Conceitos de Cálculo e Conjuntos Numéricos

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CÁLCULO – CONCEITOS 
AULA 1 
Prof. Ricardo Zanardini 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá! Seja bem-vindo à nossa aula! 
Hoje iremos abordar importantes conteúdos de Matemática que serão 
necessários para a resolução de problemas do nosso cotidiano e também 
servirão de base para que possamos ter um bom aproveitamento em outras 
disciplinas do nosso curso. Além dos aspectos teóricos, abordaremos diversos 
problemas práticos para que possamos entender melhor onde os conteúdos que 
vamos estudar podem ser aplicados. 
Nesta aula, estudaremos os conjuntos numéricos e como a criação desses 
conjuntos foi acontecendo com o passar do tempo. Em seguida, estudaremos 
os intervalos numéricos na reta dos números reais. Ainda veremos as 
propriedades algébricas dos números reais. Para finalizar, estudaremos 
conceitos e problemas relacionados à potenciação e à radiciação. 
Para iniciarmos os nossos estudos, é importante que tenhamos uma visão geral 
do que é a Matemática e de quais temas estaremos abordando no decorrer das 
nossas aulas. 
No material on-line, o professor Ricardo Zanardini apresentará os temas que 
serão trabalhados nesta disciplina. Não deixe de conferir! 
CONTEXTUALIZANDO 
Quando trabalhamos com programação de computadores, é muito comum 
precisarmos, em algum momento, fazer a declaração das variáveis que serão 
utilizadas no programa. Uma variável é uma posição de memória que assume 
um determinado conteúdo e que ocupa. 
Por exemplo, na linguagem C, as variáveis são: 
 char para letras e símbolos; 
 int para números inteiros de -32767 a 32767; 
 float para números reais que, nesse caso, podem conter casas decimais 
com seis dígitos de precisão e que vão de -3,4x1038 a 3,4x1038; 
 double com números reais que podem conter casas decimais com dez 
dígitos de precisão e que vão de -1,7x10308 a 1,7x10308. 
 
 
3 
As variáveis ocupam um determinado espaço na memória e por isso é importante 
que a declaração seja feita corretamente. 
 Se precisarmos trabalhar, por exemplo, com uma variável que irá 
armazenar a quantidade de fornecedores de uma indústria, a variável a ser 
utilizada é do tipo int. 
 Para armazenarmos o preço de um determinado produto ou a 
porcentagem de lucro sobre a venda desse produto, a variável deve ser float. 
Há uma relação entre as variáveis e os conjuntos numéricos que veremos no 
decorrer da aula. Uma variável int está associada a números pertencentes ao 
conjunto dos inteiros e uma variável float ou double está associada a elementos 
pertencentes ao conjunto dos números reais. 
TEMA 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A matemática é uma antiga ciência de origem remota e cuja história e áreas de 
atuação são tão vastas que, mesmo após anos e anos de estudos, é 
praticamente impossível aprender tudo o que está relacionado a essa importante 
ciência. 
O significado da palavra matemática tem origem na Grécia e é oriundo da palavra 
mathema, que significa estudo, conhecimento, aprendizagem. Durante muitos 
séculos, os matemáticos também estudavam filosofia, física, engenharia, 
economia, astronomia entre muitos outros temas relacionados a situações do 
cotidiano. 
Podemos afirmar que a matemática é uma ciência que está presente em todas 
as outras. Com o uso da matemática, é possível fazer contagens, calcular custos 
e lucros, estudar o crescimento de populações, determinar a quantidade ideal de 
ingestão de um medicamento, calcular o valor de uma ação trabalhista, planejar 
a produção de uma indústria, determinar a rota ótima de um veículo que precisa 
fazer entregas, projetar moradias, realizar processamento digital de sinais e de 
imagens, desenvolver sistemas cada vez mais modernos que permitem a 
comunicação entre as pessoas, além de muitas outras aplicações importantes. 
O funcionamento de um computador, de um telefone celular ou de uma máquina 
de tomografia computadorizada, por exemplo, baseia-se em importantes temas 
da matemática tais como sistemas de equações, funções trigonométricas e em 
números complexos e muitos outros. 
 
 
4 
Por outro lado, para muitos, a matemática é apresentada como uma disciplina 
difícil, extremamente abstrata e totalmente fora da realidade. Esse fato é no 
mínimo contraditório, pois praticamente todos os temas estudados na 
matemática surgiram da necessidade do ser humano de resolver problemas 
reais cotidianos. 
É claro que, principalmente a partir do século XVIII, houve um grande avanço 
dos estudos relacionados à matemática e, com esse avanço, muitos 
matemáticos desenvolveram teorias que, na época, aparentavam não ter 
aplicações. Um exemplo foi uma álgebra binária desenvolvida por George Boole, 
um matemático inglês, e apresentada, pela primeira vez, em 1847. 
Situações envolvendo os números 0 e 1 já existiam há mais de 2.000 anos, mas 
Boole desenvolveu uma estrutura algébrica binária. Na época ninguém via 
utilidade para um estudo baseado em operações e propriedades relacionadas a 
apenas esses dois números. No entanto, atualmente, o funcionamento de 
qualquer computador é baseado na álgebra de Boole. 
Se hoje é possível escrever textos, enviar e-mails, ouvir música, assistir a vídeos, 
produzir animações gráficas, além de muitas outras funções, devemos isso a 
vários pesquisadores que, com o passar do tempo, foram aprimorando ideias, 
mas, sobretudo, devemos isso ao estudo desenvolvido por Boole no Século XIX. 
Vamos assistir a um vídeo que nos mostra o desenvolvimento dos computadores 
e a relação com os números. 
www.youtube.com/watch?v=9E4sesvzT1M&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCbap
DQ. Acesso em: 30 ago. 2019. 
Mas se a matemática é tão importante e presente em nossas vidas, por que 
muitas pessoas têm dificuldades em estudar e aprender matemática? 
Recentemente um pesquisador inglês chamado Keith Devlin desenvolveu um 
importante estudo sobre isso e, como consequência, escreveu um livro intitulado 
O Gene da Matemática. Nesse livro, Devlin afirma que todas as pessoas 
possuem um instinto para a matemática e são capazes de aprender matemática. 
O que facilita ou dificulta a aprendizagem de algumas pessoas é a capacidade 
de abstração. 
Como exemplo, muitas pessoas resolveram facilmente problemas em que uma 
situação concreta era apresentada. No entanto, quando os mesmos problemas 
eram apresentados, mas de uma forma abstrata, envolvendo variáveis do tipo x, 
y, z, as pessoas apresentavam dificuldades em compreender e em resolver 
 
