Aula 4 c Distribuicao Normal

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Universidade Federal de Goiás 
Escola de Agronomia 
ESA0139 –Experimentação e Estatística 
Prof.ª Bruna Mendes de Oliveira 
brunamendesdeoliveira@gmail.com 
Por que é tão importante na Bioestatística? 
1. Inúmeros são os fenômenos aleatórios (variáveis biológicas) 
cujos comportamentos podem ser descritos precisamente ou de 
forma muito aproximada pelo modelo probabilístico normal; 
 Ex: caracteres quantitativos contínuos (produtividade, altura de 
plantas, peso dos animais, ...) 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Por que é tão importante na Bioestatística? 
2. A maioria dos testes estatísticos partem do princípio que os 
dados possuem a distribuição normal (Testes paramétricos). 
 
3. Testes para verificar a Normalidade. 
 Shapiro-Wilk 
 Kolmogorov-Smirnov 
 Outros. 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Por que é tão importante na Bioestatística? 
4. Variáveis que não seguem a distribuição normal podem ser 
transformadas para atingir a normalidade. 
 Ex: 
 X log (X) 
 X raiz quadrada (X) 
 X arco seno (X) 
 Etc. 
 
5. A distribuição dos dados se aproxima da normal à medida que o 
tamanho da amostra cresce. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
→ 
→ 
→ 
Não atendem a 
distribuição 
normal 
 
Atendem a 
distribuição 
normal 
 
Variável aleatória contínua: altura das plantas de milho (m) 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
x 
f(
x)
 
FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DA 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−𝜇
𝜎
2
 
X~N μ, σ2 
 
A variável aleatória X tem distribuição normal com 
média μ e variância σ2 
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−𝜇
𝜎
2
 
 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
1. f(x) possui um ponto de máximo para x = µ. 
2. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas (eixo x) valem 
 µ + σ e µ - σ. 
1. f(x) é simétrica em relação à x = µ. 
 E ainda µ = Moda = Mediana. 
4. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞ (assintótica em relação 
ao eixo x). 
 
A curva abriga 100% da população, ou seja, toda a população 
está sob a curva. 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
A média, a mediana e a moda coincidem e estão no centro da 
distribuição. 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
A curva é simétrica em torno da média. Logo, 50% dos valores 
são iguais ou maiores do que a média e 50% dos valores são 
iguais ou menores do que a média. 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
68% dos dados estarão a mais ou menos um desvio padrão de 
distância da média. 
𝑃*(𝜇 − 𝜎) ≤ 𝑋 ≤ (𝜇 + 𝜎)+= 0,68 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
95% dos dados estarão a mais ou menos de 1,96 desvio 
padrão de distância da média. 
𝑃*(𝜇 − 1,96 𝜎) ≤ 𝑋 ≤ (𝜇 + 1,96 𝜎)+= 0,95 
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
𝑓 𝑥 =
1
0,3 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−2
0,3
2
 
 
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−𝜇
𝜎
2
 
 
X = altura das plantas (m) 
µ = 2,0m 
σ = 0,3m 
X = altura das plantas (m) 
µ = 2,0m 
σ = 0,3m 
𝑓 𝑥 =
1
0,3 2𝜋
 𝑒
− 
1
2 
𝑥−2
0,3
2
 
 
f(
x)
 
f(
x)
 
𝑓 𝑥 = 
1
0,3 2𝜋
 𝑒
− 
1
2 
𝑥−2
0,3
2
2,5
−∞
 
 
f(
x)
 
f(
x)
 
𝑓 𝑥 = 
1
0,3 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−2
0,3
2
1,5
−∞
 
 
f(
x)
 
f(
x)
 
f(
x)
 
𝑓 𝑥 = 
1
0,3 2𝜋
 𝑒
− 
1
2 
𝑥−2
0,3
2
2,4
1,8
 
 
𝑓 𝑧 = 
1
2𝜋
 𝑒− 
𝑧2
2 
média μ = 0 e desvio padrã𝑜 σ = 1 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA 
𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 
f(
x)
 
x 
Padronização da variável X em Z 
x z 
f(
x)
 
x 
Padronização da variável X em Z 
𝑧𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝜇
𝜎
 
x z 
4. Distribuição Normal Padrão 
f(
x)
 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
Qual a probabilidade de que uma planta apresente altura menor do que 2,5 m? 
 
