Unidade 7 - Fatoração

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Matemática Básica Unidade 7 
1 
 
 
Unidade 7 
Fatoração 
 
 
 
 
Metas 
Esta unidade é sobre fatoração de expressões matemáticas. 
 
Objetivos 
Ao final desta unidade você deve: 
• saber fatorar alguns tipos de expressões matemáticas; 
• saber simplificar alguns quocientes de expressões matemáticas; 
• saber resolver alguns tipos de equações polinomiais. 
 
 
 
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Resolução de equações 
 
 Uma vez que grandezas podem ser representadas numericamente, fenômenos 
podem ser traduzidos por expressões matemáticas. Neste momento, muitos problemas 
de determinação de valores podem ser resolvidos a partir da manipulação da expressão 
matemática. Um exemplo bem simples desta ideia, visto na unidade 1, é o de determinar 
quando a temperatura do forno que estava à 200ºC e foi diminuindo 12ºC por minuto, 
atingiria a temperatura ambiente de 20ºC. Neste caso, vimos que o fenômeno pode ser 
traduzido matematicamente pela expressão 
y = −12x + 200, 
onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. 
Assim, resolver o problema é equivalente a resolver a equação 20 = −12x + 200. 
 No estudo da unidade 4, sobre os números reais e suas operações básicas, soma e 
produto, vimos que é muito fácil determinar a solução de uma equação do tipo ax + b = 
c, com a  0, basta fazer x = (c − b)/a. Uma equação assim se caracteriza por ter a 
variável incógnita, x, aparecendo sem potência, ou melhor, com potência 1, x = x1. 
Desta forma, é comum chamar uma equação do tipo ax + b = c, com a  0, de equação 
polinomial de grau 1 na variável x, ou mais simplesmente, equação do 1º grau. 
 Agora, quando temos uma equação matemática envolvendo potências da 
incógnita, nem sempre é tão fácil obter uma solução da equação. Por exemplo, você 
sabe resolver a seguinte equação, 3x5 − 4x4 + x = 35? 
 Equações envolvendo potências de números naturais de uma incógnita dada 
(digamos x) são chamadas equações polinomiais (na variável x). Vamos ver, nesta 
unidade, algumas propriedades operacionais que ajudam a lidar com alguns tipos de 
equações polinomiais. 
 
Fatoração 
 
 Quando se fala em fatoração de uma expressão algébrica, isto significa que a 
expressão deve ser transformada, através de propriedades operacionais, em uma nova 
expressão que seja definida por um produto. 
 O exemplo mais simples de fatoração é dado pela propriedade distributiva, ab + 
ac = a(b + c). Ela transforma a expressão formada por uma soma, ab + ac, na expressão 
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formada por um produto, a(b + c). Como simples aplicação, veja esta propriedade sendo 
usada para transformar uma expressão envolvendo x2 em uma expressão só com x: 
 x2 + 3x = x.x + 3x = (x + 3)x, isto é, x2 + 3x = (x + 3)x 
(lembre-se que também vale ac + bc = (a + b)c). 
 
Desafio: Você consegue fatorar a expressão x2 + x? 
 
Vejamos algumas das expressões de fatoração mais conhecidas. 
• am + an = a(m + n) 
• a2 – b2 = (a + b)(a – b) 
• a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a + b) 
• a2 – 2ab + b2 = (a – b)(a – b) 
 
Observação: 1) A propriedade distributiva pode ser aplicada em mais de dois termos. 
Por exemplo, 5x + 15b − 25xb = 5(x + 3b − 5xb). 
2) Às vezes é necessário aplicar a propriedade distributiva seguidamente para se obter 
uma fatoração. Por exemplo, ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d). 
3) Podemos dar uma interpretação geométrica para a fatoração a2 + 2ab + b2 = (a + b)(a 
+ b) em termos de áreas de retângulos e quadrados. Observe a figura abaixo. 
 