 
5 
esses problemas. Segundo Devlin, as pessoas conseguem aprender melhor 
quando o que é estudado tem um significado para elas. 
Sabemos que a matemática está presente em praticamente todos os eventos do 
nosso cotidiano. A sua história está diretamente relacionada com a história da 
humanidade. 
Vamos fazer a leitura do texto que nos conta sobre o desenvolvimento da 
contagem e sobre a criação dos conjuntos numéricos que são a base de toda a 
matemática. 
http://www.ifba.edu.br/dca/Corpo_Docente/MAT/EJS/SOBRE_A_HISTORIA_D
OS_NUMEROS.pdf. Acesso em: 30 ago. 2019. 
Vamos agora aprender um pouco sobre a evolução dos números que está 
diretamente relacionada com a evolução da humanidade! 
A origem da matemática está ligada à origem da humanidade. Segundo a 
história, os primeiros indícios da vida humana na terra são encontrados na Idade 
da Pedra, período compreendido entre 5.000.000 e 3.000 a.C. 
No início, os seres humanos estavam organizados em grupos de características 
nômades. A necessidade era buscar novos lugares para se proteger das 
variações climáticas e também na busca de alimentos. De acordo com os 
estudos feitos, era um mundo difícil e hostil. Os principais alimentos eram 
pequenos animais, frutas, castanhas e raízes. As pessoas habitavam espaços 
nas savanas. Os locais do planeta com maior número de habitantes eram as 
regiões conhecidas, atualmente, como África, sul da Europa, sul da Ásia e 
América Central. 
Nessa época surgiram os primeirosrelatos da existência de sistemas primitivos 
de contagem. Alguns registros históricos mostram que há aproximadamente 
50.000 anos os sistemas de contagem eram baseados em uma relação 
biunívoca, ou seja, para cada objeto a ser contado, era feito uma ranhura em um 
pedaço de barro. Também era comum o uso de nós em cordas ou entalhes em 
pedaços de madeira. 
Acredita-se que antes mesmo da fala, os primeiros sons vocais eram utilizados 
para o registro verbal de números. A contagem envolvia desde a quantidade de 
membros de um grupo de pessoas até a quantidade de carneiros em um 
rebanho. O uso dos dedos também era feito para pequenas contagens, em que 
as pessoas dobravam ou esticavam dedos para cada unidade contada. 
 
 
6 
O detalhe é que essas técnicas funcionavam muito bem para pequenas 
quantidades, mas no caso de contagens mais extensas, esse processo teve que 
ser sistematizado. Dentre diversas formas possíveis, a forma de sistematização 
mais utilizada é o que chamamos de sistema posicional. Nesse sistema temos 
um conjunto limitado de símbolos para que possamos representar uma 
quantidade infinita de números. 
Nesse sistema, escolhe-se um número b como base. Todos os números maiores 
ou iguais a b são combinações dos números menores do que b. O nosso sistema 
de numeração é um sistema posicional de base 10. A escolha do número 10 é 
feita de forma conveniente, pois corresponde ao número de dedos das mãos de 
uma pessoa. Os números maiores do que 10 são combinações dos números 
menores do que 10. O próprio 10 é uma combinação de 0 e 1, ambos menores 
do que 10. Nesse caso, com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 é possível 
gerar uma quantidade infinita de números. 
 
Números Naturais (N) 
O primeiro conjunto numérico surgiu da necessidade do ser humano de realizar 
contagens. Esse conjunto numérico é conhecido como conjunto dos números 
naturais e é formado pelos números 1, 2, 3... E representado pela letra N. Por 
isso podemos escrever: 
N = {1, 2, 3, 4,...} 
Alguns autores consideram o número zero como um elemento pertencente ao 
conjunto dos naturais. Neste caso, o conjunto fica assim: 
N = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Durante muito tempo esses números foram utilizados, não só nas contagens, 
mas também na realização de operações tais como adição, subtração, 
multiplicação e divisão. A limitação do conjunto ficou cada vez mais evidente em 
situações em que era necessário subtrair uma quantidade maior do que a 
existente, 7-10, por exemplo. 
 
Números Inteiros (Z) 
Atualmente sabemos que 7-10=-3, mas se considerarmos o conjunto dos 
números naturais, essa operação não é possível. Em decorrência da 
necessidade, foi criado o conjunto dos números inteiros, formado pelos números 
naturais e os respectivos simétricos, além, é claro, do número 0. 
 
 
7 
Assim o número 1 tem o seu simétrico representado por -1, o número 2 tem como 
simétrico o número -2 e assim por diante. O número 5, por exemplo, indica a 
existência de 5 unidades enquanto que o número -5 indica a falta de 5 unidades. 
A representação do conjunto dos inteiros é feita pela letra Z: 
Z = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Números Racionais (Q) 
Com o conjunto dos números inteiros, muitos problemas eram resolvidos. No 
entanto, em relação às divisões, o conjunto dos inteiros apresentava limitações. 
Sabemos que 10/2, por exemplo, é igual a 5. Mas como era possível representar 
divisões cujo resultado não era um número inteiro, tais como 3/4 ou 10/3? Com 
o conjunto dos inteiros, isso não era possível! 
Por isso foi criado um conjunto contendo todos os números que podem ser 
escritos sob a forma de uma razão (divisão). Esse conjunto recebeu o nome de 
conjunto dos racionais e é representado pela letra Q. Um número racional é um 
número da forma a/b onde a e b são números inteiros. A condição é que b seja 
diferente de 0, pois, como sabemos, é impossível dividirmos um número por 0. 






 0,,, bZbZa
b
a
Q 
 
Com o conjunto dos números racionais foi possível representar divisões cujos 
resultados não eram números inteiros. A razão 3/4, por exemplo, na forma 
decimal, corresponde a 0,75 e a razão 10/3 é igual a 3,333333333… 
Observe que no caso da fração 3/4, o resultado é um número decimal com duas 
casas após a vírgula. Em relação à fração 10/3, temos infinitas casas decimais, 
todas iguais a 3. Se dividirmos 3 por 11, o resultado é 0,272727272727... O 
número de casas decimais também é infinito e o padrão de repetição se mantém, 
agora com os algarismos 2 e 7. Esse padrão de repetição é conhecido como 
dízima periódica. 
Trata-se de um número, escrito na forma decimal, que após um determinado 
algarismo, possui um conjunto de algarismos que se repetem, sempre na mesma 
ordem, infinitamente. 
Uma forma simples de representarmos uma dízima periódica é adicionarmos 
uma barra sobre os algarismos que se repetem. Por exemplo: 
27,0...27272727272727,0  
 
 
8 
3,12...33333333333,12  
3412,2...34341234343434,2  
E assim por diante. 
Geometricamente, podemos representar frações como divisões de um 
segmento. Por exemplo, vamos considerar um intervalo entre 0 e 2 e algumas 
frações para ilustrarmos melhor essa representação geométrica: 
 
 
No vídeo a seguir, temos diversas situações onde é possível perceber a 
utilização de razões: 
https://www.youtube.com/watch?v=EKKaofSIrfg&list=UUWhuro_dMp3wVDloVC
bapDQ. Acesso em: 30 ago. 2019. 
 
Números Irracionais (I) 
No Século VI a.C., um importante matemático grego, Pitágoras, desenvolveu 
vários estudos importantes para o desenvolvimento da matemática. Uma de 
suas descobertas foi a relação métrica entre os lados de um triângulo retângulo. 
Pitágoras descobriu que se elevarmos ao quadrado a medida do maior lado do 
triângulo retângulo (hipotenusa), o resultado será igual à soma dos quadrados 
das medidas dos lados menores do triângulo (catetos). Essa observação deu 
origem ao famoso teorema de Pitágoras: 222 cba  . 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Durante muito tempo, acreditou-se que todos os números existentes poderiam 
ser escritos sob a forma a/b. No entanto, se tivermos um triângulo retângulo de 
catetos iguais a 1, pelo teorema de Pitágoras temos que o valor da hipotenusa 
corresponde a 2 , cujo valor é igual a 1,41421356237309... (as reticências 
indicam que há infinitas casas decimais, mas o padrão de repetição encontrado 
nos números racionais não ocorre aqui). 
 
 
 
Para Pitágoras e seus discípulos, a descoberta da existência de pelo menos um 
número irracional foi perturbador e contrário à crença dos pitagóricos, que 
afirmava que tudo dependia dos números inteiros. Matematicamente é possível 
mostrar que 2 não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros. 
Durante muito tempo acreditava-se que 2 era o único número irracional, mas 
com o passar do tempo foi possível mostrar que 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , 
11 , 12 , 13 , 14 , 15 e 17 também eram irracionais. Atualmente, 
sabemos que o conjunto dos irracionais é formado por um número de elementos 
muito maior do que o conjunto dos racionais. 
Vamos entender um pouco mais sobre números irracionais no vídeo a seguir: 
https://www.youtube.com/watch?v=Lv2hivRYCGc Acesso em: 30 ago. 2019 
 
Números Reais (R) 
Como, até o momento, temos dois conjuntos distintos e sem elementos em 
comum: o conjunto dos racionais e o conjunto dos irracionais, nada mais justo 
do que criar um conjunto para agrupar os elementos desses dois importantes 
conjuntos numéricos. E pensando assim, foi criado o conjunto dos números 
reais, formados por números racionais e por números irracionais. 
 
 
10 
 
Podemos escrever, então, que o conjunto dos reais “R”, é a união “símbolo U” 
do conjunto dos racionais “Q” com o conjunto dos irracionais ”I”: 
R = Q U I. 
 
As letras R, Q e I representam, respectivamente, os conjuntos dos reais, 
racionais e irracionais. A letraU indica a união dos conjuntos, ou seja, o 
agrupamento dos elementos de Q e de I em um único conjunto, denotado por R. 
 
A cada número real, temos um ponto associado a uma reta, conhecida como reta 
dos reais, e a cada ponto da reta temos um número real associado. 
 
O símbolo ∞ representa o infinito. Como uma reta possui infinitos pontos 
contínuos, ou seja, não há espaço vazio entre dois pontos consecutivos, o 
conjunto dos reais também é formado por infinitos números consecutivos. Por 
esse motivo, podemos dizer que o conjunto dos reais é contínuo. 
 
Agora vamos determinar a forma decimal dos números racionais , e 
. 
 
1. A forma decimal é obtida pela divisão do valor numérico no numerador pelo 
valor numérico no denominador. Em alguns casos ocorre uma quantidade finita 
de dígitos: 
 = -5,625 
 
 
11 
 
2. Em outros casos, a quantidade de dígitos é infinita, o que leva as dízimas 
periódicas. 
Exemplos: 
 
 e 
 
3. Quando ocorre a repetição de uma sequência de dígitos pode-se utilizar uma 
barra sobre os dígitos da repetição para simplificar a notação, ou seja, nos 
exemplos anteriores pode-se escrever: 
0,1515151515… = e 0135135135135…. = 
 
No material on-line, o professor Ricardo Zanardini irá conversar conosco sobre 
os conjuntos numéricos. Não deixe de acessar! 
TEMA 2 – INTERVALOS NUMÉRICOS 
Quando falamos de números reais, muitas vezes nos deparamos com problemas 
onde não temos necessariamente um único valor, mas sim um conjunto de 
valores que estão dentro de um intervalo. A temperatura, ao longo do dia, por 
exemplo, varia em função do tempo, dentro de um intervalo que vai desde a 
temperatura mínima daquele dia até a temperatura máxima. 
Para auxiliar na compreensão do conceito dos intervalos numéricos, assista ao 
vídeo do professor Ricardo no material on-line! 
Bem, sabemos que o conjunto dos números reais é um conjunto contínuo 
formado por uma infinidade de números (racionais e irracionais) onde cada 
número real está associado a um ponto da reta real e cada ponto dessa reta está 
associado a um número real. 
Além dos números reais estarem associados aos pontos de uma reta, uma outra 
particularidade é que o conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, se 
compararmos dois números reais a e b quaisquer, teremos três possibilidades: 
1°) a é igual a b, ou seja a = b 
2°) a é menor do que b, ou seja, a < b 
 
 
12 
3°) a é maior do que b, ou seja, a > b 
Dessa forma, na reta dos reais, os números à direita do 0 são positivos e 
crescentes e os números à esquerda de 0 são negativos e decrescentes. 
 
Em virtude dessa ordem, podemos afirmar, por exemplo, que 7 > 2 (7 é maior do 
que 2) ou que 5 < 18 (5 é menor do que 18). Também podemos escrever que 4 
= 4 ou que 3 + 5 = 8. 
Mas, além da possibilidade de compararmos números reais, muitas vezes não 
temos necessariamente um número, mas sim uma quantidade de números em 
um certo intervalo. 
Em situações práticas, temos muitos exemplos onde utilizamos intervalos 
numéricos. Podemos citar, por exemplo, a temperatura de armazenamento de 
um determinado produto alimentício (1° C a 5° C), o estoque de um armazém 
(5.000 a 7.000 unidades de um produto), a quantidade de feijão em uma 
embalagem (0,987 kg a 1,013 kg) etc. 
Em uma pesquisa que mede as intenções de voto de um candidato, é muito 
comum termos uma margem de erro em função da amostra escolhida. Por 
exemplo, se um candidato tem 55% das intenções de voto com uma margem de 
erro de 2% para mais ou para menos, na verdade, as intenções de voto desse 
candidato variam de 53% a 57%. É só calcularmos 55% - 2% = 53% e 55% + 2% 
= 57%. Podemos escrever esse intervalo utilizando desigualdades: 
%57%53  x 
Onde x indica a porcentagem de intenções de voto desse candidato. Observe 
que “x“ pode assumir qualquer valor de 53% a 57%, ou seja, os extremos que 
são 53% e 57%, respectivamente estão incluídos. O símbolo  significa “menor 
ou igual” e o símbolo  significa “maior ou igual”. 
Esse intervalo também pode ser representado através da notação de intervalo: 
[53%, 57%] 
ou também graficamente: 
 
