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FUNDAMENTOS 
DE GEOMETRIA
Celso Pessanha Machado
Circunferência
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir circunferência e seus elementos.
 � Demonstrar teoremas que envolvam circunferência.
 � Resolver problemas envolvendo cálculos ou demonstrações.
Introdução
A circunferência é um lugar geométrico constituído por um conjunto 
de pontos que têm uma mesma distância de um ponto, denominado 
centro da circunferência. Como o ponto é adimensional, ou seja, não tem 
dimensão, a circunferência é formada por uma infinidade deles.
Você estudará as características dos elementos que constituem uma 
circunferência: centro, raio, corda, diâmetro, ângulo central e ângulo 
inscrito. Também saberá como calcular o comprimento da circunferência 
e a área do círculo, resolvendo problemas baseados nessas relações 
matemáticas.
Circunferência e seus elementos
A circunferência é uma linha curva fechada, formada por infinitos pontos que 
estão equidistantes a um mesmo ponto, denominado centro da circunferência 
(Figura 1). Seus elementos são: centro, raio, corda, diâmetro, ângulo central 
e ângulo inscrito (BRASIL, 2019).
Figura 1. Circunferência c.
Circunferência2
Centro da circunferência
O centro de uma circunferência é um ponto fixo que é equidistante a todos os 
outros que formam uma circunferência (Figura 2).
Figura 2. Circunferência c com centro C.
3Circunferência
Raio
O raio de uma circunferência é um segmento de reta que une um ponto dela 
ao seu centro (Figura 3). Como o número de pontos de uma circunferência é 
infinito, também é possível traçar infinitos raios.
Figura 3. Circunferência c, com centro C, raio r e ponto P.
Circunferência4
Corda
É denominada corda de uma circunferência todo segmento de reta que une 
dois pontos dessa circunferência (Figura 4).
Figura 4. Circunferência c, com centro C, corda g e pontos P e Q.
5Circunferência
Diâmetro
Quando um segmento de reta une dois pontos quaisquer da circunferência e 
passa pelo centro dela, denominamos de diâmetro (Figura 5).
Figura 5. Circunferência c, com centro C e diâmetro D.
Circunferência6
Ângulo central
Todo ângulo que tem como vértice o centro de uma circunferência é denomi-
nado ângulo central dessa circunferência (Figura 6).
Figura 6. Ângulo central α.
7Circunferência
Ângulo inscrito
Todo ângulo que tem como vértice algum ponto da circunferência é denominado 
ângulo inscrito (Figura 7).
Figura 7. Ângulo inscrito β.
Circunferência8
Posições relativas entre uma circunferência e uma reta
Se considerarmos uma circunferência e uma reta qualquer, são possíveis três ti-
pos de posições relativas: a reta é tangente, secante ou exterior à circunferência.
1º caso: reta tangente à circunferência
Uma reta e uma circunferência são tangentes se existir somente um ponto em 
comum entre elas: o ponto de tangência (Figura 8).
Figura 8. A reta r é tangente a λ no ponto P de tangência.
9Circunferência
2º caso: reta secante à circunferência
Dizemos que uma reta é secante a uma circunferência quando ambas têm dois 
pontos em comum (Figura 9).
Figura 9. A reta r é secante a λ.
Circunferência10
3° caso: reta exterior à circunferência
Quando uma reta e uma circunferência não têm ponto em comum, diz-se que 
a reta é exterior à circunferência (Figura 10).
Figura 10. A reta r é exterior a λ.
Circunferência e círculo são conceitos geométricos distintos, não sinônimos. A circunfe-
rência é o conjunto de pontos com uma distância comum ao centro da circunferência: 
o raio (Figura 11). O círculo é o conjunto de pontos internos de uma circunferência, 
onde estão localizados todos os pontos cuja distância até o centro é menor ou igual 
ao raio (Figura 12).
11Circunferência
Figura 11. Circunferência em vermelho.
Figura 12. Círculo em vermelho.
Circunferência12
Teoremas envolvendo circunferência
Existem algumas relações matemáticas envolvendo circunferência, que serão 
demonstradas nesta seção.
