003_paralelismo-homotetia-e-semelhanca

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FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA 
Celso Pessanha Machado
Paralelismo, homotetia 
e semelhança
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Conhecer as propriedades características da homotetia.
 � Definir polígonos semelhantes.
 � Identificar paralelismo e suas propriedades.
Introdução
Neste capítulo, acerca da homotetia, da semelhança e do paralelismo, 
você analisará as construções de figuras homotéticas, que são desenhadas 
a partir de pontos denominados centros de homotetia, que determinam 
novos vértices que, unidos, formam polígonos semelhantes aos primeiros.
Você também verá como são formadas figuras semelhantes, que têm 
lados correspondentes proporcionais e ângulos congruentes. Destaca-se 
que figuras homotéticas são sempre semelhantes, mas nem sempre as 
figuras semelhantes são homotéticas.
Além disso, você conhecerá os fundamentos do paralelismo e o te-
orema de Tales, deduzido pelo brilhante matemático grego que, além 
de outras façanhas, determinou a altura de uma pirâmide a partir do 
tamanho de sua sombra.
Homotetia
A palavra homotetia, derivada do grego, é uma composição entre homo (simi-
lar) e tetia (posição), criada pelo matemático francês Michel Chasles, que foi 
professor na Sorbonne (atualmente integra a Universidade de Paris). Chasles 
elaborou a teoria da geometria projetiva e contribui para o estudo das pro-
priedades geométricas e das transformações que ocorrem na elaboração de 
novas figuras a partir de outras (MLODINOW, 2008).
A homotetia é uma transformação geométrica em que forma original e 
ângulos são preservados, mas o tamanho da figura é modificado, permitindo 
ampliação e redução de todo tipo de imagem. As novas gravuras são seme-
lhantes às originais, mantendo uma relação matemática entre si. Observe o 
exemplo a seguir.
Temos o segmento :
A partir dele, vamos criar um novo segmento , usando o ponto A como centro 
de homotetia, que é um ponto fixo, ou seja, o ponto de alinhamento dos pontos 
homólogos.
Repare que o novo segmento é o dobro do primeiro, então, matematicamente 
podemos afirmar que a razão r = 2, logo = 2 ∙ . O procedimento pode ser 
repetido infinitas vezes — se quisermos, podemos criar uma homotetia na qual teremos 
um segmento em que r = 4, logo = 4 ∙ :
 É possível criar outros modelos, como o triângulo do exemplo a seguir.
Paralelismo, homotetia e semelhança2
O triângulo ABC é a figura inicial, e o vértice B é o centro de homotetia, com
Na figura, o centro de homotetia é o vértice B, com r = 3.
No exemplo anterior, o centro de homotetia pertence ao triângulo. Agora, vamos 
ver um exemplo no qual o centro está fora da figura. Observe o hexágono ABCDEF:
3Paralelismo, homotetia e semelhança
Vamos escolher o ponto G como centro de homotetia fora do hexágono ABCDEF:
O ponto G é o centro de homotetia. Em seguida, marcamos os pontos A’, B’, C’, D’, 
E’, F’, usando r = 2:
Paralelismo, homotetia e semelhança4
Traçamos as semirretas:
Agora, unimos os pontos A’, B’, C’, D’, E’, F’ e temos um novo hexágono:
5Paralelismo, homotetia e semelhança
Toda figura homotética é semelhante, mas nem toda figura semelhante é homotética.
Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes são aqueles que têm a mesma forma, todavia, tamanhos 
diferentes, havendo entre eles uma razão de semelhança. Ou seja, podemos 
definir uma relação matemática, no caso, uma proporção entre eles. 
A proporção entre os polígonos está fundamentada na relação entre seg-
mentos proporcionais. A razão entre segmentos proporcionais é determinada 
pelo quociente entre suas medidas. Veja os segmentos a seguir.
Observe que: 
 = 2 cm = 3 cm 
 = 4 cm = 6 cm
Podemos estabelecer a seguinte razão:
Paralelismo, homotetia e semelhança6
Assim:
Para verificar se são proporcionais, temos que recorrer à regra que esta-
belece que “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
2 ∙ 6 = 3 ∙ 4
12 = 12 ∴ são proporcionais.
De modo análogo aos segmentos proporcionais, os polígonos podem ser 
semelhantes, desde que haja uma relação de proporção entre as medidas dos 
seus lados. Além disso, os ângulos devem ser congruentes. A partir disso, 
podemos definir mais duas propriedades.
 � Polígonos semelhantes possuem proporcionalidade entre seus perímetros 
e suas diagonais.
 � Polígonos congruentes também são semelhantes.
De maneira prática, para identificar polígonos semelhantes, devemos sa-
tisfazer duas condições: 
 � os ângulos correspondentes devem ser congruentes; 
 � os lados correspondentes devem ser proporcionais.
Observe os exemplos a seguir.
7Paralelismo, homotetia e semelhança
Vamos verificar se os trapézios ABCD e EFGH são semelhantes:
Pegamos os lados correspondentes e verificamos se há uma proporção:
O produto do meio deve ser igual ao dos extremos. Assim: 
17,5 ∙ 30 = 15 ∙35 → 525 = 525.
Temos também que:
e 
40 ∙ 17,5 = 20 ∙ 35 → 700 = 700
Paralelismo, homotetia e semelhança8
Garantindo-se que os quatro ângulos são congruentes, logo os polígonos são 
semelhantes.
Observe que a razão EFGH / ABCDE é:
Uma aplicação comum da semelhança é a confecção de mapas, pois é 
impossível confeccionar qualquer tipo de cartografia sem redução (Figura 1). 
Se não reduzirmos, teremos um mapa de tamanho real — o que é um absurdo! 