 
 
13 
O intervalo que acabamos de ver é chamado de intervalo fechado, pois os 
extremos (53% e 57%) fazem parte das possibilidades. Em alguns casos, temos 
intervalos abertos e intervalos semiabertos, onde um ou os dois extremos não 
fazem parte das possibilidades do problema. 
Para ilustrarmos melhor isso, vamos imaginar um amplificador cujo volume varia 
de 0 a 10. Podemos selecionar qualquer valor dentro desse intervalo. Mas, por 
questões da qualidade do equipamento, há ruídos indesejáveis quando o volume 
está no máximo. Por isso, o objetivo é elevar o volume, mas nunca deixá-lo no 
10. Podemos representar essa situação através de desigualdades: 
100  x 
Observe que se x é o volume do amplificador, ele faria de 0 a 10, podendo 
assumir qualquer valor nesse intervalo, incluindo o 0 (estamos utilizando o 
símbolo  ). No entanto, “x” não pode ser igual a 10. Por esse motivo, estamos 
utilizando o símbolo < no lugar do símbolo  . 
Graficamente esse intervalo é representado com uma bola fechada no zero e 
uma bola aberta no 10. 
 
Dessa maneira, os intervalos podem ser classificados como segue: 
 
[a, b] 
Intervalo 
fechado 
bxa  
 
(a, b) 
]a, b[ 
Intervalo 
aberto 
bxa  
 
[a, b) 
[a, b[ 
Intervalo 
aberto à 
direita e 
fechado à 
esquerda 
bxa  
 
(a, b] 
]a, b] 
Intervalo 
aberto à 
esquerda e 
fechado à 
direita 
bxa  
 
 
 
14 
Nesse exemplo, “a e b” são dois números reais quaisquer e chamados de 
extremos do intervalo. O número “a” também pode ser chamado de limite inferior 
do intervalo e “b” o limite superior do intervalo. 
É importante ressaltar que se estivermos tratando com intervalos que envolvem 
o infinito (-∞ ou ∞), o intervalo no infinito sempre será aberto. Isso se deve ao 
fato de que o infinito não é considerado como sendo um número, pois, por 
definição, número indica uma quantia exata e o infinito indica uma quantia muito 
grande, mas incerta. É impossível afirmar quanto vale o infinito. Por exemplo, o 
intervalo x>2 é representado por (2, ∞) e o intervalo x 4 é representado por (-
∞, 4]. O conjunto dos reais pode também ser representado por um intervalo: (-
∞,∞). 
Vamos ver se você aprendeu a representar corretamente os intervalos? 
 Uma agência de modelos infantis, busca uma criança que tenha no 
máximo 5 anos de idade, para divulgação de vestuário de loja. Deve-se 
considerar que a criança (modelo infantil) possa ser de recém-nascido 
(poucos dias de vida) até 5 anos de idade (inclusive). Tem-se o intervalo 
0 < x < 6 onde os extremos representam valores em anos. No lado 
esquerdo do intervalo usa-se 0 < x pois o modelo infantil (a criança) 
deverá ter pelo menos alguns dias de vida, e no lado direito usa-se x < 6 
pois seriam aceitas crianças até 6 anos incompletos (ou 5 anos e alguns 
meses). 
 A taxa de juros para aquisição de imóveis pelo SFH (sistema financeiro 
de habitação) ficará entre 6,5% e 9,5% ao ano. Neste caso, a palavra 
“entre” indica que os valores de 6,5% e 9,5% não serão incluídos no 
intervalo. Tem-se o intervalo 6,5 < x < 9,5 onde “x” denota a taxa de juros 
anual. 
 Devido à greve dos caminhoneiros, o preço da gasolina, na região de 
Curitiba, está variando de R$ 3,20 a R$ 3,80. Neste caso, “x” representa 
o valor do litro de combustível, que pode ser adquirido a partir de R$ 3,20 
(inclusive) até R$ 3,80 (inclusive). A notação de intervalo correspondente 
é 3,20 ≤ x ≤ 3,80. 
 Os itens à venda na loja de presentes populares têm preços inferiores a 
R$ 30,00. Neste caso, deve-se considerar que algum item possa custar 
alguns poucos centavos ou até algum valor inferior (e não igual) a R$ 
30,00. Escreve-se a solução sendo 0 < x < 30. 
 
 
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TEMA 3 – POTENCIAÇÃO 
Propriedades Algébricas 
A álgebra é um ramo da matemáticaque estuda situações envolvendo variáveis 
e números. Já sabemos que os números são utilizados para que possamos 
representar quantidades finitas. A esses números damos o nome de constante. 
Mas o que são as variáveis? As variáveis são elementos, geralmente 
representados por letras, que indicam quantidades desconhecidas. 
Se comprarmos dois x-salada e pagarmos 10 reais, quanto custou cada x-
salada? Podemos representar o preço do x-salada pela letra x, que é a nossa 
variável, também chamada de incógnita. 
Quando estudamos álgebra, é muito comum nos depararmos com expressões 
algébricas, ou seja, problemas relacionados a operações (soma, subtração, 
multiplicação, potenciação, radiciação...) envolvendo não só as constantes, mas 
envolvendo constantes e variáveis. 
Para que possamos resolver problemas algébricos, é importante conhecermos 
algumas propriedades algébricas dos números reais. 
 
1. Propriedade comutativa 
Os números reais são comutativos, tanto na adição quanto na multiplicação. Mas 
o que isso significa? 
Se somarmos 4+5 ou 5+4, por exemplo, obteremos o mesmo resultado, ou seja, 
4+5=9 e 5+4=9. Por isso podemos dizer que a adição de dois reais é comutativa. 
A troca da ordem dos números não altera o resultado da adição. 
O mesmo ocorre com a multiplicação. Se multiplicarmos 3x5 ou 5x3, iremos obter 
o mesmo resultado: 3x5=15 e 5x3=15. A multiplicação de dois números reais 
gera o mesmo resultado, independentemente da ordem dos números que estão 
sendo multiplicados. 
De uma maneira geral, podemos escrever que: 
a+b=b+a 
e 
a.b=b.a 
Para todo a e b reais. 
2. Propriedade associativa 
Uma propriedade bastante interessante dos números reais é a chamada 
propriedade associativa em relação à adição e à multiplicação. 
 
 
16 
Se tivermos que somar três números tais como 2+5+8, por exemplo, podemos 
somar 2+5 primeiro, que é igual a 7 e, em seguida, somarmos esse resultado 
com 8, totalizando 15. 
Também é possível somarmos 5+8 primeiro, que resulta em 13 e, em seguida, 
somarmos 13 com 2, cujo resultado também é igual a 15. Ou seja, se alterarmos 
a ordem dos números que estamos somando, o resultado permanece o mesmo. 
De uma forma simplificada, podemos dizer que (2+5)+8=2+(5+8) ou, 
generalizando, (a+b)+c=a+(b+c). O mesmo vale para a multiplicação de números 
reais: (a.b).c=a.(b.c). Essa propriedade permite alterarmos a ordem dos números 
que estamos somando ou dos números que estamos multiplicando sem 
alterarmos o resultado final. 
3. Propriedade do elemento neutro 
Tanto na adição quanto na multiplicação temos a existência do elemento neutro. 
Mas o que é um elemento neutro? Matematicamente, o elemento neutro é aquele 
que não altera o resultado de uma operação. 
Na adição o elemento neutro é o 0 (zero) pois, qualquer número somado com 0 
é igual ao próprio número. Por exemplo, 4+0=4, 8+0=8, 122+0=122 e assim por 
diante. 
Em relação à multiplicação, o elemento neutro é o número 1 (um). Qualquer 
número real multiplicado por 1 resulta no próprio número. Podemos citar, como 
exemplo, 33x1=33, (-3)x1=(-3), 6x1=6. Logo, podemos dizer que a + 0 = a e a . 1 = 
a ou a x 1 = a, onde “a” é um número real. 
4. Propriedade do elemento inverso 
Além do elemento neutro, temos a existência dos inversos aditivo e multiplicativo. 
Na adição, o inverso de um número “a”, também conhecido como oposto de “a”, 
é o número “–a”, ou seja, o inverso aditivo de 2 é o -2, o inverso aditivo do 5 é o 
-5, o inverso aditivo do -4 é o –(-4)=4, ou seja, o inverso aditivo do -4 é o 4. 
Mas por que isso? 
No conjunto dos reais, a soma de um número com o seu inverso aditivo resulta 
no elemento neutro. Isso quer dizer que 2+(-2)=0, 3+(-3)=0 -4+4=0. Em relação 
à multiplicação, o significado do elemento inverso é bem parecido com o da 
adição. 
Na multiplicação de um número real pelo seu inverso multiplicativo, o resultado 
é o neutro da multiplicação que é o número 1. Por isso o inverso multiplicativo 
de um número real “a” é igual a 1/a, pois (a.1)/a=1 com a  0. Como exemplo, 
 
 
17 
temos que o inverso multiplicativo de 2 é 1/2, o inverso multiplicativo de 5 é 1/5, 
o inverso multiplicativo de 3/7 é 7/3, o inverso multiplicativo de -6 é -1/6. 
5. Propriedade distributiva 
Finalmente, a última propriedade dos reais a ser estudada é a propriedade 
distributiva, onde é possível afirmar que a.(b+c)=a.b+a.c. Por exemplo, 
3.(x+y)=3.x+3.y e 4.(5+7)=4.5+4.7. 
As propriedades dos reais são muito úteis na resolução de equações, fatoração 
e outros problemas relacionados à matemática. 
Bom, agora que já vimos as propriedades dos números reais, vamos estudar a 
potenciação. Veremos o que é, quais são as suas propriedades e algumas das 
aplicações. 
 
Potenciação 
Muitas vezes nos deparamos com problemas em que é necessário 
multiplicarmos uma sequência de números iguais. Quando isso ocorre, é 
possível utilizarmos a potenciação. 
Na matemática financeira a potenciação é utilizada para que possamos calcular 
o acumulado de uma dívida que sofre uma incidência constante de juros a cada 
período de tempo, calculado sempre sobre o valor atualizado dessa dívida. Para 
ilustrarmos melhor, vamos imaginar que a dívida de uma pessoa dobra de valor 
a cada ano. Supondo que a dívida inicial é de R$ 100,00, temos a seguinte 
situação: 
 
De um modo geral, podemos dizer então que a potenciação é uma sequência de 
multiplicações de “n” fatores iguais. O número “n” é chamado de expoente, o 
fator que se repete é chamado de base e o resultado das multiplicações é 
chamado de potência. 
A seguir, alguns exemplos de potências: 
a) 32=3.3=9 
b) 53=5.5.5=125 
c) (-3)2=(-3).(-3)=9 
 
 
18 
d) -32=-3.3=-9 
 
É importante ressaltar que no caso da potência (-3)2, a base tem sinal negativo. 
Por isso utilizamos a regra de sinais que diz que a multiplicação de dois números 
negativos resulta em um número positivo. No caso da potência -32, estamos 
elevando o número 3 ao quadrado. O sinal negativo é de toda a expressão, e 
não da base. Por isso que o resultado permanece negativo. 
 
Para que possamos resolver problemas algébricos, é importante conhecermos 
algumas propriedades algébricas dos números reais. 
 
1. Potência elevada a 0 
Todo número real diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1. 
a0 = 1, a ≠ 0. 
 
Exemplificando, pela propriedade da divisão de potências de mesma base, 
temos que: 
 
Mas observe que se calcularmos as potências, temos: 
 
Logo, 20 = 1. E isso vale para qualquer real diferente de zero. 
 
É importante ressaltar que 00 é uma indeterminação. Isso ocorre por que há um 
conflito de regras. Sabemos que 0 elevado a qualquer número é igual a 0 e 
qualquer número elevado a 0 é igual a 1. Mas e 00 é igual a 0 ou igual a 1? Como 
não é possível encontrar uma resposta para essa pergunta, dizemos que 00 é 
uma indeterminação. 
 
2. Potência de expoente negativo 
Uma potência de expoente negativo é igual ao inverso multiplicativo da mesma 
potência, mas com o expoente positivo: 
 
 
19 
0,
1
 a
a
a
n
n
. 
Como exemplo, temos que: 
a) 
3
3
5
1
5 
 
b) 
4
4
2
1
2 
 
c) 
 
 7
7
6
1
6



 
 
3. Multiplicação de potências de base diferente 
A potência de um produto é o produto das potências: 
  nnn baba ..  . 
Como exemplo, temos: 
a)  
222 5.35.3  
b)  
444 .. yxyx  
 
4. Divisão de potências de base diferente 
A potência de um quociente é o quociente das potências: 
n
nn
b
a
b
a






. 
Podemos exemplificar essa propriedade da seguinte forma: 
a) 
4
44
5
3
5
3






 
b) 
2
22
q
p
q
p






 
 
5. Potência de um expoente fracionário 
Quando o expoente de uma potência é uma fração resulta em uma raiz cujo 
índice é o denominador da fração, e o numerador é a potência interna no 
radicando: 
 
 
20 
 
Por exemplo: 
 
 
 
6. Potência elevada a 1 
Todo númeroelevado a 1 terá como resultado ele mesmo. 
a1 = a 
7. Multiplicação de potências de mesma base 
Na multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base e somamos os 
expoentes: 
nmnm aaa . 
Por exemplo, 
53232 222.2   pois 

5
22
32 22.2.2.2.22.2
32

. 
Essa propriedade é muito utilizada quando estamos trabalhando com 
multiplicações de potências onde a base é um valor desconhecido. Se tivermos 
que multiplicar 
3x por 
4x , o resultado será 
7x , pois 
74343 . xxxx   . 
 
