GAB_IME-2013

Prévia do material em texto

Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
1 
MATEMÁTICA / FÍSICA / QUÍMICA 
 
01 B 21 D 
02 B 22 D 
03 C 23 D 
04 E 24 B 
05 D 25 D 
06 A 26 A 
07 B 27 D 
08 C 28 E 
09 D 29 B 
10 C 30 E 
11 A 31 D 
12 C 32 D 
13 A 33 A 
14 E 34 E 
15 E 35 B 
16 C 36 E 
17 E 37 C 
18 D 38 D 
19 E 39 B 
20 B 40 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
2 
GABARITO COMENTADO 
 
01. Os polinômios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 + bx + 12 possuem duas raízes 
comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação 
a) a = b 
b) 2a = b 
c) a = 2b 
d) 2a = 3b 
e) 3a = 2b 
 
Solução: 
Se 1 2x e x são raízes de   ( )P x e Q x , então são também raízes de: 
    2 6   P x Q x ax bx , 
Logo 1 2 6x x . 
Sendo 3 4x e x as outras raízes de     ,P x e Q x respectivamente, e usando as relações de 
Girard nos polinómios originais temos: 
1 2 3 18 x x x e 
1 2 4 12 x x x 
Logo, 
3 3 x e 4 2 x . Aplicando nos polinómios temos: 
 3 0  P 
 0 27 9 18    a 
1a 
 2 0  Q 
0 8 2 12   b 
2b 
Logo 2b a. 
 
Opção: B 
 
 
02. Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão 
[4cos2 (9) – 3][4cos2 (27) – 3]: 
a) sen (9°) 
b) tg (9°) 
c) cos (9°) 
d) sec (9°) 
e) cossec (9°) 
 
Solução: 
Usando que   3cos 3 4cos 3cos x x x : 
2 24cos 9 ) 3 4cos 27( ) 3(         
3 34cos 9 ) 3cos 9 ) 4cos 27 ) 3cos 27 )
9 ) c
( (
os 27 )
( (
( (
    
   
   
 
cos
 
cos 27 ) cos 81( (
( (
)
cos 9 ) cos 27 )
   
   
   
 
(
(
(
9 )
9 )
cos 9 )

sen 
tg 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
3 
Opção: B 
03. Considere a equação  
2
3x 3
3
log log x 1.
x
  A soma dos quadrados das soluções reais 
dessa equação está contida no intervalo 
a) [0, 5) 
b) [5, 10) 
c) [10, 15) 
d) [15, 20) 
e) [20, ∞) 
 
Solução: 
 
2
3x 3
3log log 1  x
x
 
 
3 2
3
3
3log
log 1
log 3
 x x
x
 
 
23
3
3
1 log
log 1
1 log

 

x
x
 x
, Fazendo 3log ,x a temos: 
21 1
1

  

a
a
a
 
3 2 2 0   a a a 
0 1 2   a ou a ou a , logo 
1 3 1 / 9  x ou x ou x , 
A soma desejada é: 
2
2 2 1 8111 3
9 81
 
    
, que pertence ao intervalo [10,15]. 
Opção: C 
 
 
04. Considere as inequações abaixo: 
 
I) a2 + b2 + c2  ab + bc + ca 
II) a3 + b3  a2b + ab2 
III) (a2 – b2)  (a – b)4 
 
Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de 
a) II apenas. 
b) I e II apenas. 
c) I e III apenas. 
d) II e III apenas. 
e) I, II e III. 
 
Solução: 
(I) Verdadeira 
Sabemos que      
2 2 2
0     a b a c a b , desenvolvendo os quadrados temos: 
2 2 22 2 2 2 2 2 0      a b c ab bc ac 
2 2 2    a b c ab bc ac 
 
(II) Verdadeira 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
4 
3 3 2 2  a b a b ab 
3 2 2 3 2 23 3 4 4    a a b ab b a b ab 
 
3
4 ( )   a b ab a b , como a e b são positivos: 
 
2
4  a b ab 
2 22 0   a ab b 
 
2
0 a b , logo a afirmação é verdadeira. 
 
(III) Falsa 
Basta tomar 0 1 a e b 
 
42(0 1 ) 0 1    
1 1  , Logo a afirmação é falsa. 
 
Logo as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
 
Opção: B 
 
 
05. Considere o sistema de equações 
 

 
ax by c
px qy d
 com a, b, c, d, p e q reais, abcd ≠ 0, 
a + b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p + q é 
a) m 
b) 
m
n
 
c) m2 – n2 
d) mn 
e) m + n 
 
Solução: 
Como o sistema é indeterminado: 

        

a b c a b c dm ncm
p q mn
p q d p q d c c
 
 
Opção: D 
 
 
06. O coeficiente de x4y4 no desenvolvimento de (1 + x + y)10 é 
a) 3150 
b) 6300 
c) 75600 
d) 81900 
e) 151200 
 
Solução: 
Como  
10
10
10!
1 x y 1 x y
! ! !
  
 
     
  
 , o coeficiente de 4 4x y é dado por 
10!
3150
2! 4! 4!

 
. 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
5 
 
Opção: A 
 
07. Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B e C. 
Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH = AM = 4, a soma dos possíveis 
valores inteiros de BM é 
a) 11 
b) 13 
c) 18 
d) 21 
e) 26 
 
Solução: 
Traçando HM(mediana relativa à hipotenusa no triângulo retângulo AHC) temos pela 
síntese de Clairaut 2 2 2BM 4 4 32 BM 6     e pela desigualdade triangular 
BM 4 4 8   . Daí, tem-se que os valores inteiros de BM são 6 e 7 . 
 
Opção: B 
 
 
08. Seja ∆ o determinante da matriz 2 3
1 2 3
.
1
 
 
 
  
x x x
x x
 O número de possíveis valores de x 
reais que anulam ∆ é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Solução: 
 
 
2 3 2
3 2 3
3 2
1 2 3 1 2 3
xx x x 1 x x
x x 1 x x 1
x 1 3x 2x 3x 2 x
x x 3x 4x 2
  
     
   
 
A soma dos coeficientes do polinômio entre parentesis é igual a zero, 1 é raiz logo 
 1 3 4 2 
1 1 2 2 0 
 
Tem-se então    2x x 1 x 2x 2     e como 2x 2x 2  não possui raízes reais, logo, 
 anula-se apenas para 2 valores reais. 
 
Opção: C 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
6 
 
 
09. Seja o número complexo 
2
,
(1 )


a
z
ib ib
 onde a e b são números reais positivos e 
i 1  . Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e (–) rd, o 
valor de a é 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
Solução: 
De acordo com o enunciado,  z 1 cis 1     logo 
 
 
 
2
2
2 3 2 3
3
a
1 a ib 1 2bi b
ib 1 ib
a ib 2b b i a 2b i b b
b b 0 b 0 ou b 1
       

        
     
 
Como b 0, tem-se que b 1 e daí 2a 2b 0 a 2    . 
 
Opção: D 
 
 
10. Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de termos de uma progressão 
aritmética e de uma progressão geométrica com razão r e q, respectivamente, onde r e q 
são números inteiros. O número 3 e o número 192 participam destas duas progressões. 
Sabe-se que o terceiro termo de 
8
1
1 ,
 
  q
 em potências crescentes de 
1
,
q
 é .
9
r
q
 O 
segundo termo da progressão aritmética é 
a) 12 
b) 48 
c) 66 
d) 99 
e) 129 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
7 
 
 
 
Solução: 
2
3 2
1 r 28 r8T rq 9 28
q 9q 9qq2
   
             
 
Na PA temos    192 3 n 1 r 189 n 1 r      com n 0 e r 0 
Na PG temos 
 
 
 
n 1 6 n 1192 64 q 2 q
3 q 2 e n 7 não serve
q 4 e n 4 serve
q 8 e n 3 não serve
     
 

  

 
 
Daí, 
189
q 4, n 4 , r 63
3
    e 
2
a 3 r 3 63 66     . 
 
Opção: C 
 
 
11. Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste 
se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade deste 
menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 
a) 
6
9
2
 
b) 
6
35
2
 
c) 
2
9!
 
d) 
9
35
2
 
e) 
9
9!
2
 
 
Solução: 
Após os 9 movimentos há a ocorrência de x caras e y coroas daí’ 
x y 9 x 7 e y 2
x y 5 x 2 e y 7
 
     
      
 
 
O menino terminará 5m afastado da origem se os lançamentos forem uma permutação de 
LLLLLLLOO ou OOOOOOOLL onde L cara e O coroa . 
Logo 
9 9 6
9!
2
7! 2! 2 9 4 9
P
2 2 2
 
     
   . 
 
Opção: A 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
8 
 
 
12. Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizadonesta 
haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x 
positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca 
de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B 
percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do 
plano cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo 
ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito é 
a) 49x2 + 9y2 – 280x + 120y – 441 = 0 
b) 49x2 – 406x – 49y2 + 441 = 0 
c) 9x2 + 49y2 – 441 = 0 
d) 9x2 + 9y2 + 120y – 441 = 0 
e) 9x2 – 49y2 – 441 = 0 
 
Solução: 
 
 
Na reta temos: cos sen
7 3
 
x y
θ  e  θ 
Como: 2 2cos 1 θ sen  θ , temos: 
2 2
1
49 9
  
x y 2 29 49 441 0  x y 
 
Opção: C 
 
 
13. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal e altura h. Uma esfera de raio R 
está inscrita nesta pirâmide. O volume desta pirâmide é 
a) 
22 3
3 –2
h R h
h R
 
b) 
23
3 2
h R h
h R
 
c) 
22 3
3 2
h R h
h R
 
d) 
23
3 –2
h R h
h R
 
e) 
22 3
3 –
h R h
h R
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
9 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
2 2 2
2 22
22
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
R h R R h 2Rh R
AOP AHM
3L 3LL 3 3L hh
4 42 4
R h 2Rh R R h 2Rh
3L 3L 3L h
h
4 4 4
3L 4hR
R h h 2Rh L
4 3 h 2R
  
      

   
  
 
    

 
Daí, 
 
2 2 2
21 L 3 h 3 4hR h 3 2h 3 R hV 6 h L V
3 4 2 2 3 h 2R3 h 2R
          

. 
 
Opção: A 
 
 
14. Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferência tangentes cujos centros 
formam um pentágono regular inscritível em uma circunferência de raio R. O perímetro da 
figura é 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
10 
 
 
a) 
7
10 –2 5
2
R
 
b) 
7
10 5
4


R
 
c) 
7
10 2 5
2


R
 
d) 
7
10 2 5
4


R
 
e) 
7
10 –2 5
4
R
 
 
Solução: 
 Tem-se  51
L
L em radianos
2
    e como 
7
252 252
5180
 
     então, 
5
1 5
L7 7
L L
5 2 10
 
    . Daí, 
1 5
7
2p 5L L
2

  mas 
5
R
L 10 2 5
2
  e portanto, 
7 R
2p 10 2 5
4

  . 
 
Opção: E 
 
 
15. Considere os conjuntos A, B, C e D, não vazios, contidos no mesmo conjunto universo 
U. A simbologia F representa o complemento de um conjunto F em relação ao conjunto U. 
Assinale a opção correta 
a) Se A  D  C e B  D  C então A  B  C 
b)                   A B C A B C A B C A B 
c)                  A B C A B C A B C A B C 
d)                         A B C A B C A B C A B B C A C 
e) Se A  C e B  C então  A B C 
 
Solução: 
 Temos A B A B A B A B A B         . Consequentemente, a opção E é equivalente 
a se A C e B C  então A B C  . 
Utilizando-se diagramas de Venn verifica-se facilmente que as demais opções são falsas. 
 
Opção: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
11 
 
 
16. Uma partícula de carga q e massa m está sujeita a dois campos elétricos ortogonais Ex 
(t) e Ey (t), dados pelas equações: 
Ex (t) = 5 sen (2t) 
Ey (t) = 12 cos (2t) 
 
Sabe-se que a trajetória da partícula constitui uma elipse. A velocidade escalar máxima 
atingida pela partícula é: 
a) 
5 q
2 m
 
b) 
q
5
m
 
c) 
q
6
m
 
d) 
13 q
2 m
 
e) 
q
13
m
 
 
Solução: 
x
y
q
a .5 sen(2t)
m
q
a .12 cos(2t)
m



 

 
x
y
q 5
v – . cos(2t)
m 2
q 12
v . sen(2t)
m 2



 

 
máx ymáx
q
V V 6
m
  
 
Opção: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
12 
 
 
 
17. 
 
 
Um foguete de brinquedo voa na direção e sentido indicados pela figura com velocidade 
constante v. Durante todo o voo, um par de espelhos, composto por um espelho fixo e um 
espelho giratório que gira em torno do ponto A, faz com que um raio laser sempre atinja o 
foguete, como mostra a figura acima. O módulo da velocidade de rotação do espelho é: 
a) [v sen ()] / d 
b) [v sen2 ( / 2)] / d 
c) [v sen2 ()] / d 
d) [v sen ()] / 2d 
e) [v sen2 ()] / 2d 
 
Solução: 
 
 
vsen 2 l   
sen=
d d
l
l sen
 

 
d
vsen 2
sen
  

 
2vsen
2d

  
 
Opção: E 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
13 
 
 
 
18. 
 
Um objeto puntiforme encontra-se a uma distância L de sua imagem, localizada em uma 
tela, como mostra a figura acima. Faz-se o objeto executar um movimento circular 
uniforme de raio r (r<<L) com centro no eixo principal e em um plano paralelo à lente. A 
distância focal da lente é 3L/16 e a distância entre o objeto e a lente é x. A razão entre as 
velocidades escalares das imagens para os possíveis valores de x para os quais se forma 
uma imagem na posição da tela é: 
a) 1 
b) 3 
c) 6 
d) 9 
e) 12 
 
Solução: 
16 1 1 3 1
x L ou x L
3L x L – x 4 4
     
Vobj =  r 
Vim =  r’ 
 
r ' L – x
r x
 
'
1
3
L – L
4r r
3
L
4

 
 
'
1
r
r
3
 
'
2
1
L – L
4r r
1
L
4
 
'
2
r 3r 
'
2
'
1
v 3r
rv
3



 
'
2
'
1
v
9
v
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
14 
 
Opção: D 
 
 
19. 
 
 
 
Um corpo de 300 g de massa é lançado de uma altura de 2,20 m em relação ao chão como 
mostrado na figura acima. O vetor velocidade inicial vo tem módulo de 20 m/s e faz um 
ângulo de 60° com a vertical. O módulo do vetor diferença entre o momento linear no 
instante do lançamento e o momento linear no instante em que o objeto atinge o solo, em 
kg.m/s, é: 
Dado: 
aceleração da gravidade: 10 m/s2. 
a) 0,60 
b) 1,80 
c) 2,25 
d) 3,00 
e) 6,60 
 
Solução: 
2
0 0
at
s s v t
2
   
21 10t
0 2,2 20 t
2 2
     
2
0,20
/5t 10t 2,2 0\
2,2

   
 
Como 
F t m v    
x 0,3 10 2,2 6,6    
 
Opção: E 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
15 
 
 
 
 
 
20. 
 
 
 
A figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por uma barra vertical AC e 
um cabo CD, de pesos desprezíveis, e por uma barra horizontal BD. A barra vertical é 
fixada em A e apoia a barra horizontal BD. O cabo de seção transversal de 100 mm2 de 
área é inextensível e está preso nos pontos C e D. A barra horizontal é composta por dois 
materiais de densidades lineares de massa 1 e 2 . Diante do exposto, a força normal por 
unidade de área, em MPa, no cabo CD é: 
Dados: 
• aceleração da gravidade: 10 m/s2; 
• densidades lineares de massa: 1 = 600 kg/m e 2 = 800 kg/m. 
 
a) 100 
b) 125 
c) 150 
d) 175 
e) 200 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
16 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
1 1 1
P g l 600x10x1 6.000N    
2 2 2
P g l 800x10x1 8.000N    
Fazendo o momento em relação à B 
2Tsen 6.000x0,5 8.000x1.5   
2 2
1,5
2T 3.000 12.000
2 1,5
 

 
15.000
T 12.500
1,2
  
6
F 12.500
125 MPa
A 100x10
  
 
Opção: B 
 
 
21. Quando uma corda de violão é tocada, o comprimento de onda da onda sonora 
produzida pela corda 
a) é maior que o comprimento de onda da onda produzida na corda, já que a distância 
entre as moléculas do ar é maior que a distância entre os átomos da corda. 
b) é menor que o comprimento de onda da onda produzida na corda, já que a massa 
específica do ar é menor que a massa específica da corda. 
c) é igual ao comprimento de onda da onda produzida na corda, já que as frequências das 
duas ondas são iguais. 
d) pode ser maior ou menor que o comprimento de onda da onda produzida na corda, 
dependendo das velocidades de propagação da onda sonora e da onda produzida na 
corda. 
e) pode ser maior ou menor que o comprimento de onda daonda produzida na corda, 
dependendo das frequências da onda sonora e da onda produzida na corda. 
 
Solução: 
Supondo a frequência do som situada na faixa audível, o comprimento de onda da onda 
sonora poderá ser maior ou menor que o comprimento de onda na corda. 
 
Opção: D 
 
 
22. 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
17 
 
A figura acima apresenta uma partícula com velocidade v, carga q e massa m penetrando 
perpendicularmente em um ambiente submetido a um campo magnético B. Um anteparo 
está a uma distância d do centro do arco de raio r correspondente à trajetória da partícula. 
O tempo, em segundos, necessário para que a partícula venha a se chocar com o anteparo 
é: 
 
Dados: 
• v = 10 m/s 
• B = 0,5 T 
• q = 10 C 
• m = 10 x 10–20 kg 
• 
2
d r
2
 
 
a) 40  x 10–15 
b) 20  x 10–15 
c) 10  x 10–15 
d) 5  x 10–15 
e) 2,5  x 10–15 
 
Solução: 
 
 
 
I. 
d 2
cos cos rad
r 2 4

        
II. 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
18 
m cpF m a q v   
2v
B m  
q B
r m

   
Como t t

      

 
20
15
6
m 10 10
t t t 5 10 s
q B 4 10 10 0,5



   
        
  
 
 
Opção: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Em certos problemas relacionados ao escoamento de fluidos no interior de dutos, 
encontram-se expressões do tipo: 
 
3
2
kal
v
  
 
A grandeza  possui a mesma dimensão da razão entre potência e temperatura. O termo k 
é a condutividade térmica, conforme descrito pela Lei de Fourier. As dimensões dos 
parâmetros a e l são, respectivamente, as mesmas de aceleração e comprimento. A 
dimensão de v para que a equação acima seja dimensionalmente correta é igual a: 
a) raiz quadrada da aceleração. 
b) quadrado da velocidade. 
c) produto do comprimento pela raiz quadrada da velocidade. 
d) produto da velocidade pela raiz quadrada do comprimento. 
e) produto do comprimento pelo quadrado da velocidade. 
 
Solução: 
2 3
0
P L M T  
    
       
 
2 2 3
2
Q e L M T L L M T
K
t A T L
        
    
                      
 
2a L T L        
3
22
L
K a
      

M 3T
  
L 2 3
2
T L
L
 
M 3T
  
 
2 3 2L T    
2 2 2L L T    
L v          
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
19 
Opção: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. 
 
 
 
Uma onda plana de frequência f propaga-se com velocidade v horizontalmente para a 
direita. Um observador em A desloca-se com velocidade constante u (u < v) no sentido 
indicado na figura acima. 
Sabendo que  é o ângulo entre a direção de propagação da onda e de deslocamento do 
observador, a frequência medida por ele é: 
a) 
u
1 cos( ) f
v
 
  
 
 
b) 
u
1– cos( ) f
v
 
 
 
 
 
c) 
f
u
1– cos( )
v

 
d) 
f
u
1 cos( )
v
 
 
e) 
cos( )
f
u
1
v


 
 
Solução: 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
20 
 
med
v –ucos
f f
v

 
med
u
f f (1– cos )
v
  
 
Opção: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Um feixe de luz de intensidade I incide perpendicularmente em uma lâmina de vidro de 
espessura constante. A intensidade da onda transmitida do ar para o vidro e vice-versa é 
reduzida por um fator q (0<q<1). 
Ao chegar a cada interface de separação entre o ar e o vidro, a onda se divide em refletida 
e transmitida. A intensidade total da luz que atravessa o vidro, após sucessivas reflexões 
internas no vidro, é dada por: 
a) q2I 
b) 
2
qI
2 – q
 
c) 
2qI
1 q
 
d) 
qI
2 – q
 
e) 
1
q(1 q)I
2
 
 
Solução: 
Iinc = It + Ir 
 
1. 
 
 inc r
t
I 1 q I I I
I 1 q I
qI I qI
   
  
 
 
 
 
2. 
   
2
inc 2 2
r2 r
2 t
I qIqI q q I
I qI q I I q q I
I q I
q I
  
     


 
3. 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
21 
 
     
 
 
 
2 2
inc 2
2 r2 3 2 2
t
q q q I I q q I
I q q 1 I
q q I q 2q q I q q 1 I I q q q I
   
  
        
 
 
4. 
     
 
 
 
   
2 2 2 2
2inc 2
r2 22 2
t
q q 1 I q 1 q q I I q q 1 I
I q 1 q q I
q q 1 I I q q 1 I
      
   
   
 
Note que os componentes transmitidos na face inferior formam uma PG infinita de primeiro 
termo q2I e razão (q – 1)2. Logo, a intensidade total será a soma dos termos dessa PG, ou 
seja, 
 
2
tot 2 tot
q I qI
I I
2 q1 q 1
  
 
 
 
Opção: D 
 
 
 
 
 
 
26. 
 
 
 
Um objeto puntiforme de massa m é lançado do ponto A descrevendo inicialmente uma 
trajetória circular de raio R, como mostrado na figura acima. Ao passar pelo ponto P o 
módulo da força resultante sobre o objeto é 17 mg, sendo g a aceleração da gravidade. 
A altura máxima hmax que o objeto atinge na rampa é: 
a) 3R 
b)  17 –1 R 
c)  17 1 R 
d)  17 2 R 
e) 18R 
 
Solução: 
 
2
2 2 2 2 2
R
F (mg) N 17mg (mg) N N 4mg      
 
(I) 
Além disso, 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
22 
2
centro cp
V
F ma N m
R
    (II) 
Das equações (I) e (II), segue que 
2
2V4mg m V 4R g
R
   
Tomando-se o chão como referência da conservação de energia, tem-se que: 
max
2
m,P m,h max max max
1 4Rg
E E mV mgR mgh Rg gh h 3R
2 2
         
 
Opção: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27. Um automóvel percorre uma estrada reta de um ponto A para um ponto B. Um radar 
detecta que o automóvel passou pelo ponto A a 72 km/h. 
Se esta velocidade fosse mantida constante, o automóvel chegaria ao ponto B em 10 min. 
Entretanto, devido a uma eventualidade ocorrida na metade do caminho entre A e B, o 
motorista foi obrigado a reduzir uniformemente a velocidade até 36 km/h, levando para 
isso, 20 s. Restando 1 min para alcançar o tempo total inicialmente previsto para o 
percurso, o veículo é acelerado uniformemente até 108 km/h, levando para isso, 22 s, 
permanecendo nesta velocidade até chegar ao ponto B. O tempo de atraso, em segundos, 
em relação à previsão inicial, é: 
a) 46,3 
b) 60,0 
c) 63,0 
d) 64,0 
e) 66,7 
 
Solução: 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
23 
 
 
As áreas sob AF e ABCDE devem ser iguais, logo: 
(20 10)20 (10 30)22
20.300 10.220 30(t 562) t 664s
2 2
t 664 600 64s
 
      
    
 
 
Opção: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28. 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
24 
 
 
Um cabo subterrâneo inicialmente isolado, instalado entre os pontos A e B, possui 
resistência de 0,01 /m. Este cabo se rompeu e seu ponto de ruptura apresenta fuga de 
corrente para a terra. Para determinar o ponto de rompimento do cabo e escavar o terreno 
de modo a sanar o problema, foi montado o aparato apresentado na figura acima, 
composto por uma bateria Vb ajustada para fornecer uma corrente constante de 10 A ao 
circuito formado pela resistência R e pelo cabo. O valor da tensão da bateria é mostrado 
por um voltímetro que apresenta um erro de medição de +/– 10 %. Sabendo que a leitura 
do voltímetro é 16,67 V, é CORRETO afirmar que: 
a) a partir da leitura do voltímetro no ensaio, pode-se concluir que o comprimento total do 
cabo é 2 km. 
b) a distância mínima de x para se iniciar a escavação é 224 m. 
c) a distância máxima de x para se encerrar a escavação é 176 m. 
d) o ponto x = 240 m está dentro do intervalo provável de ruptura do cabo. 
e) o ponto x = 210 m está dentro do intervalo provável de ruptura do cabo. 
 
Solução: 
 
 
Da associação paralelo obtemos: 
10i1 = 0,01x . ix 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
25 
1
x
i 0,01x
i 10
 
1 x
x x
i i 0,01x 1010
i 10 i
 
  
x
100
i
0,01x 10


 
 
Pelo enunciado: 
X x b b
R .i V 10%V  
100
0,01x. 16,67 1,667
0,01x 10
 

 
x 50 5
0,01x 10 3 3
 

 
Maior extensão possível: 
3x=0,55x + 550
1
X 224,49m  
Menor extensão possível: 
3x=0,45x + 450
2
X 176,47m  
Com isto: 210 m é um ponto dentro do intervalo considerado possível. 
 
Opção: E 
 
 
29. Em um experimento existem três recipientes E1, E2 e E3. 
Um termômetro graduado numa escala X assinala 10°X quando imerso no recipiente E1, 
contendo uma massa M1 de água a 41°F. O termômetro, quando imerso no recipiente E2 
contendo uma massa M2 de água a 293 K, assinala 19°X. No recipiente E3 existe 
inicialmente uma massa de água M3 a 10°C. As massas de água M1 e M2, dos recipientes E1 
e E2, são transferidas para o recipiente E3 e, no equilíbrio, a temperatura assinalada pelo 
termômetro é de 13°X. Considerando que existe somente troca de calor entre as massas 
de água, a razão 1
2
M
M
é: 
a) 2 + 0,2 3
2
M
M
 
b) 2 
c) 1 + 3
2
M
M
 
 
d) 0,5 
e) 0,5 – 2 3
2
M
M
 
 
Solução: 
Transformações: 
41 F 5 C 10 X
293K 20 C 19 X
  
 
  

 
 
 
 
Relacionando: 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
26 
 
Do esquema, no equilíbrio térmico, conclui-se que 
e
10 C  . 
1 2 3
Q Q Q 0   
1 e 1 2 e 2 3 e 3
m c( ) m c( ) m c( ) 0            
1 2 3
m (10 5) m (10 20) m (10 10) 0      
1
2
m
2
m
 
 
Opção: B 
 
 
30. 
 
 
No circuito apresentado na figura acima, a chave S é fechada e a corrente fornecida pela 
bateria é 20 A. Para que o fusível F, de 1,5 A, não abra durante o funcionamento do 
circuito, o valor da resistência variável R, em ohms, é: 
Consideração: 
O capacitor está descarregado antes do fechamento da chave S. 
a) R 120 
b) 95R 115 
c) 80R 100 
d) 55  R 65 
e) R  45 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
27 
Solução: 
Inicialmente o capacitor funciona como curto circuito 
 
 
 
 
R
R
R i 5ì
i ì 20
 

 
 
 
 
 
 
Temos: 
3i' 2i'
1,5 i' 18A
4 3
    
Com isto: Ri 2A e R 45 ; 
No curto circuito 1,5 A é a corrente máxima. Teremos então 
max
i' 18A e o resistor R 
deverá ser menor ou igual a 45 para drenar, no mínimo, Ri 2A . 
Logo R 45  
 
Opção: E 
 
 
31. Dadas as reações: 
 
PCl3 + 3H2O  H3PO3 + 3HCl 
PCl5 + 4H2O  H3PO4 + 5HCl 
 
Assinale a afirmativa correta: 
a) As reações podem ser classificadas como reações de deslocamento ou troca simples. 
b) O fósforo sofre oxidação em ambas as reações. 
c) O ácido fosforoso é um triácido formado por ligações covalentes. 
d) Os ânions fosfato e fosfito  23HPO  possuem geometria tetraédrica. 
e) O pentacloreto de fósforo gasoso é um composto iônico. 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
28 
Solução: 
Analisando cada alternativa temos: 
a) Falsa. As reações dadas são de dupla troca. 
b) Falsa. O nox do fósforo se mantém igual a +3 na primeira reação e +5 na segunda 
reação. 
c) Falsa. O ácido fosforoso é um diácido (o H3PO3 possui apenas dois átomos de hidrogênio 
ionizáveis). 
d) Verdadeira. 
- O íon fosfato possui número estérico, NE = A4E0 = 4, onde: 
A4 = Número de átomos em torno do átomo central; 
E0= Número de pares de elétrons isolados em torno do átomo central. Logo NE = 4, com 
geometria básica tetraédrica igual à geometria molecular, porque todos os vértices estão 
ocupados por átomos. 
- O íon fosfito possui também geometria tetraédrica: 
 
 
 
Número Estérico = 4. 
 
Opção: D 
 
 
32. Dados os íons: 16S
2–; 19K
+; 56Ba
2+, indique qual das relações abaixo apresenta os íons 
isoeletrônicos em ordem correta de raio iônico. 
a) K+ > S2– 
b) Ba2+ = S2– 
c) Ba2+ > S2– 
d) K+ < S2– 
e) Ba2+ < S2– 
 
Solução: 
Será necessário primeiramente determinar as espécies químicas isoeletrônicas: 
19K
+: 18 elétrons 
16S
-2: 18 elétrons 
56Ba
+2: 54 elétrons. 
Observa-se que os dois primeiros íons são isoeletrônicos. Portanto quanto maior o número 
atômico, menor o raio. 
 
Opção: D 
 
 
33. Dentre as opções abaixo, escolha a que corresponde, respectivamente, às classes das 
moléculas: hemoglobina, amido, DNA, ácido palmítico. 
a) Proteína, glicídio, ácido nucleico, lipídio. 
b) Ácido nucleico, glicídio, lipídio, proteína. 
c) Proteína, proteína, lipídio, ácido nucleico. 
d) Glicídio, proteína, ácido nucleico, lipídio. 
e) Glicídio, lipídio, ácido nucleico, proteína. 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
29 
 
Solução: 
- Hemoglobina é uma hemoproteína de estrutura: 
 
- O amido é um glicídio de fórmula geral (C6H10O5)n, correspondente a um polímero de 
condensação da glicose; 
- DNA é um ácido nucleico em que a 2-desoxi-ribose está ligada a um radical fosfato e a 
uma base nitrogenada; 
- Ácido palmítico é o ácido hexadecanoico, C15H31COOH. De fato, nos lipídios ocorrem 
palmitatos, que são ésteres do ácido palmítico. 
 
Opção: A 
 
 
34. Um tambor selado contém ar seco e uma quantidade muito pequena de acetona líquida 
em equilíbrio dinâmico com a fase vapor. A pressão parcial da acetona é de 180,0 mm Hg e 
a pressão total no tambor é de 760,0 mm Hg. 
Em uma queda durante seu transporte, o tambor foi danificado e seu volume interno 
diminuiu para 80% do volume inicial, sem que tenha havido vazamento. Considerando-se 
que a temperatura tenha se mantido estável a 20ºC, conclui-se que a pressão total após a 
queda é de: 
a) 950,0 mm Hg 
b) 1175,0 mm Hg 
c) 760,0 mm Hg 
d) 832,0 mm Hg 
e) 905,0 mm Hg 
 
Solução: 
Estado inicial: 
Pressão parcial do ar seco: 
Par = 760 – 180 mmHg = 580 mmHg 
Obs: 180 mmHg é o valor da pressão máxima de vapor da acetona a 20%. 
 
Estado final: 
A redução do volume a 80% de seu valor inicial promove um aumento da pressão parcial 
do ar, que pode ser calculado por: 
580.V=(Par)f.0,8V 
(Par)f = 580/0,8 = 725 mmHg 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
30 
O fato de parte da acetona da fase vapor ter sofrido condensação não altera a sua pressão 
máxima de vapor, pois não ocorreu variação de temperatura. Logo, a pressão total final 
será: 
(Ptotal)f = 725 + 180 = 905 mmHg. 
 
Opção: E 
 
 
35. Um erlenmeyer contém 10,0 mL de uma solução de ácido clorídrico, juntamente com 
algumas gotas de uma solução de fenolftaleína. De uma bureta, foi-se gotejando uma 
solução 0,100 M de hidróxido de sódio até o aparecimento de leve coloração rósea. Nesse 
momento, observou-se um consumo de 20,0 mL da solução alcalina. Pode-se afirmar que a 
concentração de HCl na solução ácida original era de: 
Dados: 
Massas atômicas: H = 1,00 u, O = 16,0 u, Na = 23,0 u, Cl = 35,5 u 
a) 3,65 x 10–3 g/cm3 
b) 7,30 x 10–3 g/cm3 
c) 4,00 x 10–3 g/cm3 
d) 3,20 x 10–3 g/cm3 
e) 2,00 x 10–3 g/cm3 
 
Solução: 
O aparecimento de uma “leve coloração rósea” indica que o ácido foi completamente 
consumido e a solução se encontra neutra. 
HCl + NaOH = NaCl + H2O 
n(HCl) = n(NaOH) 
C(HCl).V(HCl)
M(NaOH).V(NaOH)
MM(HCl)
C(HCl).10
0,1.20
36,5


 
C(HCl)=7,3 g/L=7,3.10-3 g/cm3 
 
Opção: B 
 
 
36. O gráfico abaixo ilustra as variações de energia devido a uma reação química 
conduzida nas mesmas condições iniciais de temperatura, pressão, volume de reator e 
quantidades de reagentes em dois sistemas diferentes. Estes sistemas diferem apenas pela 
presença de catalisador. Com base no gráfico, é possível afirmar que: 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
31 
 
a) A curva 1 representa a reação catalisada, que ocorre com absorção de calor. 
b) A curva 2 representa a reação catalisada, que ocorre com absorção de calor. 
c) A curva 1 representa a reação catalisada com energia de ativação dada por E1 + E3. 
d) A curva 2 representa a reação não catalisada, que ocorre comliberação de calor e a 
sua energia de ativação é dada por E2 + E3. 
e) A curva 1 representa a reação catalisada, que ocorre com liberação de calor e a sua 
energia de ativação é dada por E1. 
 
Solução: 
a) Falsa. A reação é exotérmica. 
b) Falsa. A reação catalisada é a representada pela curva 1, que tem energia de ativação 
menor. 
c) Falsa. A energia de ativação é E1. 
d) Falsa. A reação é não catalisada, ocorrendo a liberação de calor (ΔH<0), mas sua 
energia de ativação é dada por E2. 
e) Correta. 
 
Opção: E 
 
 
37. O dispositivo a seguir utiliza a radiação solar para quantificar variações em 
propriedades termodinâmicas. 
Este dispositivo é composto por uma lente convergente e por um porta-amostras. A lente 
possui área útil de 80,0 cm2, absortividade   de 20% e transmissividade   de 80%. 
O porta-amostras possui absortividade de 100% e volume variável, operando à pressão 
constante de 1,0 atm. 
 
 
Em um procedimento experimental, injetou-se 0,100 mol de uma substância pura líquida 
no porta-amostras do dispositivo. Em seguida, mediu-se um tempo de 15,0 min para a 
vaporização total da amostra, durante o qual a irradiação solar permaneceu constante e 
igual a 750 W/m2. Nesse processo, a temperatura do porta-amostras estabilizou-se em 351 
K. No experimento, o calor sensível da amostra e a radiação emitida pelo porta-amostras 
são desprezíveis. Pode-se concluir que na vaporização total da substância, as variações de 
entalpia molar padrão e de entropia molar padrão são, respectivamente: 
a) 4,32 kJ/mol e 12,3 J/(mol K) 
b) 5,40 kJ/mol e 15,4 J/(mol K) 
c) 43,2 kJ/mol e 123 J/(mol K) 
d) 54,0 kJ/mol e 154 J/(mol K) 
e) 31,6 kJ/mol e 90,0 J/(mol K) 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
32 
 
 
Solução: 
I = 750.80.10-4 W = 6 W 
Considerando que o problema afirma que há 80%  (0,80) de transmissividade, 
P = 6 W x 0,80 = 4,80 W 
P = 4,80 x 15 x 60 J = 4320 J 
A potência calculada foi para 0,100 mol de substância pura líquida. Portanto para 1 mol 
teremos uma quantidade de calor 10 vezes maior: 
Q = 43200 J = 43,20 kJ/mol 
Sendo a entropia definida como rev
Q
S
T
  , 
43200 J / mol
S 123,08 J / mol.K
351 K
   
 
Opção: C 
 
 
38. Os trabalhos de Joseph John Thomson e Ernest Rutherford resultaram em importantes 
contribuições na história da evolução dos modelos atômicos e no estudo de fenômenos 
relacionados à matéria. Das alternativas abaixo, aquela que apresenta corretamente o 
autor e uma de suas contribuições é: 
a) Thomson - Concluiu que o átomo e suas partículas formam um modelo semelhante ao 
sistema solar. 
b) Thomson - Constatou a indivisibilidade do átomo. 
c) Rutherford - Pela primeira vez, constatou a natureza elétrica da matéria. 
d) Thomson - A partir de experimentos com raios catódicos, comprovou a existência de 
partículas subatômicas. 
e) Rutherford - Reconheceu a existência das partículas nucleares sem carga elétrica, 
denominadas nêutrons. 
 
Solução: 
a) Falsa. Contribuição de Rutherford. 
b) Falsa. Suposição de Dalton. 
c) Falsa. Trabalho de Thomson. 
d) Correta. A descarga elétrica em tubos com gases rarefeitos evidenciou a existência de 
raios que partiam de cátodo, ou seja, de carga elétrica negativa. Esses raios eram dotados 
de quantidade de movimento porque moviam as pás de um molinete interposto na sua 
trajetória. Logo, tinham massa. 
 Como qualquer gás no tubo sob pressão suficientemente baixa produzia esses raios, 
Thomson concluiu que eram formados por um constituinte universal da matéria. Tais 
constituintes são os mesmos que Stoney batizara de elétrons três anos antes. 
e) Falsa. Tais partículas são os nêutrons, descobertos por Chadwick em 1932. 
 
Opção: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
33 
 
39. Com relação às emissões radioativas observadas no planeta Terra, assinale a 
alternativa correta: 
a) A emissão de uma partícula  resulta em um elemento situado em uma posição 
imediatamente à direita do elemento original, na tabela periódica. 
b) A radiação  frequentemente acompanha uma emissão  ou  . 
c) Raios  são radiações eletromagnéticas, de comprimento de onda superior ao da luz 
visível, cuja emissão não resulta em mudanças do número atômico ou do número de 
massa do elemento. 
d) As reações de fusão nuclear ocorrem quando núcleos de átomos pesados, como urânio 
ou tório, são bombardeados com nêutrons, quebrando-se em átomos menores e 
liberando energia e radioatividade. 
e) O decaimento  se deve à alta instabilidade do núcleo de 4
2
He , o que faz com que este 
se separe facilmente de núcleos maiores. 
 
Solução: 
(a) Falsa. A emissão de uma partícula alfa de um átomo resulta em um nuclídeo com 
número atômico menor em duas unidades. Logo, se o elemento original for do grupo 3, da 
tabela periódica, em diante, o nuclídeo filho estará à esquerda do átomo original. 
(b) Verdadeira. A emissão de fótons de alta frequência acompanha em geral emissões de 
radiação alfa ou beta, diminuindo o estado energético do núcleo excitado. 
(c) Falsa. Raios gama são fótons de alta frequência e pequeno comprimento de onda. 
(d) Falsa. Trata-se de fissão e não de fusão nuclear. 
(e) Falsa. A emissão de radiação alfa ocorre devido à instabilidade nuclear de átomos 
pesados, que têm grande número de núcleons próximos. 
 
Opção: B 
 
 
40. Com respeito aos orbitais atômicos e à teoria da ligação de valência, assinale a 
alternativa INCORRETA. 
a) Um orbital atômico híbrido sp3 tem 25% de caráter s e 75% de caráter p. 
b) Um elétron 2s passa mais tempo do que um elétron 2p numa região esférica centrada 
no núcleo e bem próxima deste. 
c) Os elétrons em orbitais híbridos de um carbono sp3 percebem um efeito de atração 
elétrica do núcleo de carbono maior do que os elétrons em orbitais híbridos de um 
carbono que apresenta hibridização sp. 
d) Uma ligação tripla representa uma ligação s e duas ligações  . 
e) A energia dos orbitais p de um átomo aumenta de 2p para 3p, deste para 4p, e assim 
por diante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
34 
 
 
Solução: 
(a) Verdadeira. São três orbitais p hibridizados com um orbital s: 
 
 + 1s = 25% e 3p = 75% 
s px py pz 
 3p 
 
(b) Verdadeiro, pois o orbital s é esférico. 
(c) As ligações simples (elétrons de orbitais sp3) são maiores que as ligações duplas ou 
triplas (elétrons de orbitais sp2 e sp, respectivamente). Portanto, os últimos estão mais 
próximos do núcleo e sofrem maior atração eletrostática. 
(d) Verdadeiro. Nas ligações múltiplas, a primeira é sigma e as demais pi. 
(e) Verdadeiro. Para um mesmo subnível, a energia cresce com aumento do número 
quântico principal. 
 
Opção: E 
 
 
Equipe de professores do Sistema ELITE de Ensino 
 
MATEMÁTICA 
Haroldo Filho 
Arnaldo 
Renato Madeira 
Gilberto Gil 
Pedra 
Orlando 
Marcelo Xavier 
José Francisco 
Rafael Sabino 
Gandhi 
Ailton Calheiros 
André Felipe 
Bruno Ramos 
Rodrigo Barcellos 
Ricardo Secco 
 
FÍSICA 
Sérgio Gouveia 
Noronha 
Maurício Santos 
Philipe Borba 
Marco Rogério 
 
QUÍMICA 
Nabuco 
Eurico 
Edward 
Grillo 
Eder 
 
Sistema ELITE de Ensino IME 2012/2013 
 
www.sistemaeliterio.com.br 
35