 
 
 
𝑧𝑖 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
2,5 − 2,0
0,3
= 1,67 
 
𝑧𝑖 = 1,67 -> 0,4525 
 
P(X < 2,5)= 0,5 + 0,4525 = 0,9525 
 
 
 
 
 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
f(
x)
 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
Qual a probabilidade de que uma planta apresente altura menor do que 1,5 m? 
 
 
 
 
𝑧𝑖 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
1,5 − 2,0
0,3
= 1,67 
 
𝑧𝑖 = 1,67 -> 0,4525 
 
P(X < 1,5)= 0,5 - 0,4525 = 0,0475 
 
 
 
 
f(
x)
 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
μ = 2,0 m e σ = 0,3 m 
Qual a probabilidade de que uma planta apresente altura menor entre 1,8 e 
2,4m? 
 
 
 
𝑧𝑖 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
1,8−2,0
0,3
= 0,67 
𝑧𝑖 = 0,67 -> 0,2486 
 
𝑧𝑖 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
2,4 − 2,0
0,3
= 1,33 
𝑧𝑖 = 1,33 -> 0,4082 
 
 
 
P(1,8< X < 2,4)= 0,2486 + 0,4082 = 0,6568 
 
 
 
Exercício 1: 
Calcule: 
a) P(Z < 1,82) 
b) P(Z < -2,03) 
c) P(-2,55 < Z < 1,20) 
d) P (Z > 1,93) 
 
 
Exercício 1: 
Calcule: 
a) P(Z < 1,82) = 0,9656 
b) P(Z < -2,03) = 0,0212 
c) P(-2,55 < Z < 1,20) = 0,8795 
d) P (Z > 1,93) = 0,0268 
 
 
Exercício 2: 
Se X ~ N (100, 25) 
a) P(X ≥110) 
b) P(95 ≤ X ≤ 105) 
c) Encontre x tal que P(X ≤ x) = 0,3446 
 
 
Exercício 2: 
Se X ~ N (100, 25) 
a) P(X ≥110) = 0,0228 
b) P(95 ≤ X ≤ 105) = 0,6826 
c) Encontre x tal que P(X ≤ x) = 0,3446. Resp: x=98 
 
 
Exercício 3: 
A quantidade de chuva observada no mês de janeiro em Goiânia é 
normalmente distribuída com μ = 225 mm e σ = 20 mm. 
a) Qual a probabilidade de que em Goiânia , em um mês de 
janeiro, se observe mais do que 250 mm de chuva? 
b) Qual a probabilidade de que em Goiânia, em um mês de 
janeiro, se observe menos do que 150 mm de chuva? 
 
Exercício 3: 
X ~N 
µ = 225 mm 
σ = 20 mm 
 
a) P(X > 250)=? 
z =
x−μ
σ
=
250 −225
20
= 1,25 -> 0,3944 
P(X > 250)= 0,5 – 0,3944 = 0,1056 
 
b) P(X < 150)=? 
z =
x−μ
σ
=
150 −225
20
= -3,75 -> 0,4999 
P(X > 250)= 0,5 – 0,4999 = 0,0001 = 0,01% 
 
Exercício 4: 
O diâmetro arames utilizados para fazer cercas em propriedades 
rurais é uma variável aleatória normalmente distribuída, com 
média de 0,8 mm e variância de 0,0004 mm2. Em uma amostra de 
1000 arames, quantos esperamos que tenha diâmetro: 
a) Maior ou igual a 0,81mm. 
b) Entre 0,73 e 0,86 mm. 
c) Menor que 0,78 mm. 
 
 
 
Exercício 4: 
X ~N 
µ = 0,8 mm 
σ2 = 0,0004mm2 
n =1000 cabos 
 
a) P(X > 0,81)=? 
z =
x − μ
σ
=
0,81 − 0,8
0,02
= 0,5 
P(X > 0,81) = 0,5 – 0,1915 = 0,3085 
1000 - 100% 
X - 30,85% 
X ≅309 arames 
 
 
Exercício 4: 
X ~N 
µ = 0,8 mm 
σ2 = 0,0004mm2 
n =1000 cabos 
 
b) P(0,73 < X < 0,86)=? 
𝑧1 =
𝑥1−μ
σ
=
0,73−0,8
0,02
= −3,5 𝑧2 =
𝑥2−μ
σ
=
0,86−0,8
0,02
= 3,0 
 
P(0,73 < X < 0,86) = 0,5 + 0,4989 = 0,9989 
1000 - 100% 
X - 99,89 % 
X ≅ 999 arames 
 
 
Exercício 4: 
X ~N 
µ = 0,8 mm 
σ2 = 0,0004mm2 
n =1000 cabos 
 
c) P(X < 0,78)=? 
z =
x − μ
σ
=
0,78 − 0,8
0,02
= −1,0 
P(X < 0,78) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 
1000 - 100% 
X - 15,87% 
X ≅ 159 arames 
 
 
Exercício 5: 
Sabe-se que o peso médio, em arrobas, de abate de bovinos é 
normalmente distribuído com média 18 e variância 2,25. Um lote de 
5000 cabeças, com essa característica, foi destinado ao frigorífico 
que abate só a partir de um peso mínimo “w”. Sabendo-se que foram 
abatidas 4200 cabeças, pede-se: 
a) O número esperado de bovinos com peso entre 17 e 19 arrobas. 
b) Qual o valor de “w”? 
 
Exercício 5: 
X ~N 
µ = 18 
σ2 = 2,25 -> σ = 1,5 
n = 5000 
w = peso mínimo 
4200 cabeças foram abatidas 
 
a) P(17 < X < 19)=? 
𝑧1 =
𝑥1−μ
σ
=
17−18
1,5
= −0,67 -> 0,2486 
𝑧2 =
𝑥2−μ
σ
=
19 −18
1,5
= 0,67 -> 0,2486 
P(17 < X < 19)= 0,2486 + 0,2486 = 0,4972 
5000 - 100% 
X - 49,72% 
X = 2486 cabeças 
 
Exercício 5: 
X ~N 
µ = 18 
σ2 = 2,25 -> σ = 1,5 
n = 5000 
w = peso mínimo 
4200 cabeças foram abatidas 
 
b) 5000 - 100%4200 - X 
 X = 84% = 0,84 0,5 
 0,34 -> olhar na tabela -> z = -0,99 
 
Z =
x−μ
σ
 -> -0,99 =
x−18
1,5
 x = (-0,99.1,5)+18 x = 16,52 arrobas 
Exercício 6: 
Em um povoamento florestal os diâmetros à altura do peito (DAP) 
apresentam distribuição normal com média 18,2 cm e desvio 
padrão 3,4 cm. 
a) Foram cortadas 1200 árvores que tinham DAP acima de 20 cm. 
Quantas árvores existiam no povoamento? 
b) Quantas árvores tem DAP menor que 16 cm? 
 
 
Exercício 6: 
X ~N 
µ = 18,2 
σ = 3,4 
 
a) 1200 -> DAP > 20,0 cm 
P(X > 20)=? 
z =
x−μ
σ
=
20 −18,2
3,4
= 0,53 -> 0,2019 
P(X > 20)= 0,5 – 0,2019 = 0,2981 
1200 – 29,81% 
X - 100% 
X = 4025 árvores 
 
 
Exercício 6: 
X ~N 
µ = 18,2 
σ = 3,4 
 
b) P(X < 16)=? 
z =
x−μ
σ
=
16 −18,2
3,4
= −0,65 -> 0,2422 
P(X < 16)= 0,5 – 0,2422 = 0,2578 
4025 – 100% 
X - 25,78% 
X = 1038 árvores 
 
 
Exercício 7: 
Um pesquisador decidiu que, para facilitar a classificação das aves 
em experimentos de nutrição, deve-se dividir as poedeiras, no 
início da postura, em três grupos de peso equiprováveis, a saber: 
poedeiras pesadas, poedeiras médias e poedeiras leves. Encontre 
os pesos correspondentes a cada classe, sabendo-se que o peso 
médio das aves nessa idade é 1,5 kg, com desvio padrão de 0,170 
kg e essa variável segue distribuição normal. 
 
 
Exercício 7: 
X ~N 
µ = 1,5 kg 
σ = 0,170 kg 
pesadas = 1/3 = 0,33 
leves = 1/3 = 0,33 
médias = 1/3 = 0,33 
0,33/2=0,165 -> z1= -0,43 e z2= 0,43 
________z1________0________z2_________ 
________x1_______1,5_______x2_________ 
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
 
-0,43=
𝑥1−1,5
0,170
 𝑥1 = 1,43 
0,43=
𝑥2−1,5
0,170
 𝑥2 = 1,57 
pesadas: peso <1,43kg 
leves: 1,43kg ≤peso ≤ 1,57kg 
médias: peso >1,57kg 
BINOMIAL SE APROXIMA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Considere: 
 n=135 e p=0,6 
• P (X ≥ 98)? 
P (X = 98) + P (X = 99) + P (X = 100) + ... + P (X = 135) 
 
Muito laborioso! 
 
Considere: 
X é uma variável aleatória, que apesar de discreta, pode ser 
razoavelmente descrita pela distribuição normal. 
• P (X ≥ 98)? por meio da variável Z Bem mais simples! 
 
 
𝑃 𝑥 = 𝐶𝑛,𝑥𝑝
𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
BINOMIAL SE APROXIMA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Aumentando-se o tamanho da amostra, a distribuição de 
probabilidades binomial se aproxima da normal, mesmo a 
variável sendo do tipo discreta, ela passa a ser “tratada” como 
uma variável do tipo contínua. 
EXEMPLO 1: 
O gerente de uma fazenda produtora de café precisa selecionar mão 
de obra para a colheita do café e para tanto terá que avaliar 
candidatos na região e contratar pelo menos 40 colaboradores. 
Suponha que a probabilidade de que um candidato seja qualificado 
ao trabalho (evento sucesso) seja de 0,6. Durante um dia ele vai 
avaliar 60 candidatos, e deseja saber qual a probabilidade de 
encontrar 40 colaboradores ou mais aptos ao serviço. 
 
 
P (X ≥ 40) = ? 
p = 0,6 
q = 0,4 
n = 60 
EXEMPLO 1: p = 0,6 
q = 0,4 
n = 60 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶𝑛,𝑥 𝑝
𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
Nº de colaboradores 
Gráfico de barras verticais representando a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória “número de colaboradores aptos”, em um total de 60 candidatos. 
Aproximação normal a uma distribuição binomial com parâmetros 
n = 60 e p = 0,6. 
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
 𝑒
− 
1
2
 
𝑥−𝜇
𝜎
2
 
 
p = 0,6 
q = 0,4 
n = 60 
μ = n.p = 60 x 0,6 = 36 
σ2 = n. p. q = 60 x 0,6 x 0,4 = 14,4 
EXEMPLO 1: 
p = 0,6 
q = 0,4 
n = 60 
μ = n.p = 60 x 0,6 = 36 
σ2 = n. p. q = 60 x 0,6 x 0,4 = 14,4 
σ = σ2 = 14,4 = 3,79 
EXEMPLO 1: 
Pela normal padrão: 
P (X ≥ 40) = ? 
40 [39,5] correção 
P (X ≥ 39,5) = ? 
z =
39,5 − 36
3,79
= 0,92 
P (X ≥ 39,5) = 0,5 – 0,3212 = 0,1788 
 Pela binomial : 𝑃 X ≥ 40 = 𝐶𝑛,𝑥 𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥= 0,1786 
 
Existe uma probabilidade de 17,88% de se encontrar 40 colaboradores, ou 
mais, aptos para o serviço, em um total de 60 candidatos. 
 
1) Subtrair 0,5 de x quando procuramos P(X ≥ x). 
 
2) Somar 0,5 em x quando procuramos P(X ≤ x). 
 
Recomenda-se essa correção por se tratar de uma variável 
discreta (distribuição binomial), quando é feita a 
correspondência para o caso contínuo (distribuição normal). 
 
RECOMENDAÇÃO