Cálculo I- Aula 7 Aplicações de Derivadas

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Cálculo I 
Aplicações de Derivadas
Profa: Mariah Rissi
APLICAÇÃO FÍSICA
Velocidade e Aceleração
Velocidade e aceleração são conceitos que todos nós
conhecemos. Quando dirigimos um carro, podemos medir a
distância percorrida em um determinado intervalo de tempo.
O velocímetro marca, a cada instante, a velocidade. Se
pisarmos no acelerador ou no freio, percebemos que a
velocidade muda. Sentimos a aceleração.
Podemos calcular a velocidade e a aceleração através de
derivadas. Veremos a seguir.
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APLICAÇÃO FÍSICA
Velocidade
Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que 𝒔 = 𝒔(𝒕)
represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t.
Então, no intervalo de tempo entre 𝑡 e t + ∆𝑡 o deslocamento 
∆𝒔 = 𝒔 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒔 𝒕 .
Definimos então a velocidade média nesse intervalo de tempo 
como quociente
𝒗𝒎 =
𝒔 𝒕+∆𝒕 −𝒔(𝒕)
∆𝒕
,
Isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido 
pelo tempo gasto em percorrê-lo.
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APLICAÇÃO FÍSICA
Velocidade
De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo
no instante t. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t,
calculamos sua velocidade média em instantes de tempo ∆𝑡 cada vez menores.
A velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, é o limite das
velocidades médias quanto ∆𝑡 se aproxima de zero, isto é,
𝒗 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒔
∆𝒕
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒕→𝟎
𝒔 𝒕 + ∆𝒕 − 𝒔(𝒕)
∆𝒕
.
Esse limite é a derivada da função 𝒔 = 𝒔(𝒕) em relação a t. Portanto,
𝒗(𝒕) = 𝒔’(𝒕) =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
.
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APLICAÇÃO FÍSICA
Velocidade 
Digamos que temos uma partícula se deslocando em um intervalo de
tempo, cuja sua função é:
𝒔 𝒕 = 𝟕, 𝟖 + 𝟗, 𝟐𝒕 − 𝟐, 𝟏𝒕𝟑
Essa função ela fornece a posição que a partícula se encontra em
um determinado instante de tempo.
E se eu perguntar:
Qual a velocidade da partícula no instante 1 segundo?
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APLICAÇÃO FÍSICA
Velocidade 
Qual a velocidade da partícula no instante 1 segundo?
Quando derivamos uma função deslocamento a taxa de variação é a
velocidade;
Taxa de variação 
= 
derivada instantânea
Logo, pra achar a velocidade é só derivar s(t). Logo,
𝒔′ 𝒕 = 𝒗 𝒕 = 𝟗, 𝟐 − 𝟔, 𝟑𝒕𝟐
𝒗 𝟏 = 𝟗, 𝟐 − 𝟔, 𝟑 ∗ 𝟏 = 𝟐, 𝟗𝒎/𝒔
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APLICAÇÃO FÍSICA
Aceleração
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APLICAÇÃO FÍSICA
Aceleração 
Agora se temos através da derivada de 𝑠(𝑡) a função da
velocidade como:
𝒗 𝒕 = 𝟗, 𝟐 − 𝟔, 𝟑𝒕𝟐
Essa função ela fornece a velocidade da partícula em um
determinado instante de tempo.
E se eu perguntar:
Qual a aceleração da partícula no instante 1 segundo?
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APLICAÇÃO FÍSICA
Aceleração 
Qual a aceleração da partícula no instante 1 segundo?
Quando derivamos uma função velocidade a taxa de variação é a
aceleração;
Logo, pra achar a aceleração é só derivar 𝑣(𝑡), teremos:
𝒗′ 𝒕 = 𝒂 𝒕 = −𝟏𝟐, 𝟔𝒕
𝒂 𝟏 = −𝟏𝟐, 𝟔𝒎/𝒔𝟐
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Exercícios
1.
2.
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Exercícios
3.
4.
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Exercícios
5.
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Gabarito
𝟑. a) b) c)
𝟒. 𝒂) 𝟏, 𝟎 𝒆 − 𝟏𝒎 𝒃) 𝒗(𝒕) = −𝟑𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒕) 𝒄) 𝒂(𝒕) = −𝟗cos(𝟑𝒕)
𝟓. 𝒂) 𝟑, 𝟒 𝒆𝟑𝒎 𝒃) 𝒗(𝒕) = 𝟐 − 𝟐𝒕 𝒄) 𝒂(𝒕) = −𝟐
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
A figura mostra o gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), onde assinalamos
os pontos de abcissas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4 . Esses pontos são chamados
pontos extremos da função.
Temos os pontos de máximos e mínimos ( abscissas):
x1 e x3 = Pontos de máximo relativo (local); 
x2 e x4= Pontos de mínimo relativo (local);
* Valores máximos relativos:
𝑓(𝑥1) e 𝑓(𝑥3).
* Valores mínimos relativos:
𝑓(𝑥2) e 𝑓(𝑥4).
** MÁXIMO ABSOLUTO: 𝑓(𝑥3).
** MÍNIMO ABSOLUTO: 𝑓 𝑥2 .
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
* Relativo = Local
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
Na figura anterior, as retas tangentes r1, r2 , r3 e r4 nos pontos de
abscissas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4, respectivamente, são paralelas ao eixo x,
logo, a derivada de 𝑓 anula-se para 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4, ou seja, 𝑓’ 𝑥1 =
𝑓’ 𝑥2 = 𝑓’ 𝑥3 = 𝑓′ 𝑥4 = 0.
Observações:
Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira anula–se. 
Todo ponto extremo é ponto crítico, porém nem todo ponto crítico é extremo;
DEFINIÇÃO:
O ponto 𝑐 ∈ 𝐷(𝑓) tal que 𝑓’(𝑐) = 0 ou ∄ 𝑓’(𝑐), é chamado ponto crítico de
𝑓.
Geometricamente, isto indica que se 𝑓 tem um extremo relativo em 𝑐
e se 𝑓’(𝑐) existe, então o gráfico de 𝑓 tem uma reta tangente
horizontal no ponto onde 𝑥 = 𝑐.
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
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Ponto Crítico - Exemplo
Determine os pontos críticos de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2.
Sabendo que 𝑓(𝑥) é uma função polinomial derivável em todo 𝑥 ∈ ℝ.
Temos 𝑓’(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥;
Fazendo 𝑓’(𝑥) = 0, obtemos 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2,
que são os pontos críticos de 𝑓(𝑥).
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
Teste da derivada de 2.ª ordem
A fim de verificar se um ponto, que anula a derivada primeira
de uma função, representa um ponto de máximo ou mínimo local,
faz-se o teste da derivada de segunda ordem, ou seja:
a) deriva-se a função;
b) iguala-se a derivada primeira a zero;
c) Seja a função duas vezes diferenciavel no intervalo aberto I.
(i) Se 𝑓’’(𝑐) < 0, 𝑓 tem um valor máximo relativo em 𝑐.
(ii) Se 𝑓’’(𝑐) > 0, 𝑓 tem um valor 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 em 𝑐.
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
Teste da derivada de 2.ª ordem
EXEMPLO 1:
Seja 𝑓 𝑥 = 18𝑥 + 3𝑥2 − 4𝑥3
𝑓’(𝑥) = 18 + 6𝑥– 12𝑥2 = 0;
Temos 𝑥 =
3
2
𝑒 𝑥 = −1.
Logo: 𝑓’’ 𝑥 = 6 − 24𝑥 ൞
𝑓’’
3
2
= 6 − 24.
3
2
= −30 < 0
𝑓’’ −1 = 6 − 24.−1 = 30 > 0
𝑥 = 32: 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 & 𝑥 = −1: 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
Teste da derivada de 2.ª ordem
EXEMPLO 2: Seja encontre e classifique os pontos 
críticos da função . 
GRÁFICO
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS
Exemplo:
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PROPRIEDADES DA PRIMEIRA DERIVADA
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Exercícios
1. Determine os pontos críticos da função 𝑓 𝑥 = 2 − 3𝑥 + 𝑥3.
2. Um ponto material é lançado do solo, verticalmente para cima e 
tem posições s no decorrer do tempo t dadas pela função horária 
𝑠 = 60𝑡 − 5𝑡2 (𝑠 𝑒𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠). 
a) Calcule o tempo gasto para atingir a altura máxima.
b) Determine a altura máxima em relação ao solo.
3. Considere todos os retângulos de 80cm de perímetro. Determine as 
dimensões daquele que tem área máxima.
4. O lucro com a produção de 𝑥 unidades de um dado bem é
𝐿(𝑥) = 𝑥 − 0,01𝑥2 + 5000. Qual o nível de produção que
maximizará o lucro?
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PONTOS DE INFLEXÃO
O ponto de inflexão é um ponto de alteração do sentido
da concavidade, consequentemente é um ponto onde a
derivada segunda muda de sinal ou seja é um ponto que
corresponde a uma derivada segunda nula.
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PONTOS DE INFLEXÃO – CONCAVIDADE
O ponto (𝑐, 𝑓(𝑐)) é um ponto de inflexão do gráfico da função 𝑓, se o
gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir um intervalo aberto
(𝑎, 𝑏), contendo 𝑐 , tal que uma das seguintes condições sejam
satisfeitas:
𝑎) 𝑓 é côncava para cima em (𝑎, 𝑐) e côncava para baixo em 𝑐, 𝑏 .
𝑏) 𝑓 é côncava para baixo em (𝑎, 𝑐) e côncava para cima em (𝑐, 𝑏).
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PONTOS DE INFLEXÃO – CONCAVIDADE
Para saber a concavidade do gráfico, utilizamos o teste da segunda
derivada, e observamos os seguintes itens:
(i) Se 𝑓 𝑥 ′′ > 0 ∀ x ∈ (𝑎, 𝑏), então o gráfico de 𝑓 possui concavidade 
para cima em 𝑎, 𝑏 ;
(ii) Se 𝑓(𝑥)′′ < 0 ∀ x ∈ (𝑎, 𝑏), então o gráfico de 𝑓 possui concavidadepara baixo em (𝑎, 𝑏) . 
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PONTOS DE INFLEXÃO
Na figura ao lado, os pontos 𝑐1 , 𝑐2, 𝑐3 , 𝑐4 são pontos de inflexão.
Vale observar que 𝑐2 e 𝑐3, são pontos extremos de 𝑓 e que 𝑓 não é
derivável nesses pontos. Nos pontos 𝑐1 e 𝑐4, existem as derivadas
𝑓´(𝑐1) e 𝑓´(𝑐4). Nos correspondentes pontos (𝑐1 , 𝑓(𝑐1)) e
(𝑐4 , 𝑓(𝑐4)) a reta tangente corta o gráfico de 𝑓.
Os pontos de inflexão são os pontos em que 𝑓′′(𝑥) = 0.
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
Determine os pontos de inflexão e reconheça os intervalos onde a função
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 3 tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Temos: 𝑓´(𝑥) = 3 𝑥 − 1 2 e 𝑓´´(𝑥) = 6(𝑥 − 1).
Fazendo-se 𝑓´´(𝑥) = 0, temos:
6 𝑥 − 1 = 0 → 6𝑥 − 6 = 0 → 𝑥 = 1
No intervalo (1, +∞), 𝑓´´(𝑥) > 0.
No intervalo (−∞, 1), 𝑓´´(𝑥) < 0.
Então:
• 𝑓 é côncava para baixo em (−∞, 1);
• 𝑓 é côncava para cima em (1, +∞);
No ponto 𝑐 = 1 a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o
gráfico de 𝑓 tem um ponto de inflexão.
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MÁXIMOS E MÍNIMOS
PROPRIEDADES DA SEGUNDA DERIVADA
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Exercícios
Determine o(s) ponto (s) de inflexão das seguintes funções:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 2
b) 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
3
2
𝑥2 + 2𝑥 − 1
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 9𝑥
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 − 5
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 3
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PROPRIEDADES DAS DERIVADAS
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Taxas Relacionadas
Em algumas aplicações do cálculo, temos duas ou mais grandezas
relacionadas entre si e devemos calcular a taxa de variação das grandezas.
Como as grandezas estão relacionadas, usando derivação implícita ou,
algumas vezes, regra da cadeia, p o demos calcular a taxa de variação de
uma delas em função da(s) outra(s). Tais problemas são conhecidos como
problemas de taxas relacionadas.
Trabalhar com Taxas Relacionadas nos obriga a pensar em atividades 
que dependam umas das outras e Regra da Cadeia.
Quando pensamos em executar uma atividade, geralmente
trabalhamos nela e ponto. Pelo menos é assim que pensamos que está
sendo feito. Porém, muitas vezes, para realizar uma tarefa é necessário,
antes, realizar uma primeira atividade a fim de preparar o caminho para a
tarefa verdadeira que pretendemos.
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Taxas Relacionadas
Por exemplo:
Quando queremos calcular uma área, precisamos antes saber a
geometria da superfície em questão. Da geometria definimos a relação com
as medidas necessárias.
Agora, imagine uma situação de calcular a área de um quadrado. De
imediato pensamos na figura e lembramos da fórmula necessária:
𝐴 = 𝑙²
Mas como fica o problema se o lado mudar de tamanho ao longo do
tempo?
A variação da área com relação ao tempo não é percebida diretamente,
somente se passarmos pelo cálculo do lado entenderemos o problema.
Como assim?
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Taxas Relacionadas
Imagine uma chapa de metal, quadrada. Para piorar, imagine uma chama
constante em baixo da chapa aquecendo-a. Pense que o metal tende a variar
suas medidas sob a ação de calor. Assim, quanto mais tempo passa, mais o
calor influencia as medidas da chapa de maneira que poderíamos expressar o
problema da seguinte maneira:
A área depende do lado ao quadrado e o lado depende do tempo segundo
alguma regra. Seja então o problema de calcular tal área para o caso do lado
estar variando segunda a regra
𝑙 = 4 – 𝑡²
Então para cada área que quisermos calcular, primeiro calcularemos o lado
e depois, tendo o valor do lado, calcularemos a área.
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* Um quadrado de lado 𝑙esta se expandindo segundo a equação 𝑙 = 4 − 𝑡2, onde
a variável 𝑡 representa o tempo. Determine a taxa de variação da área desse
quadrado no tempo 𝑡 = 3.
Taxas Relacionadas
Sabemos que 𝐴 = 𝑙2 e que 𝑙 = 4 − 𝑡2.
Sendo,
𝑑𝐴
𝑑𝑙
= 2 𝑙, que é a derivada da função área com relação ao lado.
E,
𝑑𝑙
𝑑𝑡
= −2 𝑡, que é a derivada da função lado com relação ao tempo.
Pela regra da cadeia, faremos o produto das duas derivadas e voltaremos a
variável básica, no caso, o tempo t.
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −4 𝑙 𝑡, substituindo l, teremos:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −4 (4 – 𝑡²) 𝑡, ou
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −16 𝑡 + 4 𝑡³
Utilizando 𝑡 = 3𝑢. 𝐴, temos:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= −16. 3 + 4. 3 3 = 60.
𝑢.𝐴
𝑢.𝑡
.
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Taxas Relacionadas
O exemplo anterior ilustra os passos que devemos seguir para resolver
problemas de taxa relacionada que envolvem uma situação geométrica:
1. Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no
problema, incluindo as variáveis dependentes e a variável independente.
Explicite claramente quais são os dados do problema e qual a taxa de
variação que se quer calcular.
2. Use o seu diagrama para determinar uma equação que relacione as
variáveis envolvidas no problema.
3. Derive, implicitamente, esta equação em relação à variável
independente.
4. Na equação obtida após o processo de derivação, substitua os valores
numéricos dados e resolva a equação resultante em relação `a incógnita
do problema.
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Método de resolução esquematizado
Taxas Relacionadas
Uma escada de 5 𝑚 está recostada em uma parede. A base da escada
escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de 6 𝑐𝑚/𝑠. Com que
velocidade o topo da escada cai no momento em que a base da escada
distancia 3 𝑚 da parede?
As grandezas 𝑥 e 𝑦 estão relacionadas pelo teorma
de Pitagóras 𝑥2+𝑦2 = 25.
Considerando 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑦 = 𝑦(𝑡) e derivando em
relação ao tempo, temos:
𝑥2 + 𝑦2 = 25 → 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 0
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
. 
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Taxas Relacionadas
Uma escada de 5 𝑚 está recostada em uma parede. A base da escada
escorrega, afastando-se da parede a uma velocidade de 6 𝑐𝑚/𝑠. Com que
velocidade o topo da escada cai no momento em que a base da escada
distancia 3 𝑚 da parede? (continuação)
Basta, agora, substituir os valores para obter 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
. Temos
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 6𝑐𝑚/𝑠 𝑒 𝑥 = 3𝑚 = 300𝑐𝑚.
Como 𝑥2 + 𝑦2 = 25, então 9 + 𝑦2 = 25
𝑦 = 4𝑚 = 400𝑐𝑚. 
Resulta em, 
400
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −300
𝑑𝑥
𝑑𝑦
→
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
−300.6
400
= 4,5𝑐𝑚/𝑠
. 
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Exercícios
1. Um reservatório de água esta sendo esvaziado para limpeza. A
quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o
escoamento ter começado e dada por 𝑉(𝑡) = 50 80 − 𝑡 2. Qual
a taxa de variação do volume de água no reservatório apos 8 horas
de escoamento?
2. O raio de uma circunferência cresce a razão de 21 cm/s. Qual a
taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação
ao tempo?
3. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a
altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma
taxa de 10 𝑚3/ℎ, a que razão aumenta a área da base quando a
altura do monte e de 4 m?
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Taxas Relacionadas
4. O raio R de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa
constante de 5m/s. Com que taxa estará variando o volume da esfera no
instante em que R=2m?
5. Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a
uma taxa constante de 3m/s. Com que rapidez estará variando a área
englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos?
GABARITO
1. −720 L/hora.
2. 𝟒𝟐𝛑 𝐜𝐦𝟐/𝐬
3. 𝟓𝐦𝟐/𝐡
4. 𝟖𝟎𝛑𝐦𝟑/𝐬
5. 𝟏𝟖𝟎𝛑𝐦𝟐/𝐬
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