A solução para isso é a escala, em que cada centímetro no mapa equivale a 
x centímetros em tamanho real. Por exemplo, em uma escala 1:1000, cada 
centímetro no mapa equivale a 1000 centímetros na realidade. 
Figura 1. Sem escala, é impossível confeccionar mapas.
Fonte: IBGE (c2019, documento on-line).
9Paralelismo, homotetia e semelhança
Há vários tipos de problemas envolvendo mapas, baseados na transformação do 
espaço cartográfico em espaço real. Imagine que você está consultando um mapa 
cuja escala é 1:50000, e a distância entre os pontos A e B é de 11 centímetros. Qual é 
a distância real, em quilômetros entre A e B?
Escalas são determinadas a partir de uma razão, no caso, 1/50000. Assim, devemos 
expressar o problema matematicamente:
onde D é a distância real entre os dois pontos.
Assim:
D = 11 · 50000 
D = 550000 cm
Como o problema pede a solução em quilômetros, temos que D = 5,5 Km.
As relações de semelhança também são válidas no caso de perímetros 
e áreas. Suponha que você possua um cabo de 50 metros e deseja obter um 
polígono semelhante a outro de 90 metros de perímetro. Quanto medirá o 
lado do primeiro polígono, sabendo que o lado homólogo do segundo mede 5 
metros? É possível resolver o problema por meio da expressão:
 e 
Assim: 
l ∙ 90 = 5 ∙ 50
e 
Paralelismo, homotetia e semelhança10
Tales de Mileto, um dos grandes matemáticos da Grécia antiga, calculou a altura da 
Pirâmide de Quéops, utilizando a relação entre a altura e a sombra do objeto. Em certo 
dia, ele mediu a sombra da referida pirâmide e, também, a sua própria, fazendo uma 
relação simples — pois o tamanho de sua sombra estava para sua altura assim como 
o tamanho da sombra da pirâmide estava para a altura dela, ou seja:
Resolvendo a relação, Tales chegou ao valor da altura da pirâmide: 150 metros.
Semelhança de triângulos
Para comprovarmos que dois triângulos são semelhantes, não é necessário 
verificar a semelhança de todos os elementos. Podemos utilizar alguns cri-
térios que, satisfeitos, servem como prova da semelhança. A seguir, vamos 
ver quais são eles.
1º Caso — AA (ângulo, ângulo)
Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois do outro, os dois 
triângulos são semelhantes. Na Figura 2 a seguir, os ângulos α e β de um 
triângulo são congruentes, respectivamente, com os ângulos α e β do outro.
Figura 2. Triângulos semelhantes pelo caso AA.
11Paralelismo, homotetia e semelhança
2º Caso — LLL (lado, lado, lado)
Se os três lados de dois triângulos são proporcionais aos de outro, mantendo 
uma mesma razão entre si, então esses triângulos são semelhantes. Nos tri-
ângulos da Figura 3 a seguir, temos que .
Figura 3. Triângulos com lados semelhantes.3º Caso — LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuírem um ângulo congruente compre-
endido entre dois lados proporcionais. Na Figura 4, temos que , α = α.
Figura 4. Ângulo congruente entre dois lados proporcionais.
Paralelismo, homotetia e semelhança12
Teorema fundamental da semelhança
Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados 
em pontos distintos, forma-se um triângulo que é semelhante ao primeiro. 
Observe a Figura 5, na qual a // d, e ∆ABC ≡ ∆ADE.
Figura 5. Reta paralela com base que intercepta figura e cria triângulos semelhantes.
Paralelismo
A definição de retas paralelas foi dada por Euclides (1944): duas retas são 
paralelas se estiverem num mesmo plano e não tiverem nenhum ponto em 
comum:
13Paralelismo, homotetia e semelhança
Segundo Chandler et al. (1996), a partir desse conceito, deduzimos as 
propriedades a seguir.
 � Por um ponto, passa uma única reta paralela à outra reta dada. 
 � Quando dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles 
é paralela ao outro.
 � Quando uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a, pelo menos, 
uma reta desse plano.
 � Quando uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta 
dele, ela é paralela ao plano.
 � Se um plano intersecta dois planos paralelos, as intersecções são duas 
retas paralelas.
 � Quando um plano contém duas retas concorrentes, paralelas a outro 
plano, então os planos considerados são paralelos.
Tales de Mileto formulou um teorema que leva o seu nome: quando três 
retas paralelas são interceptadas por duas retas transversais, os segmentos 
determinados numa das retas transversais são proporcionais aos determinados 
na outra.
Paralelismo, homotetia e semelhança14
a // b // c, r e s transversais:
Com base no teorema de Tales, podemos resolver a questão a seguir, que 
pede para calcularmos o valor de x, sendo a // b // c, r e s transversais.
Pelo teorema de Tales, sabemos que:
15Paralelismo, homotetia e semelhança
CHANDLER, S. et al. GCSE higher mathematics. Cheltenham: Stanley Thornes, 1996.
EUCLIDES. Elementos de geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944.
IBGE. Atlas escolar. c2019. Disponível em: https://atlasescolar.ibge.gov.br/mapas-atlas/
mapas-do-mundo/divisoes-politicas-e-regionais. Acesso em: 01 jun. 2019.
MLODINOW, L. A janela de Euclides: a história da geometria, das linhas paralelas ao 
hiperespaço. São Paulo: Geração Editorial, 2008.
Leituras recomendadas
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da UNICAMP, 1995
TALES DE MILETO. [Tales e a altura da pirâmide]. [2010]. Disponível em: http://www.educ.
fc.ul.pt/icm/icm99/icm28/tales.htm. Acesso em: 01 jun. 2019.
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