LISTA 01

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Prof. Andrés Vercik 
1 
Faculdade de Zootecnia e Engenharia de Alimentos 
Universidade de São Paulo 
Cálculo I - Lista 1: Números reais. Desigualdades. Funções. 
Prof. Responsável: Andrés Vercik 
 
 
1. Um inteiro positivo n é par se kn 2= para algum inteiro positivo k . Se 12 += kn ( k um inteiro), 
então n é ímpar. Mostre que se n é ímpar, então 2n também é ímpar. 
2. Mostre que se 2n é par então n é par. 
3. Mostre que 2 é irracional. 
4. Mostre que 3 é irracional. 
5. Mostre que se n é da forma 14 −m (onde m é um inteiro positivo), então n é irracional. 
 
6. Encontre e represente em uma reta, os números reais que verificam: 
 
a) 13 <−x 
b) 212 <+x 
c) 132 ≤− x 
 
d) 3412 ≥− x 
e) 6321 <−+− xx 
f) 1
21
82
<
−−
−
x
x
 
 
7. Sejam { }4,3,2,1=A e { }dcbaB ,,,= , diga quais das seguintes correspondências são funções de A 
em B . 
 
a) cfbfaf === )3()2()1( 
b) cfcfcfcf ==== )4()3()2()1( 
c) afcfdfcfcfaf ====== )4()1()4()3()2()1( 
 
 
8. Dizer qual o maior conjunto R∈A para o qual cada uma das seguintes correspondências é função 
de A em R . (Isto significa achar o domínio da função) 
 
a) xxf =)( 
b) 
x
xf 1)( = 
c) 
x
xxf
32
4)(
2
−
−= 
d) 1)( 2 −= xxf 
e) 
4
2)(
+
=
x
xxf 
f) 
1)9(
1)( 2/32
4/3
−−
−=
x
xxf 
g) 
4
1)(
2 −
=
x
xf 
 
 
 
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9. Determine o conjunto imagem da função dada. 
a) ∞<<∞−= xxxf ,)( 4 
b) ∞<<∞−+= xxxf ,1)( 2 
c) 1,1)( ≥−= xxxf 
d) 0,1)( ≠= x
x
xf 
e) 0,1)( >= x
x
xf 
f) 
23
2)(
x
xf
+
=
 
10. Verifique se a curva dada é ou não o gráfico de uma função da forma )(xfy = . Justifique sua 
resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) c) 
 
 
11. Verifique se a curva dada é ou não o gráfico de uma função injetora. Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
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12. Verifique se )(xf possui uma função inversa. Se a resposta for afirmativa, determine uma fórmula 
explícita para a função inversa e especifique seu domínio e contradomínio. 
 
a) 0,/1)( 2 ≠= xxxf 
b) 0,/1)( 2 >= xxxf 
c) 0,/1)( 2 <= xxxf 
d) 0,/1)( 3 ≠= xxxf 
e) 2,)2/(1)( ≠−= xxxf 
f) 2,2)( ≥−= xxxf
 
13. Seja 1,)1/(1)( 2 >−= xxxf . Determine a função inversa e especifique seu domínio e 
contradomínio. 
 
14. Trace o gráfico das funções dadas a continuação. Determine a função inversa, especifique seu 
domínio e contradomínio. 
 
a) 0,/1)( >−= xxxf b) 3)( xxf −= 
 
 
15. Determine em que intervalo(s) a função dada é crescente e em que intervalo(s) a função é 
decrescente. 
 
a) 72)( +−= xxf 
b) 1
3
)( −= xxf 
c) 2)1()( += xxf 
d) 1)( 3 += xxf 
e) 0,1)( ≠= x
x
xf 
f) 1,1)( ≥−= xxxf 
g) 1,
)1(
1)( 2 ≠−
= x
x
xf 
h) 
21
1)(
x
xf
+
= 
 
16. Verifique se a função é par, ímpar ou nem para nem impar e qual o tipo de simetria do gráfico 
correspondente. 
a) xxf 2)( = 
b) 12)( −= xxf 
c) 13)( 24 +−= xxxf 
d) 13)( 3 +−= xxxf 
e) xxxf 5)( 3 += 
f) 
1
)( 2 +
=
x
xxf 
g) 
1
)( 2
2
+
=
x
xxf 
h) xxf −=1)( 
i) 
1
)(
+
=
x
xxf 
 
 
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17. Representar graficamente as seguintes funções lineares. Determine a inclinação e a interseção com 
o eixo y . 
 
a) 1)( −= xxf 
b) 32)( −= xxf 
c) 2)( +−= xxf 
d) 12)( +−= xxf 
e) 14)( += xxf 
f) 45)( +−= xxf 
 
18. Representar graficamente as seguintes funções: 
 
a) xxf 2)( = 
b) 1)( −= xxf 
c) 22)( += xxf 
d) 243)( +−= xxf 
e) 526)( −−= xxf 
f) 21)( −++= xxxf 
g) 1322)( ++−= xxxf 
h) 14243)( ++−= xxxf 
i) xxxf += 2)( 
j) xxxxf −+−++= 3136)( 
 
