Geometria Analítica

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2013
Geometria analítica
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
Copyright © UNIASSELVI 2013
Elaboração:
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
516.3
N651g Nicolodi, Josiane Elias
 Geometria Analítica / Josiane Elias Nicolodi, Roberto Nicolodi. 
Indaial : Uniasselvi, 2013.
 
 215 p. : il 
 
 ISBN 978-85-7830-850-6
 1. Geometria Analítica. I. Centro Universitário Leonardo da 
Vinci.
III
apresentação
As mudanças pelas quais o ensino da matemática passou ao longo 
dos tempos acabaram por refletir fortemente no ensino e aprendizagem dos 
conteúdos de matemática. Se analisarmos a situação da prática educativa 
dos anos 80 até a atualidade identificaremos problemas como: a grande 
ênfase dada à memorização e pouca preocupação com o desenvolvimento do 
pensamento matemático para a reflexão crítica e autocrítica do conhecimento, 
o que consecutivamente, ocasionou em altos índices de reprovação.
Por isso, o principal objetivo dessa disciplina é contribuir para a 
formação do raciocínio lógico dos conteúdos de geometria, abordando 
paralelamente a representação algébrica com a representação geométrica.
 A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de 
relações matemáticas, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a 
Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem 
ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos.
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII 
e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), 
inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), 
que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No 
seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em 
latim Cogito ergo sum, ou seja: “Penso, logo existo”. 
Para tanto contamos com a sua dedicação, com o tempo para a leitura, 
realização das autoatividades sugeridas. Com o seu comprometimento de 
realmente utilizar a representação geométrica para comprovar a representação 
algébrica.
Vamos lá, chegou a hora de estudar!
Profa. Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO ............................................. 1
TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ................................................................................. 3
3 PARES ORDENADOS ........................................................................................................................ 5
4 OS QUADRANTES ............................................................................................................................. 7
5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES ................................................................................................... 9
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 11
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 12
TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS ............................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 15
2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ............................................................................................. 15
3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ........................................................................................... 20
4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS ............................................................. 24
5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT ............................................................................... 30
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 36
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 37
TÓPICO 3 – A RETA ............................................................................................................................... 39
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 39
2 EQUAÇÕES DA RETA ....................................................................................................................... 39
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS ................................................................................................... 46
4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................................................................ 51
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 55
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 56
TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS .............................................................. 59
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 59
3 RETAS CONCORRENTES ................................................................................................................. 64
4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS ............................................................................... 65
5 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS ..................................................................................................... 68
6 O SOFTWAREWIN PLOT NA PROJEÇÃO DE RETAS .............................................................. 70
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 74
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 77
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 78
UNIDADE 2 – O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ...................................................................... 79
TÓPICO 1 – EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................... 81
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 81
2 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA .............................................................................................. 81
3 POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO ............................................. 89
sumário
VIII
4 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................... 91
6 O SOFTWARE WINPLOT NA REPRESENTAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS ...................... 99
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 103
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 104
TÓPICO 2 – POSIÇÕES RELATIVAS ................................................................................................ 107
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 107
2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA ............................................ 107
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ................................................ 112
4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ........................................................ 117
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 126
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 128
TÓPICO 3 – CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA .................................................... 129
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 129
2 POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA ........................................ 129
3 MEDIDA DO COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA .............................................. 132
4 ÁREA DO CÍRCULO .......................................................................................................................... 133
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 136
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 139
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 140
UNIDADE 3 – O ESTUDO DAS CÔNICAS ..................................................................................... 143
TÓPICO 1 – PARÁBOLA ....................................................................................................................... 145
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 145
2 A PARÁBOLA ....................................................................................................................................... 146
3 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA ........................................................................................................... 147
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 159
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 160
TÓPICO 2 – ELIPSE ................................................................................................................................ 161
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 161
2 A ELIPSE ................................................................................................................................................ 161
3 EQUAÇÕES DA ELIPSE .................................................................................................................... 163
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 175
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 177
TÓPICO 3 – HIPÉRBOLE ...................................................................................................................... 179
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 179
2 A HIPÉRBOLE ...................................................................................................................................... 180
 2.1 MEDIDA DO EIXO REAL ............................................................................................................. 181
 2.2 MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO .............................................................................................. 182
3 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE ........................................................................................................... 182
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 192
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 193
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ........................................................ 195
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 195
2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA .............................................................................. 195
3 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................................................ 197
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 201
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 206
IX
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 207
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 211
