p ∫ y = 3 + 2 · cosp = 3 + 2 · (–1) = 1
x = 3p ___ 
2
 ∫ y = 3 + 2 · cos 3p ___ 
2
 = 3 + 2 · 0 = 3
x = 2p ∫ y = 3 + 2 · cos2p = 3 + 2 · 1 = 5
período = 2p
imagem = [1, 5]
Observação
Comparando o gráfico obtido com gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado três unidades para cima 
(a = 3) e dilatado verticalmente duas vezes (b = 2).
f(x) = cosx
f(x) = 3 + 2 cosx
22
b) f(x) = cos ( 2x – p __ 3 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir esses valores aumentados em p __ 
3
 e divididos por 2:
x = p __ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · p __ 6 – p __ 3 ) = cos0 = 1
x = 5p ___ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 5p ___ 12 – p __ 3 ) = cos p __ 2 = 0
x = 2p ___ 
3
 ∫ y = cos ( 2 · 2p ___ 3 – p __ 3 ) = cosp = –1
x = 11p ____ 
12
 ∫ y = cos ( 2 · 11p ____ 12 – p __ 3 ) = cos 3p ___ 2 = 0
x = 7p ___ 
6
 ∫ y = cos ( 2 · 7p ___ 6 – p __ 3 ) = cos2p = 1
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi dilatado horizontalmente duas ve-
zes (c = 2) e para a direita p __ 6 rad ( u d __ c u) .
f(x) = cosx
f(x) = cos ( 2x – p __ 3 ) 
c) f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 2 ) 
Resolução:
Sejam os ângulos 0, p __ 
2
 , p, 3p ___ 
2
 e 2p. Para isso, é necessário 
atribuir a x esses valores diminuídos em p __ 
2
 e divididos por 3:
x = – p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos [ 3 · ( – p __ 6 ) + p __ 2 ] =
= 2 + 3 cos0 = 2 + 3 · 1 = 5
x = 0 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · 0 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos p __ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
6
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 6 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cosp = 2 + 3 · (–1) = –1
x = p __ 
3
 ∫ y = 2 + cos ( 3 · p __ 3 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos 3p ___ 
2
 = 2 + 3 · 0 = 2
x = p __ 
2
 ∫ y = 2 + 3 cos ( 3 · p __ 2 + p __ 2 ) =
= 2 + 3 cos2p = 2 + 3 · 1 = 5
Observação
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cosx, 
observa-se que ele foi deslocado para cima duas uni-
dades (a = 2), foi dilatado verticalmente três vezes (b = 3) 
e deslocado para a esquerda p __ 
6
 rad ( u d __ c u ) .
f(x) = cosx
23
f(x) = 2 + 3 cos ( 3x + p __ 2 ) 
5.3. Generalização
As funções do tipo trigonométricas são escritas na forma 
f(x) = a + b · trig (cx + d), da qual a, b, c e d são constantes 
(b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções trigo-
nométricas estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, 
cossecante e cotangente).
Podemos citar como exemplos de funções do tipo 
f(x) = a + b · trig(cx – d):
 f(x) = 3 · senx, 
onde a = 0, b = 3, trig = sen, c = 1 e d = 0;
 f(x) = 1 + cosx, 
onde a = 1, b = 1, trig = cos, c = 1 e d = 0;
 f(x) = cos3x, 
a = 0, b = 1, trig = cos, c = 3 e d = 0;
 f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 3 ) , 
a = 1, b = 1, trig = tg, c = 2 e d = – p __ 
3
 .
5.4. Papel das constantes a, b, c e d
As características das funções do tipo f(x) = a + b · trig(cx + d) 
podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e 
seus gráficos padrão.
As constantes a e b alteram a imagem da função (valores 
de y), e as constantes c e d alteram as características rela-
cionadas com os valores de x. Desta forma:
 a constante a translada o gráfico padrão em a unida-
des. Se a > 0, o gráfico “sobe” a unidades, e, se a < 0, 
o gráfico “desce” a unidades. No primeiro exemplo de 
aplicação, item a, observe o gráfico de f(x) = 2 + senx 
em relação ao de y = sen x;
 a constante b comprime ou dilata verticalmente o grá-
fico. Se |b| > 1, o gráfico dilata, e, se 0 < |b| < 1, o grá-
fico comprime. No primeiro exemplo de aplicação, item 
b, observe o gráfico de f(x) = 2 · senx em relação ao de 
y = senx. Se b = –1, o gráfico fica invertido. Se b < 0, o 
gráfico fica simétrico (em relação ao eixo x) ao original, 
com b > 0. O valor de b é, muitas vezes, chamado de 
amplitude do gráfico;
 a constante c altera o período padrão (ptrig) da função trig, 
ou seja, comprime ou dilata horizontalmente o gráfico 
padrão. Se |c| > 1, f(x) fica comprimido horizontalmente 
em |c| unidades. Se 0 < |c| < 1, f(x) fica dilatado horizon-
talmente em |c| unidades. O novo período é dado por 
py = 
ptrig ___ u c u ; e
 a constante d translada o gráfico padrão em u d __ c u uni-
dades horizontais. Se d > 0, o gráfico translada para a 
esquerda u d __ c u unidades.
Observação
Desde o início do estudo de trigonometria, sabe-se que, 
para um ângulo agudo, cosseno x é igual ao seno do 
complementar de x. Expressa essa igualdade em radi-
anos, cosx = sen ( p __ 2 – x ) , ou seja, a função cosseno é 
uma função seno com a = 0, b = 1, c = –1 e d = p __ 
2
 . Isso 
permite estabelecer que a imagem da função cosseno 
é igual a da função seno; que o período da função cos-
seno é py = 
ptrig
 ___ u c u = 
2p ___ 
 u –1 u 
 = 2p, o mesmo da função seno; 
e que o início de um período da função cosseno 
é x = u d __ c u = u 
p __ 
2
 
 ___ 
–1
 u = p __ 
2
 , que comprovam a afirmação de 
que gráfico da função cosseno também é uma senoide 
transladada para a esquerda p __ 
2
 unidades.
 Aplicação do conteúdo
1. Qual o valor máximo da função f(x) = 2cos2 x – 4sen2x?
Resolução:
Substituindo sen2 x por 1 – cos2x:
f(x) = 2cos2x – 4sen2x
f(x) = 6cos2x – 3 – 1
f(x) = 3(2cos2x – 1) – 1 = f(x) = 3cos 2x – 1
O valor máximo da função corresponde a cos2x = 1, o que 
permite afirmar que o valor máximo é 3 · 1 – 1 = 2.
2. Qual o valor máximo da função f(x) = 3 · senx + 4 · cosx?
24
Resolução:
Dividida a expressão por k(k > 0):
 f(x) ___ 
k
 = 3 __ 
k
 senx + 4 __ 
k
 cosx
Considere-se um ângulo a, tal que cosa = 3 __ 
k
 e sena = 4 __ 
k
 .
Portanto:
sen2a + cos2a = ( 4 __ k ) 
2
 + ( 3 __ k ) 
2 
= 1
1 = 16 ___ 
k2
 + 19 ___ 
k2
 ä 1 = 25 ___ 
k2
 ä k2 = 25 ä k = 5
Com isso, a expressão torna-se:
 f(x) ___ 
5
 = cosa senx + sena cosx
 f(x) ___ 
5
 = sen(x + a) ä f(x) = 5sen(x + a)
O valor máximo de f(x) corresponde a sen(x + a) = 1, ou 
seja, f(x)max = 5 · 1 = 5.
3. Determine o período da função 
f(x) = cos ( x __ 2 – 
p __ 
3
 ) :
Resolução:
Há duas maneiras de resolver esse exercício.
Primeira maneira:
O período da função cosseno é p = 2p.
É necessário verificar o que ocorre com ( x __ 2 – p __ 3 ) , se variar 
de 0 a 2p:
 x __ 
2
 – p __ 
3
 = 0 ä x __ 
2
 = p __ 
3
 ä x = 2p ___ 
3
 ä
ä x __ 
2
 – p __ 
3
 = 2p ä x __ 
2
 = 2p + p __ 
3
 ä
ä x __ 
2
 = 7p ___ 
3
 ä x = 14p ____ 
3
 
p = 14p ____ 
3
 – 2p ___ 
3
 = 12p ____ 
3
 ä p = 4p
O período da função dada é p = 4p.
Segunda maneira:
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p:
p = 2p ___ 
 u 1 __ 2 u 
 = 4p
4. Obtenha o conjunto imagem e o período da função 
y = 2 + 4 · cos3x.
Resolução:
O valor mínimo de y é 2 + 4 (–1) = –2 e o valor máximo é 
2 + 4 · 1 = 6. Portanto, Im(y) = [–2, 6].
Uma vez que o período padrão da função cosseno é p = 2p, 
o período da função y é py = 
2p ___ 
 u 3 u 
 = 2p ___ 
3
 .
5. Construa e analise cada item do gráfico da função, 
calculando seu domínio, sua imagem e seu período. 
(Construa apenas um período completo.)
a) f(x) = 3 · senx
Resolução:
Calculados a imagem, o período e o valor da translação 
horizontal do gráfico, é possível desenhá-lo facilmente.
Imagem: f(x)max = 3 · 1 = 3 f(x)min = 3(–1) = –3
Logo, Im(f) = [–3, 3] (dilatou verticalmente, mas não transladou).
Período: py = 
2p ___ 
 u 1 u 
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: xi = 
d __ c = 
0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [–3, 3], p = 2p
b) y = f(x) = 1 + cosx
Resolução:
Imagem: f(x)max = 1 + 1 = 2 f(x)min = 1 + (–1) = 0
Logo, Im(f) = [0, 2] (transladou verticalmente, mas não dilatou).
Período: py = 2p ___ 
 u 1 u 
 = 2p (não mudou).
Translação horizontal: x1 = 
d __ c = 
0 __ 
1
 = 0 (não transladou).
Agora, basta esboçar o gráfico:
D = R, Im = [0, 2], p = 2p
25
6. Qual é o período da função f(x) = 1 + tg ( 2x – p __ 3 ) ?
Resolução:
Há duas maneiras de resolver esse exercício.
Primeira maneira:
A função tangente tem período p = p.
É necessário verificar o que ocorre com ( 2x – p __ 3 ) , se variar 
de 0 a p.
2x – p __ 
3
 = 0 ä 2x = p __ 
3
 ä x = p __ 
6
 ä 2x – p __ 
3
 = p ä 
2x = p + p __ 
3
 ä 2x = 4p ___ 
3
 ä x = 4p ___ 
6
 = 2p ___ 
3
 
p = 2p ___ 
3
 – p __ 
6
 = 4 p – p _______ 
6
 = 3p ___ 
6
 = p __ 
2
 
Logo, o período da função dada é p = p __ 
2
 .
Segunda maneira:
O período da função tangente é p = p; logo, py = 
p __ 
 u 2 u 
 = p __ 
2
 .
7. Qual o período da função f(x) = sen2x · cos2x?
Resolução:
Ao multiplicar f(x) = sen2x · cos2x por 2, obtém-se 
2f(x) = 2sen2x · cos2x.
Uma vez que sen (2 · 2x) = 2sen2x · cos2x: 
2f(x) = sen(2 · 2x) ä f(x) = sen 4x _____ 
2
 = 1 __ 
2
 · sen4x.
O período é 2p ___ 
4
 = p __ 
2
 .
6. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSASConhecimentos adquiridos com o estudo das funções trigonométricas:
 A função seno f: R ∫ R, tal que f(x) = senx não é injetiva nem sobrejetiva. Portanto, f não é bijetiva e não admite inversa.
 O mesmo ocorre com a função cosseno g: R ∫ R, tal que g(x) = cosx.
 A função tangente h: A ∫ R com A = { x [ R | x ≠ k p __ 2 } , tal que h(x) é sobrejetiva, mas não injetiva.
Se, no entanto, forem escolhidos certos domínios e contradomínios, essas mesmas sentenças definem funções bijetivas que, 
consequentemente, admitem inversa.
1. f: [ – p __ 2 , 
p __ 
2
 ] ∫ [–1, 1], tal que f(x) = senx ou y = senx é função bijetiva; logo, admite inversa:
Inversa de f ∫ x = seny ∫ y = arcsenx (lê-se y é o arco de – p __ 
2
 a p __ 
2
 , cujo seno é x).
2. g: [0, p] ∫ [–1, 1], tal que g(x) = cosx ou y = cosx é função bijetiva; logo, admite inversa:
-1
Inversa de g ∫ x = cosy ∫ y = arccosx (lê-se y é o arco de 0 a p, cujo cosseno é x).
26
3. h: ]– p __ 2 , p __ 2 [ ∫ R, tal que h(x) = tgx ou y = tgx é função 
bijetiva; logo, admite inversa.
2
Inversa de h ∫ x = tgy ∫ y = arctgx (lê-se y é o arco entre 
– p __ 
2
 a p __ 
2
 , cuja tangente é x).
Por definição:
 Função arcosseno é a função de [–1, 1] em [ – p __ 2 , 
p __ 
2
 ] , 
tal que y = arcsenx.
 Função arcocosseno é a função de [–1, 1] em [0, p], tal 
que y = arccosx.
 Função arcotangente é a função de R em ]– p __ 2 , p __ 2 [, tal 
que y = arctgx.
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o valor de a em cada item.
a) a = arcsen 1 __ 
2
 
Resolução: a = arcsen 1 __ 
2
 ä sena = 1 __ 
2
 , – p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
6
 
b) a = arccos0
Resolução: a = arccos0 ä cosa = 0, 0 ≤ a ≤ p ä a = p __ 
2
 
c) a = arctg(–1)
Resolução: a = arctg(–1) ä tga = –1, – p __ 
2
 < < p __ 
2
 ä 
 = – p __ 
4
 
2. Calcule cos ( arcsen dXX 3 ___ 2 ) .
Resolução: se a = arcsen 
dXX 3 ___ 
2
 , obtém-se sena = 
dXX 3 ___ 
2
 , 
– p __ 
2
 ≤ a ≤ p __ 
2
 ä a = p __ 
3
 ä cosa = cos p __ 
3
 = 1 __ 
2
 .
Logo, cos ( arcsen dXX 3 ___ 2 ) = 1 __ 2 .
3. Calcule sen ( arccos 3 __ 5 ) .
Resolução: se a = arccos 3 __ 
5
 , obtém-se cos a = 3 __ 
5
 , com 
0 ≤ a < p.
Se usado sen2a + cos2a = 1, com 0 ≤ a ≤ p, chega-se a 
sena = 4 __ 
5
 . Logo, sen ( arccos 3 __ 5 ) = 4 __ 5 .
A trigonometria possui inúmeras aplicações nos diversos ramos da ciência, sendo considerada uma importante aliada do 
mundo moderno. Os sons que ouvimos todos os dias, incluindo a música, alcançam nossos ouvidos como ondas sonoras. 
Cada nota (tom) na música é determinada pelo tamanho de sua onda senoidal, ou seja, é determinada por sua frequência. 
Notas com ondas mais amplas são mais graves e têm menos ciclos por segundo, enquanto que notas que têm ondas se-
noidais estreitas são mais agudas e possuem mais ciclos por segundo. Os músicos podem modificar seus timbres manipulan-
do as ondas senoidais produzidas. A trigonometria é capaz de estudar a evolução, a intensidade e a frequência das ondas.
VIVENCIANDO
17 equações que mudaram o mundo explo-
ra as conexões entre a matemática e o pro-
gresso da humanidade e demonstra como as 
equações são parte integrante da nossa vida 
desde a Antiguidade, abrindo novas perspec-
tivas de desenvolvimento.
17 Equações que Mudaram 
o Mundo - Ian Stewart
multimídia: livros
27
As funções trigonométricas são primordiais nas áreas da saúde, astronomia, farmácia, ciências geológicas, físicas, 
entre outras. Um médico, ao realizar um exame de ultrassom em um paciente, desenvolve todas as funções periódicas 
nesse ato. Astrônomos, diariamente, descobrem distâncias de corpos celestes próximos à Terra. Nota-se que é de 
fundamental importância as ações que envolvem funções trigonométricas. Sem a trigonometria, um cartógrafo de-
moraria muito tempo para desenhar um mapa, os astrônomos não saberiam as distâncias entre os planetas, pontes 
seriam construídas demoradamente. Enfim, tudo seria bem mais complicado.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segun-
do. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
pressão mínima 78
pressão máxima 120
número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P(t), obtida por este cientista, ao analisar o caso específico, foi:
a) P(t) = 99 + 21cos(3πt).
b) P(t) = 78 + 42cos(3πt).
c) P(t) = 99 + 21cos(2πt).
d) P(t) = 99 + 21cos(t).
e) P(t) = 78 + 42cos(t).
Resolver situação-problema, cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.21
28
Análise expositiva - Habilidade 21: 
Calculando:
P(1)= A + Bcos(kt)
{ A + B . cos(kt) = 120A - B . cos(kt) = 78 2A = 198 A = 99
Pmax cos(kt) = 1
99 + B = 120 B = 21
 90 batimentos _____________ 60 segundos T = 
6 __ 9 s = 
2 __ 3 s
k = 2π ___ 
T
 = 3 __ 2 . 2π = 3π
Assim:
P(1) = 99 + 21 . cos(3πt)
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos sobre 
funções trigonométricas para a sua resolução.
Alternativa A
A
29
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
SENO
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU SENO:
COSSENO
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x AO SEU COSSENO:
TANGENTE
FUNÇÃO f: ASSOCIA CADA 
NÚMERO REAL x A SUA TANGENTE:
SEN
COS
GRÁFICO:
GRÁFICO: GRÁFICO:
-
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
-
DOMÍNIO: 
IMAGEM: {1,-1}
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: 
IMAGEM: {-1,1}
PERÍODO: 2π rad
DOMÍNIO: x ≠ kπ +
IMAGEM: 
PERÍODO: π rad
f(x) = senx
f(x) =cosx f(x) =tgx
-2π -π π 2π
SENO
COSSENO
TANGENTE
GRÁFICOS 
DOS SINAIS
π
2
-2π -π π
1
-1
2π
1
-1
 DIAGRAMA DE IDEIAS
30
 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIA: 5 HABILIDADES: 19 e 21
AULAS 
31 E 32
1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
1.1. Definição
Dado um número real x, define-se o módulo de x (ou valor 
absoluto) representado por u x u como:
 u x u = x, se x for positivo ou nulo
–x, se x for negativo
Observe que, se x é negativo, – x é positivo.
Da definição, temos que: 
 u x u é o próprio valor de x, se este for positivo ou nulo.
Exemplos:
 u 0 u = 0
| 3 | = 3
 u 1/2 u = 1 __ 2 
| √
__
 3 | = √
__
 3 
 |x| é o oposto do valor de x, se este for negativo.
Exemplos:
 u –1 u = 1
 u –7 u = 7
 u –3/5 u = 3 __ 5 
 u – √
__
 u = √
__
 
