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UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
CURSO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO
Prof.:Fernando Tosini
Chapecó - SC
Sumário
1 1
1.1 Sistemas de Equações Não Lineares(SENL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Definições Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Métodos Iterativos Para Resolução de SENL . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Critérios de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Fórmula do Processo Iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Características do Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Método de Newton-Raphson Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Características do Método de Newton Modificado . . . . . . . . . . 13
1.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
Capítulo 1
Resumo: Neste capítulo, apresenta-se a definição, interpretação geométrica da solução
de alguns sistemas não lineares simples e os métodos de resolução de sistemas de equa-
ções não lineares. O objetivo é demonstrar como funciona cada método iterativo e sua
implementação computacional, de tal forma que qualquer sistema de equações não lineares
possa ser modelado e resolvido numericamente.
1.1 Sistemas de Equações Não Lineares(SENL)
De maneira geral, um sistema não linear com n equações e n incógnitas pode ser
apresentado na forma:
F (X⃗) =

f1(x1, x2, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, ..., xn) = 0
...
fn(x1, x2, ..., xn) = 0
(1.1)
Ou na forma vetorial:
F (X⃗) = 0⃗ (1.2)
Onde:
X⃗ = (x1, x2, ..., xn) é o vetor das incógnitas;
F (X⃗) = (f1(X⃗), f2(X⃗), ..., fn(X⃗))
T representa o sistema;
0⃗ = (0, 0, ..., 0)T é o vetor nulo.
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Exemplo 1.1 Considere os sistemas não lineares.
a) F (x, y) =
 x2 − y = −1y − 2e−x2 = 0 b) F (X⃗) =
 x
2
1 + x
2
2 − 2 = 0
x21 −
x22
9
− 1 = 0
Faça a interpretação geometrica das soluções do sistemas.
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1.1.1 Definições Importantes
Para dar sequência ao nosso estudo, devemos relembrar de algumas definições impor-
tantes.
Diante disso, consideremos uma função fi(X⃗) = fi(x1, x2, x3, ..., xn) que representa
cada equação do sistema não linear. Assim:
• Vetor Gradiente é um vetor de derivadas parciais. Para a função fi(X⃗) o vetor
gradiente é denotado por ∇fi(X⃗) ∀ i = 1, 2, 3, ..., n e representado por:
∇fi(X⃗) =
(
∂fi(X⃗)
∂x1
,
∂fi(X⃗)
∂x2
, ...,
∂fi(X⃗)
∂xn
)T
• Matriz Jacobiana é uma matriz de derivadas parciais. Para o sistema de funções
fi(X⃗) ∀ i = 1, 2, 3, ..., n, a matriz Jacobiana, será denotado por J(X⃗) = F ′(X⃗) e repre-
sentado por:
F ′(X⃗) = J(X⃗) =

∇f1(X⃗)
∇f2(X⃗)
...
∇fn(X⃗)
 =

∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn...
... . . .
...
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
· · · ∂fn
∂xn

