INTEGRAIS - APOSTILA

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CÁLCULO INTEGRAL – Prof. Nabor A. Monteiro
CÁLCULO INTEGRAL
2020
1
CÁLCULO INTEGRAL – Prof. Nabor A. Monteiro
1 – PRIMITIVA
Seja f uma função definida num intervalo I. Dizemos que uma função P definida em I é uma 
primitiva de f quando.
P’(x) = f(x) para x Є I
Por exemplo, se f(x) = x2 , então uma primitiva de f é:
Pois, P’(x) = x2 = f(x), para todo x real.
Uma consequência imediata da definição consiste no fato de que, se P é uma primitiva de f, P + c 
(onde c é uma constante qualquer) é também uma primitiva de f, pois P’(x) + c’ = P’(x) = f(x), para 
todo x pertencente ao intervalo I.
Assim, 
2 – INTEGRAL INDEFINIDA
Considerando o que foi falado anteriormente sobre primitiva, a expressão P + c recebe o nome de 
Integral Indefinida de f e será indicada pela notação
Exemplos:
Função Primitiva Integral indefinida
f(x) = k P(x) = kx P(x) = kx + c
f(x) = x
f(x) = x2 
2
3
)(
3x
xP 
c
x
xP 
3
)(
3
 dxxf )(
2
)(
2x
xP  c
x
xP 
2
)(
2
3
)(
3x
xP  c
x
xP 
3
)(
3
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Generalizando
f(x) = xn => 
Propriedades
1 – Se P1 é uma primitiva de f e P2 é uma primitiva de g, então P1 ± P2 é uma primitiva de f ± g. 
2 – Se P é uma primitiva de f e k é uma constante, então, kP é uma primitiva de kf.
Exemplos
a)
b)
c)
3
c
n
x
xP
n




1
)(
1
     dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
  dxxfkdxxkf )()(
c
xx
dxxx  54)(
54
43
c
xx
dxxx  2
3
3
6
)36(
23
2
cx
xx
dxxx  436)4(
36
25
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Exercícios
Calcular as integrais indefinidas abaixo:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
Integral Indefinida de Algumas Funções
(a) (b) 
(com n ≠ ‒1)
4
dx1
4
x
x
2
4 





 dx
x
x 






5
5
3
dx
x
x 



  4
7
2  dxxx  123
dx
xx
 





 10
58
23
dx
x
x 





 2
4
3
5
dx
xx
 






3
2
2
7  dxxx  434
dx
xx
 




 
5
42 23 dx
x
 






4
3
7
7
c
n
x
dxx
n
n 



 1
1
cx
x
dx
 ||ln
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Exemplos
a) 
b)
c)
d)
(c) (d)
Exemplo
5
cx
x
dx
dx
x
  ||ln44
4
c
x
c
x
dxxdxx 



 3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
1
2
c
x
c
x
dxxdxx 



 4
3
1
3
4
3
1
3
1
3
1
1
3
c
x
c
x
dxxdx
x







1
12
1 122
2
cedxe xx  ca
a
dxa
x
x  ln
cdx
x
x  2ln
2
2
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(e)
Exemplos
a)
b)
(f)
Exemplo
(g)
Exemplos 
a)
b)
6
cedxue uu  '
cedxe xx  222
cedxedxedxe xxxx   4444 4
1
4
4
1
4
4
c
n
u
dxuu
n
n 



 1'
1
c
x
c
x
xdxx 






5
)1(
14
)1(
2)1(
52142
42
cudx
u
u
 ||ln
'
cxdx
x

 |1|ln1
1
cxdx
x
x

 |4|ln4
2 2
2
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(h)
Com a > 0 e a ≠ 1
Exemplo
(i)
(j)
(k)
Exercícios
Calcule as integrais
a) b)
c) d)
7
dx
x
1  dxx10
  dxe x  dxe x2
1
c
a
a
dxua
u
u  ln'
cxdxxdxxdx
x
xxx   2ln2
2
22
2
1
2
2
2
2
2
222
  cxxxxdx lnln
  cxsenxdx cos
  csenxxdxcos
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e) f)
g) h)
i) j)
k) l) 
m)
8
 dxxex
2   dxxe x )4(
2)4(
  dxxx 243 )4(   dxxx 334 8)5(
dx
x
x
  53
2
dx
x
x
  21
dx
xx
x
 

14
2
2
  dxx 4310
dxx x 
2314
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3 – INTEGRAL DEFINIDA
Seja f uma função contínua num intervalo [a, b]. Os pontos a = x0 < x1 < … < xn = b definem uma 
subdivisão do intervalo [a, b] em intervalos menores [xi-1 , xi] de comprimento Δxi = xi ‒ xi-1. Em 
cada um destes intervalos consideremos um ponto xi* tal que xi-1 < xi* < xi (podemos entender 
que xi* é ponto médio).
A soma 
Recebe o nome de soma de Riemann da função f sobre [a, b], relativamente a divisão adotada.
E o limite
Com Δxi tendendo a zero, é a integral da função f sobre o intervalo [a, b], sendo indicada como
9



n
i
ii xxf
1
*)(




n
i
ii
n
xxf
1
*)(lim

b
a
dxxf )(
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A integral como Área
Como consequência do que vimos, se f é uma função não negativa sobre [a, b] a soma de Riemann 
de f representa um valor aproximado da área da figura limitada pelo gráfico de f, pelo eixo 0X e 
pelas retas x = a e x = b. 
Teorema Fundamental do Cálculo
Se f é uma função contínua em [a, b] e se P é uma primitiva de f, então
A diferença P(b) ‒ P(b) poderá ser indicada por 
Assim,
10
 
b
a
P(b)-P(a)f(x)dx
b
a
xP )(
 
b
a
b
a
P(b)-P(a)xPf(x)dx )(
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Exemplos
a) Calcule a integral 
b) Calcule a integral
11
 
2
0
)42( dxx









2
0
22
0
4
2
2
)42( x
x
dxx
40.4
2
0.2
2.4
2
2.2 22
















 
2
0
2 )1( dxx
2
0
32
0
2
3
)1( 





 x
x
dxx
3
14
0
3
0
2
3
2 33







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c) Calcule a integral
Exercícios
1 – Calcule as integrais:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
12

5,2
1
1
dt
t

5,2
1
5,2
1||ln
1
tdt
t
916,01ln5,2ln 
dxx
3
2
3
dxx 
2
1
2 )4(
dxex
1
0
dxxe x 
1
0
2
dx
x
5
1
1
dx
x
x
 
10
4 2 1
2
dxxx 
1
0
22 )14( dxx
9
0
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i) j) 
k) l)
m) n)
o) p)
2 – Calcular a área formada abaixo da parábola e acima do eixo x a seguir:
a) no intervalo [0, 1]
b) no intervalo [3, 4]
13

3
4


sentdt 



2
cos d
dx
x
9
1 2
1 
9
8
2 dtt

6ln
3ln
8 dxex dx
x
e
e
2 3
dxx 
0
1
3)1( dxxx 
4
2
21
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3 – Sabendo que a função que gerou a parábola abaixo é y = ‒x2 + 4, calcule a área formada sob a 
curva e o eixo x entre ‒2 e 2.
4 – Sabendo que a função que gerou a parábola abaixo é y = x2, calcule a área formada sob a curva e
acima do eixo x entre 0 e 2.
5 – Calcular a área formada sob a curva e acima do eixo x a seguir entre 1 e 2;
14
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6 – Calcular a área formada sob a curva e acima do eixo x a seguir entre 2 e 4;
7 – Calcular a área formada sob a reta e acima do eixo x a seguir entre 0 e 1;
8 – Calcular a área formada sob a curva e acima do eixo x a seguir entre 2 e 5;
15
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9 – Sabendo que a função que gerou gráfico abaixo é y = x3, calcule a área formada sob a curva e 
acima do eixo x entre 0 e 1.
Aplicações da Integrais – Área entre duas Curvas
Sejam f e g funções contínuas tais que
no intervalo [a, b]. Então a área da região limitada 
superiormente por y = f(x) e inferiormente por y = g(x) 
em [a, b] é dada por
Exemplo
16
)()( xgxf 
dxxgxf
b
a  )]()([
    dxxxdxxx   
1
2
21
2
2 1313
 
1
2
231
2
2 2
23
2

 






 x
xx
dxxx
2
9
)2.(2
2
)2(
3
)2(
1.2
2
1
3
1 2323












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Exercícios
1 – Calcule a área da figura sombreada
a) b)
c) d)
e) f)
17
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g) h) 
i)
18
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4 – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
O cálculo da primitiva de uma função pode ser uma tarefa difícil quando não for possível usar as 
propriedades e as fórmulas que conhecemos.
Nestes casos usamos uma técnica conhecida como método da substituição ou mudança de variável.
Exemplos
1 – Calcular
Solução
Fazemos u = 2x + 1
Em seguida fazemos o diferencial de u.
du = (2x + 1)’dx => du = 2dx =>
Substituindo 2x + 1 por u e dx por 
Teremos
Agora podemos aplicar a fórmula
como u = 2x + 1 temos
19
  dxx 5)12(
2
du
dx 
2
du
  duu
du
udxx 555
2
1
2
)12(
c
u
duu  6
6
5
cxc
u
dxx  6
6
5 )12(
12
1
62
1
)12(
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2 – Calculara integral
Solução
 u = 3x + 4 => du = (3x + 4)’dx => du = 3dx => 
Substituindo
=
3 – Calcular
 u = 5x + 1 => du = (5x + 1)’dx => du = 5dx =>
=
Exercícios
Calcule as integrais a seguir usando o método da substituição
a) b) c)
e) f) g)
20
dx
x  43
1
3
du
dx 
du
u
du
u
dx
x  
1
3
1
3
1
.
1
43
1
cxcu  |43|ln
3
1
||ln
3
1
dxe x 15
5
du
dx 
due
du
edxe uux   5
1
5
15
cece xu  15
5
1
5
1
dx
x
x
 1
4
2
  dxx 4)3( dx
x 3
1
dxe x 2   dxx 3)52( dx
x 15
2
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h) i) j)
k) l) m)
5 – INTEGRAÇÃO POR PARTES
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da 
Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra 
correspondente à Regra do Produto para diferenciação é chamada Integração por Partes.
Lembrando que na Regra do Produto temos que se u e v são funções diferenciáveis, então:
[u.v]’ = u’.v + u.v’ => u.v’ = [u.v]’ ‒ u’.v 
Integrando ambos lados
=>
Lembrando que 
du = u’dx e dv = v’dx
Substituindo, vem
que é a fórmula da integração por partes.
21
dxe x 51 dxe x  dxxex
2
 tgxdx  gxdxcot   2)2( t
dt
  dxvudxuvdxuv )'()'('   dxvuuvdxuv )'('
  vduuvudv
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Exemplos 
1 – Calcule
O lado esquerdo da fórmula é 
Assim, escolhemos um termo para ser u, daí o restante será dv. No caso do exemplo temos:
u = x => du = dx
dv = senxdx => 
Aplicando a fórmulas
= 
2 – Calcular
u = x => du = dx
Aplicando a fórmula
=
22
 senxdxx.
udv
  xsenxdxv cos
  vduuvudv
  dxxxxsenxdxx )cos()cos(. csenxxx  cos
  dxxe x2
xxx edxevdxedv 222
2
1  


  vduuvudv
dxeexdxxe xxx 222
2
1
2
1
.  






 ceex xx 
  22
4
1
.
2
1
cxe x 




 

 
4
1
2
12
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Dicas para escolha de u e dv:
✔ du é mais simples que u;
✔ dv é mais fácil de integrar
Exercícios
Calcular as integrais usando o método por partes
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
23
 xdxln  senxdxx2
 xdxx ln2  dxex x2
 xdxx ln  xdxx cos
 dxx)2ln(  dxxe x4
 xdxx ln3  dxxe x36
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6 – SÓLIDOS DE ROTAÇÃO – VOLUMES
Girando uma região plana em torno de seu eixo, obtemos um sólido chamado de sólido de 
revolução. O eixo referido é chamado de eixo de revolução. 
Exemplos
a)
b)
Nosso problema agora é saber como calcular o volume do sólido gerado pela rotação de uma região 
formada entre o gráfico da função e o eixo x.
Ao rotacionar a região obtemos um sólido. Ao fazermos cortes transversais (xi) no sólido obteremos 
cilindros cuja altura é Δx e o raio f(xi), sendo que Δx pode ser tão pequeno quanto se queira. O 
volume de cada cilindro pode ser obtido fazendo-se:
 V = πr2Δx => V = π(f(xi))2Δx 
24
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Assim, ao somarmos todos os volumes dos cilindros obteremos o volume do sólido em questão. 
Para isso usaremos a soma de Riemann.
Definição. Seja y = f(x) uma função contínua m [a, b] e seja R a região sob o gráfico de f de a até 
b. O volume do sólido S gerado pela revolução de uma região R em torno do seu eixo é definida 
pela soma de Riemann como sendo:
Obs. A rotação também pode ser feita em torno do eixo y, fazendo as adaptações necessárias na 
função.
Exemplo
25
dxxfV
b
a
2)]([
dxxfV
b
a
2)]([












  dx
x
dx
x
V
4
1
244
1
22
164

80
1023
]14[
805
.
16
55
4
1
54  






xx
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No caso do sólido gerado pela rotação de duas funções f(x) e g(x), temos:
Por exemplo, se no gráfico abaixo g(x) gera um sólido vazado e queremos saber o volume 
descontando o miolo, utilizados a integral acima.
Exercícios
1 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo y de zero a 
2. 
26
dxxgxfV
b
a  ]))(())([(
22
3 yx 
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2 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de zero a 
2.
3 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de zero a 
3.
4 – Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo. 
27
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5 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de 2 a 3.
6 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de zero a 
2.
7 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de zero a 
2.
28
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8 – Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo y de zero a 
3.
9 – Sabendo que a função do gráfico abaixo é y = ‒x2 + 4, calcule o volume do sólido gerado pela 
rotação da função em torno do eixo y de zero a 2.
10 – Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da função abaixo em torno do eixo x de zero a 
2.
29
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7 - APLICAÇÃO
1 – A velocidade de um automóvel mede a variação do espaço percorrido pelo veículo. Se a 
velocidade em cada instante t é dada por v = 50 + 2t, determinar a equação do espaço percorrido 
pelo automóvel em função do tempo t, sabendo que, quando t = 0, o espaço percorrido era de 
5000m.
Solução
Se a velocidade v mede a variação do espaço s, então s’ = v. Portanto:
Assim
Como, para t = 0, s = 5000, temos:
5000 = 50.0 + 02 + c => c = 5000
Daí
2 - Estudo realizado pelo ministério de energia de certo país em 2018 concluiu que se o projeto de 
lei sobre conservação de energia fosse implantado em 2019, o consumo de petróleo pelos 5 anos 
subsequentes cresceria de acordo com o modelo
onde t é medido em anos e R(t) em milhões de barris por ano.
Sem a aprovação do projeto, a taxa de crescimento esperada seria dada por
Determine quanto petróleo seria economizado entre 2019 e 2024 se o projeto fosse implementado.
30
 vdts
cttc
t
tdtts   2
2
50
2
2
50)250(
5000502  tts
tetR 05,020)( 
tetR 08,020)( 
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Solução
Com o projeto, teríamos:
Sem o projeto:
Assim
Conclusão: a economia seria de 9,3 milhões de barris.
3 - A taxa estimada de produção de petróleo de um poço t anos após o início da produção é dada 
por:
em milhares de barris por ano.
Encontre uma expressão que descreva a produção total no final de t anos.
Solução
Seja T(t) a produção total ao final do ano t. Então, a taxa de produção será dada por T’(t) barris de 
petróleo por ano.
Logo
Então 
=>
31
 
5
0
05,05
0
20)( dtedttR t
 
5
0
08,05
0 1
20)( dtedttR t
    
5
0
05,008,05
0 1
2020)()( dteedttRtR tt
3,9
05,008,0
20
5
0
05,008,0







tt ee
ttetR 1,0100)( 
ttetRtT 1,0100)()(' 
  dttetT t1,0100)(   dttetT t1,0100)(
CÁLCULO INTEGRAL – Prof. Nabor A. Monteiro
Usando a integração por partes
u = t => du = dt
=> 
Portanto
Para determinarmos o valor de c, fazemos: T(0) = 0 (produção inicial).
T(0) = ‒1000(10) + c = 0 => c = ‒10000
Assim
4 – O custo marginal (acréscimo no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da
quantidade produzida) de uma companhia é dada por C’(q) = q2 ‒ 16q + 70 $/unidade, sendo q a 
quantidade produzida.
a – Elabore a expressão que representa o custo total, sabendo que o custo fixo é $50.
Como o custo fixo é de $50, este é o valor de c. Então
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   dtevdtedv tt 1,01,0 tt eev 1,01,0 10
10,0
1  


    dtetetT tt 1,01,0 1010100)(   cete tt   1,01,0 10010100
cte t   )10(1000 1,0
10000)10(1000)( 1,0   tetT t
cq
qq
 70
2
16
3
23
5070
2
16
3
)(
23
 q
qq
qC
   dqqqdqqCqC )7016()(')( 2
CÁLCULO INTEGRAL – Prof. Nabor A. Monteiro
b) Calcule o custo totalpara produzir 20 unidades.
 
Exercícios de Aplicação
1 – Uma partícula percorre uma trajetória reta, com aceleração de 2cm/s2. Quando o tempo 
começou ser contado (t = 0) a partícula passava pela marca de 10cm da trajetória, com velocidade 
de 5cm/s. Calcular:
a) A equação da velocidade da partícula em função do tempo;
b) A equação do espaço percorrido pela partícula em função do tempo;
c) O tempo necessário para que a partícula passe pela marca de 103,75cm.
2 – A velocidade de um objeto é dada por v(t) = 2t + 8 m/s.
a) Sabendo que o objeto partiu a 10m da origem, determine a equação do espaço percorrido;
b) Qual a distância percorrida durante os primeiros 5 segundos.
3 – O custo marginal envolvido na produção de bicicletas é
a) Sabendo que o custo fixo de produção é de $2000, determine a expressão que representa o custo 
total;
b) Qual o custo total para produzir 30 bicicletas?
4 – A taxa de crescimento das vendas de uma nova linha de computadores (em unidades por mês) é 
dada por
a) Elaborar a expressão para o número total de computadores que se espera sejam vendidos t meses 
após sua introdução no mercado.
Dica para encontrar o valor de c: o número de computadores vendidos no final do mês zero é nulo, 
ou seja, N(0) = 0.
b) Quantos computadores se espera vender no primeiro ano?
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 






20
0
23
5070
2
16
3
)20( dqq
qq
C 67,866$5070
2
16
3
20
0
23






 q
qq
53,0
600
)('


q
qC
tetN 05,015002000)(' 
CÁLCULO INTEGRAL – Prof. Nabor A. Monteiro
5 – De acordo com um estudo conduzido pelo Departamento de Controle do Meio Ambiente a 
concentração de monóxido de carbono (CO) no ar devido a emissão por automóveis está crescendo 
a uma taxa de 
partes por milhão (ppm) por ano t. Atualmente a concentração de CO é de 0,16 ppm. Encontre uma 
expressão que forneça a concentração de CO daqui a t anos. 
6 – As vendas de espectrofotômetros digitais tem crescido à taxa de 
t em anos. Se o número atual de vendas é 1000, encontre uma expressão que forneça o número total 
de vendas daqui a t anos.
7 – A empresa ACME estima que o custo marginal diário para produção de calculadoras eletrônicas 
é dado por:
onde C é o custo e x o número de unidades produzidas.
Sabendo que o custo fixo diário é de $100, determine o custo total diário para produzir:
a) as primeiras 500 unidades;
b) da unidade 201 à unidade 400.
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3
1
)6442,0(300
)11,0(8
)(
2 


tt
t
tf
2
3
)2,01(2000)('  ttN
4006,0000006,0)(' 2  xxxC
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REFERÊNCIAS
1 - AXLER, Sheldon, Pré-cálculo – uma preparação para o cálculo. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2016.
2 - FLEMMING, Diva M; GONÇALVES, Mírian B. Cálculo A – funções, limite, derivação e 
integração. 5.ed. São Paulo: Prentice Hall, 1992.
3 – HUGHES-HALLET, Deborah et al. Cálculo aplicado. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
4 – MACHADO, Antonio S. Matemática: temas e metas – conjuntos numéricos e funções. 
São Paulo: Atual, 1988. v. 1.
5 – MACHADO, Antonio S. Matemática: temas e metas – funções e derivadas. 
São Paulo: Atual, 1988. v. 6.
6 – MORETIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O. Métodos quantitativos para economistas e 
administradores: cálculo – funções de uma variável. São Paulo: Atual, 1981.
7 - SILVA, Sebastião Medeiros; SILVA, Elio Medeiros; SILVA, Ermes Medeiros. Matemática – 
básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
8 - STEWART, James, Cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira Thomson, 2002. v. 1.
9 – TAN, S. T. Matemática aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Pioneira Thomson,
2001.
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