Módulo de Torção

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 
 
 
GIOVANA RENOSTO 
HELOÍSA CHIAMENTI 
KAUAN FELIPE 
LETÍCIA MACEDO 
MARLON HENRIQUE 
NATACHA SILVA 
 
 
MÓDULO DE TORÇÃO 
 
Relatório entregue ao Prof Dr. Fernando 
Espinoza como requisito parcial de avaliação da 
disciplina de Física Geral e Experimental II do 
curso de Engenharia Química da Universidade 
Estadual do Oeste do Paraná – Campus Toledo. 
 
TOLEDO- PARANÁ 
MAIO DE 2019 
Usuario
Nota
NOTA 75
RESUMO 
 O objetivo desta prática é estimar o módulo de torção de um fio metálico através 
de uma série de repetições envolvendo a torção do fio utilizando da oscilação de um 
conjunto de pesos, variando o comprimento do fio e o momento de inércia do sistema. A 
relação entre a constante de Hooke com o quadrado do período, determinados tanto 
experimentalmente como teoricamente, permite a estimativa do módulo de torção, no 
qual será comparada com outros valores tabelados previamente determinados. 
 
Palavras-chave: módulo de torção, constante de hooke e fio metálico. 
 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
O resumo está precisando de ajustes: 1) Escreva numa frase o objetivo da prática; 2) Descreva resumidamente a parte experimental; 3) Apresente os destaques nos resultados principais; 4) Escreva uma frase conclusiva baseada em suas discussões e resultado mais confiável!
1. INTRODUÇÃO 
 
Considerando um evento físico, no qual há transferência de quantidade de 
movimento, se uma força externa surge incrementando a energia de movimento, o 
sistema físico irá se opor à essa mudança de comportamento, na tentativa de retornar 
ao seu estado de mínima energia. Entretanto, se não houver um processo interno que 
dissipe a energia em excesso, as forças internas gerarão um movimento oscilatório 
(NUSSENZVEIG, 1996). 
O pêndulo de torção quando submetido à rotação num plano perpendicular ao fio, 
realiza oscilações harmônicas caso for deslocado, mesmo que pouco, da sua posição de 
equilíbrio, fazendo com que o fio sofra deformação. Para voltar ao estado de equilíbrio, 
o fio exerce um torque restaurador, que é proporcional ao ângulo de torção θ e ao módulo 
de torção k, que depende das características do fio. Se o corpo volta a sua condição 
original, diz-se que ele se comporta como um sistema elástico. (JOCA, 2008) 
O movimento oscilatório, é um caso especial de movimento periódico. Diz-se que o 
movimento periódico é oscilatório (usa-se também vibratório) se o sentido do movimento 
é invertido regularmente. Entende-se aqui por inversão a mudança de sentido da 
velocidade (NUSSENZVEIG, 1996). 
Na comparação deste sistema com um pêndulo simples, nota-se que esse se difere. 
No pêndulo de torção, o fio pode ter uma maior densidade linear, a distribuição de massa 
do corpo pode ser arbitrária e a força restauradora não é devida à gravidade, e sim da 
tentativa do sistema de eliminar as deformações sofridas (HALLIDAY, 1988). 
No fio, a dependência se dá pelo diâmetro e comprimento, bem como do material que 
ele é feito. Já em relação ao corpo, sua dependência se expressa pelo momento de 
inércia do corpo em torno de um eixo que se situa no prolongamento do fio. 
Considerando um corpo sólido sujeito a forças externas, nota-se a modificação de sua 
forma. Se após a remoção dessas forças o corpo voltar à sua forma original, diz-se que 
este é elástico. De uma maneira geral, os corpos são elásticos se as forças aplicadas 
estiverem abaixo de certo máximo, denominado limite elástico. 
O objetivo desta prática se baseia na determinação do módulo de torção através 
da verificação de oscilações harmônicas, e na relação da Lei de Hooke na torção de um 
fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usuario
Realce
2. EMBASAMENTO TEÓRIOCO 
 