Exemplo 1.2 Dado o sistema não linear: F (x, y, z) =

x+ ex−1 + (y + z)3 − 27 = 0
ey−2
x
+ z3 − 10 = 0
z − sin(y − 2) + y3 − 7 = 0
.
a) Determine a matriz Jacobiana do sistema;
b) Determine o valor da matriz Jacobiana no ponto (4, 4, 4).
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• Dentro da disciplina de Equações Diferenciais, definimos um assunto muito impor-
tante denominado Série de Taylor. Esta série é util para fazer a aproximação de algumas
funções em um dado ponto conhecido. Para gerar uma aproximação linear, precisamos
conhecer as séries de Taylor para funções de uma, duas, e n variáveis independentes.
i) Uma função f(x), com uma variável independente, a Série de Taylor de ordem p,
calculada ao redor do ponto c, é uma série de potência apresentada na forma:
f(x) =
∞∑
i=0
f (p)(c)
p!
(x− c)p
ou
f(x) = f(c) +
f ′(c)
1!
(x− c) + f
′′(c)
2!
(x− c)2 + ...+ f
(p)(c)
p!
(x− c)p
Para fins de cálculo, precisamos reescrever a série de Taylor a cima em uma forma
diferente. Dessa forma, fazendo que:
c = xn e x− c = ∆xn ⇒ x = c+∆xn = xn +∆xn = xn+1
Assim, temos:
f(xn+1) = f(xn+∆xn) = f(xn)+
f ′(xn)
1!
(∆xn)+
f ′′(xn)
2!
(∆xn)
2+...+
f (p)(xn)
p!
(∆xn)
p
Para ∆xn pequeno, ou seja, ∆xn → 0 , obtemos a aproximação linear:
f(xn+1) = f(xn +∆xn) ≈ f(xn) +
f ′(xn)
1!
(∆xn) (1.3)
Com erro de truncamento da ordem de: |f ′′(xn)(∆xn)2/2|
ii) Uma função f(x, y), com duas variáveis independentes, a Série de Taylor de ordem
p, calculada ao redor do ponto (c1, c2), é uma série de potência apresentada na
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forma:
f(x, y) =
1
p!
p∑
j=0
(
p
j
)
∂(p)f(c1, c2)
∂xp−j∂yj
(x− c1)p−j(y − c2)j
ou
f(x, y) = f(c1, c2) +
∂f(c1, c2)
∂x
(x− c1) +
∂f(c1, c2)
∂y
(y − c2) +
1
2!
(
∂2f(c1, c2)
∂x2
(x− c1)2
+2
∂2f(c1, c2)
∂x∂y
(x− c1)(y − c2) +
∂2f(c1, c2)
∂y2
(y − c2)2
)
+ ....
Para fins de cálculo, precisamos reescrever a série de Taylor a cima em uma forma
diferente. Dessa forma, fazendo que:
c1 = xn e x− c1 = ∆xn ⇒ x = c1 +∆xn = xn +∆xn = xn+1
c2 = yn e y − c2 = ∆yn ⇒ y = c1 +∆yn = yn +∆yn = yn+1
Assim, temos:
f(xn +∆xn, yn +∆yn) = f(xn, yn) +
∂f(xn, yn)
∂x
∆xn +
∂f(xn, yn)
∂y
∆yn +
1
2!
(
∂2f(xn, yn)
∂x2
(∆xn)
2 + 2
∂2f(xn, yn)
∂x∂y
∆xn∆yn +
∂2f(xn, yn)
∂y2
(∆yn)
2
)
+ ....
Para ∆xn e ∆yn pequeno, ou seja, ∆xn → 0 e ∆yn → 0, obtemos a aproximação
linear:
f(xn +∆xn, yn +∆yn) ≈ f(xn, yn) +
∂f(xn, yn)
∂x
∆xn +
∂f(xn, yn)
∂y
∆yn (1.4)
Com erro de truncamento da ordem de:
∣∣∣∣12 ∂2f(xn, yn)∂x2 (∆xn)2
∣∣∣∣+∣∣∣∣12 ∂2f(xn, yn)∂y2 (∆yn)2
∣∣∣∣
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iii) Uma função f(x1, ..., xn), com n variáveis independentes, sua aproximação linear é
dada por:
f(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) ≈ f(x1, ..., xn) +
∂f
∂x1
∆x1 +
∂f
∂x2
∆x2 + ...+
∂f
∂xn
∆xn
(1.5)
1.2 Métodos Iterativos Para Resolução de SENL
Existem vários métodos, entre os quais destacamos alguns:
- Método da Iteraçao Linear;
- Método de Newton;
- Método de Newton Modificado;
- Método de Quase-Newton;
Todos esses métodos, são métodos iterativos, isto é, apartir de um vetor inicial X(0),
geram uma sequência X(k+1) de vetores, tal que:
lim
k→∞
X(k+1) = X∗
Onde:
X(k+1) é o vetor solução aproximada;
X∗ é o vetor solução exata;
1.2.1 Critérios de Parada
Os critérios de parada mais conhecidos são:
I) ||X(k+1) −X(k)||∞ = máx|X
(k+1) −X(k)| ≤ ϵ
II) ||F (X(k+1))||∞ = máx|F (X
(k+1))| ≤ ϵ
III)
||X(k+1) −X(k)||∞
||X(k+1)||∞
= máx
|X(k+1) −X(k)|
máx|X(k+1)|
≤ ϵ
IV) O número de iterações é indicado.
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1.3 Método de Newton-Raphson
O método mais estudado e conhecido para resolver sistemas de equação não lineares
é o Método de Newton. O método é atribuído a Isaac Newton (1643 − 1727) e Joseph
Raphson (1648− 1715).
Já sabemos que, para o caso de uma equação não linear de uma variável independente,
o método de Newton consiste em se tomar um modelo local linear da função f(x) em torno
de um ponto xn, e este modelo gera uma reta tangente à função f(x) em xn a cada iteração,
buscando encontrar a aproximação xn+1, que safisfaça o critério de parada. Já, para um
sistema de equações não lineares, o método de Newton, toma um vetor aproximação inicial
X(k) em cada iteração, e expande por meio da série de Taylor cada equação não liner do
sistema, obtendo assim, um sistema linear a cada iteração. Este processo é realizado de
forma sucessiva, até que o vetor X(k+1), satisfaça o critério de parada.
Exemplo 1.3 Considere o sistema de equações não-lineares:
F (x, y) =
 x2 − y = −1y − 2e−x2 = 0
Resolva o sistema, fazendo expansão em série de Taylor, em torno do ponto (0, 5; 1)T ,
com duas iterações.
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1.3.1 Fórmula do Processo Iterativo
Considere um sistema de equações não lineares com n equações e n variáveis:
F (X⃗) =