 
8. Divisão de potências de mesma base 
Na divisão de potências de mesma base, devemos repetir a base e subtrair os 
expoentes: 
nm
n
m
a
a
a 
 
É fácil perceber que isso ocorre de fato. Vamos ver o seguinte exemplo: 
2.2.2
2.2.2.2.2
2
2
3
5

. 
Simplificando numerador com denominador, temos: 
 
 
21 
222.2
2.2.2
2.2.2.2.2

 
Ou seja, 
42.222
2
2 235
3
5
 
. 
Logo, se tivermos que dividir 
8x por 
3x , por exemplo, o resultado será 
5x , pois 
538
3
8
xx
x
x
 
. 
 
9. Potência de uma potência 
Na potência de uma potência, repete-se a base e multiplicam-se os expoentes: 
(am)n = a(m . n) 
 
a. (23)4 = 23 . 4 = 212 
b. (x5)2 = x5 . 2 = x10 
 
Para saber mais, acesse: https://www.youtube.com/watch?v=CTSx-
AoBlEo&index=125&list=PLf4asln_6hSeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc. Acesso 
em: 2 set. 2019. 
 
Chegou a hora de praticar. Usando as propriedades da potenciação, simplifique 
as expressões abaixo, depois clique sobre elas e veja a resolução completa! 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Notação científica 
Em algumas áreas do conhecimento que trabalham com quantias muito grandes 
ou com quantias muito pequenas, é comum o uso de potências para que os 
cálculos sejam feitos de maneira mais simples. 
 
 
22 
 
Observe: 
365.000 = 3,65 × 100.000 = 3,65 × 105 
0,7=7÷10=7 × 10(-1) 
 
Vamos agora assistir a um vídeo sobre notação científica e potências de 10: 
https://www.youtube.com/watch?v=4UfGn3FLtQY&index=24&list=PLf4asln_6h
SeN868g8mXhAAQfQV6L1nsc Acesso em: 2 set. 2019. 
 
 
Se tivermos que efetuar a multiplicação de 4000000 por 3700000000 para depois 
dividirmos o resultado por 2800000, teremos muito trabalho. No entanto, se 
utilizarmos a notação científica e algumas propriedades das potências, tudo fica 
mais fácil. Observe: 
 
   
 6
96
10X8,2
10X7,3X10X4
2800000
3700000000X4000000

 
 
O próximo passo é agruparmos os números (realizando as multiplicações e 
divisões) e as potências de 10 (utilizando as propriedades da potenciação): 
   
 
69610X
8,2
7,3X4  
   
 
529000000010X29,510X
8,2
7,3X4 99  . 
A notação científica é a maneira utilizada para representar valores muito 
elevados ou muito pequenos, onde surge uma quantidade considerável de 
dígitos nulos antes ou depois do digito significativo (não-nulo). Para escrever os 
valores com notação científica, usamos as potências de 10 como fator 
multiplicativo junto aos dígitos não nulos, de maneira que o valor a ser denotado 
deve estar entre 0 e 10 (intervalo aberto nestes extremos). 
 
Vamos praticar? Usando a notação científica, expresse as grandezas abaixo 
(clique sobre elas e veja o resultado). 
 
 
 
23 
a) A massa de um nêutron é de aproximadamente 0,000 000 000 000 000 000 
000 001 672 gramas. 
Resposta: 
1,672 . 10-24 g 
 
b) Um ano-luz (distância que a luz viaja em um ano) é de aproximadamente 
9.500.000.000.000 km. 
Resposta: 
9,5 . 1012 Km 
 
c) A carga elétrica de um elétron (dada em Coulombs) é de -0,000 000 000 000 
000 000 160 21. 
Resposta: 
-1,6021 . 10-19 C 
 
Usando a notação científica, calcule os valores correspondentes às expressões 
abaixo: 
 
 
b) 2,38 . 108 . 4,22 . 10-7 . 3,41 . 10 4 
Para facilitar a obtenção dos resultados, é conveniente agrupar as partes com 
as constantes e agrupar as partes do número que envolvam as potências de 10, 
e operar com cada grupo separadamente. 
 
Resolução: 
 
 
Fazendo a multiplicação de 1,37 por 3,18 resulta 4,3566 que dividido por 4,15 
resulta 1,04978... com aproximação para 1,05 (utilizando duas casas decimais). 
Para as potências de 10, usa-se as propriedades relativas a multiplicação de 
 
 
24 
potências de mesma base 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 e de divisão de potências de mesma 
base 𝑎𝑚/𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 simultaneamente, resultando: 
 
E por fim, juntando as duas partes tem-se o resultado 1,05 . 104. 
 
Para este caso, agrupando as constantes, tem-se 2,38 . 4,22 . 3,41 resultando 
34,248676. Para as potências de 10, tem-se 108 . 10−7 . 104 que resulta 108 . 
10−7 . 104 = 10(8)+(−7)+(4) = 105. 
O resultado obtido é 34,248676.105. Este resultado apresenta um problema em 
sua apresentação, pois a parte relativa a constante na notação científica deve 
ser um valor do intervalo 0 < C < 10. 
Reescrevendo o valor de 34,248676 como sendo 3,4248676.101 o valor obtido 
será 3,4248676.101.105 onde as potências de 10 devem ser agrupadas. 
Usando a propriedade 𝑎 𝑚. 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛 resulta como solução da questão 
3,4248676.106. Considerando que os valores iniciais foram expressos com 
apenas duas casas decimais, pode-se fazer o arredondamento do valor obtido 
para 3,42.106. 
Para entendermos melhor, vamos imaginar a seguinte situação: uma pessoa 
pagou com 10 meses de atraso a fatura do cartão de crédito cujo valor inicial era 
de R$ 1.676,30. Se os encargos financeiros correspondem a 16% ao mês, 
determine o total pago em decorrência do atraso. 
 
Para resolvermos o problema, o primeiro passo é determinarmos quais são os 
termos conhecidos. O capital é o valor original da fatura, nesse caso, R$ 
1.676,30. O tempo corresponde a 10 meses e a taxa de juros, nesse caso, 
encargos financeiros, é igual a 16% que, na forma decimal, equivale a 0,16. O 
montante é o valor que estamos querendo calcular. Portanto: 
C = 1.676,30 
n = 10 meses 
i = 16%=0,16 ao mês 
 
 
25 
M = ? 
Agora que já temos os valores, basta substituirmos cada um deles na fórmula: 
 niCM  1. . 
 1016,01.30,1676 M 
 1016,1.30,1676M 
 411435079,4.30,1676M 
89,7394M 
Logo, o total a ser pago pela fatura, em função do atraso, é de R$ 7.394,89. 
 
Muitos problemas que estudaremos durante a nossa disciplina podem ser 
resolvidos devido às propriedades dos números reais. Mas quais são essas 
propriedades? Assista à videoaula, disponível no material on-line para saber! 
 