Analisando mais atentamente dois casos:
 u 3 u = 3, pois 3 $ 0; portanto, o resultado é o próprio 3.
 u –7 u = 7, pois –7 < 0; portanto, o resultado é o opos-
to de –7, que é 7.
Observe que para todo x real, temos que u x u $ 0, ou seja, o 
módulo de qualquer número real é sempre positivo ou nulo.
 Aplicação do conteúdo
1. Simplifique a expressão A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x 
 , sabendo que x > 2.
Resolução:
Como x > 2, sabemos que a expressão 2 – x é negativa. 
Portanto, |2 – x| é igual ao oposto de 2 – x, da definição 
de módulo:
2 – x = 2 – x, se 2 – x for positivo ou nulo
–(2 – x), se 2 – x for negativo
Portanto, A = 
| 2 – x |
 ______ 
2 – x
 = – (2 – x) _______ 
2 – x
 = –1.
1.2. Interpretação geométrica
Geometricamente, podemos assumir que o módulo de um 
número real x é igual à distância do ponto que representa 
a imagem do número x na reta real até o ponto 0.
Veja na reta real o módulo dos números –5 e 3:
Veja que |–5| representa a distância do ponto –5 na reta 
real até o ponto 0.
 Aplicação do conteúdo
1. Considerando x um número real, encontre o conjunto 
soluçãoda equação u x u = 4.
Geometricamente, para resolver a equação em questão, 
podemos nos fazer a seguinte pergunta: qual ponto da reta 
real dista 4 unidades de comprimento da origem?
Resolução:
Traçando a reta real, temos dois valores de x que distam 4 
unidades da origem:
Portanto, há dois valores que satisfazem a equação: 4 e –4. 
Logo, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
31
1.3. Algumas propriedades importantes
Para quaisquer x [ R e y [ R, valem as seguintes propriedades:
P1: u x u $ 0
P2: u x · y u = u x u u y u 
P3: u x + y u # u x u + u y u 
(A esta propriedade damos o nome de 
desigualdade triangular.)
P4: u x – y u $ u x u – u y u 
P5: u x u ² = x²
P6: √
__
 x2 = u x u 
1.4.Equações modulares
Quando temos uma sentença aberta (que pode ser ver-
dadeira ou não) como u x – 1 u = 2, não sabemos se a ex-
pressão que está dentro do módulo, x – 1 , é positiva ou 
não. Portanto, temos que considerar os dois casos. A uma 
equação como esta chamamos de equação modular.
Geometricamente, já vimos que uma equação do tipo |x| = k, 
com k > 0, possui duas raízes, k e –k, pois há dois valores de 
x que distam k unidades da origem. Portanto, para x [ R e 
k [ R, temos:
|x| = k x = k ou x = –k
Se uma equação modular possuir módulo em ambos os 
membros, podemos utilizar a mesma ideia para sua res-
olução; porém, é mais prático usar a seguinte propriedade:
Para x [ R e k [ R, temos que:
 u x u = u y u x = y ou x = –y
1.5. Condição de existência
É importante destacar que a propriedade P1, onde x $ 0, 
é muito importante, pois nos diz que uma equação do tipo 
u x u = –2 não possui solução, visto que o módulo de um 
número real é sempre maior ou igual a zero. Isso significa 
que equações modulares possuem condição de existência, 
e esta deve sempre ser verificada. Veja a seguinte equação:
 u x – 5 u = –2x + 1
Para que a igualdade seja possível, temos a seguinte 
condição: –2x + 1 $ 0.
Portanto, x # 1 __ 
2
 .
Resolvendo a equação modular, temos:
x – 5 = –2x + 1 
 
x – 5 = –2x + 1 x = 2 (não convém)
ou
x – 5 = –(–2x + 1) x = – 4
Observe que o valor de x deve ser menor ou igual a 1 __ 
2
 ; 
portanto, uma das possíveis soluções da equação, x = 2, 
não faz parte do conjunto solução. Substitua os valores en-
contrados e verifique a resposta.
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva as seguintes equações:
a) u x – 1 u = 2
Resolução:
Considerando as duas possibilidades:
x – 1 = 2 (I) ou x – 1 = –2 (II)
Resolvendo as equações, temos:
(I) x – 1 = 2 x = 3
(II) x – 1 = –2 x = –1
Portanto, o conjunto solução S = {–1, 3}.
Podemos verificar que ambos os valores de x encontrados 
satisfazem a equação original:
 para x = –1:
 u x – 1 u = 2
 u –1 – 1 u = 2 |–2| = 2 2 = 2 (verdadeiro)
 para x = 3:
 u x – 1 u = 2
 u 3 – 1 u = 2 u 2 u = 2 2 = 2 (verdadeiro)
b) u x u 2 = 9
Resolução:
Aplicando a propriedade P5, temos que u x u 
2 = x2; portanto:
x2 = 9 u x u = 3 x = ±3
c) x2 – 6 u x u + 5 = 0
Resolução:
Novamente, temos que u x u 2 = x2; portanto |x|2 – 6 u x u + 5 = 0.
Observe que essa é uma equação do segundo grau em 
u x u ; portanto, podemos fazer uma substituição de variável: 
u x u = y.
y2 – 6y + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática, temos y’ = 1 e y” = 5.
Como y = u x u , devemos retornar à variável original.
 Para y = 1:
 u x u = 1 x = 1 ou x = –1
32
 Para y = 5:
 u x u = 5 x = ou x = –5
Portanto, o conjunto solução é S = {–1, 1, –5, 5}.
d) u 4x u + 20 = 0
Aplicando a propriedade P2, temos que:
 u 4x u = u 4 u · u x u .
Como |4| = 4, temos:
 u 4x u + 20 = 0 4 u x u + 20 = 0 u x u = –5
Observe que, segundo a definição de módulo, para qual-
quer x real, u x u é sempre maior ou igual a zero. O mó-
dulo de um número real nunca pode ser um valor negativo, 
como –5. Portanto, o conjunto solução S é vazio (S = [).
e) √
_________
 (x – 3)2 = 7
Aplicando a propriedade P6, temos que:
 √
______
 (x – 3)2 = |x – 3|.
Fique atento ao “cancelar” raízes quadradas e 
quadrados perfeitos, pois, para um valor real k, temos 
que √
__
 k2 é u k u , e não k.
Portanto, temos:
 √
______
 (x – 3)2 = 7 |x – 3| = 7 
 
