Capitulo18 Conexão com a matemática

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conexões com 
a matemática 
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Capítulo 18 análise combinatória
­números­com­algarismos­que­podem­ser­repetidos,­
teremos­uma­quantidade­de­números­que­chama-
remos­de­A.­Se­optarmos­pela­formação­de­números­
de­três­algarismos,­porém­sem­repeti-los,­teremos­
uma­quantidade­de­números­que­chamaremos­de­
B.­Com­base­nessas­informações,­é­correto­afirmar­
que:
a)­A­1­B­=­1.500
b)­A­=­1.000­e­B­=­504
c)­ A­2­B­=­252
d)­A­é­superior­a­B­em­250­números.
e)­ A­=­B
	 8.	 (Vunesp)­Um­certo­tipo­de­código­usa­apenas­dois­
sím­bolos,­o­número­zero­(0)­e­o­número­(1),­e,­con-
siderando­ esses­ símbolos­ como­ letras,­ podem-se­
formar­palavras.­Por­exemplo:­0,­01,­00,­001,­110­são­
algumas­palavras­de­uma,­duas­e­três­letras­desse­
código.­O­número­máximo­de­palavras,­com­cinco­
letras­ou­menos,­que­podem­ser­formadas­com­esse­
código­é:
a)­120­ d)­ 20
b)­62­ e)­ 10
c)­ 78
	 9.	 (Uerj)­ Para­ montar­ um­ sanduíche,­ os­ clientes­ de­
uma­lanchonete­podem­escolher:
•	um­dentre­os­tipos­de­pão:­calabresa,­orégano­e­
queijo;
•	um­dentre­os­tamanhos:­pequeno­e­grande;
•	de­um­até­cinco­dentre­os­tipos­de­recheio:­sar-
dinha,­atum,­queijo,­presunto­e­salame,­sem­pos-
sibilidade­de­ repetição­de­ recheio­num­mesmo­
sanduíche.
Calcule:
a)­quantos­sanduíches­distintos­podem­ser­monta-
dos;
b)­o­número­de­sanduíches­distintos­que­um­clien-
te­pode­montar,­se­ele­não­gosta­de­orégano,­só­
come­ sanduíches­ pequenos­ e­ deseja­ dois­ re-
cheios­em­cada­sanduíche.
	10.	 Uma­torre­de­comunicações­conta­com­5­bandeiras­
sinalizadoras,­e­as­mensagens­são­enviadas­quan-
do­uma­ou­mais­bandeiras­são­hasteadas.­Quantas­
mensagens­distintas­podem­ser­enviadas?
	 	
	 1.­ Marcelo,­Roberto,­Adriana­e­Gabriela­se­candidata-
ram­a­duas­vagas,­sendo­uma­para­presidente­e­ou-
tra­para­vice-presidente­da­comissão­de­formatura­
dos­alunos­do­3o­ano­do­ensi­no­médio.­Monte­uma­
árvore­ de­ possibilidades­ e­ determine­ as­ possíveis­
duplas.
	 2.­ Em­ uma­ festa­ de­ aniversário­ serão­ servidos­ dois­
­tipos­de­sorvete,­casquinha­ou­picolé,­nos­seguintes­
sabo­res:­uva,­abacaxi,­morango,­chocolate­e­limão.
a)­Usando­o­princípio­multiplicativo,­calcule­o­total­
de­ opções­ de­ sorvete­ que­ poderão­ ser­ servidos­
nessa­festa.
b)­Construa­uma­árvore­de­possibilidades­e­verifi-
que­se­a­resposta­dada­no­item­a­está­correta.
	 3.­ Considere­uma­prova­com­seis­questões­de­­múltipla­
escolha­ em­ que­ cada­ questão­ tenha­ cinco­ alter-
nativas­de­ resposta.­Para­ resolver­a­prova,­os­alu-
nos­­deverão­assinalar­apenas­uma­alternativa­por­
questão.
a)­Para­ determinar­ o­ número­ de­ gabaritos­ possí-
veis­ para­ essa­ prova,­ o­ coordenador­ da­ escola­
decidiu­ montar­ uma­ árvore­ de­ possibilidades.­
Você­consi­dera­essa­opção­de­resolução­a­mais­
­simples?
b)­Escreva­ outra­ opção­ de­ resolução­ para­ essa­
questão.
c)­ Determine­o­número­de­gabaritos­possíveis­para­
essa­ prova,­ usando­ o­ método­ que­ julgar­ mais­
simples.
	 4.	 Em­determinado­prédio­há­quatro­portas­de­entra-
da­e­seis­elevadores.­De­quantas­maneiras­diferen-
tes­pode-se­chegar­ao­15o­andar?