TEMA 4 – RADICIAÇÃO 
Assim como a potenciação, a radiciação serve para simplificarmos expressões 
matemáticas. A operação inversa à potenciação e conhecida como radiciação. 
Por exemplo, a raiz quadrada de 16 é igual a 4 pois 42=16. Podemos representar 
a raiz quadrada de 16 como . Note que (-4)2também é igual a 16, pois (-4) 
× (-4) = 16. Por isso, podemos ter como resultados da raiz quadrada de 16 os 
valores 4 ou -4. Por convenção, iremos considerar como resultado de uma raiz 
de índice par o número positivo. 
Assim como na potenciação, é possível utilizarmos as propriedades da 
radiciação para simplificarmos expressões matemáticas. Também temos 
diversas aplicações da radiciação relacionadas a problemas do cotidiano. Em 
particular, estaremos vendo aplicação relacionada à matemática financeira. 
Considerando = b ↔ bn = a, com a ≥ 0, onde “a” é o radicando, n é o índice 
e b é a raiz n-ésima de a, quando n é impar, temos uma única raiz real. Por 
exemplo, , pois 23=8. Observe que , pois (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -
8. Quando o índice n de uma raiz é um número par, temos duas raízes reais, 
uma com o sinal positivo e outra com o sinal negativo. No entanto, não existe 
raiz real de um número negativo quando o índice for par. Por exemplo, não existe 
 
 
26 
raiz real de , pois não há um número real que, elevado ao quadrado, resulte 
em 16. Problemas que envolvem raízes de índice par e radicando negativo 
podem ser resolvidos utilizando o conjunto dos números complexos. 
 
A radiciação é útil em muitos problemasreais. Alguns exemplos: na matemática 
financeira a raiz n-ésima é utilizada para calcular a taxa composta de juros. 
 
Podemos também utilizar uma raiz quadrada para determinarmos a medida do 
lado de uma sala quadrada sabendo qual é a sua área ou utilizarmos a raiz 
cúbica para determinarmos o valor de cada aresta de um cubo sabendo a medida 
do seu volume. 
 
Em situações mais avançadas também é possível utilizarmos raízes n-ésimas 
como, por exemplo, na computação gráfica e no processamento digital de sinais 
e de imagens. 
 
Propriedades da radiciação 
 
Para que possamos resolver problemas envolvendo radiciação, é importante 
conhecermos as propriedades dos radicais. Supondo que a e b são números 
reais, e m e n são números positivos e inteiros maiores do que 1, temos: 
 
1. Raiz e-ésima de um produto: 
A raiz de índice “n” de um produto pode ser resolvida como sendo o produto das 
raízes de índice “n”. 
nnn baba ..  
 
Essa propriedade é muito importante quando pudermos simplificar expressões 
que estão sob o radical. Por exemplo: 
xxx 2.44  
 
2. Raiz de um quociente: 
 
 
27 
A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente das raízes de índice n. 
0,  b
b
a
b
a
n
n
n
 
 
 
 
Como exemplo: 
3
3
3
y
x
y
x

 ou 
3
5
15
5
15

 
 
3. Raiz de raiz: 
Para calcularmos a raiz n-ésima de outra raiz, basta multiplicarmos os índices 
das raízes. 
nmm n aa . 
 
Por exemplo: 
124.33 4 303030  
 
4. Potência de expoente “n” de raiz n-ésima: 
Se uma raiz de índice “n” está elevada a um expoente também igual a “n”, o 
resultado é o próprio radicando. 
  aa nn  
Podemos exemplificar essa propriedade como segue: 
  77 1010  
 
5. Raiz de uma potência: 
O expoente do radicando pode ser escrito como expoente da raiz. 
 mnn m aa  
 
 
28 
Para exemplificarmos a propriedade,  233 2 44  
 
6. Raiz n-ésima de potência de expoente “n”: 




ímpar é se ,
par é se ,
na
na
an n 
Relembrando, o símbolo | | indica módulo. Matematicamente, o módulo de um 
número representa esse número desprovido de sinal. Por exemplo, |-2| = 2 e |2| 
= 2. 
 
Podemos simplificar o expoente do radicando com o índice da raiz, mas sempre 
cuidando com a questão de que toda potência de expoente par, independente 
do sinal da base, tem como resultado um número positivo. Por exemplo: 
  3334 4  e   335 5  . 
 
Uma relação importante entre radicais e potências é que quando temos um 
expoente fracionário, podemos escrever essa potência, de forma equivalente, 
sob a forma de raiz, como segue: 
n mn
m
aa  . 
Em particular, nn aa 
1
. 
Por exemplo, 4 34
3
88  e 33
1
1313  . 
 
É muito comum utilizarmos raízes de índice “n” na matemática financeira, quando 
conhecemos o capital, o montante e o tempo e queremos encontrar a taxa de 
juros compostos que foi utilizada. A fórmula da taxa é 
1 n
C
M
i 
Onde “i” é a taxa de juros, “n” é o tempo, “M” é o montante e “C” é o capital. 
 
Vamos imaginar que uma pessoa estava devendo R$ 100,00 para uma 
instituição financeira e que depois de 12 meses pagou R$ 313,84 para quitar 
essa dívida. Nessas condições, qual foi a taxa mensal de juros compostos? 
 
 
 
29 
Para resolvermos esse problema, temos os seguintes dados: 
C = 100,00 
M = 313,84 
n = 12 meses 
i = ? 
 Substituindo os dados na fórmula 1 n
C
M
i , temos: 
1
100
84,313
12 i 
131384,312 i 
1099999,1 i 
099999,0i 
 
Para escrevermos essa taxa na forma de porcentagem, basta multiplicarmos o 
resultado por 100. Logo, 0,099999X100 = 9,9999% ao mês ou, arredondando, a 
taxa utilizada foi de 10% ao mês. 
 
 
Usando as propriedades da Radiciação (ou potência fracionária), simplifique as 
expressões exponenciais. 
 
 
 
 
Usa-se inicialmente a propriedade relativa a produto de potências de mesma 
base 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 para o numerador da expressão acima. Tem-se que somar os 
expoentes, ou seja, 2/3 e 3/4 e para isto emprega-se o mínimo múltiplo comum 
(m.m.c.) para o trabalho com frações. 
 
O mínimo múltiplo comum é obtido pelo produto de todos os números primos 
que ocorrerem na decomposição dos denominadores, tomados com a maior 
 
 
30 
potência. Este valor pode ser facilmente obtido pela decomposição de cada um 
dos denominadores como produto de números primos. 
 
Assim tem-se o 𝑚𝑚𝑐 (3; 4) = 22.3 = 4.3 = 12. 
 
Agrupando-se as duas frações com denominadores diferentes, em uma única 
fração com o denominador sendo igual ao mínimo múltiplo comum (12) entre os 
denominadores iniciais (3 e 4). 
 