X
1
UNIDADE 1
ESTUDO DA RETA NO SISTEMA 
CARTESIANO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Caro(a) acadêmico(a)! Com esta unidade, você será capaz de:
• conhecer as definições do SistemaCartesiano Ortogonal;
• reconhecer as coordenadas do ponto;
• desenvolver o pensamento algébrico e a representação geométrica;
• identificar e aplicar o estudo dos pontos;
• verificar e aplicar as propriedades das equações da reta;
• adquirir noções sobre as posições relativas de duas retas.
Esta unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que favorecerão a fixação dos assuntos apresentados. 
Bons estudos! 
TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS
TÓPICO 3 – A RETA
TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
1 INTRODUÇÃO
A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática, seus princípios 
baseiam-se nos estudos do ponto, da reta e do plano, que estão fundamentados em 
axiomas, postulados, definições e teoremas, compilados pelo filósofo e matemático 
grego Euclides, por volta do ano 300 a.C.
Nesta disciplina, nosso foco de estudos será uma área ainda mais específica 
da geometria, a geometria analítica. Área esta, também chamada geometria de 
coordenadas e de geometria cartesiana, em que o estudo da geometria é realizado 
por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra.
Desta forma, iniciaremos nossos estudos revendo os conceitos envolvidos 
no estudo do sistema cartesiano ortogonal.
2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema Cartesiano Ortogonal, 
também conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes (1596-
1650), filósofo matemático francês e principal idealizador da Geometria Analítica. 
Em sua homenagem originou-se o nome cartesiano, pois Descartes em latim era 
Cartesius.
Como René Descartes associava a geometria à álgebra, o sistema cartesiano 
ortogonal foi a forma que ele inventou para representar expressões algébricas graficamente.
NOTA
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
4
Quando temos um sistema de eixos associado a um plano, que faz 
corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa, sendo esses 
eixos perpendiculares entre si em um ponto O, denominado origem, o denotamos 
como sistema cartesiano ortogonal.
Sendo assim, o sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos 
perpendiculares (duas retas que formam ângulo de 90º entre si): um horizontal e 
outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas (0,0). A reta horizontal é 
chamada de eixo x ou eixo das abscissas (x) e a reta vertical de eixo y ou de eixo das 
ordenadas (y). Esses eixos são enumerados com uma unidade de medida única e 
os números compreendem o conjunto dos números reais, como podemos observar 
na figura 1 do plano cartesiano. Nesta disciplina, você pode utilizar 1 cm como 
unidade de medida para a resolução das autoatividades.
FIGURA 1 – PLANO CARTESIANO
FONTE: Os autores
Atenção! Podemos observar na Figura 1 que a orientação positiva das retas é 
representada por uma seta.
UNI
A utilização mais simples do Plano Cartesiano é para representarmos 
graficamente a localização de pontos em um determinado plano, ou seja, pares 
ordenados conforme apresentado na próxima seção.
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
5
Você sabia?
Que podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude? Esses temas 
relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. 
O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, 
desde que tenhamos em mãos um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e 
a altitude com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Os aviões são um exemplo da utilização 
do GPS, pois para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir 
sua viagem.
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.
htm>. Acesso em: 6 dez. 2013.
UNI
3 PARES ORDENADOS
A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados, 
indicados entre parênteses, a abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente, e esse 
par ordenado (x, y) representa as coordenadas de um ponto, o qual é representado 
por uma letra maiúscula do alfabeto P(x, y).
Eixo das abscissas
P(x,y)
Eixo das ordenadas
FIGURA 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS EIXOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
6
O valor da abscissa (o primeiro número do par ordenado) é a medida do 
deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo), ou para a esquerda (se negativo) 
do eixo horizontal (eixo x). E o valor da ordenada (o segundo número do par ordenado) é a 
medida do deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) 
no eixo vertical (eixo y).
IMPORTANT
E
Vamos observar alguns exemplos de pares ordenados:
• o ponto A(4, 3) tem abscissa 4, ou seja, x = 4 e ordenada 3, ou seja, y = 3, no qual 
o símbolo (4, 3) representa um par ordenado;
• o ponto B(1, 2) tem abscissa 1 (x = 1) e ordenada 2 (y = 2); 
• o ponto C(-2, 4) tem abscissa -2 (x = -2) e ordenada 4 (y = 4);
• o ponto D(-3, -4) tem abscissa -3 (x = -3) e ordenada -4 (y = -4);
• o ponto E (3, -3) tem abscissa 3 (x = 3) e ordenada -3 (y = -3).
É importante destacarmos que os pontos M(2, 5) e N(5, 2) são pontos distintos, 
pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.
ATENCAO
Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos 
retas suportes paralelas aos eixos x e y (representadas na Figura 3, por linhas 
tracejadas), e onde essas retas se encontram, marca-se o ponto (par ordenado). 
Vamos analisar o ponto A, observe na Figura 3, que traçamos inicialmente 
uma reta paralela ao eixo y sobre o valor da abscissa do ponto, nesse caso 4 e 
depois traçamos a outra paralela, agora em relação ao eixo x, sobre o valor da 
ordenada, ou seja, 3. Onde essas duas retas paralelas (devem ser representadas 
sempre com linhas tracejadas no sistema cartesiano ortogonal) se encontram é a 
região do plano em que está o ponto A (4, 3).
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
7
O mesmo acontece com os demais pontos do exemplo e com qualquer 
outro par ordenado em que os pontos não estão marcados sobre o eixo. Quando 
isso acontece os pontos estão localizados nos quadrantes e não é necessário traçar 
retas paralelas.
FIGURA 3 – EXEMPLOS DE PARES ORDENADOS
Fonte: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>. 
Acesso em: 9 maio 2013.
Utilizamos o plano cartesiano na representação de gráficos de funções, onde os 
valores relacionados a x determinam o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação 
do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na 
Matemática, que facilita a observação do comportamento das funções em alguns pontos 
considerados críticos e contribuiu para vários conceitos de cálculo, como limites, derivadas, 
integrais e outros.
NOTA
4 OS QUADRANTES
É a denotação utilizada para as quatro regiões do plano resultante da 
divisão do eixo x e do eixo y, conforme observamos na Figura 4.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
8
Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.
NOTA
FIGURA 4 – QUADRANTES
Fonte: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-
cartesiano.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
 No sistema cartesiano ortogonal, o canto superior direito é a região 
do primeiro quadrante, à sua esquerda do outro lado do eixo das ordenadas (eixo 
y), é a região do segundo quadrante. Abaixo desse, temos a região do terceiro 
quadrante e à direita e, abaixo do primeiro, temos a região do quarto quadrante.
Para os pontos (pares ordenados) localizados no primeiro quadrante, os 
valores da abscissa e da ordenada serão sempre maiores doque zero (x > 0 e y > 0), 
no segundo quadrante o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada 
maior do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da 
ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0) e no quarto quadrante o valor 
da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 e y < 0). 
Assim:
• no primeiro quadrante, todos os pontos possuem abscissa e ordenada positivas 
(x, y). Exemplo: A(4, 2);
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
9
• no segundo quadrante, todos os pontos possuem abscissa negativa e ordenada 
positiva (- x, y). Exemplo: B (-4, 2);
• no terceiro quadrante todos os pontos possuem abscissa e ordenada negativas 
(- x, - y). Exemplo: C(-4, -2), e
• no quarto quadrante todos os pontos possuem abscissa positiva e ordenada 
negativa (x, -y). Exemplo: D(4, -2).
Quando um ponto (par ordenado) está localizado sobre o eixo das abscissas (eixo 
x), o eixo das ordenadas (eixo y), ou sobre a origem do sistema, não se encontra em nenhum 
quadrante.
IMPORTANT
E
5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES
A bissetriz dos quadrantes é determinada por uma reta que intercepta o 
ponto (0,0) traçando a bissetriz dos quadrantes ímpares no 1º e 3º quadrante ou a 
bissetriz dos quadrantes pares no 2º e 4º quadrante, conforme a Figura 5. 
FIGURA 5 – BISSETRIZ DOS QUADRANTES
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/as-bissetrizes-dos-
quadrantes-1.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
10
Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares possuem 
abscissas iguais às ordenadas e vice-versa, B(b, b).
Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas 
opostas e vice-versa, B(b, -b).
IMPORTANT
E
Exemplo: Determinar o valor de a, para que o ponto A (2a-1, – a+2) pertença 
à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Resolução: Sabemos que, se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, então, possuem coordenadas (x, y) iguais. Desta forma,
2a – 1 = -a + 2 Isolando a no primeiro membro
2a + a = 2 + 1 Juntando os termos semelhantes
3a = 3 Dividindo ambos os membros por 3
3a/3 = 3/3 Efetuando a divisão
a = 1
Substituindo o valor de a nas coordenadas do ponto, temos:
A (2.1 – 1, - 1 + 2) → A (1, 1)
Portanto, as coordenadas do ponto serão A(1, 1).
11
Nesse tópico, você estudou o Sistema Cartesiano Ortogonal. Em seguida, 
a localização dos pontos e a posição dos mesmos de acordo com os quadrantes.
• O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares, o 
horizontal é chamado de eixo x ou eixo das abscissas (x) e o vertical de eixo y ou 
de eixo das ordenadas (y) que são enumerados compreendendo o conjunto dos 
números reais.
• A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados (x, y), a 
abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente que representa as coordenadas de 
um ponto.
• Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos 
retas paralelas aos eixos x e y (linhas tracejadas), e onde essas retas se encontram, 
marca-se o ponto (par ordenado). 
• Os pontos (pares ordenados), localizados no primeiro quadrante, têm os valores 
da abscissa e da ordenada maiores do que zero (x > 0 e y > 0), no segundo 
quadrante, o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada maior 
do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da 
ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0), e no quarto quadrante o 
valor da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 
e y < 0).
RESUMO DO TÓPICO 1
12
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no 
Tópico 1. Lembre-se das orientações referentes à localização dos pontos no 
plano cartesiano.
1 Construa um plano cartesiano e localize os seguintes pontos (pares 
ordenados):
a) A(-4, 3)
b) B(-1, 1)
c) B(2, 1)
d) D(-1, 2)
e) E(3, -2)
j) J(3, 3/5)
k) K(1/2, -4)
l) L(-2,5, -3,3)
m) M(2, 0)
n) N(0, -3)
f) F(-1, -1)
g) G(3, 2)
h) H(-1, 3)
i) Um ponto I na 
origem do sistema
2 No exercício anterior:
a) Quais são os pontos que pertencem ao 1º quadrante? ______________________ 
b) Quais são os pontos que pertencem ao 2º quadrante? ______________________
c) Quais são os pontos que pertencem ao 3º quadrante? ______________________
d) Quais são os pontos que pertencem ao 4º quadrante? ______________________
3 Verifique se os pontos estão localizados nos quadrantes e identifique em 
qual quadrante?
a) A(2, 0)_____________________________________________________________
b) B(-1, -1)____________________________________________________________
c) C(0, 3)_____________________________________________________________
d) D(2, -3)____________________________________________________________
e) E(0, 0)_____________________________________________________________
f) F(-1, 0)_____________________________________________________________
g) G(0, -2)____________________________________________________________
4 No exercício anterior:
a) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas? 
b) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das ordenadas? 
13
5 Complete utilizando os símbolos = (igual) ou ≠ (diferente):
a) A(2,0)......... M(0,2) 
b) B(3, -1)......... N(3,-1) 
c) C(2,5)................ P(6/3,10/2) 
d) C(-2,1)............... Q(1,-2) 
e) E(-3,-2).......... R(-2,-3) 
6 Determine x e y nos pares ordenados, para que cada uma das igualdades 
sejam verdadeiras:
a) (x, y) = (1,-2) _______________________________________________________
b) (3, y) = (x, 1) _______________________________________________________
c) (x , -7) = (-1 , y) _____________________________________________________
d) (2x, -2) = ( 10, y) ____________________________________________________
e) (x, y +2) = (1, 7) _____________________________________________________
f) (3x, 2y) = (-15, -8) ___________________________________________________
g) (x, y - 5) = (0, 10) ____________________________________________________
h) (x + 1, y -1) = (2, 4) __________________________________________________
7 Determine as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir:
14
8 Para que o ponto P(-3m +5, 2m+10) pertença à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, m deverá ser:
a) - 1 
b) 5/3 
c) - 5 
d) 1 
9 Observe o sistema cartesiano a seguir onde as bissetrizes de cada quadrante 
estão representadas. 
a) O que caracteriza um ponto “A” situado sobre a bissetriz dos quadrantes 
ímpares? 
b) Se o ponto C(x, y) é um ponto situado sobre a bissetriz dos quadrantes pares, 
podemos afirmar que x + y = 0 sempre? Por quê? 
c) Calcule o valor de m, sabendo que o ponto B (2m² + 5, 7m) pertence à bissetriz 
dos quadrantes pares.
15
TÓPICO 2
ESTUDO DOS PONTOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No tópico anterior, vimos a representação de um ponto no sistema 
cartesiano. Neste tópico vamos analisar as relações que podemos estabelecer entre 
dois ou mais pontos, como a distância entre dois pontos, o ponto médio de um 
segmento, a condição de alinhamento de três pontos e como utilizar o software 
Winplot para representar geometricamente essas relações.
No estudo dos pontos, temos o conceito de distância que perpassa vários 
conceitos da geometria analítica, pois nessa área da matemática temos a relação 
de elementos geométricos com os algébricos, sendo que o elemento básico da 
geometria é o ponto.
Sabemos que na geometria a menor distância entre dois pontos é dada por 
uma reta, já na geometria analítica esses pontos são representados por coordenadas 
no sistema cartesiano ortogonal, e por meio dessas coordenadas podemos encontrar 
o valor da distância entre os dois pontos.
Através dos estudosde Geometria Analítica, é possível estabelecer a 
relação entre a Álgebra e a Geometria, em situações que são envolvidos ponto, 
reta e figuras espaciais, pois quando representamos graficamente uma função, 
utilizamos de pontos, podemos ter retas ou até mesmo figuras em três dimensões.
2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Na disciplina de geometria, você estudou que a distância é a medida da 
separação de dois pontos e que por dois pontos passa apenas uma reta, vamos 
calcular a distância entre os pontos A e B no sistema cartesiano ortogonal.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
16
FIGURA 6 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=com+a+dist%c3%a2ncia+entre+dois+pontos>. Acesso em: 10 
maio 2013.
Para calcular a distância entre dois pontos recorremos ao teorema de 
Pitágoras.
Temos os pontos: A(xA, yA), com abscissa (xA) e ordenada (yA); e o ponto B(xB, 
yB), com abscissa (xB) e coordenada (yB), ligando esses dois pontos com uma 
reta, podemos formar o triângulo ABC retângulo em C, em que temos o lado BC 
(cateto), o lado AC (cateto) e o lado AB (hipotenusa).
UNI
FIGURA 7 – COMO CALCULAR A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
distancia-entre-dois-pontos.htm>. Acesso em: 10 maio 2013.
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
dAB
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
17
Para calcular a distância entre os pontos A e B, vamos aplicar o teorema de 
Pitágoras no triângulo ABC (Figura 8), para descobrir o valor da hipotenusa do 
triângulo, ou seja, D que é a distância entre os pontos A e B.
FIGURA 8 – TRIÂNGULO ABC
FONTE: Os autores
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipotenusa (D) é 
igual à soma dos quadrados dos catetos. Como o cateto BC é igual a distância de 
yB - yA, e o cateto AC é igual a distância de xB - xA , temos:
D² = (XB – XA)² + (YB – YA)²
√D² = √(XB – XA)² + (YB – YA)² aplicando a raiz quadrada em ambos os 
lados da igualdade: 
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
ATENCAO
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)² essa é a fórmula para o cálculo da 
distância entre dois pontos no sistema cartesiano ortogonal.
Utilizando essa fórmula, é possível determinar a distância entre dois pontos 
no Sistema Cartesiano Ortogonal, desde que seja conhecida as suas coordenadas.
Exemplo 1: Dados os pontos A (1, -2) e B (4, 2), determine a distância entre 
eles e represente geometricamente.
Solução: Temos xA = 1 e yA = -2, e xB = 4 e yB = 2.
Fórmula da distância entre dois pontos:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
18
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
Substituindo esses valores na fórmula da distância entre dois pontos temos:
D = √(4 – 1)² + [2 – (–2)]² 
Resolvendo as operações entre os parênteses:
D = √(3)² + (4)² 
Elevando os termos ao quadrado:
D = √9 + 16 
Somando os termos dentro da raiz quadrada:
D = √25 
Resolvendo a raiz quadrada:
D = 5
Logo a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a 5 unidades de medida.
Representação geométrica:
FIGURA 9 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Calcule a distância entre os pontos P(-1, 4) e Q (1, -4).
Solução: Temos xA = -1 e yA = 4, e xB = 1 e yB = - 4.
Substituindo na fórmula teremos: 
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
19
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
D = √[1 – (–1)]² + (–4 – 4)² 
Resolvendo as operações entre os parênteses:
D = √(–2)² + (–8)² 
Elevando os termos ao quadrado:
D = √4 + 64
Somando os termos dentro da raiz quadrada:
D = √68
Resolvendo a raiz quadrada, não temos um valor exato, portanto vamos 
fatorar em números primos o número 68;
68 2
34 2
17 17
1 2².17
Logo, 
Representação geométrica
√4 √17 2√17=
2√17D = unidades de medida, esse valor é a distância entre o ponto A
e o ponto B.
FIGURA 10 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
20
3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
É o ponto que divide o segmento de reta exatamente ao meio, originando 
dois novos segmentos de reta, conforme podemos observar na Figura 11.
FIGURA 11 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=divide+o+segmento+de+reta+exatamente+ao+meio&>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (xA,yA) e B (xB,yB), 
observamos na Figura 12, dois triângulos, AMN e ABP que são semelhantes, pois 
possuem os três ângulos respectivamente congruentes (iguais) (REIS, 2008).
FIGURA 12 – CÁLCULO DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Disponível em: <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/
AulasModulo02-pdf/ApostilaVeraCarlos.PDF>. Acesso em: 10 maio 2013.
Portanto, pelo Teorema de Tales, o segmento AM é proporcional ao 
segmento AB e o segmento AN é proporcional ao segmento AP, logo:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
21
AB
na expressão
AM AN
AB AP
=
AM AN
AB AP
=
AB 2(AM)=Sendo pois M é o ponto Médio de
AB 2(AM)=Vamos subtituir
AM AN
2AM AP
=
Simplificando e multiplicando meios e extremos teremos:
1
2
AN
AP
=
Logo, AP = 2(AN)
Nota! Como foi visto na figura 12, o segmento AP é a distância do ponto A ao 
ponto P, e as coordenadas do ponto A são xA e yA e do ponto P xP = x B e yP = 
yA , e o segmento AN é a distância do ponto A ao ponto N, e as coordenadas do ponto N são 
xn = xM e yn= yA.
UNI
Temos: AP )(2 AN=
 )(2 ANAP xxxx −=− portanto se Bp xx = e MN xx = logo:
 )(2 AMAB xxxx −=− , aplicando a propriedade distributiva:
 AMAB xxxx 22 −=− , isolando os termos correspondentes:
 AAMB xxxx 22 −=− , resolvendo os termos correspondentes:
 AMB xxx −=− 2 , isolando o Mx :
 BAM xxx −−=− 2 , multiplicando ambos os lados da igualdade por (-1):
 BAM xxx +=2 Isolando o Mx :
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
22
 
2
BA
M
xxx +=
essa é a fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto 
médio (M), de forma análoga define-se a fórmula do cálculo da ordenada (y) do 
ponto médio (M):
2
BA
M
yyy +=
Portanto M (
 
2
BA xx + ,
 
2
BA yy + )
Para encontrar as coordenadas do Ponto Médio utilizam-se as fórmulas:
 
2
BA
M
xxx +=
 e 2
BA
M
yyy +=
ATENCAO
Exemplo 1: Determine o ponto médio dos pontos A(4, -1) e B(-2, 5) e 
represente geometricamente:
Solução: Temos xA = 4 e yA = -1, e xB = -2 e yB = 5.
Substituindo nas fórmulas, teremos: 
 
2
BA
M
xxx +=
2
BA
M
yyy +=
 
1
2
2
2
)2(4
==
−+
=Mx
 
2
2
4
2
5)1(
==
+−
=My
Portanto, o ponto médio é: M (1,2).
Representação Geométrica:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
23
FIGURA 13 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
Exemplo 2: O ponto A(-2, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto 
médio é M(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B(x, 
y)? Represente geometricamente.
Solução: Acadêmico(a)! Note que agora temos o ponto médio e queremos 
determinar a extremidade deste segmento. Desta forma, temos: xA = -2 e yA = 3, e 
xM = -1 e yM = -3.
Substituindo nas fórmulas, teremos: 
 2 . (-1) = (-2) + Bx 
-2 = (-2) + Bx 
-2 + 2 = Bx 
 0 = Bx 
 
2
BA
M
xxx +=
2
)2(1 Bx+−=−
2
BA
M
yyy +=
2
33 By+=−
2 . (-3) = 3 + By 
- 6 = 3 + By 
- 6 – 3 = By 
- 9 = By
Portanto, as coordenadas do outro extremo, ponto B são x = 0 e y = -9, B (0, -9).UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
24
FIGURA 14 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Quando três pontos estão em linha reta, dizemos que eles são colineares, 
conforme podemos observar na Figura 15.
FIGURA 15 – PONTOS COLINEARES E NÃO COLINEARES
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/ponto-reta-e-plano/>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
25
Com ABD~ BCE podemos escrever a relação:
xb-xa
xc-xb
=
yb-ya
yc-yb
 
Multiplicando meios e extremos, temos:
(xb - xa). (yc - yb) = (xc - xb). (yb - ya)
Equação este que podemos expressar na forma:
(xb – xa). (yc – yb) – (xc – xb). (yb – ya) = 0
Resolvendo os produtos, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, temos:
xb yc – xb yb – xa yc ₊ xa yb – (xc yb – xc ya – xb yb ₊ xb ya ) = 0
Observemos a Figura 16, onde temos os pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, 
yC), três pontos distintos em linha reta, ou seja, colineares (alinhados). Temos que 
os triângulos ABD e BCE são retângulos em D e E, respectivamente, bem como 
apresentam lados proporcionais, logo são semelhantes.
Acadêmico(a)! Você estudou a semelhança de triângulos na disciplina de 
Geometria, caso precise relembrar, busque seu Caderno de Estudos impresso ou vá até a Trilha 
de Aprendizagem da disciplina de Geometria e visualize na versão virtual.
UNI
FIGURA 16 – ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/condicao-
de-alinhamento-de-tres-pontos.html>. Acesso em: 10 maio 2013.
A
B
C
D
E
YA
XA
YB
YC
XB XC
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
26
Juntando os termos semelhantes:
xbyc-xayc+xayb-xcyb+xcya-xbya=0 
Agrupando xa e ya temos:
(xayb-xayc)+(xcya-xbya)+(xbyc-xcyb)=0 
Colocando os termos comuns em evidência:
xa yb-yc +ya(xc-xb)+(xbyc-xcyb)=0 ( )
Que podemos escrever em forma de matriz:
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
Fazendo a regra de sinais:
xbyc – xbyb – xayc ₊ xayb – xcyb ₊ xcya ₊ xbyb – xbya = 0
Desta forma, concluímos que:
Três pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), estão alinhados ou colineares, 
se e somente se, o determinante
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 . Quando o determinante não for 
igual à zero, é porque os pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), são vértices de 
triângulo.
Substituindo as coordenadas dos pontos na matriz 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 e 
aplicando a Regra de Sarrus, já vista no ensino médio, podemos verificar se o 
determinante dessa matriz é igual a zero, se for, os pontos são colineares, se não 
for igual a zero é porque os pontos não são colineares (formam um triângulo).
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
27
LEMBRAR: Cálculo do determinante pela REGRA DE SARRUS:
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 Repetem-se as duas primeiras colunas:
 
xa ya 1
xb yb 1
xc yc 1
xa
xb
xc
 
ya
yb
yc
=0
 Pela Regra de Sarrus, temos:
 xa·yb·1+ya·1·xc+1·xb·yc - xc·yb·1+yc·1·xa+1·xb·ya =0 ( () )
 Veja mais em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/regra-de-sarrus.html>.
UNI
Exemplo 1: Vamos verificar geometricamente e algebricamente (através do 
cálculo) se os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), estão alinhados (são colineares):
Solução Geométrica: Vamos observar a localização dos pontos no sistema 
ortogonal cartesiano na Figura 17.
FIGURA 17 – SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: PONTOS ALINHADOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
28
Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 16) que os pontos A, 
B e C estão alinhados e são colineares.
Solução Algébrica: Temos xa = 2 e ya = 5, xb = 3 e yb = 7, e xc = 5 
e yc = 11.
Substituindo na condição de alinhamento de três pontos
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
temos: 
0
1115
173
152
= 
calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, teremos:
1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original.
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando 
os elementos:
teremos Dp = (2.7.1) + (5.1.5) + (1.3.11) 
Dp = 14 + 25+ 33 = 72 
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, 
multiplicando os elementos:
teremos Ds = (1.7.5) + (2.1.11) + (5.3.1) 
Ds = 35 + 22+ 15 = 72 
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal 
principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero 
os pontos estão alinhados: 
D = Dp - Ds = 72 -72 = 0
Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são colineares.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
29
Exemplo 2: Considerando os pontos A(2, 2), B(–2, –1) e C(–3, 1), verifique 
se eles estão alinhados e represente geometricamente.
Solução: Temos xa = 2 e ya = 2, xb = - 2 e yb = -1, e xc = -3 e yc = 1.
Substituindo na condição de alinhamento de três pontos, 
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 
temos:
 
0
113
112
122
=
−
−− calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, 
teremos:
1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando 
os elementos:
teremos Dp = [2.(-1).1] + [2.1.(-3)] + [1.(-
2).1] 
Dp = -2 + (-6)+ (-2) = -10 
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, 
multiplicando os elementos:
teremos Ds = [1.(-1).(-3)] + (2.1.1) + [2.(-2).1] 
Ds = 3 + 2+ (-4) = 1 
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal 
principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero 
os pontos estão alinhados:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
30
D = Dp - Ds = -10 -1 = -11
Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados, ou seja, não são colineares.
Representação geométrica: 
FIGURA 18 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: PONTOS NÃO ALINHADOS
FONTE: Os autores
Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 18) que os pontos A, 
B e C não estão alinhados, logo não são colineares.
5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT
O programa Winplot é uma excelente ferramenta computacional para 
fazer gráficos em duas dimensões (2D) e três dimensões (3D), de forma simples e 
clara, foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris "Rick", por volta de 1985 e é 
totalmente gratuito. 
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
31
Você pode baixar o programa Winplot gratuitamente, acessando a página: <http://
www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.
DICAS
Vamos utilizar o programa Winplot para traçar gráficos em duas dimensões 
(2D), ou seja, no sistema cartesiano ortogonal, selecionamos a opção 2 – dim, no 
menu janela.
FIGURA 19 – MENU WINPLOT 
FONTE: Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/
winplot.html>. Acesso em: 15 maio 2013.
Em seguida, o programa mostrará uma nova tela, como na Figura 20.
FIGURA 20 – TELA WINPLOT 
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
32
Na opção equação (menu superior do programa) vamos selecionar a opção 
ponto e em seguida (x, y), como na Figura 21.
FIGURA 21 – SELECIONAR PONTO NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Depois para traçarmos pontosno Sistema Cartesiano Ortogonal com o 
programa Winplot, é somente digitar as informações das coordenadas, abscissa (x) 
e ordenada (y) do ponto na tela que abrirá no programa na sequência, e selecionar 
a opção OK.
FIGURA 22 – INSERINDO PONTOS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
33
O programa vai projetando os pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, 
conforme a Figura 23, e na tela “inventário” ficarão registradas as coordenadas dos 
pontos projetados.
FIGURA 23 – PONTOS NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Da mesma forma, é possível traçar segmentos de reta, inserindo as 
coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento, selecionando no menu 
Equação a opção Segmento e (x,y), conforme a Figura 24.
FIGURA 24 – SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
34
Inserindo as coordenadas dos pontos na tela (Figura 25), aberta na sequência 
no programa, tem-se o segmento de reta (Figura 26).
FIGURA 25 – INSERINDO SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
FIGURA 26 – SEGMENTO DE RETA NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO 
WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
35
Observe na Figura 27, que projetando os pontos no Winplot, no menu dois, 
selecionando a opção distância, o programa calcula a distância entre os pontos.
FIGURA 27 – DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS NO WINPLOT
A utilização desse programa é fácil, existe a opção ajuda em todas as partes 
do programa e as funções matemáticas podem ser inseridas de modo natural. 
FONTE: Os autores
Com o programa Winplot, você pode conferir, com a representação geométrica, 
se a solução do exercício está correta.
NOTA
36
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico, você verificou a distância entre os pontos, o ponto médio e a 
condição de alinhamento de pontos.
Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no sistema cartesiano 
ortogonal: 
 )²()²( ABAB yyxxD −+−=
Fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto médio (M):
 
 
2
BA
M
xxx +=
Fórmula do cálculo da ordenada (y) do ponto médio (M):
 
 
2
BA
M
yyy +=
Coordenadas do Ponto Médio: 
 


 +
2
BA xxM
, 
 


+
2
BA yy
Para que três pontos estejam alinhados (colineares) o determinante da 
matriz 3x3 tem que ser igual a zero: 
0
1
1
1
=
yx
yx
yx
BB
AA
37
Você deverá colocar em prática o que foi estudo no Tópico 2. Lembre-se 
das orientações referentes a distância dos pontos, ponto médio e alinhamento 
dos pontos.
1 Calcule a distância entre os pontos:
a) A (2,3) e B (2, 5)_____________________________________________________
b) C (6,3) e D (2,7)_____________________________________________________
c) E (2,1) e F (-2,4) _____________________________________________________
2 Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A (2, 3) e B (8, 5)__________________ b) C (3, -2) e D (-1, -6)_________________ 
c) E (-2, -4) e F (5, 2) _________________ d) H (0, 7) e I (6, 0) ___________________ 
e) J (3, 2) e K (5, 4) __________________ f) P (-3, -4) e Q (-7, 0) _________________
3 Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as 
coordenadas dos pontos médios dos segmentos:
a) AB_______________________ b) AD___________________________
c) BD_______________________ d) AC __________________________ 
e) CD ______________________
4 Represente, no Sistema Cartesiano Ortogonal, os triângulos ABC e PQR. 
Determine as coordenadas dos pontos médios de cada lado dos triângulos e 
calcule o comprimento (distância) dos lados AC e PQ.
a) Δ ABC : A (3, 5), B (5, 9) e C (3, 7)
b) Δ PQR: P(2, 8), Q(2, 2) e R(6, 2)
5 Calcule os pontos médios dos lados dos triângulos com vértices:
a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2) 
b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4) 
c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)
6 Determine as coordenadas do ponto B sabendo que M (-1, -1) é o ponto médio 
de AB com A (-1, 1).
7 O ponto A (-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M 
(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B (x, y).
AUTOATIVIDADE
38
8 Sabendo que os pontos A (x, y), B (-3, 2) e M (3, 5) são colineares, e M é o 
ponto médio de AB, determine as coordenadas do ponto A.
9 (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico 
de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a 
localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de 
coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A 
(0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em 
um ponto equidistante (situado a igual distância) dos locais de escavação 
determine as coordenadas do local do acampamento.
10 Um campo de futebol tem 60m de comprimento por 40m de largura. Construa 
um sistema de coordenadas e determine as coordenadas dos seguintes 
pontos: (REIS, 2008, p. 17)
a) dos quatro cantos do campo;
b) do centro do campo.
39
TÓPICO 3
A RETA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)! Você estudou nos tópicos anteriores as definições 
em relação ao ponto. Agora chegou a hora de conhecer as definições em relação 
à reta. No postulado básico da Geometria, temos que pôr dois ou mais pontos 
alinhados para poder passar uma reta, logo se faz necessário conhecer a equação 
da reta, compreender como os seus coeficientes são importantes para analisar o 
seu posicionamento no Sistema Cartesiano Ortogonal, possibilitando verificar sua 
inclinação e os pontos onde a reta intercepta (corta) os eixos do Sistema Cartesiano 
Ortogonal (eixo x e eixo y).
A seguir, vamos estudar as seguintes equações: equação geral da reta, 
equação reduzida e equação segmentária e também vamos verificar o ângulo 
formado entre as retas e a distância entre um ponto e uma reta.
2 EQUAÇÕES DA RETA
Conseguimos determinar a equação da reta do sistema cartesiano ortogonal 
quando são conhecidos: um ponto e o coeficiente angular da reta ou dois pontos 
da reta.
Coeficiente angular é número que mede a inclinação (ou declividade) de uma 
reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da reta segundo a lei de 
formação: “y = mx + n”, dizemos que “m” é o coeficiente angular dessa reta. Ou então, dada a 
equação (geral) de uma reta: “ax + by + c = 0”, dizemos que “-a/b” é o coeficiente angular dessa 
reta.
NOTA
40
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Essa equação pode receber as seguintes denotações: equação geral da reta, 
equação reduzida da reta e equação segmentária da reta. Cada denotação tem suas 
regularidades, como veremos.
• Equação geral da reta
a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coeficiente angular.
FIGURA 28 – EQUAÇÃO GERAL DA RETA
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/geometria-
analitica/equacoes-da-reta/>. Acesso em: 15 maio 2013.
Como podemos observar na Figura 28 o coeficiente angular (m) é obtido 
através das propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, dado pela 
fórmula:
m = tg α
Sendo que 
tg = cateto opostocateto adjacente logo podemos escrever:
Uma das formas de representar uma reta r do Sistema Cartesiano Ortogonal por 
meio de uma equação é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente 
angular).
ATENCAO
Temos a reta r (não vertical) que passa pelo ponto A (xA, yA) e tem coeficiente 
angular (m), para obter a equação dessa reta, é preciso o ponto P(x, y) tal que o 
ponto P seja diferente do ponto A (P ≠ A).
TÓPICO 3 | A RETA
41
 