	 5.	 Uma­escola­irá­disponibilizar­na­internet­as­notas­
das­avaliações­dos­alunos.­Para­que­cada­aluno­só­
tenha­acesso­às­suas­notas,­ será­criada­uma­se-
nha­ distinta­ para­ cada­ um.­ Considerando­ que­ a­
escola­tem­1.200­alunos­no­total,­resolva­os­itens­
a­seguir.
a)­Se­ a­ senha­ for­ composta­ de­ 3­ algarismos,­ será­
possível­ criar­ uma­ senha­ diferente­ para­ cada­
aluno?
b)­Se­a­resposta­do­ item­a­ foi­não,­pense­em­uma­
estratégia­para­resolver­esse­problema.
	 6.	 Quantos­ números­ de­ cinco­ algarismos­ podemos­
formar?
	 7.	 (Unioeste-PR)­ Na­ intenção­ de­ formar­ números­
­naturais­compostos­de­três­algarismos­nos­depara-
mos­com­a­possi­bilidade­de­que­os­algarismos­que­
compõem­ esse­ número­ podem­ ser­ ou­ não­ distin-
tos.­Se­optarmos­pela­alternativa­de­compor­esses­
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análise combinatóriacapítulo 18
Grau de dificuldade das questões:
Fácil	 Médio	 Difícil
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	11.	 Em determinado país, os números de telefone pos-
suem 10 dígitos, conforme o padrão a seguir.
—	código de área com 3 dígitos: o primeiro dígito 
não pode ser 0 nem 1;
—	prefixo com 3 dígitos: o primeiro e o segundo dí-
gitos não podem ser 0 nem 1;
—	número da linha com 4 dígitos: os dígitos não 
podem ser todos iguais a 0.
a) Quantos diferentes códigos de área existem?
b) O código de área para certa cidade é 431. 
Com esse código, quantos diferentes prefixos 
existem?
c) Um dos prefixos da cidade do item b é 223. Com 
esse prefixo, quantos números de linha são pos-
síveis?
d) Quantos diferentes números de telefone de 
7 dígi tos são possíveis dentro do código de área 
431?
e) Quantos números de telefone de 10 dígitos são 
possíveis nesse país?
	12. Calcule o valor de n, em cada caso.
a) 
! !
! !
8
8
n
3 8
5 9 = c) ( 6)! 720n2 =
b) 
!
! !
n
6
4 61 = d) 
( )!
( )!
420
n
n
1
1
2
1
=
	13. Simplifique as expressões abaixo.
a) 
( )! ( )
!
n n
n
1 12 2
b) 
!
( )!
n
n 21
c) 
( )!
( )! ( )
n
n n
3
1 2
1
1 1
	14. Resolva a equação: 
( )!
! ( )!
18
8
n
n n
2
2 1
2
1 2
=
	15. (Fatec-SP) A expressão 
( )!
! ( )! ( )8
k
k k k
1
2 1 1
1
2 2 2
,
k Ñ N, é igual a:
a) k 2 1
b) 
k
k 12
c) 
k
1
d) k
e) 2k
	16. (UFPel-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, re-
solva as questões a seguir.
a) Quantos anagramas podem ser formados de 
modo que as vogais estejam sempre juntas?
b) Quantos anagramas podem ser formados com as 
letras UF juntas?
c) Quantos anagramas podem ser formados com as 
letras PEL, nessa ordem?
	 17.	 Quantos números de cinco algarismos distintos po-
demos formar?
	18.	 Quantos números de cinco algarismos distintos 
ter minados em 2 podemos formar?
	19. Quantos números de cinco algarismos podemos es-
crever com 1, 3, 5, 7 e 9 sem repetição?
	20.	 Com a palavra CADERNO:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos começam com C e terminam com O?
	c) Quantos começam com consoante?
d) Quantos terminam com vogal?
e) Quantos possuem as letras D e E juntas nessa 
ordem?
f	) Quantos possuem as letras D e E juntas?
	21.	 (UFPel-RS) Mauricio de Sousa, criador de uma fa-
mosa revista com histórias em quadrinhos, baseou a 
criação de seus personagens em amigos de infância 
e nos filhos, conferindo a cada um deles característi-
cas distintivas e personalida des marcantes. A turma 
da Mônica e todos os demais personagens criados 
pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem 
carinhosa, ale gre e descontraída e até matemática, 
dirigida às crianças e aos adultos de todo o mundo.
	 	
 Revista Cebolinha, no 98, Editora Globo.
	 	 Se os personagens da história em quadrinhos aci-
ma continuassem permutando as letras, com o ob-
jetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles 
obteriam mais:
a) 718 anagramas.
b) 360 anagramas.
	c) 720 anagramas.
d) 362 anagramas.
e) 358 anagramas.
	f ) I.R.