x – 3 = 7 x = 10
ou
x – 3 = –7 x = –4
Portanto, S = {–4; 10}.
1.6. Equações com mais de um módulo
Por vezes, podemos encontrar equações que apresentam 
mais de um módulo. Veja, a seguir, alguns dos casos mais 
comuns e como resolvê-los.
 Aplicação do conteúdo
1. Encontre o conjunto solução de cada equação a seguir.
a) u 3x – 5 u = u 3 – x u 
Lembrando que, para x [ R e k [ R, temos:
|x| = |k| x = k
ou
x = –k
Portanto:
 u 3x – 5 u = u 3 – x u 
3x – 5 = 3 – x x =2
ou
3x – 5 = –(3 – x) x = 1
Logo, x = 1 ou x = 2.
Portanto, S = {1; 2}.
b) u u 2x u – 3 u = 5
Pela definição de módulo de um número real, temos:
 u u 2x u – 3 u = 5 
|2x| – 3 = 5 (I)
ou
|2x| – 3 = –5 (II)
Resolvendo a equação (I):
 u 2x u – 3 = 5
 u 2x u = 8
2 u x u = 8
 u x u = 4 x = 4 ou x = –4
Resolvendo a equação (II):
 u 2x u – 3 = –5
 u 2x u = –2
2 u x u = –2
 u x u = –1 (não há solução real)
Portanto, o conjunto solução é S = {–4, 4}.
c) u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4
Neste caso, analisamos cada módulo separadamente:
(I) u 1 – 2x u = 
1 – 2x, se 1 – 2x $ 0
ou
–(1 – 2x), se 1 – 2x < 0
 
 u 1 – 2x u = 
1 – 2x, se x 1 __ 
2
 
ou
–1 + 2x, se x > 1 __ 
2
 
(II) u x + 3 u = 
x + 3, se x + 3 $ 0
ou
–(x + 3), se x + 3 < 0
 
 u x + 3 u = 
x + 3, se x $ –3
ou
–x – 3, se x < –3
Como cada módulo é definido de uma maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela para analisar cada caso:
33
Substituindo cada expressão na equação original, temos:
 para x < –3:
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (1 – 2x) – (–x – 3) = 4 
–x + 4 = 4 x = 0
Como estamos analisando o intervalo x < –3, o resultado 
encontrado x = 0 não convém.
 para –3 # x < 1 __ 
2
 :
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (1 – 2x) – (x + 3) = 4 
–3x – 2 = 4 x = –2
O valor x = –2 está dentro do intervalo –3 # x < 1 __ 
2
 ; por-
tanto, faz parte do conjunto solução.
 para x $ 1 __ 
2
 :
 u 1 – 2x u – u x + 3 u = 4 (–1 + 2x) – (x + 3) = 4 
x – 4 = 4 x = 8
Novamente, o valor x = 8 está dentro do intervalo x $ 1 __ 
2
 ; 
portanto, também faz parte do conjunto solução.
Finalmente, encontramos dois valores que obedecem seus 
respectivos intervalos em cada etapa e que satisfazem à 
equação. O conjunto solução é S = {–2, 8}.
2. INEQUAÇÕES MODULARES
Já vimos que podemos interpretar o módulo de um 
número real de maneira geométrica na reta real. O 
módulo de um número real x, representado por u x u , é 
a distância entre o ponto-imagem de x e a origem da 
reta real. Essa ideia é muito útil para entendermos a 
resolução de inequações modulares.
Uma inequação modular é uma inequação do tipo u x u > k, 
u x u $ k, u x u < k ou u x u # k.
Estudamos, no capítulo anterior, que podemos resolver 
a equação u x u = 3, geometricamente, através da reta 
real. Como u x u representa a distância do ponto x até a 
origem, temos:
Como tanto o ponto x = 3 e o ponto x = –3 distam três 
unidades da origem, a solução da equação é x = ±3.
Portanto, para resolver a inequação u x u $ 3, por exemplo, 
devemos nos perguntar o seguinte:
a) Quais pontos possuem uma distância 
maior ou igual a três unidades da origem?
De maneira similar, para resolver a inequação u x u # 3, a 
pergunta a ser feita é a seguinte:
b) Quais pontos possuem uma distância 
menor ou igual a três unidades da origem?
Veja, no esquema a seguir, como podemos responder a 
essas questões:
Vamos analisar os dois casos:
a) u x u $ 3
Veja, no esquema anterior, que para a distância até a ori-
gem ser maior ou igual a três unidades, os valores de 
x devem ser maiores que 3 ou menores que –3:
Portanto, o conjunto solução é x # –3 ou x $ 3.
b) u x u # 3
Para que a distância até a origem seja menor ou igual a 
três unidades, os valores de x devem ser menores que 3 
e maiores que–3, ou seja, entre –3 e 3:
Portanto, o conjunto solução é –3 # x # 3.
De maneira geral, sendo a > 0, podemos ter uma das se-
guintes situações:
 u x u > a x > a ou x < –a
 u x u $ a x $ a ou x # –a
 u x u < a –a < x < a
 u x u # a –a # x # a
Lembre-se de que a inequação –a # x # a pode ser escri-
ta como um sistema de inequações:
34
–a # x # a 
 
x $ –a
e
x # a
 Aplicação do conteúdo
1. Resolva a inequação u 2x – 3 u > 5.
Para uma inequação do tipo u x u > a, com a > 0, temos que 
x < –a ou x > a; portanto:
 u 2x – 3 u > 5 
2x – 3 < –5 x < –1
e
2x – 3 > 5 x > 4
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | x < –1 ou x > 4}
2. Encontre o domínio da função real:
f(x) = √
______ 
 |3x| – 12 .
Uma função do tipo f(x) = ( Rx ) possui domínio x $ 0; logo 
u 3x u – 12 $ 0.
Resolvendo a inequação modular, temos:
 u 3x u – 12 $ 0
 u 3x u $ 12
| x | > 4
x # –4 ou x > 4 
Portanto, o domínio da função f é:
D(f) = {x R | x # – 4 ou x $ 4}.
3. Resolva a inequação u x2 + x – 1 u < 1.
Para uma inequação do tipo u x u < a, com a $ 0, temos 
que – a < x < a; portanto:
 u x2 + x – 1 u < 1 –1 < x2 + x – 1 < 1 
 
x2 + x – 1 > – 1 (I)
e
x2 + x – 1 < 1 (II)
Resolvendo a inequação (I):
x2 + x – 1 > –1 x2 + x > 0
Raízes: x1 = –1 e x2 = 0
Gráfico:
Portanto, x < –1 ou x > 0.
Resolvendo, agora, a inequação (II):
x2 + x – 1 < 1 x2 + x – 2 < 0
Raízes: x1 = –2 e x2 = 1
Gráfico:
Portanto, –2 < x < 1.
Colocando os resultados no quadro:
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R I –2 < x < –1 ou 0 < x < 1}.
4. Para quais valores reais de x a expressão u 2x – 7 u é 
menor ou igual a 5?
Queremos resolver a inequação
 u 2x – 7 u # 5. Para uma inequação do tipo u x u # a, com 
a $ 0, temos que –a # x # a; portanto - 5 # 2x – 7 # 5.
Podemos resolver esta inequação simultânea somando ou 
multiplicando o mesmo termo em todos os membros da 
inequação. Somando 7 em todos os membros, temos:
–5 + 7 # 2x – 7 + 7 # 5 + 7
2 # 2x # 12
Dividindo todos os membros por 2 ( ou, de maneira equiva-
lente, multiplicando por 1 __ 
2
 ) :
1 # x # 6
Portanto, o conjunto solução é:
S = {x [ R | 1 # x # 6}.
35
5. Resolva a inequação u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4.
Quando há mais de um módulo, podemos analisar cada 
um separadamente:
(I) u 2x – 3 u = 
2x – 3, se 2x – 3 $ 0
ou
–(2x – 3), se 2x – 3 < 0
 
2x – 3, se x $ 3 __ 2 
ou
–2x +3, se x < 3 __ 2 
(II) u x + 1 u = 
x + 1, se x + 1 $ 0
ou
–(x + 1), se x + 1 < 0
 
x + 1, se x $ –1
ou
–x – 1, se x < –1
Como cada módulo é definido de maneira diferente para 
cada intervalo, faremos uma tabela:
Substituindo cada expressão na inequação original, temos:
 Para x < –1:
 u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4
(–2x + 3) + (– x – 1) # 4
–3x # 2
x $ – 2 __ 
3
 
Como neste intervalo temos que x < –1, calculamos a in-
tersecção dos intervalos x < –1 e x $ – 2 __ 
3
 :
] –`, –1 [ ù [ – 2 __ 3 , +` [ = [
 Para –1 # x < 3 __ 
2
 :
|2x – 3| + |x + 1| # 4
(–2x + 3) + (x + 1) # 4
–x # 0
x $ 0
Calculando a intersecção, temos:
[ –1, 3 __ 2 [ ù [0, + `[ = [0, 3 __ 2 [
 Para x $ 3 __ 
2
 :
 u 2x – 3 u + u x + 1 u # 4
(2x – 3) + (x + 1) # 4
3x # 6
x # 2
Calculando a intersecção:
[ 3 __ 2 , + `[ ù ] –`, 2] = [ 3 __ 2 , 2 ]
Finalmente, unimos os conjuntos soluções de cada intervalo:
S = [0, 3 ___ 2 [ ø [ 3 __ 2 , 2 ] = [ 0, 2 ]
Equações modular
FONTE: YOUTUBE
multimídia: vídeo
Na Física, ao calcular a velocidade de um móvel que se desloca no sentido negativo do eixo das abscissas obtém-se, 
por exemplo, –3m/s, a velocidade será definida como 3 m/s, ou seja, utiliza-se o módulo como uma ferramenta no 
cálculo de distâncias.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
36
EQUAÇÕES MODULARES
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
INEQUAÇÕES MODULARES
CONDIÇÃO DE 
EXISTÊNCIA
| x | ≥ 0
| x - 5 | = -2x + 1
x = 2 não convém
x - 5 = -2x + 1
x = -4
x - 5 = - (-2x + 1)
ou
EXEMPLO:
| x | =
x, se x ≥ 0
-x, se x ≤ 0
a-a
| x | > a
x > a
x < -a
ou
a-a
| x | ≥ a
x ≥ a
x ≤ -a
ou
a-a
| x | < a -a < x < a
a-a
| x | ≤ a -a ≤ x ≤ a
PROPRIEDADES 
IMPORTANTES:
P1: | x | ≥ 0
P2: | x · y | = | x · y | 
P3: | x + y | ≤ | x | + | y |
P4: | x – y | ≥ | x | – | y |
P5: | x |
2 = x2
P6: √x
2 = | x |
| x | = k
x = k
x = -k
ou | x | = | y |
x = y
x = -y
ou
 DIAGRAMA DE IDEIAS
37
 FUNÇÕES MODULARES
COMPETÊNCIAS: 3, 4 e 5 HABILIDADES:
12, 15, 17, 18, 19, 
20 e 21
AULAS 
33 E 34
1. FUNÇÕES MODULARES
1.1. Definição
A uma função f: R R, definida por f(x) = u x u , dá-se 
o nome de função modular. Pela definição de módulo 
ou valor absoluto de um número real, também podemos 
definir a função modular como:
f(x) = 
x, se x $ 0
ou
–x, se x < 0
Como o módulo de um número real é sempre positivo ou 
nulo, o conjunto imagem é Im(f) = R+.
1.2. Gráfico
A partir de sua definição, vamos construir o gráfico da fun-
ção modular. A função modular é uma função definida 
por várias sentenças, ou seja, ela se comporta de ma-
neiras distintas para cada intervalo de x.
 Para x $ 0, a função é y = x, ou seja, uma semirreta 
com inclinação positiva, ocupando somente o primei-
ro quadrante.
 Para x < 0, a função é y = –x, ou seja, uma semirreta 
com inclinação negativa, ocupando somente o segun-
do quadrante.
y = x, para x > 0
y = -x, para x < 0
Reunindo os dois gráficos, temos:
Observe que, pelo gráfico, podemos ver facilmente que o 
conjunto imagem é R+.
 Aplicação do conteúdo
1. Construa o gráfico da função f(x) = u 2x – 8 u .
Pela definição de módulo de um número real, temos:
f(x) = u 2x – 8 u = 
2x – 8, se 2x – 8 $ 0
ou
–(2x – 8), se 2x – 8x < 0
Como (2x – 8 $ 0 x $ 4) e (2x – 8 < 0 x < 4), 
podemos reescrever a função como:
f(x) = 
2x – 8, se x $ 4 (I)
ou
–(2x – 8), se x < 4 (II)
Construindo os gráficos das funções y = 2x – 8 e y = – 2x + 8, 
temos:
38
Reunindo ambos os gráficos, obtemos o gráfico de f(x) = u 2x – 8 u :
2. Construa o gráfico da função f(x) = u x2 – 4 u .
Uma maneira rápida de construir o gráfico de uma função 
composta com a modular do tipo f(x) = |g(x)| é construir o 
gráfico da função g(x) = x2 – 4 e “espelhar” a parte que 
possui imagem negativa para a parte positiva. Veja:
Gráfico de g(x) = x2 – 4
Raízes: x1 = –2 e x2 = 2
Pelo gráfico, vemos que a função é negativa para –2 < x < 2. 
Sendo assim, traçamos a parte do gráfico compreendida entre 
–2 e 2, novamente de maneira simétrica ao eixo x:
3. f(x) = u x – 3 u + 1
Analisando o módulo u x – 3 u , temos:
 u x – 3 u = 
x – 3, se x $ 3
ou
–(x – 3), se x < 3
Logo, para intervalos diferentes de x, a função f(x) possui 
uma definição diferente:
f(x) = 
x – 3 + 1, se x $ 3
ou
–(x – 3) + 1, se x < 3 
 f(x) = 
x – 2, se x $ 3 (I)
ou
–x + 4, se x < 3 (II)
Gráfico de (I), onde f(x) = x – 2 para x $ 3:
Gráfico de (II), onde f(x) = –x + 4, para x < 3:
39
Reunindo ambos os gráficos, temos, finalmente, o gráfico 
de f(x):
4. Construa o gráfico da função:
f(x) = u x – 1 u + u 2x – 4 u .
Neste caso, devemos analisar o comportamento de cada 
módulo separadamente:
(I) u x – 1 u = 
x – 1, se x – 1 $ 0
ou
–(x – 1), se x – 1 < 0
 
