VARIÁVEL ALEATÓRIA

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VARIÁVEL ALEATÓRIA 
Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja atribuído um número. 
Fica, então, definida uma função chamada, variável aleatória, indicada por uma letra 
maiúscula, sendo seus valores indicados por letras minúsculas. 
Assim, considere o espaço amostral, relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas: 
𝑆 = {(𝐶𝑎, 𝐶𝑎), (𝐶𝑎, 𝐶𝑜), (𝐶𝑜, 𝐶𝑎), (𝐶𝑜 , 𝐶𝑜)} 
𝑋, na tabela abaixo, representa o número de caras do espaço amostral, ou seja: 
PONTO AMOSTRAL 𝑋 
(𝐶𝑎, 𝐶𝑎) 
(𝐶𝑎, 𝐶𝑜) 
(𝐶𝑜, 𝐶𝑎) 
(𝐶𝑜 , 𝐶𝑜) 
2 
1 
1 
0 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
Seja 𝑋 uma variável aleatória que pode assumir os valores 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. A cada valor 𝑥𝑖 
correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor 𝑥𝑖 a 
probabilidade 𝑝𝑖 de ocorrência de tais pontos no espaço amostral, assim: 
∑𝑝𝑖 = 1 
os valores 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 e seus correspondentes 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 definem uma distribuição 
de probabilidade. 
Considere a distribuição de frequências relativas aos números de acidentes diários em um 
canteiro de obras: 
NÚMERO DE ACIDENTES FREQUÊNCIAS 
0 
1 
2 
3 
22 
5 
2 
1 
 ∑ = 30 
 
Em um dia de trabalho a probabilidade de: 
 não ocorrer acidente é: 𝑝 =
22
30
= 0,73 
 ocorrer um acidente é: 𝑝 =
5
30
= 0,17 
 ocorrerem dois acidentes é: 𝑝 =
2
30
= 0,07 
 ocorrerem três acidentes é: 𝑝 =
1
30
= 0,03 
 
 
Dessa forma, pode-se reescrever a tabela acima: 
NÚMERO DE ACIDENTES PROBABILIDADE 
0 
1 
2 
3 
0,73 
0,17 
0,07 
0,03 
 ∑ = 1,00 
 
Essa tabela é denominada distribuição de probabilidade. 
Voltando ao exemplo do lançamento de duas moedas, mencionado no tópico de variável 
aleatória, tem-se a seguinte tabela 
PONTO AMOSTRAL 𝑋 𝑃(𝑋) 
(𝐶𝑎, 𝐶𝑎) 
(𝐶𝑎, 𝐶𝑜) 
(𝐶𝑜, 𝐶𝑎) 
(𝐶𝑜 , 𝐶𝑜) 
2 
1 
1 
0 
Probabilidade de sair duas cara 1 4⁄ 
Probabilidade de sair uma cara 1 4⁄ 
Probabilidade de sair uma cara 1 4⁄ 
Probabilidade de sair nenhuma cara 1 4⁄ 
 
 
Dessa forma, pode-se escrever 
NÚMERO DE CARAS (𝑋) 𝑃(𝑋) 
2 
1 
0 
1
4⁄ 
2
4⁄ 
1
4⁄ 
 ∑ = 1 
 
Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma relação entre os valores da 
variável aleatória X e os valores da variável P. Esta relação define uma função, os valores 
𝑥𝑖 definem o domínio, e os valores 𝑝𝑖 a imagem, essa função, assim definida, denomina-
se função probabilidade 
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 
A função 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória 
X. 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Neste tópico, vamos considerar os experimentos, que satisfaçam as seguintes condições: 
 Os experimentos devem ser repetidos, nas mesmas condições finitas vezes (n 
vezes); 
 O resultado de um experimento não pode interferir nos resultados posteriores; 
 Em cada um dos experimentos deve ocorrer dois possíveis resultados (sucesso e 
insucesso); 
 No decorrer do experimento, a probabilidade 𝒑 do sucesso e a probabilidade 
𝒒 (𝟏 − 𝒑) do insucesso manter-se-ão constantes. 
Nessas condições resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter 
𝑘 sucessos em 𝑛 tentativas. A probabilidade de que um evento se realize 𝑘 vezes nas 
provas é dada pela função: 
𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 
onde 
𝑷(𝑿 = 𝒌) é a probabilidade de que o evento se realize 𝑘 vezes em n provas; 
𝒑 é a probabilidade de que o evento se realize em um só prova – sucesso. 
𝒒 é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova – insucesso. 
(
𝑛
𝑘
) é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
 
Exemplo 1: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a 
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. 
Exemplo 2: Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade 
do time A ganhar 4 jogos. 
 
EXERCÍCIOS 
1 – Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma 
moeda. 5/16 
2 – Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 
3 duas vezes. 2/9 
3 – Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time 
A: 
a) Ganhar dois ou três jogos. 400/729 
b) Ganhar pelo menos um jogo. 665/729 
4 – A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2 3⁄ . Se ele atirar 5 vezes, qual a 
probabilidade de acertar exatamente 2 tiros? 40/243 
5 – Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 
10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles? 9,84%