A
A
xx
yym
−
−
= multiplicando meios e extremos:
 )( AA xxmyy −=− essa é a fórmula da equação geral da reta.
 
Exemplo1: Determinea equação geral da reta r que passa pelo ponto A (2, 
1), e tem coeficiente angular igual a 2 (m = 2). 
Solução1: Temos xA = 2, yA = 1 e m = 2.
Substituindo em )( AA xxmyy −=− teremos:
 )2(21 −=− xy , aplicando a propriedade distributiva temos:
 421 −=− xy , igualando a zero, teremos:
0421 =+−− xy , resolvendo os termos semelhantes:
 032 =+− xy , essa é a equação geral da reta que passa pelo A, com 
coeficiente angular igual a 2.
b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. 
Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma 
única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos 
dois de seus pontos.
ATENCAO
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
xyA + xBy + xAyB – xByA – xyB – xAy = 0 
x (yA – yB) + y(xB - xA) + (xAyB – xByA) = 0
42
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como xA, x B, yA e yB são valores reais, podemos fazer:
yA – yB = a
xB - xA= b
xAyB – xByA = c
Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0.
ATENCAO
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e 
B (3, 7), e represente geometricamente:
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
1º Passo: Substituir as coordenados dos pontos na fórmula e resolver: 
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx 
0
173
152
1
=
yx 
0
73
52
173
152
1
=
yxyx
temos na diagonal secundária:
DP= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) 
DP = 15 + 7x + 2y
E na diagonal principal Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) 
Ds = 5x + 3y + 14
Como temos DP - Ds = 0:
5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0, resolvendo:
 -2x + y - 1= 0, essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos A 
(2, 5) e B (3, 7).
TÓPICO 3 | A RETA
43
FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA 
RETA
FONTE: Os autores
Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na 
forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.
IMPORTANT
E
• Equação reduzida da reta
Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação 
geral da reta (ax + by + c = 0).
Na equação ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, ao isolarmos 
y temos:
 
b
cx
b
ay −−=by = - ax - c 
Em que 
b
a
− é o coeficiente angular da reta (m) e 
 
b
c
− é o coeficiente linear 
(n) da reta. 
Sendo assim, y = mx + n é a forma reduzida da equação da reta.
44
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando já temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equação 
reduzida da reta.
NOTA
Exemplo: Vamos determinar a equação reduzida da reta, que passa pelos 
pontos A (2, 5) e B (3, 7):
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
Já resolvemos esse exemplo anteriormente onde encontramos a equação 
geral dessa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora vamos primeiro 
determinar o coeficiente angular usando a fórmula: 
 
A
A
xx
yym
−
−
= em x e y, nesse 
caso são xB e yB, logo:
 2
1
2
23
57
==
−
−
=m
 considerando o ponto A (2, 5) e substituindo na fórmula
 )( AA xxmyy −=− , temos:
 )2(25 −=− xy resolvendo: 
 425 −=− xy isolando y:
y = 2x – 4 + 5, resolvendo:
y = 2x + 1, essa é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 
7), e tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1.
O coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto onde a reta intercepta (corta) o 
eixo das ordenadas (eixo y). 
IMPORTANT
E
Equação segmentária da reta
Com essa forma de representação da equação da reta é possível verificar 
TÓPICO 3 | A RETA
45
claramente onde a reta intercepta o eixo da abscissa (eixo x) e o eixo da ordenada 
(eixo y), ou seja, sua visualização gráfica.
Vamos denotar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, 
como: A (0, q) e B (p, 0).
FIGURA 30 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
FONTE: Os autores
Com a condição de alinhamento dos pontos temos:
 
0
10
10
1
=
p
q
yx
 resolvendo encontramos a equação 
 
1=+
q
y
p
x
, onde p e q 
são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da 
ordenada (y).
Exemplo: Determine a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 
3y - 12 = 0 e faça sua representação geométrica.
Solução: Sendo a equação 2x + 3y - 12 = 0, vamos passar a equação geral da 
reta para sua forma segmentária, isolando x e y.
2x + 3y = 12, depois dividimos tudo por 12:
 
12
12
12
3
12
2
=+
yx
, efetuando as simplificações temos:
 1
46
=+
yx
, essa é a equação segmentária da reta, onde os pontos que 
interceptam os eixo y e x são: A (0, 4) e B (6,0).
y
x
r
A (0, q)
B (p, 0)
46
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 31– SOLUÇÃO DO EXEMPLO: EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
FONTE: Os autores
Sempre que não for indicado no texto, é porque a equação da reta está na sua 
forma geral, quando for equação reduzida ou equação segmentária estará especificado no 
texto.
ATENCAO
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
Vamos considerar duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, 
não perpendiculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos 
observar na Figura 32, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado 
por α .
Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. 
Retas oblíquas são retas que estão inclinadas.
UNI
TÓPICO 3 | A RETA
47
FIGURA 32 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 mai. 2013.
Para determinar o ângulo formado entre as retas ( α ), vamos utilizar a 
fórmula da tangente e o coeficiente angular das retas, no triângulo ABC, podemos 
observar:
FIGURA 33 – ÂNGULO FORMADO ENTRE RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013.
Temos
 
srsr ααβαβα −=⇒+= tg β = tg ( sr αα − ) utilizando a 
igualdade trigonométrica, temos: 
tg
 
sr
sr
sr
sr
mm
mmtg
tgtg
tgtg
.1.1 +
−
=⇒
+
−
= β
αα
αα
β
48
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como β é um ângulo agudo, tg β > 0 e β pode ser calculado pela 
expressão:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
Quando uma reta for vertical e a outra oblíqua, ou seja, uma das retas é 
perpendicular ao eixo x, não temos coeficiente angular de uma das retas, pois a tg 
90º não existe. 
FIGURA 34 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/
matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 
out. 2013.
Caro acadêmico! Como você pode observar na figura 34, β e rα
 são ângulos 
complementares, assim podemos escrever que tg
 
rtgα
β 1= , consequentemente, 
 
rm
1
=β
.
Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, 
um é complemento do outro.
IMPORTANT
E
Logo, podemos determinar o ângulo (α ) com o coeficiente angular da reta 
r, usando a fórmula:
rm
tg 1=β
TÓPICO 3 | A RETA
49
Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: x + y = 0 e s: 2x+ 
4y – 12 =0.
Solução: Para determinar o ângulo formado entre essas retas, precisamos 
do coeficiente angular, então vamos passar as equações da forma geral para reduzir 
e verificar o valor de m (coeficiente angular).
Temos a equação da geral da reta r: x + y = 0, logo a equação reduzida é y = 
-x, e o coeficiente angular dessa reta é -1 (mr = -1).
E a equação geral da reta s: 2x+ 4y – 12 =0, logo a equação reduzida será:xy 2124 −= 
 
4
2
4
12 xy −=
 
 
2
3 xy −=
, portanto o coeficiente
 angular da reta s é 
2
1− mg=( 2
1− )
Agora que já conhecemos os valores dos coeficientes angulares, vamos 
substituir na fórmula do ângulo entre duas retas: 
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
 
)1.(2
11
)1(2
1
−−+
−−−
=βtg , resolvendo os sinais e a multiplicação, teremos:
 
2
11
12
1
+
+−
=βtg , resolvendo as frações, (lembre os denominadores diferentes)
 precisamos resolvê-las por fração equivalente: 
12
1 +−
 = 
 
2
1
2
2
2
1 =+−
 
2
3
2
1
=βtg , efetuando a divisão entra as frações (mantemos a fração do 
numerador e invertemos a fração do denominador, efetuando uma multiplicação 
entre elas):
3
1
3
1
6
2
3
2.
2
1
====βtg
Para determinarmos o ângulo α , fazemos arc tg 3
1 , ou seja, 
aproximadamente 18º.
50
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Na calculadora científica, você deve primeiro fazer 1 dividido por 3, depois 
selecionar a tecla da segunda função (2ndf ou Shift) e apertar no botão da tangente (tan).
UNI
Representação geométrica:
FIGURA 35– SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Para determinar o ângulo através do Winplot, selecione intersecções no 
menu dois e marque a caixa referente ao ângulo de intersecção em graus, conforme 
na figura 30.
Exemplo 2: Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y 
= - x + 4 e represente geometricamente.
Solução: Temos o coeficiente angular da reta r igual a 3 (mr = 3) e da reta 
s igual a -1 (ms = - 1), substituindo na fórmula do ângulo entre as retas, teremos:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=α
)1.(31
)1(3
−+
−−
=αtg resolvendo os sinais e a multiplicação, teremos:
 
2
4
−
=αtg resolvendo a divisão:
 2−=αtg = 2 como temos a representação de módulo na fórmula, 
desconsideramos o sinal negativo.
TÓPICO 3 | A RETA
51
Para encontramos o ângulo α , fazemos arc tg 2, ou seja, aproximadamente 
63º.
A função arco tangente (arc tg) é a função trigonométrica inversa da tangente.
UNI
FIGURA 36 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Para calcularmos a distância (dPr) entre um ponto P(xp, yp) e uma reta r: 
ax + by + c = 0, precisamos da equação da reta e das coordenadas do ponto, pois 
unindo o ponto à reta, através de um segmento que forma com a reta um ângulo 
reto (90º), é possível determinar a distância entre eles, como podemos visualizar 
na Figura 37, pois a distância entre ponto e reta é definida pela menor distância 
entre ambos, sendo que a menor distância é definida traçando um segmento entre 
o ponto e a reta, formando com esta, um ângulo reto.
52
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 37 – DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Adaptado de: <http://alfaconnection.net/pag_avsm/gan0201.htm>. 
Acesso em: 15 out. 2013.
No triângulo PAB, temos sua área determinada por base vezes altura, 
divididos por 2.
A=
b·h
2
 
Substituindo pelas coordenadas da Figura 37, temos:
A=
dAB·d
2
 
Definindo e isolando d, obtemos:
d=
D
dAB
 1 
. 
• Cálculo da distância dAB 
A distância dAB , obtemos aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 
retângulo formado.
a2=b2+c2 
dAB
2=(xA-xB)2+(yA-yB)
2 
dAB = √ (xA-xB)2+(yA-yB)
2 
Definindo yA-yB=a e xA-xB=b , substituindo:
dAB=a 2+b
2 2 √
• Cálculo de D
dAB·d=D 
TÓPICO 3 | A RETA
53
Conforme você já estudou na disciplina de geometria, a área de um triângulo é 
obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos vértices.
ATENCAO
As coordenadas dos vértices do triângulo PAB, são: xP,yP ( ) , ( )xA,xA e ( )xB,yB 
respectivamente.
Calculando o determinante, temos:
xP yP 1
xA yA 1
xB yB 1
 
xP
xA
xB
 
yP
yA
yB
 
D = xP·yA·1+yP·1·xB+1·xA·yB ( ) – xB·yA·1+yB·1·xP+1·xA·yP ( )
Efetuando as multiplicações e aplicando a propriedade distributiva:
D=xPyA+xByP+xAyB-xByA-xPyB-xAyP 
Agrupando os termos semelhantes:
D=xPyA-xPyB+xByP-xAyP+xAyB-xByA 
Colocando xP e yP em evidência:
D=xP(yA-yB)+yP(xB-xA)+(xAyB-xByA) 
Definindo yA-yB=a, xB-xA=b e xAyB-xByA=c substituindo:
D=axP+byP+c 3 
Substituindo as equações 2 e 3 na primeira equação, temos:
Substituindo os valores da equação da reta e das coordenadas do ponto na 
fórmula determinamos a distância entre o ponto e a reta.
54
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Exemplo 1: Vamos calcular a distância do ponto P(1,2) à reta r: x + 2y + 1 = 0.
Solução: Temos as coordenadas do ponto P, x1 = 1 e y1 = 2, e coeficientes 
da reta r, a = 1, b = 2 e c = 1. Substituindo na fórmula da distância entre o ponto e 
a reta 
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= , teremos:
 
²2²1
11.21.1
+
++
=prd , resolvendo as multiplicações e as potências:
 
41
121
+
++
=prd , efetuando os cálculos de adição:
 
5
4
=prd , racionalizando (multiplicando o numerador e o denominador pela raiz 
quadrada):
5
54
5
5.
5
4
==prd
Representação geométrica:
FIGURA 38 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Os autores
55
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você conheceu as equações da reta, o ângulo formado entre 
as retas e a distância entre o ponto e uma reta.
• Equação geral da reta (ax + by + c = 0) quando é conhecido um ponto e o seu 
coeficiente angular é dada pela fórmula 
 )( AA xxmyy −=− , onde m é o 
coeficiente angular, dado pela fórmula: 
 
A
A
xx
yym
−
−
= .
• Equação geral da reta (ax + by + c = 0) quando são conhecidos dois de seus 
pontos é determinada pela condição de alinhamento de pontos, 
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
.
• Equação reduzida da reta (y = mx + n), onde m é o coeficiente angular da reta e 
n é o coeficiente linear da reta.
• Equação segmentária da reta 
 






=+ 1
q
y
p
x
, onde p e q são os valores que a reta 
intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da ordenada (y).
• O ângulo formado entre as retas ( α ) é encontrado usando a fórmula da tangente 
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β , m é o coeficiente angular das retas.
• A distância entre o ponto e a reta é dada pela fórmula 
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= .
56
Agora, você deverá colocar em prática o que foi estudo no Tópico 3, 
relembrando também algumas definições dos tópicos 1 e 2.
1 Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos (2,3) e (1,5) e faça a 
representação geométrica.
2 Dada a equação da reta r: - x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – o ponto (1,1) pertence a r 
II – a reta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1 
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1,2)
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas III é verdadeira.
c) Nenhuma é falsa.
d) Apenas I é falsa.
e) Nenhuma das alternativas.
 