 u x – 1 u = 
x – 1, se x $ 1
ou
–x + 1, se x < 1
(II) u 2x – 4 u = 
2x – 4, se 2x – 4 $ 0
ou
–(2x – 4), se 2x – 4 < 0
 
 u 2x – 4 u = 
2x – 4, se x $ 2
ou
–2x + 4, se x < 2
Veja que, em x = 1 e em x = 2, cada módulo muda seu 
comportamento. Vamos fazer então uma tabela:
 Para x < 1:
f(x) = (–x + 1) + (–2x + 4) = –3x + 5
 Para 1 ≤ x < 2:
f(x) = (x – 1) + (–2x + 4) = –x + 3
 Para x > 2:
f(x) = (x – 1) + (2x – 4) = 3x – 5
Finalmente, reunindo os três gráficos, temos o gráfico de f(x):
5. Construa o gráfico da função f(x) = 
|x|
 __ x .
Analisando u x u , temos:
 u x u = x, se x $ 0
–x, se x < 0
40
Portanto, substituindo esta definição em f(x), temos:
f(x) = 
 x _ 
x
 , se x . 0, x ≠ 0
– x _ x , se x < 0, x ≠ 0
Simplificando as frações:
f(x) = 1, se x . 0, x ≠ 0
–1, se x < 0, x ≠ 0 
Portanto,o gráfico da função f(x) é:
6. Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 5 u x u + 6.
Analisando o módulo, temos:
 u x u = x, se x $ 0
–x, se x < 0
Portanto, para f(x):
f(x) = 
x2 – 5x + 6, se x $ 0
x2 – 5(–x) + 6, se x < 0
Desenvolvendo:
f(x) = x
2 – 5x + 6, se x $ 0 (I)
x2 + 5x + 6, se x < 0 (II)
Gráfico de (I):
A função f(x) = x2 – 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = 2 e 
x2 = 3 e concavidade para cima:
Gráfico de (II):
A função f(x) = x2 + 5x + 6 é quadrática de raízes x1 = –2 
e x2 = –3 e concavidade para cima:
Portanto, unindo os dois gráficos, obtemos o gráfico de f(x) 
para todo x:
2. ANÁLISE DE GRÁFICOS
2.1. Construção de gráficos
Como podemos construir o gráfico de uma função co-
nhecendo a sua lei de correspondência y = f(x) e seu 
domínio D?
Um método simples é o seguinte:
 1° passo: construímos uma tabela, na qual aparecem 
os valores de x (variável independente) e os valores do 
correspondente y, e calculamos por meio da lei y = f(x).
 2° passo: representamos cada par ordenado (a, b) 
da tabela por um ponto do plano cartesiano.
 3° passo: ligamos os pontos construídos no passo an-
terior por meio de uma curva, que é o próprio gráfico 
da função y = f(x).
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função y = 2x, com domínio 
em R.
 1° passo: damos a x alguns valores inteiros (–3, –2, 
–1, 0, 1, 2 e 3, por exemplo) e alguns valores fracioná-
rios ( – 3 __ 2 , – 1 __ 2 , 1 __ 2 e 3 __ 2 , por exemplo ) e calculamos y = 2x. 
41
Teremos a tabela:
x –3 –2 –1 0 1 2 3
y –6 –4 –2 0 2 4 6
x – 3 __ 2 – 
1 __ 2 
1 __ 2 
3 __ 2 
y –3 –1 1 3
 2° passo: representamos os pares ordenados que es-
tão nessa tabela por pontos, a saber:
 3° passo: desenhamos a curva “provável” que con-
tém os pontos que satisfazem a lei y = 2x. Nesse caso, 
é uma reta.
Uma noção importante que devemos ter em mente são 
as consequências sobre o gráfico de uma função, con-
forme somamos ou multiplicamos constantes sobre ela. 
Veremos, a seguir, alguns casos importantes e o efeito 
sobre seus gráficos.
 g(x) = f(x) ± k
Considerando uma função real f(x) e uma constante real po-
sitiva k, o gráfico de f(x) + k desloca-se k unidades “para 
cima” em relação ao gráfico de f(x), aumentando em k 
unidades todos os pontos-imagem de f(x). Analogamente, 
o gráfico de f(x) – k se desloca “para baixo” k unidades.
Por exemplo, para a função f(x) = x2, veja os gráficos de 
f(x) + 4 e f(x) – 4:
A mesma consequência é observada entre os pares de grá-
ficos das funções a seguir:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2x2 + 3
f(x) = log(x) e g(x) = log(x) – 5
f(x) = u x u e g(x) = u x u + 3
f(x) = 2x e g(x) = 2x + 3
 g(x) = f(x ± k)
Considerando novamente uma constante real positiva k e 
uma função real f(x) qualquer, o gráfico de f(x + k) desloca-se 
42
para a esquerda no plano cartesiano, enquanto que o gráfi-
co de f(x – k) desloca-se para a direita no plano.
Por exemplo, considere a função real f(x) = x2 e os gráficos 
das funções f(x + 2) = (x + 2)2 e f(x – 2) = (x –2)2:
A mesma consequência ocorre para os seguintes pares 
de funções:
f(x) = 2x2 e g(x) = 2(x + 5)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(x – 1)
f(x) = u x u e g(x) = u x + 6 u 
f(x) = 2x e g(x) = 2x – 7
 g(x) = –f(x)
Considerando o gráfico de uma função real f(x), a função 
g(x) = –f(x) será simétrica em relação ao eixo x ao gráfico 
de f(x):
Ou seja, ao multiplicar a função f(x) por –1, “espelhamos” 
seu gráfico em relação ao eixo x. Essa consequência pode 
ser vista nas seguintes funções:
f(x) = x2 e g(x) = –x2
f(x) = log(x) e g(x) = –log(x)
f(x) = u x u e g(x) = – u x u 