Podem-se encontrar oscilações em todos os campos da física como, por exemplo, 
em sistemas mecânicos vibratórios os quais incluem pêndulos, cordas de instrumentos 
musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro (NUSSENZVEIG, 1996). 
Oscilações livres ocorrem quando, por exemplo, um pêndulo desviado da posição de 
equilíbrio é solto e não é submetido a forças externas oscilatórias estabelecendo assim 
seu próprio período de oscilação determinado pelos parâmetros que o caracterizam. Já 
as oscilações forçadas ocorrem quando, por exemplo, o pêndulo é submetido a impulsos 
externos periódicos (NUSSENZVEIG, 1996). 
As deformações podem ser temporárias ou permanentes dependendo da intensidade 
da força. No caso de deformações pequenas, ou seja, dentro do limite elástico do fio, o 
corpo se comporta como um sistema elástico, ou seja, ele 9 tem a capacidade de voltar 
a sua forma inicial após cessar a força externa. Com isso, considerando torções elásticas 
em um cilindro, há uma relação linear entre a deformação angular (deslocamento 
tangencial) e a força elástica restauradora, governada pela Lei de Hooke. 
As forças internas de ligação entre as moléculas ou átomos em sólido são muito 
intensas, dificultando assim a ruptura do material sobre aplicação de forças externas 
menos intensas. Apesar dessa dificuldade pode ocorrer a deformação temporária ou 
permanente do material. Assim que a força externa pare de atuar no corpo o mesmo 
tende a voltar a sua forma original ou posição de equilíbrio. Isso ocorre através de uma 
força ou torque restaurador que se opõe a força ou torque deformador. 
O físico inglês R. Hooke, observando o comportamento mecânico de uma mola 
descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades 
de uma mola maior era a deformação. Ao analisar outros sistemas elásticos, Hooke 
verificou que existia sempre uma proporcionalidade entre a força deformante e a 
deformação elástica produzida. 
 
Assim, em 1676, Hooke enunciou a seguinte lei: “Em regime de deformação elástica, 
a intensidade da força é proporcional à deformação”. Essa lei é conhecida como a Lei de 
Hooke. 
2.1 Momento de inércia 
 
O momento de inércia relativo ao centro de massa para um sistema contínuo pode 
ser feito pela Equação 01. 
 
𝐼𝐶𝑀 = ∫ 𝑟
2 𝑑𝑚 
(01) 
 
Os momentos de inércia relativos aos eixos de rotação paralelos entre si possuem 
uma equivalência definida pelo Teorema de Steiner ou Teorema dos Eixos paralelos, em 
que o momento de inércia relativo à um eixo que passa pelo ponto O define-se pela 
Equação 02 a seguir: 
 𝐼0 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝑑
2 
 
(02) 
 
Para o cálculo do momento de inércia levando-se em conta as hastes, o cilindro 
e os pesos, pode-se utilizar a Equação 03. 
 
𝐼 = 
1
2
𝑀𝐷𝑅𝐷 +
1
12
𝑀𝐻𝐿
2 + 𝑀𝑡𝑟
2 
 
(03) 
 
2.2 Tensão de cisalhamento 
 
Para um corpo sólido sujeito a forças externas abaixo do limite elástico, a tensão 
de cisalhamento obedece a Lei de Hooke, demonstrando valores proporcionais à 
deformação de cisalhamento, como mostrado na Equação 04. 
 
 σ = −S.
𝜀
𝑧
. θ = −S 
𝑟
𝐿
θ 
 
(04) 
 
Em que 𝑆 é o módulo de cisalhamento, 𝑟 representa o raio do cilindro, 𝐿 o 
comprimento do cilindro e θ é o ângulo de desvio do sistema haste-cilindro em relação à 
sua posição original. 
 
2.3 Torque restaurador 
 
O torque necessário para restaurar um fio após uma torção com ângulo 𝜃 é obtido 
relacionando a força tangencial aplicada à camada cilíndrica com o raio interno da 
camada. Esta força tangencial relaciona-se com o ângulo de torção total do extremo 
inferior do fio, usando a tensão de cisalhamento. Estas relações são mostradas nas 
Equações 05, 06, 07 e 08. 
 
