Relatório Perfil de Temperatura em Barras de Seção Circular Uniforme - Convecção Natural

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PERFIL DE TEMPERATURA EM BARRAS DE SEÇÃO CIRCULAR UNIFORME - CONVECÇÃO NATURAL
Alexandra Petry¹, Daniela Borges Gonçalves¹.
1Curso de Engenharia Química. Universidade do Sul de Santa Catarina. 
Palavras Chave: convecção natural, transmissão de calor, aletas infinitas, barras metálicas.
 Universidade do Sul de Santa Catarina
 Unidade Acadêmica de Ciências Tecnológicas
 Curso de Graduação em Engenharia Química 	 	 
Disciplina de Laboratório de Fenômenos e Operações de Transferência de Calor
Professora: Camila da Silva Gonçalves
Introdução
O modo de transferência de calor por convecção é composto de dois mecanismos. Além da transferência de calor devido ao movimento aleatório molecular (difusão), a energia também é transferida através do movimento global, ou macroscópico, do fluido. Esse movimento do fluido é associado ao fato de que, em qualquer instante, um grande número de moléculas está se movimentando coletivamente ou na forma de agregados de moléculas. Tal movimento, na presença de um gradiente de temperatura, contribui para a transferência de calor (INCROPERA, et al 2008). 
A transferência de calor geralmente ocorre em combinação com outras operações unitárias, como a secagem de madeira ou alimentos, destilação de álcool, queima de combustível e evaporação, a qual ocorre devido a uma diferença de temperatura entre os meios (GEANKOPLIS, 1993).
 	Segundo ÇENGEL, (2009) neste tipo de transferência de calor, há troca de calor entre uma superfície solida e uma liquida adjacente ou um gás adjacente, que está em movimento.
Dependendo da natureza do escoamento, a convecção pode ser classificada como forçada ou natural (INCROPERA, et al 2008).
 	A convecção natural é um processo de transferência de calor, onde a energia térmica muda de local acompanhando o deslocamento da própria substância aquecida. Diferente do processo de condução, onde somente a energia térmica se propaga e as partículas do material permanecem em suas posições de equilíbrio. Na convecção, a energia transfere-se acompanhando as partículas aquecidas da substância (INCROPERA, et al 2008).
 Considerando a velocidade de escoamento, a convecção natural possui taxas de transferência de calor muito menor, do que comparada a convecção forçada. No entanto, quando for desejável tornar mínimas as taxas de transferência de calor, ou minimizar os custos operacionais a convecção natural é muitas vezes preferível a convecção forçada (INCROPERA, 1992).
A transferência de calor por convecção pode ser caracterizada a partir de determinados parâmetros adimensionais. São eles: número de Prandtl, número de Nusselt e número de Rayleigh. As correlações adimensionais são determinadas pelo método de Buckigham, que consiste em juntar as variações relevantes (densidade, viscosidade, entre outras) e as substitui por um número menor de variáveis (comprimento, massa e tempo) para assim reduzir o número de fatores do sistema, e criar uma relação adimensional (FOX, et AL 2004).
De acordo com YOUSEFI, (2007) O estudo da transferência de calor por convecção natural de cilindros na horizontal é assunto de muitas discussões e pesquisas, devido ao fato de suas numerosas aplicações na engenharia, como aquecer ou refrigerar líquidos que precisam ser bombeados, refrigerar equipamentos eletrônicos ou refrigerar condensadores de um refrigerador ou aquecimento de algum espaço.
O número de Prandtl (Pr) representa a razão entre a difusividade de momento (viscosidade cinemática) e difusividade térmica, sendo uma medida da eficiência dessas transferências nas camadas limites hidrodinâmica e térmica. Ele é necessário para estimativa do número de Nusselt (Nu), importante parâmetro para determinação do coeficiente de transferência de calor por convecção e por condução no fluido. Para os casos de convecção natural, é necessário definir também o número de Rayleigh, que é o produto dos números de Grashof e de Prandtl (INCROPERA, et AL 2006).
Para calcular o coeficiente de convecção de uma barra circular, submetida a bruscas variações de temperatura nos extremos, considera-se o fluxo de calor como sendo unidimensional. Neste sentido, a Equação 1 fornece a seguinte relação:
(1) 
As condições de contorno adotadas na resolução da Equação 1, assumindo a condição de aletas infinitas são:
I. No tempo, Considera-se T=T∞, para t=0;
II. Na posição, para x=0, toma-se T=
A solução para a condição de contorno acima, adotando regime permanente, apresenta-se como:
(2) 	
O coeficiente de transferência de calor pode ser calculado pela Equação 3:
(3) 
Já o coeficiente convectivo é dado por número adimensional de Nusselt, que pode ser determinado por algumas correlações empíricas:
(4) 
Para um cilindro semi-infinito, tem-se que o número de Nusselt médio é função do número de Prandtl e de Rayleigh da seguinte forma:
(5) 
Onde o número de Rayleigh (Ra) é dado por:
(6) 
E o número de Grashof (Gr) por:
(7) 
E o número de Prandtl (Pr) por:
(8) 
Como β sendo:
(9) 
E sendo:
(10) 
E por fim, o erro:
(11) 
	
O experimento teve os seguintes objetivos: determinar o perfil de temperatura ao longo de barras de seção circular uniforme, de materiais e diâmetros diferentes; analisar o comportamento do sistema até atingir o regime permanente de transferência de calor; determinar o coeficiente convectivo natural médio de transferência de calor entre as barras e o ar ambiente e comparar com os valores da literatura.
Metodologia
O experimento foi realizado no Laboratório de Transferência de Calor da Universidade do sul de Santa Catarina (UNISUL).
O equipamento utilizado no experimento é uma bancada contendo um módulo com quatro aletas (barras circulares) com sensores ópticos que deslizam sobre elas, onde é possível determinar a temperatura em pontos diferentes da superfície das mesmas.
Os objetos de análise foram quatro aletas distintas: 
· Aleta A: Aço inox com diâmetro igual a 25,4 mm;
· Aleta B: Aço inox com diâmetro igual a 12,7 mm;
· Aleta C: Alumínio com diâmetro igual a 12,7 mm;
· Aleta D: Cobre com diâmetro igual a 12,7 mm;
 As aletas estavam inseridas em uma das extremidades em um banho termostático que continha água (fonte quente) com um controlador de temperatura.
Antes de iniciar o experimento verificou-se o recipiente do banho termostático estava cheio de água, com o nível atingindo o sensor. Enquanto as aletas estavam em equilíbrio com a temperatura ambiente, foi feito as leituras ao longo de todas as quatro aletas, através dos sensores ópticos.
Os ensaios foram feitos em duas temperaturas diferentes, 51,3 °C e 90,0 °C, com as seguintes posições: 2 cm, 7 cm, 12 cm, 17 cm, 22 cm, 27 cm, 37 cm, 47 cm, 57 cm, 67 cm, 87 cm, 97 cm e 107 cm.
Para a realização dos ensaios, a temperatura foi regulada para 51,3 °C, esperou-se em torno de 10 minutos para atingir o regime permanente de transferência de calor ao longo de todas as barras. Anotou-se as temperaturas em cada posição determinada da barra. O mesmo processo foi repetido para a temperatura de 90 °C.
Fez-se os gráficos de perfil de temperatura ao longo das barras para as duas situações de T0 realizadas, para cada barra, fez-se os gráficos de (T-T∞)/(T0-T∞) por posição (x), para obtenção do (h) médio para cada situação  de T0 e analisou-se. Comparou-se os valores de (h) teórico com o valor do (h) médio. Foi calculado os erros do experimento.
Resultados e Discussões
Através da realização do experimento, para diferentes tipos de aletas metálicas, obteve-se diferentes perfis de temperatura de acordo com as propriedades de cada material. Nas Quadros 1 e 2 abaixo pode-se verificar os resultados obtidos para o experimento realizado a 51,3 °C e 90,0 °C, respectivamente. 
Quadro 1. Dados obtidos para as barras A, B, C e D para o experimento à 51,3 °C.
	d (cm)
	A
(°C)
	B (°C)
	C (°C)
	D
(°C)
	2
	37,2
	36,7
	43,9
	43,8
	7
	30,9
	30,4
	40,641,3
	12
	28,8
	28,5
	37,9
	39,2
	17
	28,2
	28,4
	35,8
	37,7
	22
	27,7
	27,0
	34,5
	36,2
	27
	28,2
	28,1
	33,7
	35,6
	37
	28,1
	27,8
	31,8
	33,4
	47
	28
	27,6
	30,5
	32
	57
	27,9
	27,6
	29,8
	31
	67
	27,9
	27,6
	29,1
	30,3
	77
	28,1
	27,8
	28,9
	29,7
	87
	28
	27,8
	28,6
	29,3
	97
	28
	27,7
	28,6
	29,1
	107
	27,8
	27,7
	28,4
	28,9
Fonte: Autoria própria, 2020.
Quadro 2. Dados obtidos para as barras A, B, C e D para o experimento à 90,0 °C.
	d (cm)
	A
(°C)
	B
(°C)
	C
(°C)
	D
(°C)
	2
	63,3
	60,3
	74,9
	77,1
	7
	44,2
	40,4
	64,6
	68,0
	12
	34,9
	32,7
	57
	61,7
	17
	31,1
	29,5
	50,3
	56,4
	22
	29,2
	28,1
	45,9
	52
	27
	28,4
	27,6
	42,6
	48,6
	37
	27,8
	27,6
	37,4
	42,7
	47
	27,5
	27,4
	34,4
	38,2
	57
	27,4
	27,4
	32,4
	35,4
	67
	27,5
	27,1
	30,7
	33,4
	77
	27,8
	27,3
	29,6
	32,0
	87
	27,4
	27,3
	29,1
	30,8
	97
	27,8
	27,1
	28,7
	30,3
	107
	27,1
	27,1
	28,3
	29,7
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sabe-se que a condutividade para barras de cobre e alumínio são maiores que as de aço inox, tendo maior facilidade de condução de calor ao longo de seu comprimento. Como pode ser visto nas Figuras 1 e 2, as quais mostram o perfil das barras A, B, C e D ao longo das temperaturas de 51,3 °C e 90,0 °C, respectivamente.
Figura 1. Perfil para as quatro barras à 51,3 °C de acordo com o experimento realizado.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Figura 2. Perfil para as quatro barras à 90 °C de acordo com o experimento realizado.
Fonte: Autoria própria, 2020.
O perfil para barras de aço inox (A e B) não se encontram proporcionais a realidade, visto que diâmetros maiores tem a condução de calor mais dificultada por causa da maior área transversal de contato. Ou seja, a barra com menor diâmetro (B) deveria possuir o perfil de temperatura maior do que o da barra de maior diâmetro (A), sendo ambas do mesmo material. 
Para obtenção do coeficiente convectivo h, foram traçados os gráficos de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d, apresentados abaixo. Com T∞= 25 °C.
Figura 3. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra A à 51,3 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
	Através do coeficiente angular da reta (-0,117) obteve-se o valor de m e substitui-se na Equação 3 para cálculo do h experimental. Logo h= 13,13.
Figura 4. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra B à 51,3 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
	Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,121, obteve-se h= 7,03.
Figura 5. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra C à 51,3 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,025, obteve-se h= 4,70.
Figura 6. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra D à 51,3 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,019, obteve-se h= 4,60.
Figura 7. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra A à 90,0 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,135, obteve-se h= 17,48.
Figura 8. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra B à 90,0 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,152, obteve-se h= 11,08.
Figura 9. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra C à 90,0 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,033, obteve-se h= 8,19.
Figura 10. Gráfico de (T-T∞)/(T0-T∞) vs. d para barra D à 90,0 °C.
Fonte: Autoria própria, 2020.
Sendo o coeficiente angular da reta m = -0,028, obteve-se h= 9,98.
Através dos gráficos é possível observar que quanto maior o coeficiente de condução de calor do material, mais altas são as temperaturas ao longa da barra. 
Os Quadros 3 e 4 abaixo mostram os valores das variáveis calculadas para cada barra, bem como os valores obtidos para h teórico.
Quadro 3. Valores calculados para h teórico e para as variáveis utilizadas à 51,3 °C.
	
	Barra A
	Barra B
	Barra C
	Barra D
	Tm
	300,11
	300,00
	302,15
	306,68
	β
	0,00333
	0,00333
	0,00331
	0,00330
	Gr
	5864,63
	691,86
	1489,44
	1683,14
	Pr
	0,7062
	0,7062
	0,7062
	0,7062
	Ra
	4141,73
	488,61
	1051,88
	1188,67
	Nu
	1,89
	1,50
	1,62
	1,65
	ht
	1,95
	3,11
	3,36
	3,41
Fonte: Autoria própria, 2020.
Quadro 4. Valores calculados para h teórico e para as variáveis utilizadas à 90,0 °C.
	
	Barra A
	Barra B
	Barra C
	Barra D
	Tm
	301,77
	301,26
	306,58
	308,40
	β
	0,00331
	0,00331
	0,00326
	0,00324
	Gr
	10791,85
	1160,70
	3089,14
	3736,05
	Pr
	0,7062
	0,7062
	0,7062
	0,7062
	Ra
	7621,44
	819,71
	2181,62
	2638,48
	Nu
	2,02
	1,58
	1,76
	1,79
	ht
	2,10
	3,28
	3,64
	3,71
Fonte: Autoria própria, 2020.
Os Quadros 5 e 6 abaixo mostram uma comparação entre o h experimental e o h teórico, bem como o cálculo do erro. 
Quadro 5. Comparação entre h experimental e teórico à 51,3 °C.
	Barra
	h exp
	h teórico
	Erro (%)
	A
	13,13
	1,95
	571,80
	B
	7,02
	3,11
	125,78
	C
	4,70
	3,36
	39,83
	D
	4,60
	3,41
	34,90
Fonte: Autoria própria, 2020.
Quadro 6. Comparação entre h experimental e teórico à 90,0 °C.
	Barra
	h exp
	h teórico
	Erro (%)
	A
	17,48
	2,10
	733,58
	B
	11,08
	3,28
	238,01
	C
	8,19
	3,64
	125,27
	D
	9,98
	3,71
	168,71
Fonte: Autoria própria, 2020.
	É possível notar que houve uma discrepância entre os valores esperados de h e os valores realmente obtidos. Isso provavelmente se deve a alguns fatores, como por exemplo: a circulação de alunos próximo ao equipamento, as variações na temperatura ambiente e o manuseio incorreto do equipamento. Contudo, para obter valores mais precisos, seria necessário realizar o experimento em triplicatas.
Conclusão
Através da realização deste experimento foi possível observar a influência dos diferentes materiais nos perfis de temperatura ao longo das barras.
Foi observado também que quanto maior o coeficiente de condução de calor do material, mais altas são as temperaturas ao longa da barra. 
Notou-se que houve uma discrepância entre os valores de h experimental e teórico, o que resultou em um erro consideravelmente alto, visto que alguns fatores como a circulação de alunos próximo ao equipamento, as variações na temperatura ambiente e o manuseio incorreto do equipamento podem ter influenciado no resultado.
Referências Bibliográficas
ÇENGEL, Yunus A. Transferencia de calor e massa: uma abordagem pratica. Ed. 3. São Paulo: McGraw Hill, 2009.
FOX, R. W. PRITCHARD, P. J., MCDONALD, A. T. Introduction to fluid mechanics United States, Ed. LTC, 6 a edição, 2004
GEANKOPLIS, Christie J. Transport processes and unit operations. 3. ed. New Jersey: Prentice Hall, 1993. 
INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1987. 
 INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P. Fundamentos de transferência de calor e de massa.6. ed. Rio de Janeiro: LTC,2008.
INCROPERA, F. P., DEWITT, D. P., BERGMAN, T. L., LAVINE, A. S. Introduction to heat transfer, John Wiley & Sons, 6 a edition, 2006
YOUSEFI, T. ASHJAFE, M. Experimental studyof natural convection heat transferfrom vertical arrayof isothermal horizontal ellipticcylinders. Experimental ThermalandFluid Science, 2007.
ANEXO: MEMORIAL DE CÁLCULOS
Para a realização dos cálculos, utilizou-se os parâmetros e propriedades fixados nas Tabelas 1 e 2.
Tabela 1. Parâmetros utilizados na realização dos cálculos.
	Parâmetros
	Valores
	Unidade
	Gravidade
	9,81
	m/s²
	k (inox)
	15,1
	W/m.K
	k (alumínio)
	237
	W/m.K
	K (cobre)
	401
	W/m.K
	Diâmetro (1”)
	0,0254
	m
	Diâmetro (1/2”)
	0,0127
	m
Tabela 2. Propriedades do ar a 300 K.
	Propriedades
	Valores
	Unidade
	α
	0,0000225
	m²/s
	k
	0,0263
	W/m.K
	v
	0,00001589
	m²/s
Fonte: Adaptado de Incropera (2008).
Abaixo tem-se um exemplo de cálculo para a barra A, com fonte quente à 51,3 °C, ou seja, e .
	Para cálculo do h experimental, deve-se calcular o valor de m, fornecido pela Equação 2 (). Cria-se uma tabela com os seguintes valores:
 
	T (°C)
	d (cm)
	(𝑇−𝑇∞)/(𝑇0−𝑇∞)
	37,2
	2
	0,463878327
	30,9
	7
	0,224334601
	28,8
	12
	0,144486692
	28,2
	17
	0,121673004
	27,7
	22
	0,102661597
	28,2
	27
	0,121673004
	28,1
	37
	0,117870722
	28
	47
	0,11406844127,9
	57
	0,11026616
	27,9
	67
	0,11026616
	28,1
	77
	0,117870722
	28
	87
	0,114068441
	28
	97
	0,114068441
	27,8
	107
	0,106463878
	
	Para que se possa construir o gráfico:
	
	E encontrar o valor de m através da equação da curva exponencial: y= , portanto, m= |11,7|. Com isso calcula-se o h experimental, através da Equação 3:
Para cálculo do h teórico se usa a Equação 4 (). Entretanto, utiliza-se a correlação de Nu médio, portanto, calcula-se primeiro as variáveis dependentes.
O número de Pr é fornecido pela Equação 8:
	
	O pode ser obtido através da Equação 10, onde e .
	Com isso obtém-se β pela Equação 9:
E pode-se calcular Gr pela Equação 7:
Obtém-se assim o número de Ra pela Equação 6:
	Aplicando na equação 5 para encontrar o valor de Nu:
Com isso, calcula-se o h teórico fornecido pela Equação 4:
Para então calcular o erro (Equação 11):
(
)
dt
dT
T
T
AC
P
h
dx
T
d
p
x
=
-
×
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
¥
r
a
2
2