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A
U
R
IC
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O
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A
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	22.	 Quantos­ números­ de­ 5­ algarismos­ maiores­
que­ 30.000­ podemos­ for­mar­ com­ os­ algarismos­­
2,­3,­5,­7­e­8­sem­repetição?
	23.	 Quantos­ números­ ímpares­ distintos­ de­ 5­ algaris-
mos­podemos­formar­com­os­algarismos­1,­2,­3,­6­e­
8­sem­repeti-los?
	24.	 (Vunesp)­ Quatro­ amigos,­ Pedro,­ Luísa,­ João­ e­ Rita,­
vão­ao­cinema,­sentando-se­em­lugares­consecuti-
vos­na­mesma­fila.­O­número­de­maneiras­que­os­
quatro­podem­ficar­dispostos­de­ forma­que­Pedro­
e­Luísa­fiquem­sempre­juntos­e­João­e­Rita­fiquem­
sempre­juntos­é:
a)­2­ d)­16
b)­4­ e)­ 24
c)­ 8
	25.	 Listando­em­ordem­crescente­todos­os­números­de­
cinco­ algarismos­ formados­ com­ os­ elementos­ do­
conjunto­{1,­2,­4,­6,­7},­sem­repeti-los,­determine­a­
posição­do­número­62.417.26.	 Quantos­são­os­anagramas­da­palavra­PROFESSOR?
	27.	 (UFC-CE)­Uma­comissão­de­5­membros­será­forma-
da­ escolhendo-se­ parlamentares­ de­ um­ conjunto­
com­5­senadores­e­3­deputados.­De­termine­o­núme-
ro­de­comissões­distintas­que­podem­ser­formadas­
obedecendo­à­regra:­a­pre­sidência­da­comissão­deve­
ser­ocupada­por­um­senador,­e­a­­vice-presidência,­
por­um­deputado­(duas­comissões­com­as­mesmas­
pessoas,­ mas­ que­ a­ presidência­ ou­ a­ vice-presi-
dência­sejam­ocupadas­por­pessoas­diferentes,­são­
consideradas­distintas).
	28.	 Numa­corrida­de­Fórmula­1,­participaram­20­carros.­
Sabendo­que­8­carros­não­terminaram­a­prova,­qual­
o­número­de­possibilidades­de­compor­o­pódio­con-
siderando­os­3­primeiros­colocados?
	29.	 Mara­precisa­escolher­uma­senha­para­se­cadastrar­
em­um­site­na­internet.­A­senha­deve­ser­composta­
de­2­letras­distintas,­dentre­as­26­do­nosso­alfabeto,­
e­4­algarismos­sem­repetição.­De­quantas­ma­neiras­
diferentes­ela­pode­escolher­essa­senha?
	30.	 (UFV-MG)­O­número­de­combinações­de­n­objetos­
tomados­­3­a­3­é­igual­ao­número­de­arranjos­dos­
mesmos­objetos­tomados­2­a­2.­O­valor­de­n2­2­n­é:
a)­30­ b)­ 42­ c)­ 56­ d)­70
	31.	 (Vunesp)­ Uma­ rede­ de­ supermercados­ fornece­ a­
seus­ clientes­ um­ cartão­ de­ crédito­ cuja­ identifi-
cação­é­formada­por­3­ letras­distintas­ (dentre­26),­
­seguidas­de­4­algarismos­distintos.­Uma­determi-
nada­cidade­receberá­os­cartões­que­têm­L­como­a­
terceira­letra,­o­último­algarismo­zero­e­o­penúltimo­
é­ 1.­ A­ quantidade­ de­ cartões­ distintos­ oferecidos­
por­tal­rede­de­supermercados­para­essa­cidade­é:
a)­33.600
b)­37.800
c)­ 43.200
d)­58.500
e)­ 67.600
	32.	 Suponha­que­uma­cesta­básica­seja­composta­de­
6­ produtos.­ Sabendo­ que­ dispomos­ de­ 10­ produ-
tos­ para­ montar­ essa­ cesta­ básica,­ determine­ de­
quantas­maneiras­distintas­podemos­formá-la­de­
modo­ que­ um­ determinado­ produto­ sempre­ seja­
incluído.
	33.	 Se­o­número­de­permutações­simples­de­n­elemen-
tos­é­720,­determine­o­número­de­arranjos­simples­
e­de­combinações­simples­que­podem­ser­formadas­
com­esses­n­elementos,­tomados­2­a­2.­
	34.	 Num­campeonato­de­futebol­com­apenas­um­turno,­
participam­ 32­ times.­ Quantos­ jogos­ serão­ realiza-
dos?
	35.	 Em­uma­festa­de­confraternização­entre­amigos,­to-
dos­se­cumprimentaram­com­um­abraço.­Quantas­
pessoas­compareceram,­se­o­número­de­abraços­foi­
105?
