Conjuntos Numéricos

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RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲ 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 
18, 19, 20, 21, 22…} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, 
existem infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por 
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, 
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui 
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-
1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao 
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, 
deixam resto 1. 
 
Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
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- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 
+ 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado 
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado 
par: 2 x 3 = 6. 
 
NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Isto é, 
Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, 
mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer 
que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre N e Z: 
 
 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de 
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: 
 
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a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os 
números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero 
também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz 
parte. 
 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais são aqueles que podem ser representados na 
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números 
que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número 
inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número 
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 
pelo número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer 
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro 
é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A 
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dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo 
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz 
sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito 
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional 
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque 
a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0
0
, cujo valor é 
indeterminado). 
 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um 
número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também 
poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-
lo como , ou mesmo simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra 
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
As dízimas periódicas são consideradas racionais porque 
também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo 
poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem 
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encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima 
periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou 
. 
 
 Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão 
origem a dízimas periódicas. Por exemplo, ao dividir 1 por 3 você obterá 
0,333... , ou simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a “fração geratriz” da 
dízima 0,3 é igual a 1
3
. Existem métodos que nos permitem, a partir de 
uma dízima periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a 
vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início 
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa 
logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde 
existem números entre a vírgula e o início da repetição. 
 
 Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração 
que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
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 Como a repetição é formada por um único número (3), se 
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado 
da vírgula, o primeiro número da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X – X = 3,333... – 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas.Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X   
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X  . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da 
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há 
nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de 
X a fração geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
 
 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
999X = 216 
216 24
999 111
X   
 
 Assim, a geratriz de 0, 216 é a fração 24
111
. 
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 Casos onde existem números entre a vírgula e o início da 
repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... 
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e 
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de 
X a fração geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, 
apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira 
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 – 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X  
 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . 
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes 
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
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 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. 
Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois 
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, 
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela 
direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades 
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a 
próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e 
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, 
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. 
Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
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 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a 
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de 
adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros ou 
racionais possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não 
altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos 
primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer 
ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está 
presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, 
pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 
2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de 
dois números racionais SEMPRE gera outro número racional, e a soma de 
dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos 
números inteiros e racionais 2 e 5 gera o número inteiro e racional 7 (2 + 
5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de 
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 
unidades de 9, restando 4 unidades: 
9 – 5 = 4 
 
 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a 
subtração de números. Vamos efetuar a operação 365 – 97: 
 
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365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do 
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a 
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não 
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da 
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, 
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim 
podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade 
da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos 
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma 
unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta 
levarmos este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
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 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 
97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades 
da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o 
resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois 
(A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A 
 
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao 
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros ou 
racionais possui essa propriedade, pois a subtração de dois números 
racionais SEMPRE gera outro número racional, e a subtração de dois 
números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. 
 
- elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, 
com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 
e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele 
número que, somado a A, resulta em zero:A + (-A) = 0 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de 
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 
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15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o 
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo 
número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. 
Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio 
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos 
colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
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 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 
5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) 
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). 
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de 
números. Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
 
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 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-
13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) 
deveríamos obter 741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A 
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 
x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois 
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, 
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá 
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, 
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número 
racional, e a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera outro 
número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa 
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
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d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A 
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao 
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso 
abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) 
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor 
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da 
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
715 |18 
 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto 
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um 
resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor 
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 As regras de sinais na divisão são as mesmas da 
multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos 
obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
 
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A 
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A 
/ B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de 
(3/5)/2. 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao 
dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 
1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números 
inteiros e números racionais. A divisão de números racionais possui a 
propriedade do fechamento, pois ela SEMPRE gera um número racional 
(ex.: 2 / 100 = 0,02; que é racional). Já a divisão de números inteiros 
NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos 
obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 
0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros. 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 Os números decimais são, em regra, aqueles queresultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem 
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução 
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes 
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição 
comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a 
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma 
embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita 
para a esquerda. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os 
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, 
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 
 13,47 
+ 2,9 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo 
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa 
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal 
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as 
casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o 
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a 
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com 
isso, temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, 
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo 
número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita 
para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos 
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. 
 
c) Multiplicação de números decimais: 
 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na 
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número 
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você 
saberá posicionar a vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
39,063 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação 
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 
2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à 
frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, 
lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo 
multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente 
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o 
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, 
de modo a retirar ambas as casas decimais: 
 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, 
tendo como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi 
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em 
seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
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1.1.1 Números primos e fatoração 
Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, 
sem deixar resto, por 1 e por si mesmo. Veja, por exemplo, o número 7. 
Como qualquer número, ele pode ser dividido por um, tendo como 
resultado 7 e não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo 
por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto diferente de zero. 
Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. 
Portanto, 7 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele 
mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade, como os 
listados abaixo: 
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...} 
A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. 
Todos os demais são ímpares. 
Qualquer número natural pode ser representado como uma 
multiplicação de números primos. Por exemplo, 6 pode ser representado 
por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um 
produto de números primos é chamado de fatoração. 
Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo 
por 2, que é o menor número primo (muitos autores não consideram que 
o 1 seja um número primo). Esta divisão é exata (não possui resto), e o 
resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado 6, e 
dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível 
dividir por 2. Assim, devemos partir para o próximo número primo, que é 
o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no 
resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 
3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x 2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 
x 3. Visualize este processo abaixo: 
Número Fator primo 
24 2 
12 2 
6 2 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
3 3 
1 Logo, 24 = 23 x 3 
 
 Para praticar, vejamos a fatoração do número 450: 
Número Fator primo 
450 2 
225 3 
75 3 
25 5 
5 5 
1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52 
 
Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é 
divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3 ou 5. Apenas ao chegar o fator 
primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo: 
 
Número Fator primo 
1001 7 
143 11 
13 13 
1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13 
 
A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum 
e Máximo Divisor Comum entre dois números, como veremos a seguir. 
 
1.1.2 Múltiplos e divisoresde números naturais 
Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua 
prova, vale a pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos 
e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e 
máximo divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas 
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para saber se um número é ou não divisível por outro (critérios de 
divisibilidade). 
Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser 
obtidos multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os 
múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem 
ser obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando 
temos 2 números X e Y, e listamos os múltiplos de cada um deles, 
podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos 
listar alguns múltiplos de 8 e de 12: 
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc. 
Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc. 
 Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 
12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O 
menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum 
(MMC) entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de 
diversos exercícios, como veremos adiante. 
 Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado 
pelos seguintes passos: 
1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos; 
2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não 
comuns dos dois números, de maior expoente. 
 Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E 
decompondo 12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3. 
 Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns 
(3) de maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24). 
 A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 
15 = 3x5, e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45. 
 Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de 
questões, imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, 
gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma 
realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヶ 
3 
Números cuja soma dos 
algarismos é divisível por 3 
0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 
(1+5 = 6), 27 (2+7=9), 51 
(5+1=6), 915 (9+1+5=15) 
etc. 
4 
Se o número formado pelos 2 
últimos dígitos for divisível por 
4 
0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc. 
5 
Números terminados em 0 ou 
5 
0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc. 
6 
Números divisíveis por 2 e por 
3 
0, 6, 12, 924 (é par, e 
9+2+4=15) etc. 
9 
Números cuja soma dos 
algarismos é divisível por 9 
0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 
9), 7155 (7+1+5+5=18) etc. 
10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc. 
*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito 
difíceis, motivo pelo qual praticamente não são cobrados. 
 
Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A 
e B o maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de 
maneira exata, isto é, sem deixar resto. 
Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números 
listando os divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os 
divisores de 32 e 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8. 
 Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40. 
Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada 
número (como fizemos acima), basta seguir 2 passos: 
1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 
40 = 235) 
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2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de 
menor expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor 
expoente é 3. Logo, MDC = 23 = 8); 
 
Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o 
seguinte caso: temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar 
grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os 
grupos devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número 
de grupos possível? 
Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 
20 e 30 pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 
20 quanto 30, sem deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30. 
Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos 
também que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, 
devemos formar grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães 
em cada, e 3 grupos com 10 gatos em cada. Assim, o menor número de 
grupos possível é 5. 
 
Podemos ainda calcular o MMC e o MDC mais rapidamente, 
fatorando os números simultaneamente. Vejamos como fazer isso com 
exemplos: 
 
a) Cálculo do MMC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
em ordem crescente. Nosso objetivo é dividir os números até ambos 
ficarem iguais a 1. Veja: 
 
30 40 Fator primo 
30/2 = 15 40/2 = 20 2 
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15 (não dá p/ dividir por 
2) 
20 / 2 = 10 2 
15 (não dá p/ dividir por 
2) 
10 / 2 = 5 2 
15 / 3 = 5 5 (não dá p/ dividir por 3) 3 
5 / 5 = 1 5 / 5 = 1 5 
 MMC = 23 x 3 x 5 = 
120 
 
b) Cálculo do MDC entre 30 e 40: 
 Inicialmente escrevemos os dois números, um em cada coluna. Na 
terceira coluna vamos escrever os fatores primos que dividem os 
números. Devemos começar pelos menores fatores primos (2, 3, 5...), 
em ordem crescente. Aqui o nosso objetivo é dividir os números apenas 
pelos fatores que sejam capazes de dividir ambos os números 
simultaneamente: 
 
30 40 Fator primo 
15 20 2 
3 4 5 
 MDC = 2 x 5 = 10 
 
 Outro ponto interessante é saber calcular rapidamente a 
quantidade de divisores de um determinado número. Para você 
entender como fazer isso, vamos retomar aqui os divisores de 32 e de 40: 
- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32. 
- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 
 
 Note que 32 tem 6 divisores, e o 40 possui 8 divisores. Como 
poderíamos obter esta quantidade de divisores sem precisar listar todos? 
É simples: basta seguir os passos abaixo. 
 
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1º passo) fatore o número. Ex.: 32 = 1x25; 40 = 1x23x5 
 
2º passo) some 1 unidade a cada expoente dos fatores primos, e então 
multiplique esses valores. 
Ex.: veja que 32 é representado por 1x25, ou melhor, 11 x 25. 
Somando 1 unidade em cada expoente, e então multiplicando esses 
valores, ficamos com (1+1) x (5+1) = 1x6 = 6. Este é o número 
de divisores de 32. 
Ex.2: como 40 é igual a 11x23x51, podemos fazer 
(1+1)x(3+1)x(1+1) = 2x4x2 = 8. Portanto, 40 possui 8 divisores. 
 
 
1.1.3 Frações e operações com frações 
Ao trabalhar comnúmeros racionais, recorrentemente estaremos 
lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. 
Escrever 
2
5 é equivalente a escrever 2 5 . As frações estão 
constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é 
essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o 
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, 
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o 
exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 
8x3 = 24). 
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 Para trocar o denominador da fração 1
6
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 3
8
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da 
outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da 
segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
 
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente 
podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1 1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de 
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600)
4
  . 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a 
resposta é dada pela expressão 5 ( )
9
X Y  . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao 
longo dos exercícios! 
 
1.1.4 Potenciação 
Já tivemos que trabalhar com potências nesta aula, ao abordar a 
fatoração, mas nesta seção veremos mais detalhes sobre esta operação 
matemática. Observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125    
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes 
cinco”) 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a 
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele 
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
42 2 2 2 2 16     
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 
vezes”) 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma 
base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito 
básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas 
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos 
dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1

 

 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado 
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
30 0 0 0 0    
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4 . Normalmente você faria 
assim: 
      2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas 
potências têm a mesma base 4: 
   2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4 4 4 16
4 4 4 4
   
   
 
 
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o 
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4 4 4 16
4
   
 Analogamente, observe que 33
1 4
4
 . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4 4 4
4 4
    
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador 
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente 
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4  . Temos duas formas: 
 Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, 
somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16      
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g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3) , podemos 
fazer de algumas formas: 
 2 2(2 3) (6) 36   
 2(2 3) (2 3) (2 3) 36      
 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36      
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado à 
uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número 
natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 
1 seguido de “n” zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000


 
 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, 
basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 110 0,001
10 1000
1 110 0,000001
10 1000000


  
  
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos 
analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é 
positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, 
como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso 
melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8      
 Veja um exemplo com expoente par: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ 
que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem emprego. Veja outros 
exemplos: 
 
- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição 
previdenciária”: de cada 100 reais que você recebe como salário, 11 
devem ser pagos para a previdência. 
 
- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 
adultos no Brasil, 20 são analfabetos. 
 
- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação 
ao ano anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 
2010, passaram a existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes 
grávidas. 
 
- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da 
década”: para cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje 
temos 100 – 5, isto é, 95 fumantes. 
 
 Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa 
de um todo, basta efetuar a seguinte divisão: 
quantia de interessePorcentagem= 100%
total
 
 
 Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças 
representam em um total de 4 crianças, temos: 
 
quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%
total 4
      
 
 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um 
número decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % 
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significa “dividido por 100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que 
é igual a 0,75: 
 
7575% 0,75
100
  
 
 Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e 
queremos saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo 
por 100%: 
 
1000,025 0,025 0,025 100% 2,5%
100
     
 
 Por fim, se quantia de interessePorcentagem = 100%
total
 , então também 
podemos dizer que: 
 
quantia de interesse = porcentagem total 
(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100100% 1
100
  ) 
 
 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% 
de 300, basta multiplicar 20% por 300: 
 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 
pessoas. Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à 
multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300, e assim por 
diante. 
 
 Ainda no tema porcentagens, se queremos reduzir um preço de 100 
reais em 12% devemos subtrair 12% de 100, ou seja: 
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Preço final = 100 – 12% x 100 
Preço final = 100 – 12 
Preço final = 88 reais 
 
Assim, observe que uma redução de 12% corresponde a multiplicar 
o valor inicial por 0,88, ou seja, por 88%. Da mesma forma, um aumento 
de 25% levaria os 100 reais a: 
Preço final = 100 + 25% x 100 = 125 reais 
 
Ou seja, aumentar em 25% corresponde a multiplicar o valor inicial por 
1,25. Em termos gerais: 
- para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%); 
- para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). 
 
 Exemplificando, imagine uma blusa que custa 250 reais. Se na 
semana anterior à Black Friday elevarmos o preço em 25%, o novo preço 
será: 
250 x (1 + 25%) = 250 x 1,25 = 312,50 reais 
 
 Se na Black Friday dermos um “mega desconto” de 30%, chegamos 
a: 
312,50 x (1 – 30%) = 312,50 x 0,70 = 218,75 reais 
(veja que podemos anunciar: de R$312,50 por R$218,75!!) 
 
 Veja que poderíamos ter feito as duas operações de uma vez, para 
chegar diretamente no preço final, assim: 
250 x (1,25) x (0,70) = 250 x 0,875 = 218,75 reais 
 
 Repare que, no fim das contas, vendemos por 0,875 vezes o preço 
inicial, ou 87,5% do preço inicial. Assim, o desconto real foi de apenas 
12,5%. 
1.4 PRODUTOS NOTÁVEIS 
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 Existem algumas expressões que costumam aparecer com 
frequência em nossos cálculos. Essas expressões são chamadas de 
“produtos notáveis”, e o conhecimento delas pode permitir que você 
agilize os seus cálculos e obtenha resultados mais rapidamente. Vejamos 
os principais casos: 
 
Quadrado da soma de dois termos 
 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da soma desses dois termos é simplesmente (a + b)2. Repare 
que: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
 
 Desenvolvendo essa expressão da direita da igualdade acima, 
utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos: 
(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b 
(a + b)2 = a2 + a.b + a.b + b2 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
 
 A expressão acima é o nosso “produto notável”. Ela nos diz que o 
quadrado da soma de dois termos é IGUAL ao quadrado do primeiro 
termo (a2) somado a duas vezes a multiplicação entre os termos (2.a.b) e 
somado ao quadrado do segundo termo (b2). 
 Vejamos um exemplo prático. Suponha que você precise fazer o 
cálculo de 572. Isso é o mesmo que: 
(50 + 7)2 
 
 Temos o quadrado de uma soma, que pode ser resolvido através do 
produto notável que já conhecemos acima: 
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 
(50 + 7)2 = 502 + 2.50.7 + 72 
(50 + 7)2 = 2500 + 100.7 + 49 
(50 + 7)2 = 2500 + 700 + 49 
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(50 + 7)2 = 3249 
 
Quadrado da diferença entre dois termos 
 Imagine que tenhamos duas variáveis em uma equação, “a” e “b”. 
O quadrado da diferença entre esses dois termos é simplesmente (a – 
b)2. Repare que: 
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) 
(a – b)2 = a.a – a.b – b.a + b.b 
(a – b)2 = a2 – 2.a.b + b2 
 
 Temos na linha acima mais um produto notável. Ele poderia ter 
sido usado para fazer também o cálculo de 572, lembrando que isto é 
equivalente a (60 – 3)2. Veja: 
572 = 
(60 – 3)2 = 
602 – 2x60x3 + 32 = 
3600 – 360 + 9 = 
3249 
 
Diferença entre dois quadrados 
 Observe que: 
(a + b) x (a – b) = 
a.a + a.b – b.a – b.b = 
a2 + a.b – a.b – b2 = 
a2 – b2 
 Ou seja, 
(a + b) x (a – b) = a2 – b2 
 
 Este é o nosso produto notável. Ele nos diz que a diferença entre 
dois números elevados ao quadrado (a2 – b2) é igual à multiplicação entre 
a soma deles (a + b) e a diferença entre eles (a – b). Portanto, caso você 
precise fazer, por exemplo, (82 – 72), basta calcular assim: 
a2 – b2 = (a + b) x (a – b) 
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82 – 72 = (8 + 7) x (8 – 7) 
82 – 72 = (15) x (1) 
82 – 72 = 15 
 Fácil, não? Vejamos mais produtos notáveis. 
Cubo da soma de dois números e Cubo da diferença entre dois 
números 
 A lógica desses produtos notáveis é similar à lógica que já vimos 
nos demais casos. Assim, para não perdermos tempo, vou disponibilizar 
para você diretamente as fórmulas desses dois casos: 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
Estes não são os únicos produtos notáveis existentes, mas são os 
mais importantes. Resumindo-os, temos: 
1. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
2. 2 2 2( ) 2a b a a b b      
3. 2 2( ) ( )a b a b a b     
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
5. 3 3 2 2 3( ) 3 3        a b a a b a b b 
 
 Vamos exercitar um pouco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
1. FCC – TRF/3ª – 2014) Um cofrinho possui apenas moedas de 25 
centavos e moedas de 1 real, em um total de 50 moedas. Sabe-se que a 
diferença entre o total de moedas de 25 centavos e de 1 real do cofrinho, 
nessa ordem, é igual a 24 moedas. O total de moedas de maior valor 
monetário em relação ao total de moedas de menor valor monetário 
nesse cofrinho corresponde, em %, a, aproximadamente, 
(A) 44. 
(B) 35. 
(C) 42. 
(D) 28. 
(E) 32. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo “m” a quantidade de moedas de 25 centavos, as moedas de 
1 real são 50 – m, pois a soma total é de 50 moedas. 
 Sabe-se que a diferença entre o total de moedas de 25centavos e 
de 1 real do cofrinho, nessa ordem, é igual a 24 moedas. Ou seja, 
m – (50 – m) = 24 
m – 50 + m = 24 
2m = 74 
m = 37 
 
 Assim, a quantidade de moedas de 25 centavos é de 37, e o 
restante (50 – 37 = 13) são moedas de 1 real. 
 O total de moedas de maior valor monetário (13) em relação ao 
total de moedas de menor valor monetário (37) nesse cofrinho 
corresponde, em %, a, aproximadamente: 
P = 13 / 37 = 35,13% 
Resposta: B 
 
 
 
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2. FCC – TRF/3ª – 2014) Um técnico precisava arquivar x processos em 
seu dia de trabalho. Outro técnico precisava arquivar y processos, 
diferente de x, em seu dia de trabalho. O primeiro técnico arquivou, no 
período da manhã, 2
3
 dos processos que precisava arquivar naquele dia. 
No período da tarde, esse técnico arquivou 3
8
 dos processos que 
arquivara pela manhã e ainda restaram 14 processos para serem 
arquivados. O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 3
5
 dos 
processos que precisava arquivar naquele dia. No período da tarde, o 
segundo técnico arquivou 5
18
 dos processos que arquivara pela manhã e 
ainda restaram 
42 processos para serem arquivados. Dessa forma, é possível determinar 
que, o técnico que arquivou mais processos no período da tarde superou 
o que o outro arquivou, também no período da tarde, em um número de 
processos igual a 
(A) 15. 
(B) 42. 
(C) 18. 
(D) 12. 
(E) 30. 
RESOLUÇÃO: 
 O primeiro técnico arquivou, no período da manhã, 2
3
 dos processos 
que precisava arquivar naquele dia, ou seja, 2x/3, restando para arquivar 
x/3 processos. No período da tarde, esse técnico arquivou 3
8
 dos 
processos que arquivara pela manhã, ou seja, arquivou 3 2
8 3 4
x x
  
processos, e ainda restaram 14 processos para serem arquivados. Isto 
significa que: 
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x = processos arquivados de manhã + processos arquivados à tarde + 
resto 
2 14
3 4
x xx    
12 8 3 168x x x   
168x  processos 
 No período da tarde, este técnico arquivou x/4 = 168/4 = 42 
processos. 
 O segundo técnico arquivou, no período da manhã, 3
5
 dos processos 
que precisava arquivar naquele dia, isto é, 3
5
y .No período da tarde, o 
segundo técnico arquivou 5
18
 dos processos que arquivara pela manhã, ou 
seja, 5 3
18 5 6
y y
  e ainda restaram 42 processos para serem arquivados. 
Assim, 
y = processos arquivados de manhã + processos arquivados à tarde + 
resto 
3 42
5 6
y yy    
30 18 5 1260y y y   
180y  processos 
 No período da tarde, este técnico arquivou y/6 = 180/6 = 30 
processos. 
 Dessa forma, é possível determinar que, o técnico que arquivou 
mais processos no período da tarde superou o que o outro arquivou, 
também no período da tarde, em um número de processos igual a 42 – 
30 = 12. 
Resposta: D 
3. FCC – CETAM – 2014) O número que corresponde ao resultado da 
expressão numérica: (3100 ÷ 69) ÷ (0,001ڄ5 +0,01ڄ4 +0,1ڄ) é igual a 
(A) 50. 
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(B) 5. 
(C) 0,05. 
(D) 2. 
(E) 0,5 
RESOLUÇÃO: 
 Resolvendo essa expressão: 
 = (100 ÷ 69) ÷ (0,001ڄ5 +0,01ڄ4 +0,1ڄ3)
(0,3+ 0,04+ 0,005) ÷ (0,69) = 
(0,345) ÷ (0,69) = 
345 / 690 = 
5 x 69 / 690 = 
5 x 1 / 10 = 
5 / 10 = 
0,5 
Resposta: E 
 
4. FCC – CETAM – 2014) Em uma bolsa de valores há duas modalidades 
de negócios: 
I. O investidor que compra ações e as vende no mesmo dia deverá pagar, 
a título de imposto de renda, 20% do lucro auferido. 
II. O investidor que compra ações e as vende, sem ser no mesmo dia da 
compra, deverá pagar, a título de imposto de renda, 15% do lucro 
auferido. 
Tendo prejuízo, em qualquer uma das modalidades, o investidor pode 
abater o prejuízo de algum lucro auferido, na mesma modalidade de 
negócio, antes de apurar o imposto de renda devido. Sendo assim, um 
investidor comprou e vendeu, no mesmo dia, ações de duas empresas. 
Em uma dessas vendas conseguiu um lucro de R$ 2.500,00 e na outra 
obteve um lucro de R$ 1.100,00. O mesmo investidor comprou e vendeu, 
no dia seguinte, ações de três empresas: em uma das vendas conseguiu 
um lucro de R$ 2.600,00, em outra teve um prejuízo de R$ 1.800,00 e na 
terceira lucrou R$ 500,00. Considerando apenas essas cinco negociações, 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
esse investidor deverá pagar, a título de imposto de renda, um valor igual 
a 
(A) R$ 1.185,00. 
(B) R$ 1.455,00. 
(C) R$ 1.240,00. 
(D) R$ 915,00. 
(E) R$ 840,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Nas duas primeiras operações descritas no enunciado a compra e a 
venda ocorreram no mesmo dia, de modo que em todos esses casos será 
aplicada a porcentagem de 20% sobre o lucro. Assim, podemos somar 
os lucros de cada operação, ficando com um lucro total de: 
Lucro total = 2.500 + 1.100 
Lucro total = 3.600 reais 
 Assim, o imposto a pagar neste caso será: 
Imposto de renda = 20% x 3.600 
Imposto de renda = 0,20 x 3.600 
Imposto de renda = 720 reais 
 Além disso, o investidor comprou outras 3 ações mas as vendeu 
apenas no dia seguinte, de modo que o imposto sobre essas ações é de 
15% sobre o lucro. Somando os lucros, e abatendo (subtraindo) o 
prejuízo de uma das operações, temos: 
Lucro total = 2.600 – 1.800 + 500 
Lucro total = 1.300 reais 
 
 O imposto a pagar será: 
Imposto de renda = 15% x 1.300 
Imposto de renda = 195 reais 
 
 Ou seja, o imposto total é: 
Imposto total = 720 + 195 = 915 reais 
Resposta: D 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ 
Obs.: note que a redação dessa questão é meio ambígua, pois em uma 
primeira leitura poderíamos entender que tanto no primeiro caso (as 2 
primeiras operações) como no segundo (as 3 últimas), as operações de 
venda teriam ocorrido no mesmo dia das respectivas compras, apenas 
com a diferença de que nas 2 primeiras isso ocorreu em um dia, e as 
outras 3 ocorreram no dia seguinte. 
 
5. FCC – CETAM – 2014) Uma empresa é formada por quatro sócios: 
Ricardo, João, Jonas e Alberto. O número de cotas de participação na 
empresa é, respectivamente: 10, 20, 30 e 40. Após uma desavença entre 
eles, Jonas resolveu sair da empresa e vendeu 5 de suas cotas para 
Ricardo, vendeu 10 para João e 15 para Alberto. Júlio entra na empresa 
como outro sócio e acrescenta à empresa o correspondente a 20 cotas. 
Desta maneira, a participação de Alberto na empresa, após a chegada de 
Júlio é, em porcentagem, um valor entre 
(A) 45 e 50. 
(B) 35 e 40. 
(C) 40 e 45. 
(D) 30 e 35. 
(E) 50 e 55. 
RESOLUÇÃO: 
 
 Logo após Jonas vender as suas cotas, ficamos com a seguinte 
distribuição: 
- Ricardo: 10 + 5 = 15 cotas 
- João: 20 + 10 = 30 cotas 
- Alberto: 40 + 15 = 55 cotas 
 
 Com a entrada de Júlio, com 20 cotas, o total de cotas da empresa 
passa a ser igual a 15 + 30 + 55 + 20 = 120, das quais 55 pertencem a 
Alberto. Desse modo, a participação percentual de Alberto passa a ser 
de: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヲ 
 
Alberto = 55 / 120 = 11 / 24 = 0,458 = 45,8% 
 
 Veja que esse número está entre 45 e 50 por cento. 
Resposta: A 
 
6. FCC – CETAM – 2014) A razão entre as idades de Roberta e Renato é 
a mesma que a razão entre 3
5
 e 2
3
 . A idade dos dois juntos, somadas, é 
menor que 60 anos, mas supera os 40 anos. O número de anos que 
Renato tem a mais que Roberta é igual a 
(A) 5. 
(B) 4. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 3. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos escrever que: 
Roberta / Renato = (3/5) / (2/3) 
 
 Ou seja, 
Roberta / Renato = (3/5) x (3/2) 
Roberta / Renato = 9/10 
Roberta = Renato x 9/10 
 
 A diferença de idade deles é expressa por: 
Diferença de idades = Renato - Roberta 
Diferença de idades = Renato - Renato x 9/10 
Diferença de idades = Renato x 10/10 - Renato x 9/10 
Diferença de idades = Renato x 1/10 
Diferença de idades = Renato / 10 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵン 
 Sabemos também que a soma das idades está entre 40 e 60 anos, 
ou seja, 
40 < Roberta + Renato < 60 
40 < Renato x 9/10 + Renato < 60 
40 < Renato x 9/10 + Renato x 10/10 < 60 
40 < Renato x 19/10 < 60 
400 < Renato x 19 < 600 
400/19 < Renato < 600/19 
 
(400/19)/10 < Renato/10 < (600/19)/10 
(400/19)/10 < Diferença de idades < (600/19)/10 
40/19 < Diferença de idades < 60/19 
2,1 < Diferença de idades < 3,1 
 
 O único número inteiro entre 2,1 e 3,1 é o número 3. Assim, esta é 
a diferença de idades entre eles. 
Resposta: E 
 
7. FCC – CETAM – 2014) De 1 a 100 são 20 os múltiplos de x. De 1 a 50 
são 7 os múltiplos de y. De 20 a 40 são z os múltiplos de 13. Sendo 
assim, o valor da expressão x . y − z é igual a 
(A) 14. 
(B) 25. 
(C) 22. 
(D) 33. 
(E) 37. 
RESOLUÇÃO: 
 De 1 a 100 são 20 os múltiplos de x. Dividindo 100 por 20 temos o 
resultado 5. Portanto, x = 5, pois temos 20 múltiplos de 5 no intervalo de 
1 a 100. 
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 De 1 a 50 são 7 os múltiplos de y. Dividindo 50 por 7 temos 
resultado 7 e resto 1. Portanto, y = 7, pois temos sete múltiplos de 7 
entre 1 e 50. 
 De 20 a 40 são z os múltiplos de 13. Veja que neste intervalo os 
múltiplos de 13 são 26 e 39, ou seja, z = 2 múltiplos neste intervalo. 
 Assim, 
x . y – z = 
5.7 – 2 = 
35 – 2 = 
33 
Resposta: D 
 
8. FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a 
operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 
7. 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao 
divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três 
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
(D) II. 
(E) III. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos 
tratando apenas de números inteiros não negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 
4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais. 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヵ 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 
7. 
 ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor. 
 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao 
divisor, o maior resto é igual a 7. 
 Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto, 
 
 Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever: 
Dividendo = divisor x divisor + resto 
88 = divisor x divisor + resto 
 
 Veja que o divisor por igual a 8, teríamos: 
88 = 8 x 8 + resto 
88 = 64 + resto 
resto = 22, 
o que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. 
 Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com: 
88 = 9 x 9 + resto 
88 = 81 + resto 
7 = resto 
 Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO. 
 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três 
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
 Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número 
de 4 algarismos (9.999) pelo maior número de três algarismos (999): 
9.999 x 999 = 
9.999 x (1000 - 1) = 
9999x1000 - 9999x1 = 
9.999.000 - 9.999 = 
9.999.000 - 10.000 + 1 = 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヶ 
9.989.000 + 1 = 
9.989.001 
 
 Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a 
afirmação deste item. CORRETO. 
Resposta: C 
 
9. FCC – CETAM – 2014) Em uma década, o número de dias que são 
múltiplos de 7 é igual a 
(A) 521. 
(B) 520. 
(C) 600. 
(D) 480. 
(E) 602. 
RESOLUÇÃO: 
 Em um mês os múltiplos de 7 são: 7, 14, 21 e 28. Isto é, a cada 
mês temos 4 múltiplos de 7 (veja que isso vale para meses de 28 a 31 
dias). Em 10 anos, ou 120 meses, temos 120 x 4 = 480 dias que são 
múltiplos de 7. 
Resposta: D 
 
10. FCC – CETAM – 2014) O quociente entre a menor e a maior fração 
do conjunto C = 1 2 3 5 1, , , ,
2 5 4 6 3
 
 
 
 , nessa ordem, é igual 
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C. 
(B) à metade de uma fração pertencente à C. 
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C. 
(D) a uma fração pertencente à C. 
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C. 
RESOLUÇÃO: 
 A menor fração do conjunto é 1/3, e a maior é 5/6. O quociente é: 
(1/3) / (5/6) = 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΑ 
(1/3) x (6/5) = 
6/15 = 
2/5 
 
 Veja que 2/5 é uma fração que pertence ao conjunto C. 
Resposta: D 
 
11. FCC – CETAM – 2014) Com sua promoção no trabalho, Renato 
teve um aumento de 16% no seu salário, passando a receber R$ 
2.807,20. O salário, em reais, que Renato recebia antes do aumento era 
um valor compreendido entre 
(A) 2.350,00 e 2.360,00. 
(B) 2.415,00 e 2.425,00. 
(C) 2.395,00 e 2.415,00. 
(D) 2.375,00 e 2.395,00. 
(E) 2.425,00 e 2.440,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de S o salário que renato recebia antes do 
aumento. Com um aumento de 16 por cento, o salário de renato passa 
para: 
(1 + 16%) x S 
 
 Sabendo que este valor final é igual a 2.807,20 reais. Ou seja, 
(1 + 16%) x S = 2.807,20 
1,16 x S = 2.807,20 
S = 2.807,20 / 1,16 
S = 2.420 reais 
Resposta: B 
 
12. FCC – CETAM – 2014) Em um ônibus com 70 passageiros, 70% 
deles estão sentados. Das passageiras mulheres, 80% estão sentadas e, 
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dos passageiros homens, 10% estão sentados. Sendo assim, o número de 
passageiros homens nesse ônibus é igual a 
(A) 12. 
(B) 15. 
(C) 22. 
(D) 26. 
(E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de H o número de homens presentes nesse ônibus. 
Como temos um total 70 de passageiros, dos quais H são homens, 
podemos dizer que as mulheres totalizam 70 - H passageiros.Os passageiros sentados correspondem a 70 por cento do total, ou 
seja, 
Sentados = 70% x 70 = 0,70 x 70 = 49 passageiros 
 
 Sabemos que 80 por cento das mulheres estão sentadas: 
Mulheres sentadas = 80% das mulheres = 80% x (70 - H) 
 
 Também sabemos que dez por cento dos homens estão sentados: 
Homens sentados = 10% dos homens = 10% x H 
 
 Como o total de pessoas sentadas é dado pela soma do número de 
homens sentados e de mulheres sentadas, podemos escrever: 
Sentados = Mulheres sentadas + Homens sentados 
49 = 80%x(70 - H) + 10%xH 
49 = 0,80x70 - 0,80xH + 0,10xH 
49 = 56 - 0,70xH 
0,70xH = 56 - 49 
0,70xH = 7 
H = 7 / 0,70 
H = 10 homens 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΓ 
 
 Portanto temos um total de 10 homens nesse ônibus. 
Resposta: E 
 
13. FCC – CETAM – 2014) Em um grupo de 54 pessoas, 32 falam 
inglês, 33 espanhol, 25 francês e 5 falam os três idiomas. Se todos do 
grupo falam pelo menos um idioma, o número de pessoas que falam 
exatamente dois idiomas é igual a 
(A) 24. 
(B) 26. 
(C) 25. 
(D) 23. 
(E) 27. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja no diagrama abaixo os conjuntos das pessoas que falam 
inglês, espanhol e francês. Note que eu já coloquei aquelas cinco pessoas 
que fazem parte dos três conjuntos, por falarem os 3 idiomas. Também 
chamei de A, B e C a quantidade de pessoas que falam 2 idiomas apenas, 
ou seja, pessoas que estão na interseção entre exatamente dois 
conjuntos: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヰ 
 Sabemos que trinta e duas pessoas falam inglês. Desse modo 
podemos dizer que as pessoas que falam APENAS inglês são 32 - A - 5 - 
C, ou seja, 27 - A - C. 
 De maneira análoga sabemos que 33 pessoas falam espanhol, de 
modo que a quantidade de pessoas que falam apenas este idioma é igual 
a 33 - A - 5 - B = 28 - A - B. 
 Por fim, como o total de falantes do idioma francês é igual a 25, 
podemos dizer que o número de pessoas que falam apenas francês é 
igual a 25 - C - 5 - B = 20 - B - C. 
 Colocando essas informações em nosso diagrama ficamos com: 
 
 Como o total de pessoas é igual a 54, podemos escrever que: 
54 = (27 - A - C) + A + 5 + C + (28 - A - B) + B + (20 - B - C) 
54 = 27 - A - C + A + 5 + C + 28 - A - B + B + 20 - B - C 
54 = 27 + 28 + 20 + 5 - A - B - C 
54 = 80 - A - B - C 
A + B + C = 80 - 54 
A + B + C = 26 
 Portanto a quantidade total de pessoas que fala exatamente dois 
idiomas (A + B + C) é igual a 26. 
Resposta: B 
 
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14. FCC – SABESP – 2014) Leonardo abriu seu cofrinho, que continha 
apenas moedas de 25 centavos, e comprou com o dinheiro um 
eletrodoméstico com 10% de desconto à vista. Sabendo que Leonardo 
usou 828 moedas nessa compra, o preço do eletrodoméstico sem o 
desconto, em reais, era igual a 
(A) 227,70. 
(B) 198,50. 
(C) 220,00. 
(D) 230,00. 
(E) 240,25. 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que 828 moedas de 25 centavos correspondem a: 
828 x 0,25 = 828 x 1/4 = 828 / 4 = 207 reais 
 
 Este é o preço do eletrodoméstico já comprou o desconto de 10 por 
cento pela compra à vista. Chamando de P o preço do eletrodoméstico 
sem o desconto, podemos dizer que o preço do eletrodoméstico com 10 
porcento de desconto corresponde a: 
P x (1 - 10%) 
 Assim podemos escrever que: 
P x (1 - 10%) = 207 
P x 0,90 = 207 
P = 207 / 0,90 
P = 2070 / 9 = 230 reais 
Resposta: D 
 
15. FCC – SABESP – 2014) No setor de arquivos de um escritório, 
existem 2.240 pastas arquivadas. Retirando-se certo número de pastas, 
as que sobram podem ser perfeitamente divididas entre 7 departamentos 
do escritório, ou entre 6 setores do escritório, o que é uma situação 
desejada. Nas condições dadas, o menor número de pastas que devem 
ser retiradas para que se atinja a situação desejada é igual a 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヲ 
(A) 31. 
(B) 17. 
(C) 23. 
(D) 14. 
(E) 9. 
RESOLUÇÃO: 
 Ao dividir 2240 por 7 você vai encontrar o quociente 320 e nenhum 
resto. Ou seja, 2240 é divisível por 7. Para continuar obtendo números 
divisíveis por 7 basta irmos subtraindo 7 unidades de 2240. Assim temos 
as possibilidades: 
2240, 2233, 2226 etc. 
 
 Ao dividir 2240 por 6 você vai encontrar o quociente 373 e o resto 
2. Isso significa que 2240 não é divisível por 6, entretanto se tirarmos 2 
unidades chegaremos número 2238 que é divisível por 6. A partir desse 
número podemos continuar tirando de 6 em 6 unidades para continuar 
obtendo números divisíveis por 6: 
2238, 2232, 2226, etc. 
 
 Note que o número 2226 é o maior número que aparece nas duas 
sequências, ou seja, divisível por 6 e por 7 ao mesmo tempo. Para 
chegar neste número basta tirarmos 2240 - 2226 = 14 pastas. 
Resposta: D 
 Obs.: uma forma mais rápida de resolver é percebendo que os 
múltiplos comuns de 6 e 7 são os números que são múltiplos de 6x7 = 
42. Assim, basta dividir 2240 por 42, obtendo resto 14. Tirando este resto 
14, é possível dividir o restante das pastas de maneira exata tanto por 6 
como por 7. 
 
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16. FCC – SABESP – 2014) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da 
fração 2
3
 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52
25
 
(B) 13
6
 
(C) 7
3
 
(D) 5
2
 
(E) 47
23
 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
2 5
3
x
x



 
2 + x = 5 . (3 – x) 
2 + x = 15 – 5x 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 13/6 
Resposta: B 
 
17. FCC – SABESP – 2014) O número que, ao substituir o x, torna a 
expressão 3.(1 )
4
x x  , exatamente, igual à expressão 2
5 10
x x
  é um 
número 
(A) menor do que 20. 
(B) divisor de 100. 
(C) múltiplo de 3. 
(D) múltiplo de 11. 
(E) maior que 65. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヵ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヴ 
RESOLUÇÃO: 
 Igualando as duas expressões, temos: 
3.(1 ) 2
4 5 10
x x xx     
3 3 4 2 2
4 4 10 10
x x x x
    
3 3 4 2 2
4 10
x x x x  
  
3 3 2
4 4 10
x x
   
3 32
4 10 4
x x
   
3 8 6 5
4 4 20 20
x x
   
11
4 20
x
 
11 20
4
x  
11 5 x  
55 x 
 Repare que 55 é múltiplo de 11, pois 55 = 5 x 11. 
Resposta: D 
 
18. FCC – SABESP – 2014) Dois lojistas concorrem vendendo o 
produto P pelo mesmo valor. Em um dia o lojista Q reajusta o preço de P 
em 10% e o lojista R reajusta o preço de P em 20%. Os compradores 
desaparecem. Uma semana depois, apavorados, os lojistas, querendo 
vender, resolveram abaixar o preço de P. O lojista Q diminuiu 10% e o 
lojista R diminuiu 20%. Os compradores voltaram e todos compram na 
loja de R. Isso se deve ao fato do preço de P, na loja de R, ser menor do 
que na loja de Q em, aproximadamente, 
(A) 3%. 
(B) 10%. 
(C) 15%. 
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO Pっ TERRACAP 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ;