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Estado plano de tensoes - UFF

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 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Transformação de Tensão ou Análise de Tensão 
 
Objetivos: Transformar os componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas 
particular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientação diferente. 
 
1- Equações de Transformação 
2- Obtenção das tensões normal máxima 
3- Tensões de cisalhamento máxima num ponto 
4- Orientação do elemento sobre o qual essas tensões atuam 
 
 
 
Figura 1 - As pás desta turbina estão sujeitas a um padrão de tensões complexo, ilustrado pelas 
faixas sombreadas que aparecem nas pás quando são feitas de material transparente e vistas através 
de luz polarizada. Para um projeto adequado, os engenheiros devem ser capazes de determinar onde 
e em que direção ocorre às tensões máximas. (Cortesia do Measurements Group, Inc., Raleigh, 
Carolina do Norte, 27611,EUA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
Transformação no Estado Plano de Tensões 
 
Introdução: 
 
 
 
Figura 2- Estado de tensão em um ponto. 
 
O estado de tensão da Figura 2.a não é encontrado com freqüência na prática da engenharia. 
Aproximações ou Simplificações das cargas sobre o corpo, a fim de que a tensão produzida em 
um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples 
 
Observações gerais: 
 
1- Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade de 
posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto, correspondentes a 
cada uma dessas posições. 
2- O estado de tensão num ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos os 
planos passando pelo ponto. 
Observações sobre o paralelepípedo de tensões: 
1- Demonstra-se que o estado de tensão num ponto fica definido quando forem conhecidas as 
tensões nesse ponto referentes aos três planos ortogonais entre si, que se interceptam no 
ponto considerado. 
2- Para analisarmos o estado de tensão num ponto, imaginamos um paralelepípedo tri-
retângulo situado com vértice no ponto, em cujas facetas supõe-se as tensões conhecidas. 
3- Orientamos o nosso paralelepípedo considerado como um sólido de dimensões 
infinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referência as 
arestas a ele concorrentes. 
4- Nas três faces do paralelepípedo que são “visíveis”, ocorrem tensões iguais e de sentidos 
opostos. 
5- O estado de tensões num ponto, no caso mais geral, ficará então definido conhecendo-se 
nove tensões, que são as que atuam nas faces do paralelepípedo elementar. 
 
 
 
 
 
 3 
Os diferentes estados de tensão num ponto 
 
1- Tipos 
Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo 
elementar admitem componentes nas direções de todas as suas arestas. 
 
Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam 
componentes paralelas a apenas dois eixos. 
 
Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de 
uma única aresta 
 
Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões 
tangenciais. O simples valor yxxy ττ = é suficiente para definir o estado de tensão no 
ponto. 
 
Análise das tensões no Estado Plano 
O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num plano 
qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais passando 
pelo ponto e supostas previamente conhecidas. 
 
Estado Geral Plano de tensões em um ponto: 
 
Dois componentes de tensão normal, xσ , yσ e um componente de tensão de cisalhamento, xyτ , 
que atuam sobre as quatro faces do elemento. 
Convenção : Estado de tensão no plano x-y, Figura 2.c 
 
 
 
Figura 3- Estado plano de tensão. 
 
Objetivo: Supondo que o estado de tensão seja definido pelos componentes xσ , yσ , xyτ 
orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 2.a, mostraremos como obter os 
 4 
componentes 'xσ , 'yσ e 'y'xτ , orientados ao longo dos eixos x’, y’, Figura 3.b, de modo que 
representem o mesmo estado de tensão no ponto. 
 
Procedimento para determinar os componentes 'xσ , 'y'xτ que atuam sobre a face x’do 
elemento. 
 
1- Secionar o elemento da Figura 4.a (Figura 4.c). Área secionada ( AΔ ). 
2- Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as forças que atuam sobre o 
elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tensão de cada face pela área sobre a 
qual atuam. 
3- Aplicar as equações de equilíbrio de força nas direções x’e y’para obter os componentes de 
tensão desconhecidos 'xσ , 'y'xτ . 
4- Se 'yσ , que atua sobre a face +y’do elemento da Figura 4.b, tiver de ser determinado, 
considere um elemento como na Figura 4.d e depois é seguir o procedimento já descrito. 
Note que a tensão de cisalhamento não precisará ser determinada se ela já tiver sido 
calculada, visto que ela atende a propriedade complementar de cisalhamento. 
 
 
 
Figura 4- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Ex: O estado plano de tensões em certo ponto da superfície da fuselagem de um avião é 
representado em um elemento, cuja orientação é a ilustrada na Figura 5.a. Representar o estado de 
tensão no ponto de um elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. 
Figura 5- 
 
 
Resposta: 
 
 
Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano. 
 
Convenção de Sinal: 
 
 
 
Figura 6- Convenção de sinais. 
 
O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção 
positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da 
coordenada da face negativa do elemento como na Figura 6.a. 
 
Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de todas 
as faces e a tensão de cisalhamento é positiva quando atua para cima na face direita do elemento. 
 6 
Ângulo θ : Orientação do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das 
tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário), Figura 6.b. 
 
Componentes das tensões normal e de cisalhamento. 
 
 
Figura 7- Elemento no estado plano de tensões. 
 
Dedução: Aula 
 
Aplicam-se as equações de equilíbrio de força para se determinar os componentes 
desconhecidos das tensões normal e de cisalhamento, 'xσ , 'y'xτ . 
Cálculo de 'yσ 
 
Figura 7.d. 
 
Equações Gerais de Transformação de tensão para o estado plano. 
 
( ) ( )θτθσσσσσ 2sen2cos
22 xy
yxyx
'x +
−++= (1) 
( ) ( )θτθσστ 2cos2sen
2 xy'
yx
'ý'x +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−= (2) 
 
Para determinar 'yσ , basta substituir θ por ( )90+θ , Figura 7.d em (1) e assim tem-se: 
 
( ) ( )θτθσσσσσ 2sen2cos
22 xy
yxyx
'y −
−−+= (3) 
 
 
 7 
 
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano. 
 
 
Prática da Engenharia: é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão 
normal chegar ao máximo e ao mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão 
de cisalhamento chegar ao máximo. 
 
 
Observações: 
 
1- Posição Principal: Posição para a qual as tensões tangenciais nas faces do paralelepípedo 
elementar são todas nulas, restando apenas tensões normais. 
 
Estado Triplo de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2-3 
Tensões Principais - 321 σσσ −− 
Planos Principais- Planos 1-2-3 
 
Estado Plano de Tensões - Direções principais - Direções 1 -2 
Tensões Principais - 21 σσ − 
Planos Principais- Planos 1-2 
 
 
Tensões Principais no Plano 
 
Determinação da tensão normal máxima e mínima. 
 
0
d
d 'x =θ
σ (4) 
 
 
( ) ( ) ( ) 02cos22sen
d
d
pxypyx