 𝑑𝐹𝑡 = 2𝜋. 𝜎. 𝑟. 𝑑𝑟 
 
(05) 
 
 
𝑑𝐹𝑡 = −𝑆.
2𝜋
𝐿
. 𝜃. 𝑟2. 𝑑𝑟 
 
(06) 
 
 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑥 𝑑�⃗� = 𝑟𝑑𝐹𝑡. (𝑟 𝑥 𝑡) 
 
(07) 
 
 
 
𝑑𝑡 = −
2𝜋. 𝑆
𝐿
. 𝑟3𝑑𝑟. 𝜃. �̂� 
 
(08) 
 
O torque que restaura as posições iniciais das camadas cilíndricas de um fio é 
dado pela integral desde a camada deraio zero até a periferia do cilindro de raio R, 
conforme as Equações 09 e 10. 
 
 
𝑡 = − 
2𝜋. 𝑆. 𝜃
𝐿
∫ 𝑟3. 𝑑𝑟. �̂�
𝑅
0
 
 
(09) 
 
 
𝑡 = −
𝜋. 𝑆. 𝑅4
2𝐿
. 𝜃. �̂� 
 
(10) 
 
A partir da segunda Lei de Newton para rotações, o torque pode ser definido pela 
Equação 12. Isso só é possível devido ao fato de que o movimento de rotação do cilindro 
depende da inércia do sistema barra-cilindro. Pela Equação 12, nota-se que a inércia e 
a aceleração angular são inversamente proporcionais. As Equações 10 e 11 representam 
torque, por isso pode-se igualar ambas, obtendo a Equação 13. Essas relações são 
mostradas abaixo. 
 
 
𝑡 = 𝐼.
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
 
(11) 
 𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+
𝐾
𝐼
. 𝜃 = 0 
 
(12) 
 
A Equação 12 é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, e sua 
solução geral é dada pela Equação 13. 
 
 𝜃(𝑡) = 𝜃0. cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑) 
 
(13) 
 
Em que 𝜃𝑜 representa a amplitude de oscilação ou máximo deslocamento angular. 
A função cos (𝑤∙𝑡+𝜑) é uma função periódica, onde o parâmetro 𝜔 representa a 
frequência angular. O tempo que o sistema demora em voltar a sua condição inicial ou 
repetir o movimento oscilatório é chamado de período, dado pela Equação 14. 
 
 cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑 + 2𝜋) = cos(𝜔. 𝑡 + 𝜑 + 𝜔. 𝑇) 
 
(14) 
 
O período de oscilação é função do inverso da frequência angular do sistema 
(Equação 15). 
 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 
 
(15) 
 
Logo a solução harmônica do sistema de torção pode ser escrita de acordo com 
a Equação (16). 
 𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= − (
2𝜋
𝑇
) . 𝜃0. cos(
2𝜋
𝑇
. 𝑡 + 𝜑) 
 
(17) 
 
 𝑑2𝜃(𝑡)
𝑑𝑡2
= − (
2𝜋
𝑇
)
2
. 𝜃0(𝑡) 
 
(18) 
Desta forma, o período pode ser definido pela Equação 19. 
 
 
𝑇 = 2𝜋. √
𝐼
𝐾
 
 
(19) 
𝑇2 ≅ (
𝜋𝛽
𝐾𝑓𝑖𝑜
)
2
+ (
4𝜋2
𝐾𝑓𝑖𝑜
) 𝐼𝑠𝑖𝑠𝑡 
 
Onde (20) expressa o período como função linear do momento de inércia do sistema em 
um movimento oscilatório harmônico na torção de um fio sob atrito do ar (𝛽). O 
coeficiente angular da reta gerada pela equação (20) permite estimar o 𝐾𝑓𝑖𝑜, com isso 
podemos utilizar a equação (21): 
(21) 
𝐾𝑓𝑖𝑜 = [
𝜋
2
𝐺𝑅4]
1
𝐿
 
 Onde R é o raio do fio e L o seu comprimento. 
A reta expressa pelo gráfico de (21) possibilita a determinação do módulo de 
torção através do coeficiente angular da reta. 
 