3 Verifique a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, 
-4), e confirme com a representação geométrica.
4 Quais são os coeficientes angular e linear da reta 2y - x + 8 = 0?
5 Determine a equação segmentária da reta, representada pelo gráfico:
AUTOATIVIDADE
57
6 Verifique a equação geral e reduzida da reta representada no gráfico:
7 Ache a equação segmentária da reta de equação -x + y – 9 = 0.
8 Calcule a distância do ponto P(1, 3) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
9 Determine a distância do ponto P(1,3) à reta que passa pelos pontos (-1,1) e 
(3, 1).
10 Quais são os coeficientesangular e linear da reta y +3x – 6 = 0?
11 Determine a distância entre a reta(s): - 4x + y – 1 = 0 e o ponto P(1,-2):
12 Determine o ângulo formado entre as retas r e s: 
a) (r) 2x – 2y + 6 = 0 e (s) – 4x + 4y – 1 = 0
b) (r) – 4x + 2y - 1 = 0 e (s) 2x – 5y - 4= 0 
58
59
TÓPICO 4
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
As posições relativas correspondem a posições entre duas ou mais retas do 
plano. Duas retas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes 
perpendiculares, como veremos nesse tópico.
Em algumas dessas situações, as retas possuem um ponto em comum, ou 
seja, um ponto de intersecção. Veremos também como determinar as coordenadas 
desse ponto.
2 RETAS PARALELAS
Sabemos que duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em 
comum, ou seja, são equidistantes durante toda sua extensão.
ATENCAO
Retas paralelas apresentam a mesma inclinação, ou seja, coeficientes 
angulares iguais, como podemos observar na Figura 39 as retas, r e s, no sistema 
cartesiano ortogonal.
60
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 39 – RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Na linguagem matemática, quando duas retas são paralelas, temos que a 
reta r é paralela a s, se e somente se, o ângulo teta for igual ao ângulo alfa (r // s 
 αθ =⇔ ). Portanto, uma das formas de determinar se duas retas são paralelas, 
é verificando os coeficientes angulares, quando são iguais, as retas são paralelas. 
Exemplo 1: Verifique se as retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 2x – 3y + 9 = 0 são 
paralelas, e faça sua representação geométrica.
Solução: Para isso, vamos determinar o coeficiente angular de cada uma 
das retas.
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
2x + 3y – 7 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
3
7
3
2
+
−
=
xy , logo mr = 
 
3
2− .
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
– 2x – 3y + 9 = 0, isolando y na equação da reta:
 923 −=− xy
 
3
9
3
2
−
−
+
−
=
xy , resolvendo:
 3
3
2
+−=
xy , logo ms = 
 
3
2− .
Concluímos que os coeficientes angulares são iguais (mr = ms), portanto, as 
retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 2x – 3y + 9 = 0 são paralelas.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
61
Representação geométrica:
FIGURA 40 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(2, 
2) e é paralela à reta r de equação x – y + 2 = 0. Faça a representação geométrica.
 
Solução: Para encontrarmos a equação da reta t, vamos usar a definição de retas 
paralelas, como a reta t é paralela à reta s, as duas têm o mesmo coeficiente angular, 
vamos determinar o coeficiente da reta r:
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
x – y + 2 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
– y = – x – 2 , multiplicando ambos os lados da igualdade por (- 1):
 y = + x + 2, portanto mr = 1.
62
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
• Equação da reta t:
Como as retas são paralelas, mt = mr, conhecendo o coeficiente angular da reta 
t (mt = 1) e um ponto, P(2, 2) da reta t, substituindo na fórmula 
 )( AA xxmyy −=− 
temos a equação da reta t:
 )2(12 −=− xy , efetuando a propriedade distributiva:
 22 −=− xy , igualando a zero:
 022 =+−− xy , resolvendo:
 0=− xy , essa é a equação geral da reta t.
Representação geométrica:
FIGURA 41 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Verifique se as retas r: x + y – 1 = 0 e s: – 2x – y + 2 = 0 são 
paralelas e faça sua representação geométrica.
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas.
• Coeficiente angular da reta r (mr):
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
63
x + y – 1 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
 1+−= xy , logo mr = -1.
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
– 2x – y + 2 = 0, isolando y na equação da reta:
 22 −=− xy , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1:
 22 +−= xy , logo ms = -2
Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes (mr ≠ ms), portanto, 
as retas r: x + y – 1 = 0 e s: – 2x – y + 2 = 0 não são paralelas.
Representação geométrica:
FIGURA 42 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 3: RETAS CONCORRENTES OU 
NÃO PARALELAS
FONTE: Os autores
64
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
3 RETAS CONCORRENTES
Duas retas são concorrentes no sistema cartesiano ortogonal quando 
possuem um ponto P(x0, y0) em comum e coeficientes angulares diferentes, ou 
seja, se duas retas distintas e coplanares tiverem um único ponto em comum são 
denominadas concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto.
FIGURA 43 – RETAS CONCORRENTES
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/
imgres?imgurl=http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 15 
maio 2013.
Dessa forma, como representado na Figura 43, a reta t é concorrente à reta r, 
se e somente se, o coeficiente angular da reta t for diferente do coeficiente angular 
da reta r (mT ≠ mr).
Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.
ATENCAO
Exemplo 1: Verifique se as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são 
concorrentes e represente geometricamente. 
Solução 1: Vamos determinar o coeficiente angular da reta r e da reta s.
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
2x - y + 6 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
 62 −−=− xy , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1.
 62 += xy , logo mr = 2.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
65
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
2x + 3y - 6 = 0, isolando y na equação da reta:
 623 +−= xy , dividindo por 3.
 
3
6
3
2
+−=
xy , logo ms = 
 
3
2
− .
Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes (mr ≠ ms), portanto, 
as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são concorrentes.
Representação geométrica: 
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS CONCORRENTES
FONTE: Os autores
2x + 3y – 6 = 0
2x – y + 6 = 0
4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto 
(90º), vamos considerar duas retas perpendiculares r e s, como na Figura 45.
66
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 45 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://
www.brasilescola.com>. Acesso em: 15 maio 2013.
Consideremos as retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em 
um plano cartesiano, conforme a Figura 46. Consideremos, também, o ângulo de 
inclinação da reta s como sendo β, então o ângulo de inclinação da reta r será 90° + 
β, pois é o ângulo externo ao triângulo formado pelo ponto de interseção das duas 
retas com o eixo Ox.
FIGURA 46 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Dessa forma teremos: 
Coeficiente angular da reta s: ms = tg β 
Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° - β) 
Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar o coeficiente 
angular das duas retas:
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
67
Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que: 
ms = -1 / mr ou ms . mr = -1 
Na linguagem matemática, duas retas são perpendiculares quando o 
ângulo formado entre elas é de 90º, representamos que a reta r é perpendicular à 
reta s pela simbologia: r ⊥ s, e o produto dos seus coeficientes angulares for igual 
a um negativo (mr . ms = -1).
Duas retas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares 
for igual a um negativo (mr . ms = -1).
ATENCAO
Exemplo 1: Determine se as r: x + 2y + 3 = 0 e s: - 16x + 8y + 10 = 0 são 
perpendiculares e confirme com a representação geométrica.
Solução 1: Vamos determinar o coeficiente