Gabarito da atividade para avaliação - Semana 5_ CÁLCULO III - MCA503

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12/01/2020 Gabarito da atividade para avaliação - Semana 5: CÁLCULO III - MCA503
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CÁLCULO III
EDO e Transformada de Laplace5
 
ATIVIDADE PARA AVALIAÇÃO
Seja a equação diferencial ordinária não-homogênea abaixo:
Considerando que a e b são dois números reais a serem determinados, uma solução
particular dessa equação diferencial pode ser expressa por:
Resolução
Para equações diferenciais não-homogêneas com coeficientes constantes (como é o caso
deste problema), devemos verificar qual é a família de funções que melhor se ajusta à
função do lado direito da equação (função ). Dessa forma, como ,
devemos, então, buscar por soluções particulares que sejam combinações lineares das
funções trigonométricas elementares, isto é:
 
1.
a.
b.
c.
d.
e.
Encontre uma solução particular da equação diferencial não-homogênea:
Assinale a alternativa correta.
2.
a.
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Resolução
Vamos utilizar o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD) para encontrar uma solução
particular para a EDO não-homogênea. Observe que, como a função que está do lado direito
da equação, é um polinômio de grau 2, devemos então, procurar por
soluções particulares da seguinte forma:
Para encontramos os coeficientes A, B e C, primeiramente devemos derivar duas
vezes e substituir as expressões obtidas na equação original, isto é:
 
 
Agrupando as potências de mesmo grau, temos que:
Da igualdade de polinômios (deve-se igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau),
segue que:
Resolvendo o sistema linear acima, obtemos:
 
, e 
b.
c.
d.
e.
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Portanto, a solução particular procurada é dada por:
 
 
Para encontrar a alternativa correta, basta calcular o produto 
 
Considere a equação diferencial linear não-homogênea abaixo:
em que representa a função incógnita da expressão. Quando as funções ,
i=0,1,...,n-1, e variam em função de x, isto é, quando elas não são definidas apenas por
constantes reais, podemos aplicar o Método da Variação dos Parâmetros (MVP) para
resolver a equação diferencial (1). A respeito da solução geral da equação (1) a ser
obtida pelo MVP, assinale a alternativa correta:
Resolução
Para equações diferenciais lineares não-homogêneas da forma (1), a solução geral é
definida pela fórmula . Com relação ao MVP, 
 é a solução geral da equação diferencial
3.
, em que é a solução geral da equação diferencial
homogênea associada à (1) e é uma solução particular de (1).
a.
, em que é a solução geral da equação
diferencial homogênea associada à (1) e é uma solução particular da equação
diferencial (1), com .
b.
, em que e são duas soluções particulares
linearmente independentes da equação diferencial homogênea associada a (1), com
A e B coeficientes reais não simultaneamente nulos.
c.
, em que e são duas soluções
particulares linearmente independentes da equação diferencial homogênea
associada a (1), com .
d.
, em que e são duas soluções
particulares linearmente independentes da equação diferencial (1).
e.
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homogênea associada à (1) (isto é, quando ), e 
 é uma solução particular da equação
completa (1), a qual é composta pelas funções da base da solução da equação
homogênea associada assumindo, no lugar dos coeficientes fixos , funções que variam em
x, da forma , i=1,2,...,n.
Resolva a EDO não-homogênea sabendo que 
 é a solução geral da equação diferencial homogênea associada à
EDO completa, em que e .
Resolução
Observe que a EDO acima não está escrita na forma padrão. Nesse caso, devemos dividir
ambos os lados da equação por 9 (coeficiente junto ao termo de maior ordem da EDO), o
que resulta em uma equação definida na forma padrão:
Vamos utilizar o Método da Variação dos Parâmetros (MVP) para resolver a EDO (1). Assim,
a solução geral de (1) é determinada a partir da seguinte fórmula explícita:
em que:
 
Como (dado no exercício), temos que e 
 são as funções da base da solução homogênea associada. Assim, vamos então buscar pela
solução particular , a qual pode ser obtida variando-se os coeficientes da solução 
 (MVP):
 
4.
a.
b.
c.
d.
e.
 é a solução geral da EDO homogênea associada a (1).•
: é uma solução particular de (1).•
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Para encontrar as funções e , vamos resolver o sistema de equações
associado ao MVP, que leva em consideração as derivadas das u's e dos y's:
 
 
O determinante do sistema acima é conhecido como “Wronskiano” W e é calculado por:
 
 
Pela regra de Cramer:
 
 
 
Logo,
 
 
 
 
Observação: para encontrarmos , a expressão de foi integrada a partir da técnica de
integração por partes.
Assim, substituindo e na expressão (3), obtemos:
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Portanto, a solução final (2) pode ser explicitamente determinada pela fórmula:
 
 
com e .
Considere a fórmula da transformada de Laplace , . Aplique o método
das Transformadas de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI), na
função incógnita :
, , 
 
Assinale a alternativa correta.
Resolução
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos:
5.
a.
b.
c.
d.
e.
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Vamos escrever a expressão acima em termos de frações parciais. Para tal, considere a
seguinte decomposição:
Resolvendo o sistema acima,
 
 e 
 
Logo,
 
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Portanto, aplicando a transformada inversa em , temos que:
 
 
Para encontrar a alternativa correta, basta multiplicar por , isto é: