GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR EM SOFTWARES

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GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA LINEAR EM SOFTWARES
João Elias da Silva¹
Professor tutor externo Vanessa Schieffelbein Machado²
1. INTRODUÇÃO
		A geometria  é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades dos espaços. Ela surgiu da necessidade de resolver problemas práticos de agricultura, astronomia, arquitetura e engenharia, apareceu independentemente em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume. Foi posta em uma forma axiomática por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu um padrão que perdurou por séculos.
	Alguns dos problemas nos textos babilônios e egípcios se relacionavam ao cálculo do volume de celeiros e pirâmides. Antes de começar a trabalhar em uma pirâmide, os construtores egípcios ou maias tinham que calcular seu volume para saber a quantidade exata de pedras que por simplicidade de construção eram aproximadamente cúbicas ou paralelepipedais. 
	Outra forma para se calcular áreas e volumes é através dos poliedros. Os poliedros são sólidos geométricos limitados por um número finito de polígonos planos. Esses polígonos formam as faces do poliedro. Platão identificou os únicos cinco sólidos de faces planas poligonais, ou poliedros, com todas as faces iguais, cuja representação aparece na figura 1. Ele acreditava que os poliedros estavam associados à perfeição do universo.
FIGURA 1 – Poliedros de Platão, número de faces, vértices e arestas.
	No contexto escolar, quando um estudante depara com um conteúdo novo ele pergunta: “Para que serve isso?” ou “Onde vou usar isso”. Existem inúmeras utilidades práticas dos poliedros. Podemos citar as simulações em computadores de animação. Na computação gráfica, os objetos tridimensionais são poliedros, até mesmo o rosto de um personagem é um poliedro com um número muito grande de faces. A figura 2 apresenta isso de maneira bem clara.
FIGURA 2 – Animação 3D feita através de poliedros.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
		De todos os ramos da Matemática, a geometria é campeã em aplicação no universo, no cotidiano e na natureza. Os antigos gregos já haviam percebido que a natureza é geométrica, e foi através da observação da natureza que chegamos ao desenvolvimento geométrico que temos hoje.
	Segundo Ferreira (1999, p.983) Geometria é:
Ciência que investiga as formas e as dimensões dos “seres matemáticos” ou ainda um ramo da matemática que estuda as formas, plana e espacial, com as suas propriedades, ou ainda, ramo da matemática que estuda a extensão e as propriedades das figuras (geometria Plana) e dos sólidos (geometria no espaço).
	A geometria é construída sobre objetos primitivos: ponto, reta, plano, espaço, entre outros. Esses objetos não possuem definição, mas possuem características que possibilitam sua identificação. Fazendo uso desses objetos primitivos é que são definidas as primeiras formas geométricas do plano: segmentos de reta, polígonos e ângulos. A partir delas, é feita a definição de distância entre dois pontos, da qual depende a definição de círculo. Tudo isso serve como base para a construção da geometria.
	A geometria “[...] foi objeto de estudos de Euclides, que nasceu em 330 a.C. e é considerado o primeiro geômetra, passando por Leonardo da Vinci e chegando ao matemático alemão Gauss, que estudou uma geometria não euclidiana.” (DALPIAZ, 2014).
	Silva (2019) trata a geometria como uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra e diz também que é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza, das posições ocupadas por esses objetos, das relações e das propriedades relativas a essas formas.
	Utilizado na didática com o auxilio computacional, o Geogebra é um software de acesso livre, é permitido utilizar, copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais. Segundo Gravina, permite a abordagem de diversos conteúdos, especialmente Geometria e Funções. Por meio de construçôes interativas de figuras e objetos, podemos melhorar a compreensão dos alunos através da visualização, percepção dinâmica de propriedades, estímulo heurístico à descoberta e obtenção de conclusões "validas" na experimentação.
FIGURA 3 – Utilizando pontos no plano cartesiano para a criação do logo do Batman no GeoGebra.
	A Geometria Espacial estuda as figuras geométricas no espaço. Entenda espaço como um lugar onde podemos encontrar todas as propriedades geométricas em mais de duas dimensões. É na primeira infância (até dois anos de idade) que a criança desenvolve a percepção sobre o espaço. Esse processo acontece de forma multifacetada, visto que a criança concebe uma coleção de espaços, que, de acordo com Piaget, são quatro: espaço tátil, auditivo, visual e oral. É somente dos dois aos sete anos de idade que a criança reconhece o espaço como algo comum, em que todos os espaços descritos anteriormente estão incluídos simultaneamente.
	Podemos representar o espaço por meio da projeção espacial das três dimensões, que são: altura, comprimento e largura. As coordenadas cartesianas são dadas pelos eixos x, y e z. Usando a localização de pontos, é possível traçar retas no espaço que formam planos e definem formas e estruturas geométricas.
FIGURA 4 – Plano cartesiano com 3 dimensões
	Diferente de programas como o GeoGebra, o AutoCAD  não é um recurso com fins educacionais (para disciplinas no ensino básico), mas uma ferramenta de trabalho. Não por isso, deixa de ser estudado e de se ter a necessidade de aprender; o que se quer enfatizar é que o AutoCAD é um recurso comercial de aplicação na produção. 
	Suas ferramentas são inúmeras e com referências explícitas à matemática que cabem experiências não especificamente nas graduações (engenharias), mas para a matemática no ensino básico. Observe a imagem de uma estrutura Modelo 2D na FIGURA 5. Nela, as áreas que estão indicadas em amarelo são exemplos da forte presença da matemática.
FIGURA 5
	As ferramentas, na FIGURA 5, apresentam conceitos com representação e ações tais como são estudados na matemática. Alguns exemplos da matemática aplicada neste software estão evidentes já na principal área de trabalho do AutoCAD: plano cartesiano XYXY, mas também em 3D XYZXYZ, coordenadas (cartesianas, polares); Malha quadriculada e unidades de medida; Localização espacial (vistas superior, inferior, lateral, perspectiva, etc.); Rotação, translação; Linhas, Ângulos, perpendicularidade (orto), isometrias, simetrias, escalas; Círculo, arco, raio, tangência.
	Além desses citados temos outros programas como o GAMBOl, C a R (ZuL), GEOMETRY APPLET,  GEONExT,  NON EUCLID e até mesmo as planilhas de Excel para o auxilio da didática na Geometria e na Algebra Linear.
3. METODOLOGIA
		Este trabalho além de pesquisar recursos de ensino da matemática procurou demonstrar os benefícios da utilização de softwares.
	Como experiencia computacional, através da regra de Cramer, utilizarei o Excel para encontrar os determinantes da resolução do sistema linear:
	Passo 1 – Como na FIGURA 6, em uma planilha do Excel criaremos uma caixa com 4 linhas e 4 colunas. Na primeira linha digitaremos X na primeira coluna, Y na segunda coluna, Z na terceira coluna e R na quarta coluna.
FIGURA 6
	Passo 2 – Nessa etapa criaremos mais um quadro com 4 linhas e 2 colunas. Utilizando apenas a coluna 1, digitaremos na linha 1 D=, na linha 2 Dx=, na linha 3 Dy= e na linha 4 Dz=. Ilustração FIGURA 7.
FIGURA 7
	Passo 3 – Seguindo, vamos criar mais uma caixa com 3 linhas e 2 colunas. Usando somente a coluna 1, na linha 1 digite X=, na linha 2 Y= e na linha 3 Z=. FIGURA 8
FIGURA 8
	Passo 4 – Na caixa do passo 2 usaremos a segunda coluna para colocar as seguintes fórmulas, digite: 
· na linha 1 “=(B4*C5*D6)+(C4*D5*B6)+(D4*B5*C6)+(D4*C5*B6*(-1))+(C4*B5*D6*(-1))+(B4*D5*C6*(-1))” sem as aspas;
· na linha 2 “=(E4*C5*D6)+(C4*D5*E6)+(D4*E5*C6)+(D4*C5*E6*(-1))+(C4*E5*D6*(-1))+(E4*D5*C6*(-1))” novamente sem as aspas;
· na linha 3 “=(B4*E5*D6)+(E4*D5*B6)+(D4*B5*E6)+(D4*E5*B6*(-1))+(E4*B5*D6*(-1))+(B4*D5*E6*(-1))”
também sem as aspas;
· na linha 4 “=(B4*C5*E6)+(C4*E5*B6)+(E4*B5*C6)+(E4*C5*B6*(-1))+(C4*B5*E6*(-1))+(B4*E5*C6*(-1))” mais uma vez sem aspas.
	A segunda coluna devera ficar preenchida com zeros, como na FIGURA 9.
FIGURA 9
	Passo 5 – Usaremos agora a segunda coluna da caixa criada no passo 3. Na linha 1 digite =C9/C8, na linha 2 digite =C10/C8 e na linha 3 =C11/C8. Nas linhas dessa coluna aparecerá uma mensagem igual a FIGURA 10.
FIGURA 10
	Passo 6 – Ao preenchermos a caixa da FIGURA 6 com a equação linear apresentada, a tabela apresentará automaticamente a determinante principal, os valores das determinantes X, Y e Z e também os valores de X, Y e Z. Essa planilha servirá para encontrar o resultado de qualquer equação linear com três incógnitas. Exemplo na FIGURA 11.
	 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
		A ideia central deste trabalho foi apresentar, de uma forma sucinta e introdutória, alguns dos principais conceitos envolvidos na metodologia do ensino de geometria e algebra, bem como apresentar algumas técnicas e recursos existentes para realização desse processo de aprendizagem no Ensino Médio Regular. Além disso, outro objetivo importante foi o de chamar a atenção para as inúmeras possibilidades do emprego de simulação computacional sob a forma acadêmica.
	Programas de geometria são ambientes virtuais voltados para o Ensino e aprendizagem de Geometria de uma forma não estática como no quadro da sala de aula, ou seja, de uma forma dinâmica. Ensinar com softwares não tem a ver só com introduzir tecnologia nas aulas, programas gratuitos como o Geogebra não devem ser encarados como um aprimoramento da régua e do compasso para trabalhar com construções geométricas. Os programas apresentam um novo modo de pensar, compreender e fazer matemática. 
	A exploração desse método de ensino pode trazer mais interesse e curiosidade para os alunos, ver a mudança de uma figura passo a passo, voltar à imagem inicial, movê-la para fazer testes. No papel, tudo fica por conta da imaginação ou de confiar no que é mostrado (geralmente desenhos no estilo antes e depois). A utilização de softwares fará com que experimentem, na prática, a resolução de questões, comparem os resultados e também recorram ao que já sabem.
REFERÊNCIAS
	DALPIAZ, Márcia Vilma Aparecida Dapiné. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.
FERREIRA, Aurélio B. de H. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. 2.ed. Curitiba: Nova Fronteira, 1999.
GRAVINA, Maria Alice. “Geometria Espacial com Geogebra 3D”; Disponivel em: https://www.geogebra.org/m/j5Kzwbb7. Acesso em 12 de maio de 2020.
PIAGET, Jean. A psicologia da criança. Brasil: Difel/Bertrand, 2003
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é geometria?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-geometria.htm. Acesso em 05 de dezembro de 2019.
1 João Elias da Silva
2 Vanessa Schieffelbein Machado
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Matemática (FLX0883) – Prática do Módulo IV – 28/06/20