 
 
(20) 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
 Para a realização do experimento a seguir, foram utilizados quatro fios metálicos 
de comprimentos distintos (550, 450, 350 e 250 mm) com objetivo de determinar o 
módulo de torção do fio pela equação (20). Inicialmente foi preso o fio ao aparelho de 
torção básica para mecânica, composta por uma haste cilíndrica vertical fixada a uma 
base quadrada, com parafusos niveladores e amortecedores, contendo também um 
transferidor. A fixação do fio a este aparelho foi feita utilizando dois suportes cilíndricos 
(um em cada extremidade do fio), nos quais serão encaixados no aparelho de torção e 
na vara, onde ocorrerá a variação do momento de inércia através do acréscimo de discos 
de bronze (aproximadamente 50 g cada) às duas cestas (aproximadamente 15 g cada) 
presas em cada extremidade da vara. A estimativa da massa dos momentos de inércia 
será efetivada com a pesagem dos conjuntos cestas + discos de bronze em uma balança 
semi-analítica digital, com precisão de 1/100 g. 
 Com o valor medido do comprimento da vara utilizando uma régua metálica de 
100 cm e a determinação do diâmetro do fio utilizando um micrômetro, será escolhido 
uma configuração inicial de discos de bronze resultando em um momento de inércia I1. 
Antes do início do movimento é necessário a estimativa do erro do operador no manuseio 
do cronômetro de precisão 1/100 s através de dez repetições de dois cliques 
consecutivos, resultando em um tempo médio de erro. A torção será feita rotacionando 
a vara até que ângulo entre o estado de equilíbrio e o estado torcionado seja de 
aproximadamente 45° com auxílio do transferidor. Após isso, a vara será solta pelo 
operador e imediatamente é inicia-se a contagem de tempo com o cronômetro, 
realizando um movimento oscilatório. As configurações de momento de inércia serão de 
1 a 4 discos em cada cesta (deverá ser utilizado a mesma quantidade de discos em cada 
cesta) por cinco oscilações seguidas. Completada a quinta oscilação, quando se divide 
por cinco o tempo resultante, este será o período médio de uma oscilação para o 
respectivo momento de inércia. Este procedimento será repetido no mínimo 7 vezes para 
cada momento de inércia. Finalizadas as 7 repetições, troca-se o fio e repete-se o 
processo. 
 Anotado os períodos para cada fio, será traçado um gráfico do período ao 
quadrado em função do momento de inércia visando a comparação da equação da reta 
encontrada com a equação (20), onde será possível estimar a constante de Hooke dos 
fios. Com os valores de Kfio, traça-se um gráfico da constante em função do inverso do 
comprimento do fio possibilitando agora a comparação da equação expressada pelo 
gráfico com a equação (21) teórica. Através do coeficiente angular da reta encontrado, 
será determinado o módulo de torção do fio. O módulo de torção G poderá ser 
comparado com outros valores encontrados por uma série de materiais. 
 
 
Usuario
Realce
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES 
Foram preparados 4 módulos, cada qual com dois conjuntos de pesos: um do 
lado esquerdo (E) e outro do lado direito (D) – considerou-se que os pesos cilíndricos 
possuíam o mesmo raio R. A Tabela 1 apresenta a identificação dos pesos utilizados e 
suas respectivas massas: 
Tabela 1: Massas dos pesos de cada módulo (g ± 0,01 g) 
 
MÓDULO 1 
 
MÓDULO 2 
 
MÓDULO3 
 
MÓDULO4 
 
P1 P1 
 
P2 P2 
 
P3 P3 
 
P4 P4 
68,16 67,48 118,27 117,58 167,67 168,32 218,46 217,81 
 
Raio (cm ± 0,1 cm) 
 
 
 
Foram adotados 4 fios com comprimentos diferentes, para assim serem formados 
os sistemas, com o auxílio de uma vara metálica, o suporte e os pesos. 
A tabela 2, apresenta algumas características destes materiais: 
 
Tabela 2: Caracterização dos componentes dos sistemas. 
 
MATERIAL 
 
MASSA (g) ± 0,01g 
 
GEOMETRIA 
 
Vara metálica 
 
11,06 
 
L= (21,2 ± 0,1) cm 
Suporte cilíndrico 24,88 D=(1,250 ± 0,005) cm 
Fio metálico (F1) 1,15 L1 = 0,54 m R=(0,285 ± 0,005)mm 
Fio metálico (F2) 0,96 L2 =0,45 m R=(0,285 ± 0,005)mm 
Fio metálico (F3) 0,73 L3=0,352 m R=(0,285 ± 0,005)mm 
Fio metálico (F4) 0,55 L4=0,253 R=(0,285 ± 0,005)mm 
 
Usuario
Realce
Usuario
Realce
Baseando-se nas tabelas 1 e 2, determinou-se o momento de inércia de todo 
sistema, constituído pelos momentos de inércia dos pesos, pois a massa dos fios, bem 
como seu raio são muito pequenos, sendo, portanto desprezíveis, também despreza-se 
o momento de inércia do suporte cilíndrico pelo fato, deste também não varia a massa. 
Os momentos de inercia determinados dos sistemas está apresentado na tabela 
3: 
Tabela 3: Momentos de inércia das componentes dos sistemas. 
 
SISTEMA 
 
MOMENTO DE INÉCIA 
 
PESOS 1 
 
235,4 ± 4,6 
 
PESOS 2 
 
182,3 ± 3,5 
 
PESOS 3 
 
131,4 ± 2,5 
 
PESOS 4 
 
76,59 ± 1,46 
 
SUPORTE CILINDRICO 
 
(4,849 ± 1,557)∙10-2 
 
 
Em seguida, afim de estimar parâmetros através de modelos matemáticos a partir 
dos dados experimentais, utilizando-se das relações entre os momentos de inércia dos 
sistemas com os períodos de oscilação de cada módulo, as seguintes Tabelas, de 4 a 7 
apresentam os períodos respectivos a cinco oscilações sucessivas para cada módulo, 
as repetições foram feitas com intuito de diminuir os erros do operador. 
 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Não tem unidades!! Eu não sei se esta em kg.m2 ou g.cm2 ou g.m2? Isto é terrível para quem vai tentar reproduzir ou ajustaros dados!!
É Momento de Inércia e não Inécia!!!
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Algarismos significativos:
Primeiro digito diferente de zero no erro!!
Assim, 
235,4 +/- 4,6 kgm2 deve ser escrito como segue:
235 +/- 5 kgm2 !!!
Tabela 4: tempo de 5 oscilacões para o fio de comprimento 0,54 
 
TEMPO DE 5 OSCILACÕES (s) 
 
Momento 
de inércia 
(kg.m2) 
 
Rep 
01 
 
Rep. 
02 
 
Rep. 
03 
 
Rep. 
04 
 
Rep. 
05 
 
 
Rep. 
06 
 
 
Rep. 
07 
 
Média 
± 𝝈 (s) 
 
 
I4 
 
30,62 
 
30,53 
 
30,47 
 
30,47 
 
30,37 
 
30,50 
 
30,60 
 
30,50±0,21 
I3 40,10 40,06 40,18 40,09 40,19 40,28 40,22 40,16±0,08 
I2 47,75 47,75 47,82 47,97 47,84 47,75 47,60 47,78±0,13 
I1 54,51 54,34 54,22 54,13 54,41 54,22 54,40 54,31±0,21 
 
 
Tabela 5: tempo de 5 oscilacões para o fio de comprimento 0,45m 
 
TEMPO DE 5 OSCILACÕES (s) 
 
Momento 
de 
inércia 
(kg.m2) 
 
Rep. 
01 
 
Rep. 
02 
 
Rep. 
03 
 
Rep. 
04 
 
Rep. 
05 
 
 
Rep. 
06 
 
 
Rep. 
07 
 
Média 
± 𝝈 (s) 
 
 
I4 
 
28,25 
 
28,38 
 
28,22 
 
28,44 
 
28,40 
 
28,50 
 
28,44 
 
28,37±0,26 
I3 37,19 36,94 37,06 37,19 37,16 37,16 37,03 37,10±0,18 
I2 43,66 43,75 43,63 43,79 43,59 43,93 43,66 43,71±0,11 
I1 49,34 49,65 49,53 49,37 49,50 49,56 49,88 49,54±0,27 
 
 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
0,54 o quê? m ou cm?
Usuario
Realce
Usuario
Realce
Tabela 6: tempo de 5 oscilacões para o fio de comprimento 0,352m 
 
TEMPO DE 5 OSCILACÕES (s) 
 
Momento 
de inércia 
(kg.m2) 
 
Rep. 
01 
 
Rep. 
02 
 
Rep. 
03 
 
Rep. 
04 
 
Rep. 
05 
 
 
Rep. 
06 
 
 
Rep. 
07 
 
Média 
± 𝝈 (s) 
 
 
I4 
 
26,10 
 
25,96 
 
26 
 
26 
 
25,94 
 
25,87 
 
25,97 
 
25,97± 0,16 
I3 33,85 33,84 34 34 33,83 33,73 33,84 33,87±0,15 
I2 40,32 40,16 40,43 40,03 40,25 40,22 40,53 40,2±0,26 
I1 45,54 45,22 45,25 45,41 45,44 45,12 45,54 45,36±0,12 
 
 
Tabela 7: tempo de 5 oscilações para o fio de comprimento 0,25m 
 
TEMPO DE 5 OSCILACÕES (s) 
 
Momento 
de inércia 
(kg.m2) 
 
Rep. 
01 
 
Rep. 
02 
 
Rep. 
03 
 
Rep. 
04 
 
Rep. 
05 
 
 
Rep. 
06 
 
 
Rep. 
07 
 
Média 
± 𝝈 (s) 
 
 
I4 
 
22,85 
 
23,34 
 
22,75 
 
23,19 
 
23 
 
23,22 
 
22,73 
 
23,01±0,18 
I3 29,78 29,59 29,69 29,34 29,44 29,41 29,53 29,54±0,07 
I2 34,90 34,84 34,72 34,76 34,60 34,44 34,59 34,69±0,14 
I1 39,19 39,03 39,12 39,56 39,50 39,47 39,22 39,29±0,18 
 
 Analisando de forma qualitativa os dados obtidos apresentados nas Tabelas 4 a 
7, verifica-se que existe uma relação entre o comprimento do fio e o período de oscilação 
dos pesos, tal que, quanto menor o comprimento do fio, menor também será o período 
de oscilação, ou seja, ambas as grandezas são proporcionais. 
 Com esses dados, plotou-se um gráfico do quadrado do período vs momento de 
inércia do sistema para ambos os comprimentos. 
Usuario
Realce
Usuario
Realce
Figura 1: Gráfico do período quadrático vs momento de inércia
 
 
 A proporcionalidade dessas grandezas ocorre para que o torque restaurador 
mantenha-se invariante, pois o momento de inércia é inversamente proporcional à 
aceleração angular, desse modo, com a diminuição da aceleração angular, há um 
aumento no momento de inércia. 
 O gráfico T² vs Isis proporciona as equações da reta para cada fio. A seguir, tem-
se a tabela das equações da reta e o coeficiente de detreminação R²: 
 
Tabela 8: Equações da reta e R² 
 Equação da reta R2 (m2) 
L1= 0,54m y= 26918x + 10,478 1 
L2= 0,45m y= 21934x + 10,645 0,9998 
L3= 0,352m y= 18493x + 8,785 0,9996 
L4= 0,25m y= 13503x + 7,745 1 
 
 A constante de torção Kfio pode ser encontrada relacionando-a com o coeficiente 
angular da reta de cada fio, dado pela equação 22: 
Usuario
Nota
Unidades em kg.m2 e não KG.M !!! 
Usuario
Nota
Unidade de tempo é o segundo cujo símbolo é a letra s minúscula!!!
Usuario
Realce
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Não acredito em R2 = 1. Perfeição!!!
 
𝐵 =
4𝜋²
𝐾𝑓𝑖𝑜
 
 
 Na Tabela 9 apresentada abaixo, tem-se o Kfio, bem como seu erro associado 
∆K. 
 
Tabela 9: Módulo de torção para cada fio 
 Módulo de Torção (K ± ∆K) 10-3 (N.m) 
L1= 0,54m 0,001466618 ± 2,98.10-5 
L2= 0,45m 0,001799873 ± 5,36.10-5 
L3 = 0,325m 0,002134776 ± 8,97.10-5 
L4= 0,25m 0,002923678 ± 7,25.10-5 
 
Determinando o módulo de cada fio, foi possivel plotar o gráfico da Figura 2. 
 
Figura 2: Gráfico de K vs 1/L
 
 
(22) 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Use a notação científica e não coloque tantos ZEROS!!!
(14,7 +/- 0,3) x 10-4 Nm
Usuario
Realce
Figura = Gráfico !!!
Usuario
Nota
Sem legenda para identificar o que são dados e o que são ajustes. Há uma linha continua que une os pontos que não representa NADA!!! por que foi incluída!!!
Usuario
Nota
Unidades em m-1
Usuario
Nota
Unidade em Nm
 A partir do ajuste linear, obteve-se um R2 de 94,7%, sendo assim, possível dizer 
que o ajuste representa com qualidade o fenômeno físico observado. Foi possível ainda 
estimar o coeficiente angular (B) da reta, que foi de 0,0005 juntamente com seu erro e, 
através de B e da Equação 23, estimou-se o módulo de cisalhamento (S). Este foi igual 
a (77,195 ± 5,5) GPa. 
𝐵 =
𝜋𝑆𝑅4
2
 
 Através do módulo de cisalhamento encontrado é possível determinar o material 
que o fio é constituído. Na tabela 10 estão dispostos alguns valores conhecidos do 
módulo de cisalhamento de alguns materiais. 
 
Tabela 10: Módulo de cisalhamento de diferentes ligas metálicas
 
 
 O valor encontrado para o módulo de cisalhamento é muito próximo ao valor 
tabelado do aço, uma vez que o material está dentro do intervalo do erro descoberto. 
 
(23) 
Usuario
Realce
Não sei não! A reta da ajuste não passa por nenhum ponto experimental nem dentro da barra de erro!!
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Em que unidade? N.m2 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Algarismo significativo:
77 +/- 6 GPa !!!
Usuario
Realce
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Porém era mesmo aço o material do fio ou ferro dúctil ou maleável!!! O erro experimental pode ser maior devido a erros sistemáticos não levados em conta!!
5. CONCLUSÃO 
A prática possibilitou atestar tanto qualitativamente como quantitativamente a 
relação entre variáveis do movimento oscilatório, como o momento de inércia e os 
períodos de oscilação dos sistemas. Assim como a relação do período com a massa do 
sistema, onde o período cresce a medida que o peso do sistema evolui. 
Provou-se também que a constante de torção é inversamente proporcional com o 
comprimento do fio, além de possibilitar a descoberta do material que constitui o fio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usuario
Realce
Usuario
Nota
Faça uma conclusão que conduza à qualidade dos resultados e seu impacto no que se pretende fazer com esse fio ou balança de torção: medir momento de inércia de corpos sólidos!!!
6. REFERÊNCIAS 
 
Apostila de Física Geral Experimental II. Colisões. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-
Quiñones. 2015. 
 
HALLIDAY, D., RESNIK R., KRANE, D.S. Física 1, Volume 1, 4ª Ed, Rio de Janeiro: 
LTC, 1996. 
 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. V. 1. São Paulo: Edgard Blücher, 1988. 
 
JOCA, J. Apostila da Disciplina Laboratório de Física II. Disponível em 
<http://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/fisicaequimica/relacaodedocentes973/a
postila---lab.fii.pdf> Acesso em: 4 de maio de 2019. 
 
Módulo elásticos: visão geral e métodos de caracterização. Disponível em: 
<http://www.atcp.com.br/imagens/produtos/sonelastic/artigos/RT03-ATCP.pdf:> Acesso 
em: 4 de maio de 2019. 
 
UFF- Universidade Federal Fluminense. Apêndice C Materiais. Rio de Janeiro. 
Disponível em <http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/W%20-
%20Apendice%20C%20Materiais.pdf> Acesso em: 4 de maio de 2019.