O quadrado maior tem área (a + b)2 e pela divisão feita, tal área é igual à soma das áreas 
dos dois quadrados em verde e rosa com as áreas dos dois retângulos em azul. Logo, 
(a + b)2 = b2 + a2 + ab + ab + = a2 + 2ab + b2. 
 
Atividade 1: A propriedade distributiva pode ser representada por um desenho. Por 
exemplo, a expressão a(b + c) = ab + ac pode ser representada por 
 
 
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a) Para cada figura a seguir, encontre uma expressão algébrica correspondente. 
 
b) Represente a variável a, que simboliza um número desconhecido, como a área de um 
retângulo. Verifique se esta atividade te ajuda na resolução do desafio proposto. 
 
Atividade 2: Fatore as expressões 
a) x2 − 2x b) x2 − x c) x4 − x2 − x + 1 
d) x2 + x + 0,25 e) x2 − 12 f) x4 + 26x2 +169 
g) mx − 2y − m2x + 2my h) 2 − m2 i) x4 − 16 
j) 4 − 2x + 
4
2x
 k) 10x4 − 90x2 l) a5 − a3 
m) x2 + y2 +2x + 2y + 2xy n) − 3a2b2 + 7a3b o) x2 − 2x + 1 
 
Aplicações 
 
 Uma aplicação imediata da fatoração de expressões é na simplificação de 
expressões matemáticas em forma de frações. Um exemplo bem simples é a expressão 
um tanto complexa, 
12
44
2 ++
+
xx
x
, que pode ser simplificada através das seguintes 
transformações, 
 
1
4
)1)(1(
)1(4
)1(
)1(4
12
44
22 +
=
++
+
=
+
+
=
++
+
xxx
x
x
x
xx
x
. 
 
Atividade 3: Simplifique as expressões. 
 
b 
c 
a 
Lembre-se que a área de um 
retângulo de base a e altura b é dada 
por ab. 
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a) 
3 3
2 12
a
a a
−
− +
 b) 
4 4
8 16 8
2
2
x
x x
−
− +
 c) 
5 10
15
2a ab
ab
+
 
d) 
x
x
2 9
3
−
−
 e) 
aba
aa
−
−5
 f) 
xx
xx
62
9
2
3
−
−
 
 
g) 
x x
x
2
2
2 1
1
− +
−
 h) 
4 2+ −x
x
 i) 
( )3 92+ −h
h
 
j) 
25,024
14
2 ++
+
xx
x
 k) 
4
44
2
2
−
++
x
xx
 
 
 Uma aplicação importante da noção de fatoração é na resolução de equações. O 
produto entre números reais goza da seguinte propriedade: um produto é zero se, e 
somente se, um de seus fatores é zero. Em linguagem simbólica, 
ab = 0  a = 0 ou b = 0. 
 A combinação desta propriedade com a possibilidade de fatoração de expressões 
matemáticas se transforma numa ótima técnica de resolução de equações. Veja um 
exemplo. (Observação: é claro que esta última propriedade vale para vários fatores.) 
 x3 − 4x = 0  x(x2 − 4) = 0  x(x − 2)(x + 2) = 0  
  x = 0 ou x = 2 ou x = −2. 
Ou seja, o conjunto solução da equação x3 − 4x = 0 é S = {−2, 0, 2}. 
 
Atividade 4: Utilize a técnica ilustrada para resolver as seguintes equações. 
a) (x − 2)(x + 1) = 0 b) x(2x + 5) = 0 c) x2 − 133x = 0 
d) x2 − x = 0 e) x2 − 9 = 0 f) x2 + 4x + 4 = 0 
g) x2 = 64 h) x2 + 2x = −1 i) 2x2 = x 
j) x3 = 0 l) x5 = 0 m) x2 − 121 = 0 
n) 3x(x + 0,1)(0,25x + 1) = 0 o) x2 − 0,09 = 0 p) 2x2 − 8 = 0 
 
Atividade 5: Caro aluno, você acabou de aprender uma técnica bem simples e que pode 
ser muito útil na resolução de equações polinomiais de grau maior do que 1. Utilize esta 
técnica para resolver os problemas dados a seguir. 
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Questão 1: Baseado na figura abaixo, encontre x de modo que a área do quadrado seja 
igual à área do retângulo. 
 
Questão 2: A equação h = −5t2 +30t representa a relação entre a altura, h, em metros, 
de um corpo lançado e o tempo, t, em segundos, decorrido após o lançamento do corpo. 
a) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o lançamento. 
b) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo de 
descida, determine a altura máxima atingida no lançamento. 
 
Atividade 6: Podemos agora discutir a questão das soluções de uma equação do tipo x2 
= a, quando a > 0. 
a) Manipule a expressão x2 = a até chegar a (x − a )(x + a ) = 0. 
b) Conclua que as únicas soluções da equação x2 = a são a e − a . 
 
Fórmula de Báskara 
 
 Vamos nos focar agora na equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0, com a  0. Você 
sabe por que pedimos a condição a  0? O que aconteceria se tivéssemos a = 0? Basta 
substituir o valor para verificar que a equação ficaria reduzida a uma equação do 1º 
grau. 
 
Atividade 7: Transforme a equação dada para o formato normal de uma equação do 2º 
grau. Dê a resposta especificando os coeficientes, a, b e c, da equação encontrada. 
(1) 3x2 – 3 + x= 2 + 5x – x2; (2) x2 + 3x = 3x + 2; 
(3) x2 – x3 – 1 = x(2 – x2); (4) 0
3
2 23
=
−+
x
xxx
. 
 
x 
x 
 
2 
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 Nem toda expressão polinomial é passível de ser fatorada segundo as 
propriedades de fatoração vistas nesta unidade. Por exemplo, x2 – 5x + 6 pode ser 
fatorada como x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Contudo, não é possível aplicar qualquer das 
propriedades de fatoração e obter imediatamente a expressão fatorada. (Verifique, leitor, 
usando a propriedade distributiva, que o desenvolvimento da expressão (x – 2)(x – 3) 
leva à expressão x2 – 5x + 6.) 
 Por que é importante se preocupar com a fatoração de uma expressão 
polinomial? Já vimos na atividade 4 que podemos usar a fatoração para resolver 
equações. Por exemplo, se quisermos resolver a equação x2 – 5x + 6 = 0, a técnica de 
tentar isolar a variável x, usada para equações do 1º grau, não funciona (experimente, 
leitor, tentar isolar x nesta equação). A melhor estratégia é tentar fatorar a expressão x2 – 
5x + 6. Bom, neste caso, já sabemos que x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3). Assim, resolver a 
equação x2 – 5x + 6 = 0 é equivalente a resolver a equação (x – 2)(x – 3) = 0. Portanto, 
devemos ter x – 2 = 0 ou x – 3 = 0. Ou seja, as soluções da equação x2 – 5x + 6 = 0 são x 
= 2 e x = 3. 
 É importante notar que nem toda equação do 2º grau pode ser resolvida no 
conjunto dos reais, ao contrário das equações do 1º grau que sempre têm solução real. 
Por exemplo, é evidente que a equação x2 + 1 = 0 não tem solução real. Neste caso, não 
se analisa a fatoração da expressão. De fato, saber que uma expressão não pode ser 
fatorada de modo algum não é uma tarefa nada simples. O que torna evidente saber que 
esta equação não tem solução no conjunto dos reais é a análise dos valores da expressão. 
Devemos notar em primeiro lugar que x2 ≥ 0, qualquer que seja o valor de x  ℝ. Então, 
x2 + 1 é sempre um valor estritamente positivo, maior do que zero. Assim, a equação x2 
+ 1 = 0 não pode ser resolvida no conjunto dos reais. Pode-se notar também que x2 + 1 = 
0 é equivalente a x2 = −1, que claramente não tem solução em ℝ, pois x2 ≥ 0. 
 Felizmente, existe uma fórmula geral que serve para se verificar imediatamente 
se uma equação do 2º grau tem solução real ou não e, mais ainda, também serve para a 
determinação da solução da equação dada, caso se verifique a sua existência. 
 
Atividade 8: Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a  0. Verifique que tanto x1 = 
a
acbb
2
42 −−−
 quanto x2 = 
a
acbb
2
42 −+−
 satisfazem a equação dada. (Ou seja, 
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substitua a expressão de x1 na expressão ax
2 + bx + c e desenvolva a expressão até 
chegar a 0. Você deve fazer o mesmo com x2.) 
 
 As fórmulas da atividade 8 são as conhecidas fórmulas de Baskara e 
normalmente são expressas numa única fórmula: 
a
acbb
x
2
42 −−
= . 
 Note que existe uma condição natural nesta fórmula, a saber, é preciso que se 
tenha b2 − 4ac ≥ 0, para que a expressão acb 42 − faça sentido. Como a expressão b2 
− 4ac aparece em vários momentos no estudo de polinômios de grau 2, existe um nome 
e uma notação para esta,  = b2 − 4ac é chamado discriminante da expressão ax2 + bx + 
c. 
 Apesar de a fórmula funcionar sempre como uma solução da equação do 2º grau 
associada, ela só faz sentido, para soluções reais, quando  ≥ 0. Ou, por outro lado, se  
< 0, a expressão não faz sentido em ℝ. É possível se verificar que de fato  < 0 implica 
na não existência de soluções reais para a equação do 2º grau. Mais, precisamente, 
temos o seguinte critério sobre a existência de soluções em ℝ para uma equação do 2º 
grau. 
 
Critério: Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a  0, e seja  = b2 − 4ac. Então: 
(i) existem duas soluções reais distintas   > 0; 
(ii) existe uma única solução real   = 0; 
(iii) não existe solução real   < 0. 
 
Observação: Lembramos que uma solução da equação ax2 + bx + c = 0 é chamada de 
raiz do polinômio ax2 + bx + c. 
 
Atividade 9: 
a) Use o critério acima e a fórmula de Baskara para resolver a equação x2 – 5x + 6. 
b) Use o critério acima para mostrar que não existe solução real para equação x2 + 1 = 0. 
 
 A fórmula de Baskara pode ser muito útil na fatoração de expressões 
polinomiais de grau 2. Vimos como fatorar algumas expressões, contudo as fórmulas 
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usadas não servem para qualquer tipo de expressão, nem diz quando uma expressão não 
pode ser fatorada. De fato, se ax2 + bx + c é fatorável, a fatoração só pode ser do tipo 
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Neste caso, a equação ax
2 + bx + c = 0 é equivalente à 
equação a(x − x1)(x − x2) = 0, o que significa que x1 e x2 são soluções da equação. Ou 
seja, ax2 + bx + c pode ser fatorado se, e somente se, ax2 + bx + c = 0 tem solução. 
 
Atividade 10: 
a) Verifique que sempre vale a relação ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2), onde x1 e x2 são 
as raízes de ax2+ bx + c = 0, com a  0 (use as expressões de x1 e x2 dadas por Baskara e 
desenvolva a expressão a(x − x1)(x − x2)). 
b) As raízes de um polinômio do 2º grau podem ser usadas para fatorá-lo. Mais 
precisamente, se x1 e x2 são raízes da equação ax
2 + bx + c = 0, com a  0, então vale 
que ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). 
(i) Verifique que −1 e 
3
1
 são as raízes da equação 3x2 + 2x − 1 = 0 e que vale a 
relação 3x2 + 2x − 1 = 3(x + 1)(x − 
3
1
). 
(ii) Determine as raízes x1 e x2 de 2x2 − 14x + 12 = 0 e verifique que vale a seguinte 
fatoração 2x2 − 14x + 12 = 2(x − x1)(x − x2). 
(iii)Obtenha uma fatoração para o polinômio x2 + 11x +28. 
(iv) Simplifique a expressão 
9
12
2
2
−
−+
x
xx
. 
 
 Sabemos que se x1 e x2 são as raízes de ax
2+ bx + c = 0, com a  0, vale a relação 
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Além de ser uma fórmula de fatoração, esta pode nos 
dar outras informações importantes. Vamos desenvolver o segundo membro da 
equação: 
 a(x − x1)(x − x2) = a(x
2 − (x1 + x2)x + x1x2) = ax
2 − a(x1 + x2)x + ax1x2. 
Assim, temos ax2 + bx + c = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2, donde b = − a(x1 + x2) e c = ax1x2, 
donde: 
a
b
xx −=+ 21 e 
a
c
xx =21. . 
Conhecer estas últimas relações pode ajudar em alguns problemas. 
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Atividade 11: 
a) Calcule a soma e o produto das raízes de x2 − 34x + 11 = 0. 
b) Calcule a soma dos inversos das raízes da equação x2 + 4x + 1 = 0, sem resolvê-la. 
c) Encontre dois números cuja soma seja 4 e o produto seja 1. 
 
 
Resposta das atividades 
 
Desafio: x2 + x = x.x + x.1 = x(x + 1) – o importante aqui é perceber que o termo x pode 
ser visto como um produto, x = x.1. 
 
Atividade 1 – solução: 
a) (a + b)c = ac + bc – neste caso, deve-se imaginar a base do retângulo, que está 
dividida, como medindo a + b e a altura medindo c. 
(a + b + c)d = ad + bd + cd. 
b) A representação de um número como uma área pode ocorrer quando vemos este 
número como um produto, pois aí encontramos a base e a altura do retângulo. Por 
exemplo, podemos ver o 6 como um retângulo de base 2 e altura 3, pois 6 = 2.3. 
Também podemos ver o 6 como um retângulo de base 6 e altura 1, pois 6 = 6.1. Dado 
um valor a, sempre temos a = 1.a = a.1, donde a pode ser visto como um retângulo de 
base 1 e altura 6 ou como um retângulo de base 1 altura 6. 
 
 
 
Atividade 2 − solução: 
a) x2 − 2x = x(x − 2) 
b) x2 − x = x.x − x.1 = x(x − 1) (muita gente se complica com esta expressão, esquece 
que é possível fazer a transformação x = x.1, o que permite realizar a fatoração) 
c) x4 − x2 − x + 1 = 𝑥2(𝑥2 − 1) − (𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥3 + 𝑥2 −1) 
d) x2 + x + 0,25 = (x2 + 2.x.0,5 + 0,25) = (x + 0,5)2 
a 
a 
1 
1 
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e) x2 − 12 = (𝑥 − 2√3)( 𝑥 + 2√3) 
f) x4 + 26x2 +169 = (𝑥2 + 13)2 
g) mx − 2y − m2x + 2my = mx − 2y − m(mx − 2y) = (1 − m)(mx − 2y) 
h) 2 − 𝑚2 = (√2 − 𝑚)(√2 + 𝑚) 
i) x4 − 16= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥2 + 4) 
j) 4 − 2x + x2/4=
1
4
(𝑥 − 4)2 
k) 10x4 − 90x2 = 10𝑥2(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 
l) 𝑎5 − 𝑎3 = 𝑎3(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) 
m) x2 + y2 + 2x + 2y + 2xy = (𝑥 + 𝑦)2 + 2(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦 + 2) 
n) − 3a2b2 + 7a3b = 𝑎2𝑏(−3𝑏 + 7𝑎) 
o) x2 − 2x + 1 = (𝑥 − 1)2 
 
Atividade 3 − solução: 
a) 
1
3
12
33
2 −
=
+−
−
aaa
a
 
b) 
)1(2
)1(
8168
44
2
2
−
+
=
+−
−
x
x
xx
x
 
c) 
b
ba
ab
aba
3
)2(
15
105 2 +
=
+
 
d) 3
3
92
+=
−
−
x
x
x
 
e) 
baba
aa
−
=
−
−
1
45
 
f) 
2
3
)3(2
)3)(3(
62
9
2
3 +
=
−
+−
=
−
− x
xx
xxx
xx
xx
 
g) 
1
1
1
12
2
2
+
−
=
−
+−
x
x
x
xx
 
h) 
24
1
)24(
44
)24(
4)4(
24
24
.
2424 2
++
=
++
−+
=
++
−+
=
++
++−+
=
−+
xxx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
 = 
i) h
h
hh
h
hh
h
h
+=
+
=
−++
=
−+
6
)6(9699)3( 22
 
j) 
2
2
4
44
2
2
−
+
=
−
++
x
x
x
xx
 
k) 
14
4
)14(
)14(4
25,024
14
22 +
=
+
+
=
++
+
xx
x
xx
x
 (a expressão estava errada, não dava para fatorar 
o denominador) 
 
Atividade 4 − solução: 
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a) (x − 2)(x + 1) = 0 ⇔ 𝑥 − 2 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −1 
b) x(2x + 5) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −
5
2
 
c) x2 − 133x = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 133 
d) x2 − x = 0  x(x − 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1 
e) x2 − 9 = 0 ⇔ (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) = 0 ⇔ 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3 
f) x2 + 4x + 4 = 0 ⇔ (𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = 0 ⇔ 𝑥 = −2 
g) x2 = 64 ⇔ (𝑥2 − 64) = 0 ⇔ (𝑥 + 8)(𝑥 − 8) = 0 ⇔ 𝑥 = −8 𝑜𝑢 𝑥 = 8 
h) x2 + 2x = −1 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0⇔ (𝑥 + 1)(𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 = −1 
i) 2x2 = x ⇔ 2𝑥2 − 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(2𝑥 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2 
j) x3 = 0 ⇔ 𝑥. 𝑥. 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥. 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 
l) x5 = 0 ⇔ 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥. 𝑥. 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 =
0 ⇔ 𝑥. 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 0 
m) x2 − 121 = 0⇔ (𝑥 − 11)(𝑥 + 11) = 0 ⇔ 𝑥 = 11 𝑜𝑢 𝑥 = −11 
n) 3x(x + 0,1)(0,25x + 1) = 0 ⇔ 3𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 + 0,1 = 0 𝑜𝑢 0,25𝑥 + 1 = 0 ⇔ 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −0,1 𝑜𝑢 𝑥 = −4 
o) x2 − 0,09 = 0 ⇔ (𝑥 − 0,3)(𝑥 + 0,3) = 0 ⇔ 𝑥 = 0,3 𝑜𝑢 𝑥 = −0,3 
p) 2x2 − 8 = 0  2(x2 − 4) = 0  x2 − 4 = 0  (x − 2)(x + 2) = 0 
 
Atividade 5: 
Questão 1: Baseado na figura abaixo, encontre x de modo que a área do quadrado seja 
igual à área do retângulo. 
 
Solução: Devemos resolver a equação 𝑥2 =
4𝑥
3
⇔ 3𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(3𝑥 − 4) = 0 ⇔ 
x = 0 ou x = 4/3. Como x é o lado do quadrado e, portanto, positivo, temos que x=4/3. 
x 
x 
 
2 
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Questão 2: A equação h = −5t2 +30t representa a relação entre a altura, h, em metros, 
de um corpo lançado e o tempo, t, em segundos, decorrido após o lançamento do corpo. 
a) Determine quanto tempo o corpo gasta para atingir o solo após o 
lançamento. 
b) Levando em consideração que o tempo de subida do corpo é igual ao tempo 
de descida, determine a altura máxima atingida no lançamento. 
Solução: a) Quando atingir o solo, a altura h será nula, portanto precisamos resolver a 
equação 0= h = −5t2 +30t ⇔ 𝑡(−5𝑡 + 30) = 0 ⇔ 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝑡 = 6. Assim, atingirá o 
solo 6 segundos após o lançamento. 
b) O corpo levará 3 segundos para atingir a altura máxima e nesse instante a altura 
será de ℎ = −5. 32 + 30.3 = 45𝑚. 
Atividade 6 − solução: 
a) x2 = a  x2 − a = 0  (x − a )(x + a ) = 0. 
b) Para o produto ser zero, devemos ter x = a ou x = − a . Ou seja, se x é 
solução de x2 = a então x = a ou x = − a . 
 
Atividade 7 − solução: 
(1) a = 4, b = −4, c = −5; (2) a = 1, b = 0, c = −2; 
(3) a = 1, b = −2, c = −1; (4) a = 1/3, b = 2/3, c = −1/3. 
 
Atividade 8 − solução: Para fazer a verificação pedida, basta substituir cada um dos 
valores x1 e x2 na equação dada. Apresentamos somente uma delas e a segunda será feita 
de forma totalmente análoga. Substituindo: 
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( ) ( )
( )
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 4
2 2
( 4 ) ( 4 )
4 2
1 2 4
4 2 4 4
4 4 4
1
4 2 4 2 2 4 4
4
1
.0 0
4
b b ac b b ac
ax bx c a b c
a a
a b
b b ac b b ac c
a a
b ac
b ac b b ac b b b ac
a a a
b ac b b ac b b b b ac ac
a
a
   − + − − + −
+ + = + + =   
   
   
= − + − + − + − + =
= − − − + + − + − + =
= − − − + − + − + =
= =
 
 Como esperávamos que acontecesse. Para a outra raiz, o procedimento é 
perfeitamente análogo. Faça e irá encontrar o resultado. 
 
Atividade 9 – solução: 
a) Basta aplicar a fórmula e encontrar x1 = 2 e x3 = 3. 
b) Basta verificar que  < 0. 
 
Atividade 10 − solução: 
a) Para resolver este problema é só fazer como fizemos na atividade 8. Com as raízes x1 
e x2 obtidas por Baskara, substitua e, certamente irá encontrar ax
2+bx +c. 
b) 
(i) Basta verificar que: 3(−1)2 + 2(−1) − 1 = 0; 3(
3
1
)2 + 2.
3
1
 − 1 = 0 e 3x2 + 2x − 1 = 
3(x + 1)(x − 
3
1
). 
(ii) As raízes são 1 e 6. 
(iii) As raízes são −4 e −7, donde x2 + 11x +28 = (x + 4)(x + 7) 
(iv) As raízes de x2 + x − 12 são −4 e 3, donde 
3
4
)3)(3(
)3)(4(
9
12
2
2
+
+
=
+−
−+
=
−
−+
x
x
xx
xx
x
xx
. 
 
 
Atividade 11 − solução: 
a) 1,2
34 1156 44 34 1112 34 2 278
17 278
2 2 2
x
 −  
= = = = 
 
Matemática Básica Unidade 7 
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 A soma será x1 + x2 = 17 + 278 + 17 − 278 = 34 e o produto será x1.x2 = (17 
+ 278 ).(17 − 278 ) = 172 − 278 = 289 − 278 = 11. 
b) Temos que a soma das raízes é −4 e o produto delas é 1 (uma equação do segundo 
grau pode ser escrita como x2 – Sx + P = 0 sendo S e P, respectivamente, a soma e o 
produto das raízes). Sendo x1 e x2 as raízes, o problema pede 
1 2
1 1
x x
+ . Ora, efetuando 
esta soma, temos que 1 2
1 2 1 2
1 1 4
4.
1
x x
x x x x
+ −
+ = = = − 
c) Podemos resolver este problema pensando nas raízes de uma equação do segundo 
grau. Se a soma é 4 e o produto é 1, os números são as raízes da equação 
2 4 1 0x x− + =
. Assim, 1,2
4 16 4 4 2 3
2 3
2 2
x
 − 
= = =  . Logo, os números são 2 3+ e 2 3− .