f(x) = 2x e g(x) = –2x
 g(x) = f(–x)
Considerando uma função real f(x) e seu gráfico, o gráfico 
de g(x) = f(–x) será simétrico em relação ao eixo y:
Geógrafos e meteorologistas exercitam juntos a prática diária de análises de temperaturas nas cidades brasileiras. 
Logo, as funções modulares estão diretamente ligadas aos seus trabalhos, pois, pelas variações de temperatura em 
uma dada cidade e em um dado período do ano, é possível obter rankings que distinguem as cidades mais frias das 
mais quentes. 
VIVENCIANDO
43
Ou seja, ao multiplicar x por –1, “espelhamos” o gráfico de f(x) em relação ao eixo y. Esta consequência pode ser observada 
nas funções:
f(x) = x2 e g(x) = (– x)2
f(x) = log(x) e g(x) = log(–x)
f(x) = u x u e g(x) = u –x u 
f(x) = 2x e g(x) = 2–x
2.2. Tabela de gráficos de funções
44
2.3. Crescimento e decrescimento
Através do gráfico de uma função, podemos analisar os in-
tervalos em que a função cresce ou decresce. Veja o exem-
plo a seguir:
Pelo gráfico, podemos ver que, entre os pontos A e B, a 
função é crescente; à medida que ocorre um incremen-
to em x há um aumento consequente em y. Enquanto 
isso, entre os pontos B e C, a função é decrescente.
Os pontos B e C são máximo e mínimo locais, respectiva-
mente, enquanto que os pontos D e A são, respectivamen-
te, máximo e mínimo globais.
2.4. Análise de imagem e domínio
Também podemos analisar, a partir do gráfico de uma função 
f(x), seus conjuntos domínio e imagem. Veja um exemplo:
Para determinar o conjunto imagem da função a partir do 
gráfico, encontramos os pontos máximo e mínimo da função 
(em y). Ao analisar o gráfico, vemos que o valor mínimo que 
a função atinge é –7, enquanto que o valor máximo é 7. 
Portanto, o conjunto imagem é Im(f) = [ –7, 7 ].
Para a determinação do domínio, analisamos o intervalo ao 
longo do eixo x ao qual a função está definida. Para a fun-
ção f(x) apresentada, a função existe de x = –5 até x = 6. 
Portanto, seu domínio é D(f) = [ –5, 6 ].
Veja mais alguns exemplos:
 f(x) = 2x
O gráfico de f(x) = 2x é:
Na função exponencial apresentada, apesar de tender à zero, 
quando x apresenta valores cada vez maiores e negativos, 
nunca temos, efetivamente, um valor de x tal que f(x) = 0. Por 
outro lado, conforme x cresce no sentido positivo, a função 
2x atinge valores cada vez maiores. Portanto, seu conjunto 
imagem é Im(f) = ] 0, +` [.
Para o domínio, vemos que todos os valores reais de x 
estão associados a um valor em y; portanto D(f) = R.
 f(x) = x2 – 8x + 17
Como a coordenada y do vértice da parábola da função qua-
drática é 1, este é seu valor mínimo. Portanto, Im(f) = [ 1, +` [.
Apesar de não estar apresentado no gráfico, a função se 
estende por todo o eixo x; portanto, D(f) = R.
2.5. Outro método para construir 
gráficos de funções modulares
Podemos utilizar os conceitos de construção de gráficos 
estudados neste capítulo para construir alguns gráficos de 
funções modulares, de uma maneira mais rápida.
Veja como exemplo: f(x) = u 2 – u x – 4 u u . Para construir o 
gráfico de f(x), que é uma função composta, podemos 
construir seu gráfico, gradativamente, pelas funções:
45
f1(x) = u x u (função modular)
f2(x) = u x – 4 u (deslocamos o gráfico de f1(x) quatro unida-
des para a direita)
f3(x) = – u x – 4 u (invertemos o gráfico de f2(x) ao redor do 
eixo x)
f4(x) = 2 – u x – 4 u (deslocamos o gráfico de f3(x) duas uni-
dades para cima)
f(x) = u 2 – u x – 4 u u (“espelhamos” os pontos de imagem 
negativa de f4(x))
 f1(x) = | x |
 f2(x) = |x – 4|
Para o gráfico de f2(x), como f2(x) = f1 (x – 4), deslocamos 
o gráfico de f1(x) quatro unidades para a direita e calcula-
mos os pontos de intersecção com os eixos:
 f3(x) = – |x – 4|
Como f3(x) = – f2(x), temos:
 f4(x) = 2 – |x – 4|
Como f4(x) = f3(x) + 2, deslocamos o gráfico de f3(x) duas 
unidades para cima, novamente calculando os pontos de 
intersecção com os eixos:
 f(x) = |2 –|x – 4||
Finalmente, como f(x) = |f4(X)|, tomamos os pontos simétri-
cos aos pontos de imagem negativa de f4(x):
 
“A História da Matemática - Desde a criação 
das pirâmides até a exploração do infinito” 
aborda as conquistas matemáticas, que ao lon-
go do tempo vem descobrindo os padrões e re-
gras que governam nosso mundo e além dele. 
A história da Matemática – Anne Rooney
multimídia: livros
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A função modular tem várias aplicações no cotidiano,