	36.	 Com­ um­ grupo­ de­ quatro­ rapazes­ e­ cinco­ moças,­
quantas­ comissões­ de­ três­ pessoas­ podemos­ for-
mar,­sabendo­que­sempre­deve­haver­a­participação­
de­duas­moças?
	 37.	 (Unifesp)­O­corpo­clínico­de­pediatria­de­certo­hos-
pital­ é­ composto­ por­ 12­ profissionais,­ dos­ quais­
3­ são­ capacitados­ para­ atuação­ junto­ a­ crianças­
que­ apresentam­ necessida­des­ educacionais­ espe-
ciais.­Para­fins­de­assessoria,­deverá­ser­criada­uma­
comissão­ de­ 3­ profissionais,­ de­ tal­ maneira­ que­­
1­deles,­pelo­menos,­tenha­a­capacitação­referida.­
Quantas­comissões­distintas­podem­ser­ formadas­
nestas­condições?
a)­792­ d)­136
b)­494­ e)­ 108
c)­ 369
	38.	 (Fuvest-SP)­ Em­ uma­ classe­ de­ 9­ alunos,­ todos­ se­
dão­bem,­com­exceção­de­Andreia,­que­vive­brigan-
do­com­Manoel­e­Alberto.
	 	 Nessa­ classe,­ será­ constituída­ uma­ comissão­ de­
cinco­alunos,­com­exigência­de­que­cada­membro­
se­relacione­bem­com­todos­os­outros.
	 	 Quantas­comissões­podem­ser­formadas?
a)­71
b)­75
c)­ 80
d)­83
e)­ 87
	39.	 (UFRRJ)­ Deseja-se­ formar­ comissões­ de­ 5­ pessoas­
de­um­grupo­de­5­homens­e­6­mulheres.­Quantas­
comissões­po­derão­ser­formadas­se­em­cada­uma­
haverá,­no­máximo,­uma­mulher?
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	40.	 (Mackenzie-SP) Os números binomiais k 2
3
1d n e 
k 2
5
1d n são complementares, k Ñ N e k . 3. Então, 
k vale:
a) 15 d) 10
b) 5 e) 8
c) 6
	41.	 Calcule o valor dos coeficientes binomiais.
a) 7
5
d n b) 6
3
d n
	42.	 Calcule o valor de x, sabendo que são complemen-
tares: 
a) 
x x
14
2
14
2 1e2 12
d dn n b) 
x x
8
2 1
8
3e2 1
d dn n
	43.	 Determine os elementos da linha 8 do triângulo de 
Pascal.
	44.	 (Vunesp) Se 5( 2)
n n
n3 41 2=
c cm m , então n é igual a:
a) 4 d) 5
b) 6 e) 8
c) 7
	45.	 Determine o valor de:
a) 8
5
6
22
d dn n b) 7
4
7
31
d dn n
	46.	 Utilizando a relação de Stifel, determine o valor de:
a) 15
8
15
91
d dn n b) 8
4
8
51
d dn n
	47.	 Ache o valor de k.
k
10
5
10
6
11
7
12
21 1 22=
d d d dn n n n
	48.	 Uma fábrica de bombons está preparando seu ca-
tálogo para a Páscoa. Pretende-se compor caixas 
com 5 ou 6 sabores de bombons. Considerando que, 
ao todo, essa fábrica produz 8 sabores de bombons, 
 determine quantos tipos de caixas de bombons irão 
compor o catálogo de Páscoa.
	49.	 Determine a soma dos coeficientes numéricos dos 
termos do desenvolvimento de x
y
3
2
9
e o .
	50.	 Encontre, se existir, o termo em y2 no desenvolvi-
mento de .y
y
1
12
12
3
f p
	51.	 Determine, se existir, o termo independente no 
 desenvolvimento de m m
2
1
6
c m .
	52.	 Determine o oitavo termo do binômio a
3
22
7
c m .
	53.	 Determine o valor da seguinte expressão: 
986 1 6 8 985 8 2 1 15 8 984 8 22 1 20 8 983 8 23 1 
1 15 8 982 8 24 1 6 8 98 8 25 1 26
	54.	 (Mackenzie-SP) No desenvolvimento de (2x 2 y)5(2x 1
1 y)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3
b) 9
c) 27
d) 81
e) 243
	55.	 Desenvolva as potências.
a) (x 1 3y)4
b) 
x
y
2
22
2 5
e o
c) p
2
1
1 2
7
d n
	56.	 No desenvolvimento de (p 1 2q2)5, verifique quais 
coeficientes numéricos são iguais.
	57.	 Calcule o termo central do desenvolvimento de 
x x
1
1
6
c m .
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