19. Achar a função linear cujo gráfico contem os pontos: 
 
a) )2,1( e )5,2( 
b) )4,2( e )2,1(− 
c) )2,0( − e )1,1(− 
 
20. Provar que não existe função linear cujo gráfico contenha os pontos (1, 3), (2,4) e (-1, 2). 
 
21. Determine a equação da reta dada. 
a) Reta com inclinação –3 e interseção com o eixo y no ponto 2. 
b) Reta com inclinação 1/2 e interseção com o eixo y no ponto -1. 
c) Reta com inclinação –1/2 passando pelo ponto )0,0( . 
d) Reta horizontal passando pelo ponto )5,3(− . 
e) Reta horizontal com interseção como o eixo y no ponto –5/4. 
f) Reta vertical passando pelo ponto (-2, 1/3). 
g) Reta com inclinação –2 passando pelo ponto (0, 3). 
h) Reta passando pelos pontos (2, 1) e (-1, 5). 
i) Reta passando pelos pontos (2/3, 1) e (-4/7, 1). 
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j) Reta passando pelo ponto (3/2, -1/2) e paralela à reta 32 =+ yx . 
k) Reta passando pelo ponto (0, 4) e perpendicular à reta 32 =+ yx . 
 
 
22. Uma companhia telefônica cobra uma taxa de 9 centavos por minuto e uma taxa fixa de R$ 6,50 
por mês. Escreva uma função linear que permita calcular o valor da conta mensal (em reais) em 
função do tempo total das ligações em minutos. 
 
 
23. Uma padaria descobriu que não pode produzir nenhuma quantidade de pão a um preço de 75 
centavos ou menos por unidade, mas pode produzir 80 unidades por semana por um preço unitário 
de R$1,25. Do lado da demanda, estima que por um preço unitário de R$1,00 a demanda é de 450 
pães por semana e por um preço unitário de R$3,00 a demanda e de 150 pães por semana. 
Determine as funções demanda e oferta, supondo que sejam lineares. Determine o ponto de 
equilíbrio. 
 
 
24. Seja 23)( 2 +−= xxxf , uma função polinomial de grau 2. 
 
a) Verificar que 1 é raiz de )(xf . 
b) Encontrar uma função polinomial g de grau 1 tal que )()1()( xgxxf −= 
 
 
25. Nos seguintes exercícios, complete o quadrado da função quadrática. Verifique se a concavidade do 
gráfico da função está voltada para cima ou para baixo, determine o vértice e o eixo de simetria e 
desenhe o gráfico. 
a) 1162 ++−= xxy 
b) 763 2 +−= xxy 
c) xxy 52 2 += 
d) 12 2 ++−= xxy 
e) 6,32,11,0 2 +−−= xxy 
f) 16221 +−= xxy 
g) 123 2 +−= xxy 
h) 123 2 ++= xxy 
 
 
26. Nos seguintes exercícios, fatore a função quadrática sem usar a fórmula de Báskara para determinar 
as raízes. Em seguida, determine o(s) intervalo(s) em que a função é negativa. 
 
a) 1452 −−= xxy 
b) 12 2 −−= xxy 
c) 6165
2 ++= xxy 
d) 94 2 −= xy 
e) 32241 +−= xxy 
f) 253 2 −+= xxy
 
27. Seja 1)( 3 += xxf , uma função polinomial de grau 3. 
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a) Verificar que -1 é raiz de )(xf . 
b) Encontrar uma função polinomial g de grau 2 tal que )()1()( xgxxf += 
 
28. Nos exercícios seguintes, determine qual é o comportamento do gráfico da função dada quando x 
aumenta sem limite e quando x diminui sem limite. 
 
a) 8673)( 2345 −−++−= xxxxxxf 
b) 93)( 24 −+−= xxxf 
c) 101,001,0)( 23 −++−= xxxxf 
d) 1443182100)( 246 −+−= xxxxf
 
29. Dados os seguintes gráficos de um polinômio de grau n cujo coeficiente principal é na , determine 
se n é par o ímpar e se na é positivo ou negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
30. Determine o valor da expressão dada sem usar calculadora 
 
a) 42 
b) 3)4(− 
c) 3)3,0( 
d) 2/14 
e) 24− 
f) 3/1)008,0( 
g) 
3
3
1 −
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ h) 
3/1
27
1
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ i) 3/28 j) 
3/1
8
1 −
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 
 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
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31. Determine o valor de )9(f sem usar calculadora 
 
a) 2/1)7()( += xxf 
b) 3)( 2/1 += xxf 
c) 2/14)( xxf = 
d) 2/1)4()( −= xxf 
e) 
2/31)( ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
x
xf 
f) 
2/31)(
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
x
xf 
 
32. Sejam RR→:g dada por 1)( 2 += xxg e RR →≠0:f dada por x
xf 1)( = , achar: 
a) ))2(( fg 
b) ))2((gf 
c) ))2((gg 
d) ))2(1( fg + 
e) ))2((1 fg+ 
f) )))2((( fgf