Para reescrever a fração equivalente a inicial, divide-se o novo denominador (12) 
pelo denominador inicial de cada fração, e o resultado obtido é multiplicado pelo 
valor do numerador da fração. 
 
 
Tem-se a expressão reescrita como: 
 
 
Com a propriedade relativa a divisão de potências de mesma base 𝑎𝑚/𝑎𝑛 = 𝑎𝑚-𝑛 
tem-se: 
 
Novamente com o emprego do cálculo do m.m.c. para a subtração das frações 
que se apresentam no expoente, resulta: 
 
Por fim, o resultado será: 
 
 
 
 
 
 
31 
Considerando as propriedades: (𝑎.𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛.𝑏𝑛 e (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 aplicadas ao 
numerador e ao denominador tem-se: 
 
 
 
Este resultado pode ser simplificado utilizando a propriedade 𝑎𝑚/𝑎𝑛 = 𝑎𝑚-𝑛 
obtendo: 
 
 
 
 
Agora, simplifique a expressão removendo fatores do radicando. 
 
a) 
 
Resolução: 
Pode-se utilizar a propriedade de radiciação e aplicar a 
expressão para obter: 
 
O primeiro radical envolve um número irracional (√𝟐), portanto não é possível ser 
removido. 
 
O segundo radical apresenta possibilidade de remoção do fator, pois o expoente 
da potência interna é maior (e múltiplo) do índice da raiz. Pode-se escrever: 
 
 
Similarmente para o último radical, é possível fazer a remoção do fator no 
radicando. 
 
Tem-se então: 
 
 
32 
 
 
b) 
Empregando a propriedade pode-se separar em 4 partes a 
expressão, e analisar cada uma separadamente. 
 
 
Em relação a pode-se reescrever o radicando como sendo que pode 
ser simplificado devido a potência interna ser a mesma do índice da raiz, 
resultando apenas 3 para este fator. 
Em relação a pode-se tornar o radicando como de maneira que 
a primeiro expoente seja múltiplo (ou igual) ao índice da raiz e o outro expoente 
seja menor que o índice da raiz. Pode-se então aplicar outra vez a propriedade 
citada, e obter: 
 
 
Em relação a tem-se o expoente interno maior que o índice da raiz que 
pode ser reescrito por de maneira que o primeiro expoente 
interno seja múltiplo do índice da raiz e o outro expoente seja menor que o índice 
da raiz, o que permite separar em duas raízes tal que: , 
resultando . 
 
O resultado é composto por cada uma das análises feitas, de forma que: 
 
 
Organizando a apresentação do resultado tem-se: 
 
 
 
 
33 
Acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Ricardo, no qual ele 
irá nos mostrar as propriedades e aplicações da radiciação. 
Nesta aula, vimos que a matemática está presente em diversas situações do 
nosso cotidiano e que a sua origem vem desde a pré-história. 
Aprendemos, ainda, quais são os conjuntos numéricos que serão utilizados na 
nossa disciplina e o que são intervalos numéricos. 
Aprendemos as propriedades dos números reais além da potenciação e da 
radiciação. 
Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temas 
estudados. Se necessário, retome os conteúdos abordados e refaça os 
exercícios propostos. Para que possamos avançar nos nossos estudos, é 
importante que os assuntos vistos até aqui estejam bem assimilados e que as 
possíveis dúvidas tenham sido esclarecidas. 
NA PRÁTICA 
Chegou o momento de colocarmos em prática o que vimos até agora. Vamos 
utilizar alguns dos conhecimentos adquiridos até aqui para resolvermos o 
seguinte problema: 
Uma indústria de móveisplanejados está desenvolvendo um software próprio 
para os projetos que serão executados. 
Além da montagem e da visualização renderizada dos móveis, também será 
possível gerar o preço de custo com base nos materiais a serem utilizados e 
também o preço de venda levando em consideração a porcentagem de lucro 
esperada, a comissão do vendedor e os impostos. 
O programa será desenvolvido em linguagem C e a equipe de programação 
precisa definir que tipo de variável será utilizada para cada informação. 
Sabemos que as variáveis reais, conhecidas como variáveis do tipo float são 
utilizadas quando temos informações que envolvem números decimais, tais 
como “4,5”, “-12,898”, e assim por diante. 
 
 
34 
As variáveis inteiras ocupam menos espaço na memória do computador e são 
utilizadas quando trabalhamos com quantidades inteiras, ou seja, que não serão 
escritas na forma decimal. 
No caso do software para essa indústria, serão consideradas as quantidades 
necessárias de corrediças para as gavetas, de cantoneiras, puxadores, entre 
outros. Também será necessário a quantidade em metros quadrados de vidro, 
madeira, espelhos, etc. A variável associada a cada um desses elementos deve 
estar de acordo com o tipo de número a ser utilizado: inteiro ou real. 
Após ler atentamente o caso, realize o exercício a seguir. 
Para que seja possível declarar corretamente as variáveis, indique se cada uma 
das variáveis associadas aos seguintes elementos é real (float) ou inteira (int). 
I. metros quadrados de madeira ( ) 
II. puxadores ( ) 
III. metros quadrados de vidro branco ( ) 
IV. metros quadrados de espelho ( ) 
V. corrediças para gavetas ( ) 
VI. parafusos ( ) 
VII. cantoneiras ( ) 
VIII. impostos, em porcentagem ( ) 
IX. margem de lucro esperada, em porcentagem ( ) 
X. comissão do vendedor, em porcentagem ( ) 
 
 
 
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SÍNTESE 
Chegamos ao final da aula! 
Nessa aula, vimos que a matemática está presente em diversas situações do 
nosso cotidiano e que a sua origem vem desde a pré-história. Aprendemos sobre 
os conjuntos numéricos, o que são intervalos numéricos e também as 
propriedades dos números reais, além da potenciação e da radiciação. 
Para que possamos melhorar ainda mais a nossa aprendizagem, é muito 
importante que você leia os capítulos 1 e 2 da obra Pré-Cálculo dos autores 
Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a 
edição, editora Pearson. 
Aproveite a oportunidade e resolva os exercícios propostos que estão no final 
dos capítulos. Para saber se as suas respostas estão de acordo com o esperado, 
o gabarito se encontra no final do livro, a partir da página 331. 
Esperamos que você tenha aprendido da melhor forma possível os temas 
estudados! 
Se necessário, retome os conteúdos abordados e refaça os exercícios 
propostos. Para que possamos avançar nos nossos estudos, é importante que 
os assuntos vistos até aqui estejam bem definidos e que as possíveis dúvidas 
tenham sido esclarecidas. 
Até a próxima! 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2a Ed, 
São Paulo, Pearson, 2013. 
 
GABARITO 
I. Real 
II. Inteira 
III. Real 
IV. Real 
V. Inteira 
VI. Inteira 
VII. Inteira 
VIII. Real 
IX. Real 
X. Real