Vamos começar por um teorema sobre o ângulo inscrito em uma circun-
ferência. Vimos que um ângulo inscrito em uma circunferência é aquele que 
tem o vértice em algum ponto dela. “A medida de um ângulo inscrito é a 
metade da medida do ângulo central correspondente” (Figura 13) (CLUBES 
DE MATEMÁTICA DA OBMEP, 2019). 
Figura 13. O ângulo α é o dobro do ângulo β.
Agora, vamos desenvolver as demonstrações, considerando três casos 
distintos.
13Circunferência
1° caso: centro da circunferência sobre um lado do 
ângulo inscrito
Observe que, na Figura 14, o centro da circunferência está sobre um lado do 
ângulo inscrito. Forma-se um triângulo isósceles, com dois lados correspon-
dentes ao raio r da circunferência. 
Figura 14. O centro da circunferência sobre um lado do ângulo inscrito 
e triângulo ∆ABC isóceles.
A partir dessa observação, você pode deduzir que, como o triângulo ABC 
é isósceles, os ângulos  e são congruentes (Figura 15).
Circunferência14
Figura 15. Congruência de  e .
Nota, agora, na Figura 16, a existência de um ângulo de 180°.
Figura 16. Ângulo raso δ.
15Circunferência
Já, na Figura 17, perceba o terceiro ângulo do triângulo ABC.
Figura 17. Ângulo γ de ∆ABC.
Agora, temos todos os elementos para a dedução:
α + γ= 180°
e
γ + β + β= 180°
assim,
γ + β + β= α + γ
e
γ -γ +β+ β= α
logo
2β= α, validando o teorema para este caso.
Circunferência16
2° caso: centro no interior do ângulo inscrito
Observe a Figura 18.
Figura 18. Ângulo interno β e ângulo central α.
Para este 2º caso, um segmento que parte de V e passa por C cria uma nova 
situação, com novos ângulos. Veja a Figura 19.
17Circunferência
Figura 19. Novos ângulos.
Nessa figura, você pode ver que:
α1 + α2 = α
β1 + β2 = β
Além disso, existem dois triângulos isósceles, ∆ACV e ∆BCV. Utilizando-se 
do mesmo raciocínio do 1° caso, temos que:
2β1 = α1
2β2 =α2
Somando os termos:
2β1 + 2β2 = α1 + α2
2 (β1 + β2) = α1 + α2
e substituindo:
2β = α, provando o caso 2.
Circunferência18
3º caso: centro no exterior do ângulo inscrito
Observa-se que, na Figura 20, o centro está no exterior do ângulo β. Para 
desenvolver a dedução, desenha-se o diâmetro, criando, mais uma vez, tri-
ângulos isósceles.
Figura 20. Diâmetro D ressaltado.
19Circunferência
Agora, são criados novos ângulos α1, α2, β1, β2, como mostrados na Figura 21, 
a seguir.
Figura 21. Novos ângulos α1,α2,β1,β2. 
Repare que:
α2 – α1 = α
β2 – β1 = β
Note, também, que o ângulo inscrito β1 e o ângulo central α1 estão nas 
mesmas condições do 1º caso, então:
 ou 2β1 = α1
Já o ângulo inscrito β2 e o ângulo central α2 enquadram-se no 1º caso, assim:
 ou 2β2 = α2
Circunferência20
Daí que:
β = β2 – β1 = 
logo:
α = 2β, provando o 3º caso.
Teorema das cordas
Quando duas retas são secantes a uma circunferência, elas têm um ponto de 
interseção, que pode ser interno ou externo a essa circunferência. As proprie-
dades oriundas desses dois casos fundamentam o teorema das cordas.
“Se uma reta passa por um ponto P e intercepta uma circunferência nos 
pontos A e B, o produto PA.PB é constante”.
1º caso: ponto de interseção interior à circunferência 
A Figura 22, a seguir, mostra a semelhança entre os triângulos e Daí que:
, então PA. PB = PC. PD.
Figura 22. Semelhança entre ∆APD e ∆CPB.
21Circunferência
2° caso: ponto de interseção exterior à circunferência 
Na Figura 23, note que os triângulos ∆APD e ∆CPB são semelhantes. Dessa 
maneira, temos que
logo
PA.PB = PC.PD.
Figura 23. Semelhança entre ∆PAD e ∆PCB.
Cálculos e demonstrações
O estudo da circunferência envolve a resolução de diversos problemas, sendo 
que muitos deles exigem o conhecimento de cálculos para determinar o com-
primento da circunferência e a área total ou parcial do círculo.
Circunferência22
Cálculo do comprimento
Uma das mais antigas relações matemáticas conhecidas é entre o comprimento 
de uma circunferência e o seu diâmetro. Se você medir, com uma fita métrica, 
qualquer circunferência — comoa de uma pizza ou de uma calota de carro 
— e dividir a medida encontrada pelo diâmetro dessa mesma circunferência, 
sempre encontrará o mesmo valor, ou seja, uma constante, conhecida pela letra 
grega (pi). Pi é um número irracional e, por isso, ao trabalhar com problemas 
aplicados, costuma-se utilizar aproximações de pi:
3,14 — com duas casas decimais;
3,1416 — com quatro casas decimais;
3.1415926535898 — com 13 casas decimais.
Podemos escrever matematicamente a relação com
na qual C é a medida do comprimento, e D é o diâmetro. Como o diâmetro 
corresponde a duas vezes o raio, temos que:
Isolando C:
que é a fórmula para calcular o comprimento de qualquer circunferência.
Área do círculo
A área do círculo é dada por:
A = πr2
Assista, no link a seguir, a um vídeo que apresenta uma demonstração geométrica 
da área do círculo: 
https://qrgo.page.link/SJfae
23Circunferência
Área do setor circular
Vamos ver dois exemplos de solução de problemas: um vinculado ao comprimento 
da circunferência e outro à área do círculo.
Primeiramente, vamos encontrar o perímetro de uma circunferência. Você precisa 
calcular a medida de tela para uma área circular e recebe uma mensagem por What-
sApp, informando que a área do círculo limitado pela tal circunferência é de 25 m2. 
Você tenta contato com o colega e recebe a informação de que ele está de férias, 
participando de um retiro budista mahayana, em um mosteiro no Vietnã. Como você 
não está disposto a esperar e é bom em matemática, decide resolver por si próprio 
o problema, usando π = 3,14.
Bem, você sabe que a área do círculo é dada por:
A = πr2
Assim, temos que:
25 = πr2, e
 
Agora, fica fácil calcular o comprimento da circunferência, que é dado por:
C = 2πr
Substituindo:
C = 2. π . 2,82 = 17,71 m.
Acompanhe este problema, cuja solução requer o cálculo da área do círculo:
Você tem um amigo que é ligado a um centro de cultura chinesa, e ele foi encarregado 
de produzir um painel com a figura do Yin-Yang, que representa o princípio das forças 
fundamentais do universo. A figura terá de ser pintada em preto e em branco, e o 
seu amigo deseja saber qual é a área referente a cada cor, sabendo que a figura está 
inscrita em um quadrado de 2 metros de lado. 
Circunferência24
Fonte: Pyty/Shutterstock.com.
Ao analisar a figura Yin Yan no Geogebra, você pode verificar que as partes branca 
e escura ocupam metade do círculo, cada uma.
Agora, a solução fica fácil, pois, como o diâmetro da circunferência equivale ao 
lado do quadrado, e, logicamente, o raio tem metade da medida do lado, utilizando 
π = 3,14, temos que:
A = πr2
Substituindo:
A = 3,14. 12 = 3,14 m2
Assim, cada parte da figura tem 1,57 m2 de área.
25Circunferência
BRASIL. Ministério da Educação. Objetos educacionais. 2019. Disponível em: www.
objetoseducacionais2.mec.gov.br. Acesso em: 09 jul. 2019.
CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. Ângulo central e ângulo inscrito: dedução da 
relação. 2019. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/angulo-central-e-
-angulo-inscrito-deducao-da-relacao/. Acesso em: 09 jul. 19.
Leitura recomendada
CHANDLER, S. et al. GCSE higher mathematics. Cheltenham: Stanley Thornes, 1996.
Circunferência26