Derivada - parte 5

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VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
É uma aplicação de utilização da derivada. Ajuda a compreender se a função é 
crescente ou decrescente, o que resolve problemas de otimização.
Nestes pontos máximo e mínimo, a reta tangente à curva é horizontal, paralela 
ao eixo X. Portanto, o coeficiente angular é zero, ou seja, a derivada é nula.
Os valores máximo e mínimo podem ser absolutos (ou globais) quando se
referem à função inteira, para qualquer valor x pertencente ao domínio.
Existem também, dentro de um determinado intervalo, os máximos e mínimos
relativos (ou locais).
Uma função y = f(x) tem seu valor máximo em C, onde C é um valor da 
abscissa, quando 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥 dentro de um intervalo. A partir daí, este ponto 
crítico C decresce,
De forma análoga, terá seu valor mínimo em C quando 𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥 . A partir 
daí, este ponto crítico C cresce.
TEOREMA DE ROLLE: Seja f(x) uma função contínua e derivável no intervalo
[a, b]. Se f(a) = f(b) = 0, então, existe pelo menos um ponto C entre a e b 
tal que f´(C) = 0. Ou seja, neste ponto C, a tangente é paralela ao eixo X.
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Ex: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 − 3
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 6 ⇒ 2𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −3
𝑓 −3 = −3 2 + 6 −3 − 3 = 9 − 18 − 3 = −12
Ex: 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 6𝑥 − 3
𝑓′ 𝑥 = −2𝑥 + 6 ⇒ −2𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 3
𝑓 3 = − 3 2 + 6 3 − 3 = −9 + 18 − 3 = 6
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Portanto, a derivada da função deve ser igualada a zero, possibilitando 
encontrar as raízes.
Aplicando tais valores na segunda derivada da função, encontramos um valor 
negativo (valor máximo) e um positivo (valor mínimo).
Uma função é crescente quando f´(x)>0 e decrescente quando f´(x)<0.
Ex: verificar se a função é crescente ou decrescente:
=> crescente
Ex: idem, para 
𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 4
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥2 > 0
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 + 8
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 1
2𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 >
1
2
: 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
2𝑥 − 1 < 0 ⇒ 𝑥 <
1
2
: 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Determinação dos extremos:
Se f´(x) > 0 para todo x < C e f´(x) <0 para todo x > C, então f(x) possui um 
máximo relativo em C.
Se f´(x) < 0 para todo x < C e f´(x) >0 para todo x > C, então f(x) possui um mínimo 
relativo em C.
Ex: encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, máximos e mínimos de
: pontos críticos.
Para 𝑥 < − 3, f’(x) >0: função crescente em −∞,− 3
Para − 3 < x < 3, f´(x)<0: função decrescente em (- 3, 3)
Para x > 3, f´(x)>0: função crescente em ( 3, +∞)
Máximo relativo => C = − 3
Mínimo relativo => C = 3
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 9𝑥 + 2
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 9=> 3𝑥2 − 9 = 0 ⇒ 3𝑥2 = 9 ⇒ x = ± 3
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Existe o critério da derivada de segunda ordem para determinar os extremos: 
Se f’’(x) <0 então f(x) possui um máximo relativo em C.
Se f´’(x) > 0 então f(x) possui um mínimo relativo em C.
Ex: encontrar os máximos e mínimos de
𝑓 𝑥 = −4𝑥3 + 3𝑥2 + 18𝑥
𝑓′(𝑥) = −12𝑥2 + 6𝑥 + 18 ⇒ 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠:−1 𝑒
3
2
𝑓′′(𝑥) = −24𝑥 + 6 ⇒ ൞
𝑥 = −1 ⇒ 𝑓′′ −1 = 30 > 0: 𝑡𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑥 =
3
2
⇒ 𝑓′′
3
2
= −30 < 0: 𝑡𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
VALORES EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO:
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Ex: encontre o valor máximo e mínimo de 
12𝑥3 − 48𝑥2 + 36𝑥 = 0 ⇒ 12𝑥 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
Raízes: 1 e 3 => estes são os pontos críticos, onde f(x) é zero (tangente horizontal). 
Aplicando na segunda derivada, tem-se:
𝑓′′ 𝑥 = 2𝑥 − 4 ⇒ ቊ
𝑥 = 1 ⇒ 𝑓´´ 𝑥 = −2 ⇒ valor negativo indica o máximo local
𝑥 = 3 ⇒ 𝑓´´ 𝑥 = 2 ⇒ valor positivo indica ummínimo local
Substituindo as raízes em f(x), temos 𝑓 1 = 5 (𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜) 𝑒 𝑓 3 = −27 (mínimo)
Obs: a curva sofre inflexão no ponto onde f’’(x) = 0, resultando em x = 2. 
Assim, y = f(2) = -8. Ou seja, o ponto de inflexão da curva é (2 , -8)
𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 16𝑥3 + 18𝑥2 𝑒𝑚 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 48𝑥2 + 36𝑥
(1,5)
(3, -27)
X1 = 1 e x2 = 3: pontos críticos
(2, -8)