Lei dos Cossenos e Lei dos Senos

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Folha Extra 
 
Matemática II 
 
1ª Série 
NOME: 
 
 
 
 
Lei dos Cossenos 
 
1- Calcular o lado c de um triângulo sabendo que a=4, b=3√2 e 
ĉ=45°. 
2- Dois lados Consecutivos de um paralelogramo medem 8m e 12m 
e formam um ângulo de 60°. Calcular as diagonais. 
3- Os lados de um triângulo são dadas pelas expressões: a = x² + x + 
1, b = 2x + 1 e c = x² - 1. Demonstrar que um dos ângulos do 
triângulo mede 120°. 
4- Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às 
extremidades, 2m, o dos minutos, e 1m o das horas. Determine a 
distância entre as extremidades dos ponteiros quando esse relógio 
marcar 4horas. 
5- 
A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio 
para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de 
distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa-
d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se pretende 
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos 
metros de encanamento são necessários? 
 
 
 
 
 
6- C alcule os três ângulos internos de um triângulo ABC, sabendo 
que a = 2, b = √6 e c = √3 + 1. 
7- Um triângulo ABC é tal que AB = AC = 4. Se  = 120°, a medida 
ddo lado BC é: 
8- Para traçar uma circunferência de 80π de comprimento usa-se 
um compasso com pernas de 20cm cada. O ângulo α de abertura 
do compasso deve ser: 
9- Pedro e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um 
disco circular de centro O. Pedro joga um dardo, que atinge o alvo 
num ponto, que vamos chamar de P; em seguida, Marta joga outro 
dardo, que atinge um ponto denotado por M. Sabendo-se que a 
distância do ponto P ao centro O é 10cm, que a distância entre os 
dois dardos é de 14cm e que o ângulo PÔM mede 120°, a distância, 
em centímetros do dardo de Marta ao centro do alvo é: 
10-Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja 
a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao 
norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 
km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no 
sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se 
encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham 
mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? 
11-A base de um triângulo isósceles mede 3 3 cm e o ângulo oposto 
à base mede 120°. A medida dos lados congruentes desse 
triângulo, em centímetros, é: 
12-Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles 
semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo 
CÂB=30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é
 
13- Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura 
abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro 
da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o 
sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, 
considerando que o raio da Terra também mede 6.400 km. 
 
a) Qual o comprimento da corda AB? 
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ )= 3 / 4. 
Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.: 
 
14- Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do 
estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas 
em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São 
Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de 
São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. 
Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta 
entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, 
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um 
outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos 
que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e 
Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o 
mapa. 
 
Com essas informações, os alunos determinaram que a distância 
em linha reta entre os pontos que representam as cidades de 
Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de: 
15- No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por 
terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o 
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de 
tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi 
atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado 
de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos   0,934 , 
onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 ∗ 32 ∗
93,4  215100, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda 
do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: 
16-Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os 
comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a: 
 
17-Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa 
circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve 
uma circunferência á de raio r, então a razão entre os quadrados 
dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual 
a: 
18-No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que 
M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN = 
√14
4
 
.Então, DM é igual a: 
 
19- Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados 
que formam cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. 
Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. 
20- Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida 
por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende 
construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos 
ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. 
 
Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: 
• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes 
coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o 
ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); 
• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada 
localizado no ponto C, sem parada intermediária. 
Supondo que AB = 300 √3 m, BC = 200 m, BÂP = 20º e CBN = 50°, é 
correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: 
 
 
 
 
 
 
 
Lei dos Senos 
 
 
 
 
 
 
 
1- Calcular o raio da circunferência circunscrita a um 
triângulo ABC em que a = 15cm e  = 30° 
2- Calcular os lados B e C de um Triângulo, no qual a = 10cm, 
o ângulo B mede 30° e o ângulo C, 45°. 
3- Quais são os ângulos B e C de um triângulo ABC para o 
qual o ângulo A = 15°, Sen B = 
√3
2
 e Sem C = 
√2
2
 ? 
4- Calcular os ângulos B e C de um triângulo em que a= 1, b = 
√3 + 1, e  = 15° 
5- Em um triângulo ABC sabe-se que a = 2b e o ângulo C 
mede 60°. Calcular os outros 2 ângulos. 
6- Calcular os ângulos de um triângulo ABC sabendo que 
𝑏
𝑐
 = 
2
√3
 e que o ângulo C é o dobro do ângulo A. 
7- Demonstrar que num quadrilátero ABCD onde o ângulo 
ADB é igual ao ângulo ACB, tem-se: 
𝐶𝐷 . 𝑆𝑒𝑛 𝐴𝐷𝐵
𝑆𝑒𝑛 𝐶𝐵𝐷
 
8- Do Ponto médio do lado AB e AC de um triângulo ABC 
traçam-se duas retas que se cortam num ponto M do 
terceiro lado BC e que formam com este lado ângulos iguais 
cujo valor é ϕ. 
Prove que: Cotg ϕ = 
𝑆𝑒𝑛 𝛼
2 𝑆𝑒𝑛 𝛽 . 𝑆𝑒𝑛 𝛾
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Um Observador colocado a 25m de um prédio vê o 
edifício sob certo ângulo. Afastando-se em linha reta mais 
50m, nota que o ângulo de visualização é metade do 
anterior. Qual a altura do edifício? 
10- O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica 
quando ele se aproxima 110m e triplica quando ele se 
aproxima mais 50m. Calcular a altura da torre. 
11-Dois botes estão no mar a uma distância d um do outro. 
Um observador, situado na praia, observa-os, calculando 
distâncias e ângulos em dois pontos de observação, como no 
esboço abaixo: 
 
A distância d entre os botes, em metros é: (Sen 120° = Cos 
30°) 
12-A diagonal menor de um paralelogramo divide um de 
seus ângulos internos em dois outros. Um β e o outro 2. β A 
razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é: 
13- Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo B 
ao meio. Sendo CD = 2√3 cm, olado do quadrado AEFG, em 
centímetros, mede: 
 
14- Uma praça circular de raio R foi construída a partir da 
planta a seguir: 
 
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas 
no interior da praça, sendo que AB = 80m. De acordo com a 
 
planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a 
medida de R é igual a: 
15- Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as 
medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. 
 
O seno do ângulo indicado por α na figura vale: 
16-A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na 
região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o 
parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de 
preservação ambiental. Sua proximidade com a região 
metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais 
causados pela atividade humana. 
 
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A 
mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma maneira de estimar 
quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano 
é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, 
em km, é: 
17-Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha 
até o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, 
visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de 60° do 
acampamento A. 
Dado: sen 20°= 0,342 
 
Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e 
realizado segundo um angulo de 30° em relação a base da 
montanha, então, a distância entre B e D, em m, é de, 
aproximadamente: 
 
18-Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às 
margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do 
mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de 
determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 
m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o 
ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC 
e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura: 
 
19- Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados 
AB e OB medem √2 cm e √2 − √3 cm , respectivamente. A 
circunferência de centro em O e raio igual a medida de OB 
intercepta AB no ponto C (≠ B). 
a) Mostre que OÂB mede 15°. 
b) Calcule o comprimento de AC 
20- Na figura adiante o quadrilátero ABCD está inscrito numa 
semicircunferência de centro A e raio AB = AC = AD = R. A 
diagonal AC forma com os lados BC e AD ângulos α e 
β, respectivamente. Logo, a área do quadrilátero ABCD é: