Funções de duas variáveis_ Cálculo Vetorial 2018_2

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Cálculo Vetorial
ENGENHARIA: CICLO BÁSICO 
DISCIPLINA: CÁLCULO VETORIAL
PROF. M.Sc. ELIAS ARCANJO
1. PROFESSOR NA NET: professoreliasarcanjo@gmail.com
2. ENG. NASSAU NA NET: http://blogs.uninassau.edu.br/
3. OPORTUNIDADES: http://carreiras.sereducacional.com
4. EMENTA: • Funções de várias variáveis;
• Derivadas Parciais;
• Campos escalares e vetoriais;
• Gradiente;
• Derivada Direcional;
• Divergência; Rotacional;
• Laplaciano;
• Funções vetoriais;
• Integrais 
Múltiplas; 
• Integral de linha; 
• Teorema da 
Divergência, de 
Green e Stokes.
BIBLIOGRAFIA
5. LIVROS-TEXTOS:
1. STEWART, JAMES. “ Cálculo Vol. 2”; Cengage Learning
2. LARSON, HASTETLER e EDWARDS. “Cálculo com Aplicações”. Ed LTC.
3. MORETTIN, PEDRO A; HAZZAN, SAMUEL. “Cálculo- Funções de uma e 
várias variáveis”; Ed. Saraiva .
6. LIVROS COMPLEMENTARES:
1. Hamilton Luiz Guidorizzi, “Um Curso de Calculo” Vol II. Ed LTC.
2. Deborah Hughes, “Calculo Vol. 2 - a Uma e a Várias Variáveis” Ed LTC.
3. LEITHOLD, Louis. “O Cálculo com Geometria Analítica”. Ed Harbra, 
PROGRAMAÇÃO
I UNIDADE
1. Funções de várias variáveis;
2. Derivadas Parciais;
3. Campos escalares e vetoriais;
4. Gradiente e Derivada Direcional;
5. Divergência
6. Rotacional e Laplaciano;
II UNIDADE 
7. Integrais Múltiplas;
8. Integrais polares;
9. Integral de linha;
10. Teorema da Divergência, de Green e Stokes
DISCIPLINAS 
RELACIONADAS
• GEOMETRIA ANALÍTICA;
• ÁLGEBRA LINEAR; 
• CÁLCULO DIFERENCIAL;
• CÁLCULO INTEGRAL ;
CALENDÁRIO
DAS AVALIAÇÕES
Primeira Avaliação 4 a 11 de outubro
Segunda Avaliação
27 de novembro a 4 
dezembro
Segunda chamada 05 a 12 de dezembro
Avaliação Final 13 a 20 de dezembro
OBSERVAÇÕES
1. A avaliação de segunda chamada será baseada em todo conteúdo da
disciplina.
2. Avaliação Final: só poderá se submeter à avaliação final o aluno que
obtiver somatório de notas (1ª e 2ª avaliações) igual ou superior a
oito e ter participado de, pelo menos, 75% da carga horária da
disciplina.
3. ALERTAS:
a. Aluno com falta em número superior a 20 estará automaticamente
reprovado.
b. O aluno reprovado por falta não poderá fazer prova final. A
reprovação por falta sobrepõe-se à aprovação por média.
c. É terminantemente proibido falar ao celular, consumir alimentos e
fumar na sala de aula.
d. Nas avaliações o limite de tolerância para a entrada do aluno em sala
será de 50 minutos. Se dentro deste intervalo algum aluno entregar a
prova, prevalecerá este tempo como limite.
e. Alunos não matriculados não poderão participar de qualquer atividade
acadêmica.
f. Alunos regularmente matriculados só poderão participar de prova de
2ª chamada se seus nomes constarem na ata fornecida pela Secretaria
ou mediante autorização desta.
OBSERVAÇÕES
Funções de duas variáveis
EXEMPLO
EXEMPLO1: Para cada uma das seguintes funções, calcule f 
(3, 2) e encontre o domínio.
EXEMPLO
EXEMPLO2: Determine o domínio e a imagem de 𝑔 𝑥, 𝑦 =
9 − 𝑥2 − 𝑦²
Gráficos
Outra forma de visualizar o comportamento
de uma função de duas variáveis é considerar seu
gráfico.
Definição: Se f é uma
função de duas variáveis com
domínio D, então o gráfico de f é
o conjunto de todos os pontos
(x,y,z) em IR³ tal que z = f(x,y) e
(x,y) pertence a D.
EXEMPLOS
EXEMPLO 3: Esboce o gráfico da função
f (x, y) = 6-3x- 2y.
EXEMPLOS
EXEMPLO 3: Esboce o gráfico da função
f (x, y) = 6-3x- 2y.
Resposta:
EXEMPLOS
EXEMPLO4: Esboce o gráfico de 𝑔 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦²
EXEMPLOS
EXEMPLO4: Esboce o gráfico de 𝑔 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦²
Resposta: 
EXEMPLOS
EXEMPLO5: Determine o domínio e a imagem e esboce o 
gráfico de ℎ 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 + 𝑦2.
EXEMPLOS
EXEMPLO5: Determine o domínio e a imagem e esboce o 
gráfico de ℎ 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 + 𝑦2.
Resposta: 
CURVAS DE NÍVEL
Definição As curvas de nível de uma função f
de duas variáveis são aquelas com equação
f(x, y) = k, onde k é uma constante (na imagem
de f ).
CURVAS DE NÍVEL
Curva de nível f (x, y) = k é o conjunto de todos
os pontos do domínio de f nos quais o valor de f
é k. Em outras palavras, ela mostra onde o
gráfico de f tem altura k.
EXEMPLOS:
EXEMPLO5: Um mapa de contorno para uma 
função f é mostrado na Figura 14. Use-o para 
estimar os valores de f (1, 3) e f (4, 5).
EXEMPLOS:
EXEMPLO5: Um mapa de contorno para uma 
função f é mostrado na Figura 14. Use-o para 
estimar os valores de f (1, 3) e f (4, 5).
Resposta 
EXEMPLOS
EXEMPLO5: Esboce as curvas de nível da função 𝑔 𝑥, 𝑦 =
9 − 𝑥2 − 𝑦²
EXEMPLOS
EXEMPLO5: Esboce as curvas de nível da função 𝑔 𝑥, 𝑦 =
9 − 𝑥2 − 𝑦²
Resposta: 
EXEMPLOS
EXEMPLO6: Esboce algumas curvas de nível da função
h(x, y) = 4x2 + y2 = 1.
EXEMPLOS
EXEMPLO6: Esboce algumas curvas de nível da função
h(x, y) = 4x2 + y2 = 1.
Resposta:
Funções de Três ou Mais Variáveis
Uma função com três variáveis, f, é
uma regra que associa a cada tripla
ordenada (x,y,z) em um domínio D ∈ IR3 um
único número real, denotado por f (x, y, z).
Por exemplo, a temperatura T em um ponto
da superfície terrestre depende da latitude x
e da longitude y do ponto e do tempo t, de
modo que podemos escrever T = f (x, y, t).
EXEMPLOS
EXEMPLO7: Encontre o domínio de f se 
f (x, y, z) ln(z-y)+ xysen z
EXEMPLOS
EXEMPLO8: Encontre as superfícies de nível da função.
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
EXEMPLOS
EXEMPLO8: Encontre as superfícies de nível da função.
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2
Resposta: 
Problemas Propostos
PP1: Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de
f (x, y) = 4 +2x- y.
PP2: Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de
𝑔 𝑥, 𝑦 = 25 − 𝑥2 − 𝑦²
PP3: Determine o domínio e a imagem e esboce o gráfico de
ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑦2.
PP4: Esboce o gráfico das funções:
𝑎) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦² + 1
PP5: Faça o esboço do mapa de contorno das funções:
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 9𝑦² 𝑏) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 36 − 9𝑥2 − 4𝑦²