f1(x1, x2, ..., xn) = 0
f2(x1, x2, ..., xn) = 0
...
fn(x1, x2, ..., xn) = 0
(1.6)
Expandindo (1.6)pela série de Taylor, tem-se:

f1(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) ≈ f1(x1, ..., xn) +
∂f1
∂x1
∆x1 + ... +
∂f1
∂xn
∆xn = 0
f2(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) ≈ f2(x1, ..., xn) +
∂f2
∂x1
∆x1 + ... +
∂f2
∂xn
∆xn = 0
...
...
...
...
...
... . . .
...
...
...
...
fn(x1 +∆x1, ..., xn +∆xn) ≈ fn(x1, ..., xn) +
∂fn
∂x1
∆x1 + ... +
∂fn
∂xn
∆xn = 0
Isolando os termos que contém derivadas, obtemos o sistema linear:

∂f1
∂x1
∆x1 +
∂f1
∂x2
∆x2 + ... +
∂f1
∂xn
∆xn = −f1(x1, ..., xn)
∂f2
∂x1
∆x1 +
∂f2
∂x2
∆x2 + ... +
∂f2
∂xn
∆xn = −f2(x1, ..., xn)
...
...
...
... . . .
...
...
...
...
∂fn
∂x1
∆x1 +
∂fn
∂x2
∆x2 + ... +
∂fn
∂xn
∆xn = −fn(x1, ..., xn)
Matricialmente, temos:
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
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
· · · ∂f1
∂xn
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
· · · ∂f2
∂xn
...
... . . .
...
∂fn
∂x1
∂fn
∂x2
· · · ∂fn
∂xn

︸ ︷︷ ︸
·

∆x1
∆x2
...
∆xn

︸ ︷︷ ︸
= −

f1(x1, ..., xn)
f2(x1, ..., xn)
...
fn(x1, ..., xn)

︸ ︷︷ ︸
J
(
X(k)
)
· ∆X(k) = − F
(
X(k)
)
Isolando ∆X(k):
∆X(k) = −
[
J
(
X(k)
)]−1
· F
(
X(k)
)
Substituindo ∆X(k) por X(k+1) − X(k), obtemos a fórmula do processo iterativo do
método de Newton:
X(k+1) = X(k) −
[
J
(
X(k)
)]−1
· F
(
X(k)
)
∀ k = 0, 1, 2, ...., n (1.7)
Exemplo 1.4 A concentração de um poluente num lago depende do tempo t, e é dada por
C(t) = 70ex1t + 20ex2t. Efetuaram-se algumas medidas que foram registadas na seguinte
tabela:
t 1 2
C(t) 27.5702 17.6567
Utilize o método de Newton para determinar x1 e x2. Considere para aproximação
inicial o ponto (x1;x2)(0) = (−1.9;−0.15)T , e efetue apenas duas iterações.
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Exemplo 1.5 Considere o sistema de equações não-lineares:
F (x, y) =
 x2 − e−xy = 0xy + sin(x) = 0
a) Determine o jacobiano de F (x, y);
b) Resolva o sistema aplicando o método de Newton, com um chute inicial X(0) =
(2; 0)T e um erro inferior a 10−1.
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1.3.2 Características do Método de Newton
i) Geralmente, possui uma convergência maior quando comparado a outros métodos,
porém, exige um alto custo computacional, pois, necessita calcular da matriz inversa
a cada iteração durante o processo;
ii) Quando o método converge, a convergência é quadrática.
iii) O método de Newton converge se:
a) As funções fi(x1, x2, ..., xn) para i = 1, ..., n e suas derivadas parciais até se-
gunda ordem sejam continuas e limitadas numa vizinhança V contendo a raiz;
b) O determinante do Jacobiano J(X) é diferente de zero em V ;
c) O chute inicial X(0) deve ser suficientemente próxima da raiz.
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1.4 Método de Newton-Raphson Modificado
O Método de Newton Modificado consiste em manter a matriz Jacobiano calculada na
primeira iteração, constante em todo o processo iterativo. Dessa forma, a função iterativa
do método de Newton Modificado é dada por:
X(k+1) = X(k) −
[
J
(
X(0)
)]−1
· F
(
X(k)
)
∀ k = 0, 1, 2, ...., n (1.8)
Exemplo 1.6 Dado o sistema:
F (x, y) =
 x+ y − 3 = 0x2 + y2 − 9 = 0
Resolva o sistema aplicando o método de Newton Modificado, com um chute inicial
X(0) = (1; 5)T e um erro inferior a 10−1. Use como critério de parada ||F (X(k+1))|| < ϵ.
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1.4.1 Características do Método de Newton Modificado
O número de iterações necessárias para a convergência é normalmente maior do que o
método de Newton-Raphson, porém o custo computacional de cada iteração tende a ser
significativamente menor, pois, não necessita calcular a matriz inversa apartir da segunda
iteração.
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1.5 Lista de Exercícios
1. Encontre a matriz jacobiana dos seguintes sistemas não-lineares.
(a)

3x21 + 2x
2
2 − x2 − 2x3 = 0
x21 − 8x22 + 10x3 = 0
x21
7x2x3
− 1 = 0
(b)

x1 − cos(x2x3)− 0.5 = 0
x21 − 81(x2 + 0.1)2 + sin(x3) + 1 = 0
e−x1x2 + 20x3 +
10π − 3
3
= 0
2. Usando o método de Newton determine, com precisão de 10−3, uma raiz para cada
um dos seguintes sistemas não-lineares. Faça a interpretação geométrica da solução
de cada sistema.
(a)
 x(x+ 1) + 2y = 12(x− 1)2 + (y − 3)2 = 9 , com chute inicial x(0) =
 2
1

(b)
 (x− 1)2 + y2 = 4x2 + (y − 1)2 = 4 com chute inicial x(0) =
 2
1

3. Ache com precisão ϵ ≤ 10−1 a solução dos sistemas, pelos os métodos de Newton e
Newton Modificado.
(a)
 x2 − y2 = 12xy = 0 , com chute inicial x(0) =
 −1
0.5

(b)
 x2 + y2 = 4y + ex = 4 com chute inicial x(0) =
 1
1.5

4. Ache com precisão ϵ ≤ 10−1 a solução dos sistemas, pelos os métodos de Newton e
Newton Modificado. Use o seguinte critério de parada ||F (X(k+1))|| < ϵ.
(a) F (X) =
 3x2y − y3 = 4x2 + xy3 = 9 com chute inicial x(0) =
 −2.9
0.1

(b) F (X) =
 sin(x)e−y − y2 = 0cos(x)e−y − y3 = 0 com chute inicial x(0) =
 0.5
1

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5. Dado o sistema:F (x, y) =
 (x− y + 0.25)e−x
2−y3
2x2 + cos(y)
a) Determine o jacobiano de F (x, y);
b) Resolva o sistema aplicando o método de Newton, com um chute inicial
X(0) = (1; 0)T e um erro inferior a 10−1.
6. Resolva o sistema
 x1 + 3 log10(x1)− x22 = 02x21 − x1x2 − 5x1 + 1 = 0 , usando o método de Newton
com um chute inicial x(0) = [1;−2]T , e um erro de 10−1.
7. Resolva o sistema não linear F (x) =

x21 + x
2
2 + x
2
3 − 1 = 0
2x21 + x
2
2 − 4x3 = 0
3x21 − 4x2 + x23 = 0
, usando o método
de Newton com um chute inicial x(0) = [0.5; 0.5; 0.5]T , até a iteração(k = 1).
8. Determinar e classificar os pontos críticos da função f(x, y) = 2x3 + 2y3 − 6x −
6y, usando o método de Newton com os chute iniciais: x(0) = [0.5; 0.5]T , x(0) =
[−0.5;−0.5]T , x(0) = [−0.5; 0.5]T e x(0) = [0.5;−0.5]T . Use um erro inferior a 0.1.
9. Determine o ponto crítico positivo da função f(x, y) = xe−x2−y2 , usando o método
de Newton com um chute inicial x(0) = [0.5; 0.25]T e um erro inferior a 0.2.
10. Duas estações elétricas vão fornecer energia a uma certa região da forma mais econô-
mica possível. O custo total de operação das duas estações é dado por:
f(x1, x2) = 0.1 + 0.01x1x2 + 0.15x
4
2 + 0.01x
4
1 − 0.25(x1 + x2 − 100)
Em que x1 e a energia fornecida pela primeira estação e x2 e a energia fornecida
pela segunda estação. Determine os valores de x1 e x2 por forma a minimizar o
custo total de operação das duas estações. Utilize como aproximação inicial o ponto
(2.0, 0.5)T e duas iteracões.
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11. Implemente computacionalmente o método de Newton e Newton Modificado e apli-
que nos sistemas a seguir com precisão ϵ ≤ 10−5. Compare o número de iterações
fazendo simulação com chute iniciais iguais e diferentes para ambos os métodos.
(a)
 x2 + y2 = 4y + ex = 4
(b)
 x3 − 3xy2 = 13x2y + y3 = 0
(c)
 x21 + x22 = 2ex1−2 + x32 = 2
(d)
 x2 + y2 = 1−
√
y
y + sin(y) = x− e−x2
(e)
 x1 − x2 sin(x1) = 0x1 − x2 + cos(x1x2) = 0
(f)
 x− 6
√
x+ y − 6√y + 14 = 0
xy = 81
12. Resolva o sistema
 4x1 − x
3
1 + x2 = 0
−x21
9
+
4x2 − x22
4
= −1
, usando o programa do método
de Newton com um chute inicial x(0) = (−1;−2)T , e um erro de 10−4.
13. Resolva o sistema
 ln(x2 + y2) − sin(xy) = ln(2) + ln(π)ex−y + cos(xy) = 0 , usando o pro-
grama do método de Newton com chute inicial x(0) = (2; 2)T , e um erro de 10−6.
14. Resolva o sistema

x+ ex−1 + (y + z)3 − 27 = 0
ey−2
x
+ z3 − 10 = 0
z − sin(y − 2) + y3 − 7 = 0
, usando os programas dos
métodos de Newton e Newton Modificado com chute inicial

x(0)
y(0)
z(0)
 =

4
4
4
, e
um erro de 10−3.
15. Resolva o sistema

6x1 − 2 cos(x2x3) = 1
9x2 +
√
x21 + sin(x3) + 1.06 = −0.9
60x3 + 3e
−x1x2 + 10π = 3
, usando o programa do
método de Newton, com uma tolerância de 10−5 e um chute inicial de x(0) = (0, 0, 0)t.
16. Para combater um vírus que infectou um grupo de indivíduos vai ser administradoum composto químico sintetizado com base em duas substâncias elementares x1 e
16
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x2. Sabe-se que se forem administrados α miligramas de composto a cada indivíduo,
a concentração (mg/litro) de cada uma das substâncias elementares na circulação
sanguínea e dada implicitamente (para α ∈ [0, 5]) pelo sistema de equações: 16x1 − cos(α(x2 − 2x1)) = 016x2 + 0.75 sin(α(−x2 − 3x1)) = 0
Para α = 1, determine x1 e x2, usando o método iterativo de Newton Modificado.
Use a seguinte aproximação inicial x(0) = (0.1; 0.01)T e termine o processo iterativo
considerando um erro inferior à 0.01.
17. Num colector solar, um balanço de energia na placa absorvente e na placa de vidro
produz o seguinte sistema de equações não lineares nas temperaturas absolutas da
placa absorvente (T1) e da placa de vidro (T2): (T 41 + 0.06823T1)− (T 42 + 0.05848T2) = 0.01509(T 41 + 0.05848T1)− (2T 42 + 0.11696T2) = 0
Encontre T1 e T2 usando o método iterativo de Newton, com uma aproximação
inicial T (0) = (0.30; 0.30)′ e um erro inferior a 10−2.
18. Sabendo que a pressão necessária para aterrar objetos em solo firme pode ser apro-
ximada por:
p = x1e
x2r + x3r
Onde x1, x2 e x3 dependem da distânica até onde o solo ainda é macio, e r é o raio
do corpo de prova cilíndrico. Utilizando três corpos de prova, conforme a figura:
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A partir da figura, pode-se montar um sistema para determinar as três constantes
e a expressão para a pressão. Sendo assim, o sistema é:

p1 = x1e
x2r1 + x3r1
p2 = x1e
x2r2 + x3r2
p3 = x1e
x2r3 + x3r3
Com três incógnitas, x1, x2 e x3. Determine as constantes supondo que um cilindro
de raio 10 cm requer uma pressão de 10 N para enterrar 1 m em um terreno lama-
cento, um de raio 20 cm necessita de 12 N para enterrar 1 m, e um de raio 30 cm
requer uma pressão de 15 N para enterrar essa distância. Obs: Tome como chute
inicial: x(0) = (5, 5,−5)t.
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Respostas
1. (a) J(X) =

6x1 4x2 − 1 −2
2x1 −16x2 10
2x1
7x2x3
−x21
7x22x3
−x21
7x2x23

(b) J(X) =

1 x3 sin(x2x3) x2 sin(x2x3)
2x1 −162(x2 + 0.1) cos(x3)
−x2e−x1x2 −x1e−x1x2 20

2. (a) x(4) =
 2.819673996
0.6148822783

(b) x(4) =
 1.8228756563
1.8228756563

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3. (a) Newton: x(3) =
 −0.9999909266
−0.0000221600
Newton Mod: x(2) =
 −0.9589990139
−0.0245003869

(b) Newton: x(2) =
 0.76634144745
1.84815259120
Newton Mod: x(2) =
 0.77446141410
1.82908123667

4. (a) Newton: x(2) =
 −3.0016226017
0.1481112445
Newton Mod: x(2) =
 −3.001640077
0.147812530

(b) Newton: x(3) =
 0.99045544901
0.65840296165
Newton Mod: x(3) =
 0.97189071205
0.65318186755

5. (a) J(X) =
 e−x2−y3(1 + (x− y + 0.25)(−2x)) e−x2−y3(−1 + (x− y + 0.25)(−3y2))
4x − sin(y)

(b) x(3) =
 0.64414617
2.546101285

6. x(3) =
 1.4588863588
−1.3967715200

7. x(1) =

0.78981681208
0.49662164778
0.36993245393

8. P. de mínimo: x(3) =
 1.000315815699740
1.000315815699740
 P. de máximo: x(3) =
 −1.0002938911
−1.0002938911

P. de sela: x(3) =
 −1.0002938911
1.0003158156
 P. de sela: x(3) =
 1.0003158156
−1.0002938911

9. x(2) =
 0.705822794485856
0.002555407712106

10.
11.
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12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. x1 = 8.7701 ; x2 = 2.5980; e x3 = −13.7273.
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