Conveccao Forcada em Escoamento Externo -

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PG0054
Transferência de Calor B
Prof. Dr. Thiago Antonini Alves
thiagoaalves@utfpr.edu.br
http://pessoal.utfpr.edu.br/thiagoaalves/
Aula 3
Convecção Forçada em 
Escoamento Externo
(Parte 1/2)
09/04/2019
16/04/2019
Aula 3 – Convecção Forçada em Escoamento Externo (Parte 1/2)
PG0054 – Transferência de Calor B
Sumário
 Introdução
 O Método Empírico
 A Placa Plana em Escoamento Paralelo
 Escoamento Laminar sobre uma Placa Isotérmica: Uma 
Solução por Similaridade
 Escoamento Turbulento sobre uma Placa Isotérmica
 Condições de Camada-Limite Mista
 Comprimento Inicial Não-Aquecido
 Condições de Fluxo Térmico Constante
 Limitações na Utilização de Coeficientes Convectivos
 Metodologia para um Cálculo de Convecção
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Introdução
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PG0054 – Transferência de Calor B
Nos escoamentos externos as camadas-limite se 
desenvolvem livremente, sem restrições impostas por 
superfícies adjacentes.
Por exemplo: o movimento de um fluido sobre uma placa 
plana e/ou o escoamento sobre superfícies curvas, tais 
como uma esfera, um cilindro, aerofólios ou pás de 
turbinas.
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Na convecção forçada, o movimento relativo entre o 
fluido e a superfície é mantido por meios externos, tais 
como um ventilador/soprador ou uma bomba, e não 
pelas forças de empuxo devidas aos gradientes de 
temperatura no fluido (convecção natural).
Nossa atenção estará voltada aos problemas de 
convecção forçada, com baixas velocidades e sem 
mudança de fase no fluido.
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Nosso principal objetivo é a determinação dos 
coeficientes convectivos de transferência de calor em 
diferentes geometrias de escoamento.
 x xNu f X ,Re ,Pr
 x xNu f Re ,Pr
Para tal, há duas abordagens que podem ser adotadas:
▫ Abordagem Experimental ou Empírica
▫ Abordagem Teórica
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A abordagem experimental ou empírica envolve a 
execução de medidas de transferência de calor sob 
condições controladas em laboratório e a correlação dos 
dados em termos de parâmetros adimensionais 
apropriados.
A abordagem teórica envolve a resolução das equações 
da camada-limite para uma determinada geometria.
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O Método
Empírico
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Uma maneira para obtenção experimental de uma 
correlação para a transferência de calor por convecção.
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Este procedimento poderia ser repetido para inúmeras 
condições de testes. 
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Destes resultados, nota-se uma dependência de Nu em 
relação ao Re na forma de uma lei de potência.
m n
L LNu C Re Pr
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Como esta equação é proveniente de dados experimentais, 
ela é chamada de uma correlação empírica.
Os valores específicos do coeficiente C e os expoentes m
e n variam com a natureza da geometria da superfície e 
o tipo do escoamento. 
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A hipótese de propriedades do fluido constantes está 
frequentemente implícita nos resultados.
 Temperatura de Filme
 Método alternativo
Avaliar todas as propriedades a T∞ e utilizar um parâmetro 
adicional multiplicativo na forma (Pr∞/Prs)
r ou (µ∞/µs)
r
2
s
f
T T
T 


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A Placa Plana em 
Escoamento Paralelo
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Apesar de sua simplicidade, o escoamento paralelo sobre 
uma placa plana ocorre em diversas aplicações da 
Engenharia.
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Escoamento Laminar sobre uma Placa 
Isotérmica: Uma Solução por 
Similaridade 
Os principais parâmetros da convecção podem ser obtidos 
através da resolução de formas apropriadas das equações 
da camada-limite.
Supondo escoamento laminar, incompressível e em 
regime permanente, de um fluido com propriedades 
constantes e dissipação viscosa desprezível com 
dp/dx = 0, as equações da camada-limite reduzem-se a
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 Equação da Continuidade
 Equação do Momentum
▫ direção x
 Equação da Energia
0





y
v
x
u
2
2
u u u
u v
x y y

    
           





















2
2
y
T
y
T
v
x
T
u 
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A solução dessas equações é simplificada pelo fato de que, 
para propriedades constantes, as condições na camada-
limite fluidodinâmica são independentes da 
temperatura.
Com isso, pode-se resolver primeiramente o problema 
fluidodinâmico. Feito isso, a solução para a Equação da 
Energia, que depende de u e v, pode ser obtida. 
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A solução fluidodinâmica é baseada no Método de Blasius.
As componentes da velocidade são definidas em termos de 
uma função corrente ψ(x,y)
dessa forma, a Equação da Continuidade é automaticamente 
satisfeita e não mais necessária.
u
y




 

v
x
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As novas variáveis dependente e independente, f e η, são 
definidas de tal forma que
A utilização destas variáveis simplifica a questão através 
da redução da EDP para uma EDO.
 





f
x
u
u
u
y
x



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A solução de Blasius é uma solução por similaridade, e 
η é uma variável similar, pois o perfil de velocidades 
u/u∞ permanece geometricamente similar.
sendo que δ é a espessura da camada-limite e varia com 
(vx/u∞)
1/2
u y
u


 
  
 
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Com isso,
ou seja, o perfil de velocidades é unicamente determinado 
pela variável similar η, que depende de x e y.
 
u
u
 


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Desta forma, tem-se que as componentes da velocidade 
são escritas como
e,
x df u df
u u u
y y u d x d
  
  

 

  
   
  
1
2 2
x df u u df
v u f f
x u d u x x d
   

 
 

 
 
       
  
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Tem-se ainda que,
2
22
u u d f
x d


  

2
2
u u d f
u
y x d 





2 2 3
2 3
u u d f
xy d 
 

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Portanto, a Equação do Momentum pode ser expressa por
ou
ou seja, o problema da camada-limite fluidodinâmica foi 
reduzido à solução de uma EDO, não-linear, de terceira 
ordem.
3 2
3 2
2 0
d f d f
f
d d 
 
2 0f f f  
26/60Aula 3 – Convecção Forçada em Escoamento Externo (Parte 1/2)
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As condições de contorno apropriadas são
ou, em termos das variáveis de similaridade,
A solução da Equação do Momentum submetida às 
condições de contorno apropriadas pode ser obtida por 
uma expansão em série ou por integração numérica.
   0 0 0u x, v x,   u x, u 
 
0
0 0
df
f
d



  1
df
d




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
f
',
f
" f
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
f
f '
f "
Solução Numérica da Equação do Momentum.
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Dos resultados apresentados, observa-se que, com uma 
boa aproximação, (u/u∞) = 0,99 para η = 5,0. 
Da definição da espessura da camada-limite, tem-se que 
5 0 5 0
x
, , x
u Re
x



 
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A tensão de cisalhamento na parede pode ser escrita por
dos resultados para a Solução de Blasius,
com isso, o coeficiente de atrito local é expresso por 
2
2
0 0
s
y
u u d f
u
y x d

  
 


 

 

0 332s
u
, u
x
 
 
1 2
2
0 664
2
s,x /
f ,x xC , Re
u




 
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A partir do conhecimento das condições na camada-limite 
fluidodinâmica, a Equação da Energia pode ser 
resolvida. 
Para tal, considera-se que
e, supõe-se uma solução similar na forma
 
 
s
s
T T
T T





   
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Com isso, a Equação da Energia pode ser reescrita como
ou ainda,
2
2
u v
x y y
  

    
           
22
2
1
2
df d u y df d d
u f
d d x x d d y yd
    
 
    


    
    
     
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Efetuando-se as substituições necessárias, a Equação da 
Energia torna-se
Note a dependência da solução térmica em relação às 
condições fluidodinâmicas através da presença da 
variável f.
2
2
0
2
d Pr d
f
dd
 

 
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As condições de contorno apropriadas são
A solução da Equação da Energia submetida às condições 
de contorno apropriadas pode ser obtida por integração 
numérica para diferentes valores do número de Prandtl.
 0 0    1  
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

,

'
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0

'
Solução Numérica da Equação da Energia para o ar (Pr = 0,7).
36/60
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Uma consequência importante dessa solução é que, para 
Pr ≥ 0,6 , resultados para o gradiente de temperatura na 
superfície podem ser correlacionados por
Representando o coeficiente convectivo local por
1 3
0
0 332
d
, Pr
d





00
s
x
s s y
T Tq u d
h k k
T T T T y x d

 
 
 
  
  
   
  
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Com isso, o Número de Nusselt local pode ser expresso 
por
Além disso, a razão entre as espessuras das camadas-
limite fluidodinâmica e térmica é
1 2 1 30 332xx x
h x
Nu , Re Pr
k
 
1 3
t
Pr



0 6Pr ,
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Estes resultados podem ser utilizados para calcular 
importantes parâmetros da camada-limite laminar 
(0 < x < xc).
A tensão de cisalhamento e o coeficiente convectivo de 
transferência de calor são, a priori, infinitos na aresta 
frontal e diminuem com x –1/2 no sentido do 
escoamento.
Para valores de Pr próximo da unidade (maioria dos 
gases) as camadas-limite crescem quase identicamente.
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Dos resultados locais, parâmetros médios da camada-
limite podem ser determinados.
 Coeficiente de Atrito Médio
portanto,
2 2
s,x
f ,xC
u

 

0
1
x
s,x s,xdx
x
  
1 21 328f ,x xC , Re

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 Coeficiente de Transferência de Calor Médio
com isso, .
Portanto,
1 3
1 2
0 0
1
0 332
x x
x x
k u dx
h h dx , Pr
x x x
    
  
2x xh h
1 2 1 30 664xx x
h x
Nu , Re Pr
k
  0 6Pr ,
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Se o escoamento for laminar ao longo de toda a superfície, 
o subscrito x pode ser substituído por L, e as equações 
anteriores podem ser utilizadas para prever as condições 
médias em toda a superfície.
Além disso, nessas expressões, o efeito de propriedades 
variáveis podem ser tratado pela avaliação de todas as 
propriedades na temperatura de filme.
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Para fluidos com Pr pequeno (metais líquidos), δt >> δ, a 
solução da camada-limite térmica pode ser expressa por
sendo que, Pex = Rex Pr é o Número de Pèclet.
1 20 565x xNu , Pe 0 05Pr , 100xPe 
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Uma expressão única, que se aplica a todos Pr, foi 
recomendada por Churchill & Ozoe (1973). Para 
escoamento laminar sobre uma placa isotérmica, o 
coeficiente convectivo local pode ser expresso por
com .
1 2 1 3
1 4
2 3
0 3387
0 0468
1

  
  
   
x
x
, Re Pr
Nu
,
Pr
100xPe 
2x xNu Nu
45/60
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Escoamento Turbulento sobre uma 
Placa Isotérmica
Schlichting (2000) mostrou que para escoamentos 
turbulentos com Rex até aproximadamente 10
8, o 
coeficiente de atrito local é correlacionado com 15% de 
precisão por
1 50 0592 /f ,x xC , Re

810x,c xRe Re 
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Com uma aproximação razoável, a espessura da camada-
limite fluidodinâmica turbulenta pode ser representada 
por
Nota-se que o crescimento da camada-limite turbulenta é 
muito mais rápido (em relação à camada-limite laminar) 
e que o decréscimo do coeficiente de atrito é mais 
gradual.
1 50 37 /x, x Re

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Para o escoamento turbulento, o desenvolvimento da 
camada-limite é fortemente influenciado por flutuações 
aleatórias no fluido e não pela difusão molecular.
Portanto, o crescimento da camada-limite térmica não 
depende do valor de Pr.
t 
48/60
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Da Analogia de Reynolds Modificada (Analogia de 
Chilton-Colburn), o número de Nusselt local para 
escoamento turbulento é
A melhor mistura causa um crescimento mais rápido da 
camada-limite turbulenta, quando comparado ao da 
camada-limite laminar, e faz com que elatenha maiores 
coeficientes de atrito e convectivos.
4 5 1 30 0296x x xNu St Re Pr , Re Pr  0 6 60, Pr 
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Condições de Camada-Limite Mista
Quando a transição ocorrer suficientemente a montante 
da aresta da saída da placa, (xc/L) ≤ 0,95 , os 
coeficientes médios na superfície serão influenciados 
pelas condições tanto na camada-limite laminar 
quanto na camada-limite turbulenta.
50/60
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Na camada-limite mista, o coeficiente de transferência 
de calor por convecção médio em toda a placa é 
expresso por
sendo que admite-se que a transição ocorre abruptamente 
em x = xc.
0
1
c
c
x L
L lam turb
x
h h dx h dx
L
 
  
  
 
 
51/60
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Portanto,
sendo que, 
 4 5 1 30 037L LNu , Re A Pr 
8
0 6 60
10x,c L
, Pr
Re Re
  
 
   
4 5 1 20 037 0 664x,c x,cA , Re , Re 
52/60
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O coeficiente de atrito médio em toda a placa é expresso 
por
Com isso,
0
1
c
c
x L
f ,L f ,x,lam f ,x,turb
x
C C dx C dx
L
 
  
  
 
 
1 5 20 074f ,L L
L
A
C , Re
Re
 
810x,c LRe Re   
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Comprimento Inicial Não-Aquecido
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Número de Nusselt local
 
0
1
x
x b
a
Nu
Nu
x




 
  
1 3
0
m
x xNu C Re Pr 
Laminar Turbulento
Temp Fluxo Temp Fluxo
a 3/4 3/4 9/10 9/10
b 1/3 1/3 1/9 1/9
C 0,332 0,453 0,0296 0,0308
m 1/2 1/2 4/5 4/5
55/60
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Número de Nusselt médio
sendo que,
▫ p = 2 para escoamento laminar
▫ p = 8 para escoamento turbulento
 
   
 1
1 2
0
1
p p
p p
L x
L
Nu Nu x
L



 

  
  
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PG0054 – Transferência de Calor B
Limitações na Utilização de 
Coeficientes Convectivos
Essas correlações são apropriadas para a maioria dos 
cálculos em Engenharia, porém erros de até 25% 
podem existir no cálculo dos valores dos coeficientes 
convectivos.
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Metodologia para um 
Cálculo de Convecção
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Regras
1) Reconheça imediatamente a geometria do escoamento
2) Especifique a temperatura de referência apropriada e 
determine as propriedades do fluido pertinentes 
naquela temperatura
3) Calcule o número de Reynolds
4) Decida se um coeficiente local ou um coeficiente 
médio na superfície é necessário
5) Selecione a correlação apropriada
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Fonte Bibliográfica
 INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. & 
LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de 
Calor e de Massa. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 643p.
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