AULA 9 - PROBABILIDADE

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 MATEMÁTICA E LÓGICA PROF SÉRGIO SARKIS RACIOCÍNIO MATEMÁTICO 
AULA 9 PROBABILIDADE 
 
DEFINIÇÃO 
Chama-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que: 
 
 
 
n(A) = número de possibilidades de A (Evento desejado ou casos favoráveis) 
n(E) = número de possibilidades do evento E (também chamado de espaço amostral) 
 
Importante: essa definição só tem validade se todos os elementos do evento (E) tiverem as mesmas 
chances de ocorrer, ou seja, se (E) for um espaço equiprovável. 
Da definição temos que uma probabilidade é sempre uma valor entre 0 e 1 ,ou seja, um valor entre 
0% e 100%. 
Quando P(A)= 0% temos um evento impossível 
Quando P(A) = 100% temos um evento certo. 
 
Exemplo 1 
No lançamento de dois dados, qual é o número total de possibilidades de resultados e qual é a 
probabilidade de obtermos soma igual a 8? 
a) 36 e 5% 
b) 36 e 14% 
c) 6 e 5% 
d) 5 e 6% 
e) 36 e 6% 
 
Solução 
São dois dados com seis resultados possíveis cada. As combinações entre esses resultados podem ser 
calculadas multiplicando-se o número de resultados do primeiro pelo do segundo: 
6x6 = 36 
Para calcular a probabilidade de sair soma 8, devemos procurar as possibilidades de obter tal soma. São 
elas: (2,6); (3,5); (4,4); (5,3) e (6,2) 
 
Sendo 5 o número de possibilidades de obter soma 8, divida esse número pelo número total de 
possibilidades de resultados: 
P = 5/36 ou seja P =0,138 = 0,14 
 
Para transformar isso em porcentagem, basta multiplicar por 100 ou seja 0,14x100 = 14% (b). 
 
Exemplo 2 
Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com 
reposição, calcule as probabilidades seguintes: 
a) sair bola azul 
b) sair bola vermelha 
Solução: temos um total de 20 bolas na urna; 
a) sair bola azul 
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha 
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
 
Probabilidade complementar 
Sendo 𝐴 um evento indicaremos por �̅� seu evento complementar. 
Considere o lançamento de um dado, se o evento 𝐴 for a ocorrência de um número par então seu evento 
complementar será �̅� a ocorrência de um número não par (no caso ímpar). 
 
Em termos de probabilidade 𝑷(𝑨) + 𝑷(�̅�) = 𝟏 (a soma das probabilidades será sempre 100%). 
 
Exemplo: se P(A) = 10% então P(�̅�) = 90% 
 
 
 
)(
)(
)(
En
An
AP =
 
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AULA 9 PROBABILIDADE 
Exemplo 
No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de obtermos soma diferente de 8? 
a) 36 e 5% 
b) 36 e 14% 
c) 6 e 5% 
d) 5 e 6% 
e) 36 e 6% 
 
Solução 
Como vimos anteriormente a P (soma = 8) = 14% logo a P (soma ≠ 8) = 100% - 14% = 86%. 
 
Adição de probabilidades (união de eventos) 
Sendo A e B dois eventos quaisquer de um espaço amostral teremos: 
P(A B ) = P(A) + P(B) – P (A B) 
Exemplo: 
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do 
jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não leem jornal. Qual a 
probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 
 
SOLUÇÃO: 
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral (E) 
Teremos: 
n(J U P) = n(J) + N(P) – N(J ∩P) 
n(J U P) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 
n(J U P)) = 8600 
Dessas 8600 pessoas temos que 1200 leem ambos os jornais. Portanto, a probabilidade procurada 
será igual a: 
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, P = 6/43 = 0,1395 = 13,95% 
Importante: eventos mutuamente exclusivos são eventos onde a intersecção entre os eventos é 
nula (A ∩ B ) = ∅ 
Exemplo: no lançamento de um dado a ocorrência de uma face ímpar e a ocorrência de uma face par 
são eventos mutuamente exclusivos ou seja face ímpar ∩ face par = ∅ 
Assim, a probabilidade de dois eventos mutuamente exclusivos ocorrer (de forma 
simultânea)é nula. 
Eventos independentes 
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes, de tal modo que: 
O primeiro evento é A e a sua probabilidade é P1 
O segundo evento é B e a sua probabilidade é P2 
O terceiro evento é C e a sua probabilidade é P3 
. . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . 
 
O K-ésimo evento é K e a sua probabilidade é Pk. Então a probabilidade de que os eventos A, B, C, ... 
K ocorram nessa ordem é: P1 .P2 .P3 . ... Pk. 
 
Exemplo 
Em uma urna existem 3 bolas vermelhas, 5 bolas brancas e 2 bolas pretas, todas com os mesmos 
tamanhos e pesos. Retirando-se duas bolas ao acaso, de forma sucessiva e sem reposição, qual a 
probabilidade de as bolas retiradas sejam branca e preta, nessa ordem? 
 
 
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Solução: 
A primeira bola a ser retirada deve ser branca ou seja P(branca) = 5/10. 
A segunda bola a ser retirada deve ser preta ou seja P(preta) = 2/9, uma vez que a bola branca retirada 
inicialmente não retorna para urna. 
 
Como os eventos são independentes então a probabilidade de ocorrer o solicitado será a multiplicação 
das probabilidades: 
𝟓
𝟏𝟎
𝐱
𝟐
𝟗
= 
𝟏𝟎
𝟗𝟎
= 
𝟏
𝟗
= 𝟏𝟏, 𝟏𝟏% 
 
Probabilidade condicionada 
É o evento que consiste na realização do evento E1 sob a condições de ter-se realizado o evento E2, 
isto é, com a informação adicional de que o evento E2 já ocorreu (E1/E2). 
São aqueles em que o acontecimento de um está condicionado ao acontecimento de outro (acontece 
um se o outro já aconteceu). 
Exemplos: 
1) Considere os números naturais de 1 a 20, escritos cada um em uma ficha e colocados dentro de uma 
urna. Retira-se de forma aleatória uma ficha. Qual a probabilidade da ficha retirada ser um número 
primo sabendo-se que a ficha retirada corresponde a um número menor ou igual a 10? 
 
Solução: se a ficha retirada é de um número menor ou igual a 10 então o nosso espaço amostral 
será Ea = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e não todas as fichas de 1 a 20. 
Evento desejado = número primo ou seja Ep = {2,3,5,7}. 
Logo a probabilidade de ocorrer o evento desejado será 4/10 ou 40%. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
As questões abaixo estão resolvidas; consulte os links de resolução logo abaixo do gabarito. 
 
1) Banca: IFB Órgão: IFB Prova: Professor - Matemática 
Nas regiões A, B e C foram feitos exames laboratoriais em 1000 (mil) pessoas e constatou-se que 500 (quinhentas) delas tinham 
sido contaminadas pelos vírus da Dengue, Zika ou Chikungunya de acordo com a tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
Qual a probabilidade de um indivíduo ter sido contaminado pelo vírus da Zika, dado que ele mora na região B e foi contaminado 
por um dos três vírus? 
 a) 10% 
 b) 20% 
 c) 18% 
 d) 50% 
 e) 40% 
 
2) Banca: IFB Órgão: IFB Prova: Professor - Matemática 
Um professor de Matemática tem em sua sala de aula 7 alunos, sendo 5 homens e 2 mulheres. Destes 7 alunos, o professor precisa 
indicar 3 deles para representar a turma em uma olimpíada na área de exatas, que serão escolhidos por meio de sorteio. A 
probabilidade do professor obter uma equipe com 2 (dois) alunos e 1 (uma) aluna é: 
 a) 4 / 7 
 b) 1 / 5 
 c) 2 / 5 
 d) 9 / 10 
 e) 2 / 7 
 
3) Banca: IDECAN Órgão: INCA Prova: Analista em Ciência e Tecnologia 
 Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes.A probabilidade de serem obtidas três “caras” nessas cinco provas 
é de: 
 a) 1/5. 
 b) 3/8. 
 c) 1/24. 
 d) 5/16. 
 
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4) Banca: IDECAN Órgão: INCA Prova: Analista em Ciência e Tecnologia 
Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Qual é a probabilidade de o time A ganhar quatro jogos? 
 a) 1/16. 
b) 10/121. 
c) 20/243. 
d) 35/313. 
 
5) Banca: MS CONCURSOS Órgão: Prefeitura de Piraúba – MG Prova: Assistente Social 
A probabilidade de qualquer uma das 3 crianças de um grupo soletrar, individualmente, a palavra PIRAÚBA de forma correta é 
70%. Qual a probabilidade das três crianças soletrarem essa palavra de maneira errada? 
 a) 2,7% 
 b) 9% 
 c) 30% 
 d) 35,7% 
 
6) Banca: IF-ES Órgão: IF-ES Prova: Pedagogo 
Em uma estufa há três coxinhas simples e duas com catupiry, sem qualquer identificação em nenhuma das cinco coxinhas. Retira-
se duas coxinhas aleatoriamente, uma após a outra e sem reposição. A probabilidade de exatamente as duas serem com catupiry 
é 
 a) 20%. 
 b) 15%. 
 c) 10%. 
 d) 1%. 
 e) 5%. 
 
7) anca: FAFIPA Órgão: APPA – PR Prova: Analista Portuário - Economista 
Considerando o gráfico apresentado na questão 09, qual a probabilidade de um lote, escolhido ao acaso, exportado em 2003 ter 
sido de milho ou soja? 
 a) 0 
 b) 0,175. 
 c) 0,316. 
 d) 0,457. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Banca: Quadrix Órgão: CRM – ES Prova: Agente Administrativo 
Num conjunto de 50 parafusos, 40 deles estão em boas condições. Dois desses parafusos são retirados, sucessivamente e ao 
acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso defeituoso seja encontrado na 2ª retirada? 
 a) 8/49 
 b) 1/5 
 c) 4/5 
 d) 8/50 
 e) 1/4 
 
9) Banca: INSTITUTO AOCP Órgão: IF-BA Prova: Professor de Matemática 
Em uma rifa com 50 números, 4 serão premiados. Comprando-se 3 números dessa rifa, a probabilidade de nenhum ser premiado 
é de, aproximadamente, 
 a) 74%. 
b) 75%. 
c) 76%. 
d) 77%. 
e) 78%. 
 
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10) Banca: CONED Órgão: Sesc – PA Prova: Encarregado Administrativo 
Numa urna estão todos os números de três algarismos diferentes, formados com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6. Ao se retirar um 
número, qual a probabilidade de que seja um número entre 100 e 200? 
a) 2/5 
b) 1/3 
c) 5/6 
d) 1/6 
e) 3/6 
 
GABARITO 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
D A D C A C C A D D 
 
 
 Links da resolução das questões 
Q1https://www.youtube.com/watch?v=bVyXSL_V_S4 
Q2 https://www.youtube.com/watch?v=Z1xX8EXxV2g 
Q3 https://www.youtube.com/watch?v=kIgwBqkE268 
Q4 https://www.youtube.com/watch?v=j70G5pjK5Zc 
Q5 https://www.youtube.com/watch?v=TF88_jOcCi0 
Q6 https://www.youtube.com/watch?v=JemsXThcrZA 
Q7 https://www.youtube.com/watch?v=IMCgzKuEamw 
Q8 https://www.youtube.com/watch?v=QVkmSlDMESk 
Q9 https://www.youtube.com/watch?v=QVkmSlDMESk 
Q10 https://www.youtube.com/watch?v=NXxQYn51e5Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=bVyXSL_V_S4
https://www.youtube.com/watch?v=Z1xX8EXxV2g
https://www.youtube.com/watch?v=kIgwBqkE268
https://www.youtube.com/watch?v=j70G5pjK5Zc
https://www.youtube.com/watch?v=TF88_jOcCi0
https://www.youtube.com/watch?v=JemsXThcrZA
https://www.youtube.com/watch?v=IMCgzKuEamw
https://www.youtube.com/watch?v=QVkmSlDMESk
https://www.youtube.com/watch?v=QVkmSlDMESk
https://www.youtube.com/watch?v=NXxQYn51e5Y