Noções de geometria plana

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Lista 48 
Noções de Geometria plana 
Ângulos e retas 
 
ÂNGULOS 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 136. 
 
 Desde o início da humanidade, a observação e o estudo do céu despertavam 
interesse e fascinavam os mais diversos povos. Esses estudos impulsionaram o 
surgimento, por exemplo, da Astronomia. Inúmeros estudiosos podem ser citados e, 
entre eles, Nicolau Copérnico se destacou por elaborar uma teoria considerada, por 
muitos, uma das mais importantes, a teoria do heliocentrismo. Você já ouviu falar 
dessa teoria? 
 Segundo Copérnico, todos os planetas giravam em torno do Sol, portanto, o 
Sol seria o centro do Universo. Sabemos que nenhuma teoria é construída por um 
único pensador, mas vai se desenvolvendo com base em inúmeras pesquisas e 
estudos. Galileu Galilei e Johanes Kepler são alguns dos nomes que aparecem nos 
estudos sobre o Universo. Galileu, por exemplo, é citado como um dos primeiros 
estudiosos a olhar o céu através de um telescópio. 
 Na época das grandes navegações, as rotas traçadas em longas viagens pelos 
mares eram desenvolvidas por meio da observação da posição das estrelas. 
Instrumentos como o quadrante e o astrolábio eram utilizados para verificar se, 
durante a viagem, o navio estava seguindo a rota previamente traçada. Imagine como 
seria uma viagem pelos oceanos sem contar com esses instrumentos. 
 Atualmente, além de navios modernos, contamos com equipamentos mais 
precisos, como radares, GPS e outros. No entanto, mesmo com todo esse avanço, é 
imprescindível que as pessoas envolvidas no manejo desses equipamentos tenham 
um conhecimento básico: a ideia de ângulo. 
 Nesta lista, abordaremos algumas noções importantes sobre ângulos e ainda 
ampliaremos o estudo de Geometria Plana. 
 
Noção de ângulo 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 137 e 138. 
 
 Ao observar os ponteiros de um relógio, podemos associar a ideia de ângulo à 
abertura existente entre dois ponteiros. Na imagem a seguir, a posição dos ponteiros 
possibilita a leitura das horas, neste caso, 10 horas e 10 minutos. Ao lado, temos 
outra representação dos ponteiros e, nesta, utilizamos duas semirretas de mesma 
origem. 
 
 
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A região limitada pelas duas semirretas de mesma origem determina um 
ângulo. A origem comum a essas semirretas é o vértice do ângulo, e cada uma 
das semirretas é um lado do ângulo. 
 
 Num ângulo temos os seguintes elementos: 
 
 
 
• Vértice: é o ponto A; 
• Lados do ângulo: são as semirretas AC e AB. 
• Ângulo (abertura): região compreendida entre as semirretas AC e AB, 
representada por CÂB. 
 
Observação! 
 
• A representação de um ângulo é dada, em geral, pelo modelo ABC, onde 
B é a letra que indica o vértice do ângulo e A e C são as letras que indicam 
seus lados, ou seja as semirretas que os formam. 
 
 
 Observe alguns exemplos nos quais é possível identificar a formação de 
diferentes ângulos. 
 
 
 
 
 
 Os ângulos também poder ser associados à ideia de giro. Observe, por 
exemplo, duas tiras coloridas presas por uma tachinha: uma delas fica numa posição, 
enquanto a outra vai girando. 
 
 
 
 O giro da tira verde corresponde a um ângulo. Note que, da esquerda para a 
direita, a abertura entre as duas tiras coloridas vai aumentando. Se continuarmos 
girando a tira verde até chegar à posição inicial, teremos um giro completo. 
 Essa ideia pode ser representada por um círculo: 
 
Abertura de uma tesoura Inclinação de um carro no guincho 
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CLassificação de ângulos 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 140 e 141. 
 
 Assim como existe uma régua para medir comprimentos, também existem 
instrumentos para medir ângulos. 
 Um deles é o transferidor, que pode ser definido como um círculo (geralmente 
feito de plástico e vazado no meio) dividido em 360 partes iguais. Cada uma dessas 
partes é um grau (símbolo: º). Usamos o grau para medir ângulos. 
 O ângulo indicado pelas duas semirretas na figura abaixo mede 10º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A cada uma das 360 partes em que dividimos o círculo corresponde um 
ângulo de medida 1º. Assim, uma volta completa é um ângulo de medida 360º. 
 
 Conforme a medida de um ângulo, os seguintes tipos de ângulo podem ocorrer: 
 
• Ângulo raso: ângulo de medida igual a 180º, desde que haja giro em uma 
das semirretas. Caso não haja giro, o ângulo será denotado por ângulo nulo 
e terá medida igual a 0º. 
 
 
 
• Ângulo reto: um ângulo de um quarto de volta é um ângulo reto e tem 
medida igual a 90º. 
 
 
Transferidor Existem transferidores que são 
semicírculos divididos em 180 
partes. 
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• Ângulo obtuso: ângulo de medida maior que 90º e menor que 180º. 
 
 
 
• Ângulo agudo: ângulo de medida maior que 0º e menor que 90º. 
 
 
 
Posição relativa entre retas 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 143 e 144. 
 
 No quadriculado abaixo foram representadas quatro retas: r, s, u e v. 
 
 
 
 
 Como elas estão representadas no mesmo plano formado pelo quadriculado, 
dizemos que são retas coplanares. Observe nessa malha quadriculada que: 
• O ponto A é o encontro da reta r com a reta u (as retas r e u são ditas 
concorrentes); 
• O ponto B é o encontro da reta s com a reta u (as retas rse u são ditas 
concorrentes); 
• O ponto C é o encontro da reta r com a reta v (as retas r e v são ditas 
concorrentes); 
• O ponto D é o encontro da reta s com a reta v (as retas s e v são ditas 
concorrentes); 
• Se prolongamos as retas u e v, elas se encontrarão em algum ponto (são 
concorrentes). 
 
Duras retas coplanares que têm um único ponto de interseção (ponto de 
encontro) são denominadas retas concorrentes. 
 
 Voltando à malha quadriculada, observe que, por mais que prolonguemos as 
retas r e s elas jamais se encontrarão (são ditas paralelas). 
 
Duas retas coplanares que não se interceptam (não têm ponto de encontro) 
são denominadas retas paralelas. 
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 A seguir reproduzimos as retas que estão representadas acima, mas sem a 
malha quadriculada. Note que nos pontos A, B, C e D as retas são, duas a duas, 
concorrentes. Quando duas retas são concorrentes, elas formam quatro ângulos. 
 
 
 
• As retas r e v, que se interceptam no ponto C, formam quatro ângulos. Como 
nenhum desses ângulos é ângulo reto, dizemos que essas retas são oblíquas. 
• As retas s e v, que se interceptam no ponto D, formam quatro ângulos. Como 
nenhum desses ângulos é reto, dizemos que essas retas são oblíquas. 
• As retas r e u, que se interceptam no ponto A, formam quatro ângulos, todos 
retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares. 
• As retas s e u, que se interceptam no ponto B, formam quatro ângulos, todos 
retos. Dizemos que essas retas são perpendiculares. 
 
Duas retas coplanares e concorrentes que formam, no ponto de encontro, 
quatro ângulos retos são denominadas retas perpendiculares. 
 
Observação! 
• Retas paralelas podem ser representadas utilizando a simbologia a//b (lê-
se a paralela a b) onde a e b são letras que representam as retas. 
• Retas concorrentes podem ser representadas utilizando a simbologia a´b 
(lê-se a concorrente a b) onde a e b são letras que representam as retas. 
• Retas oblíquas podem ser representadas utilizando a simbologia a ____b (lê-
se a oblíqua a b) onde a e b são letras que representam as retas. 
• Retas perpendiculares podem ser representadas utilizandoa simbologia 
a⊥b (lê-se a perpendicular a b) onde a e b são letras que representam as 
retas. 
 
 Assim como existem retas que são coplanares, isto é, que estão num mesmo 
plano, também existem retas que não são coplanares. Tais retas são ditas reversas. 
Como exemplo dessas retas, considere o prolongamento de duas arestas de um cubo, 
como indicam as retas r e s representadas abaixo: 
 
 
 
 Duas retas são ditas reversas quando não têm intersecção uma com a outra e 
não são paralelas. Isso significa que elas estão em planos diferentes, ou seja, não 
são coplanares. 
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Ângulos e retas 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 76-78. 
 
 Para nos situarmos numa grande cidade, utilizamos mapas. Neles, localizamos 
praças, parques e ruas, como no exemplo abaixo. 
 
 
 
 
 
 Nesse mapa é possível observar os cruzamentos de diversas ruas. Algumas 
dessas ruas são como retas que, ao se cruzarem, formam ângulos de 90º ou ângulos 
diferentes. Assim, por exemplo, a Av. Álvares Cabral forma um ângulo de 90º com a 
Av. Bias Fortes. Agora observe no mapa o cruzamento entre a Av. Carandaí e a Av. 
Brasil: o ângulo entre elas tem medida inferior a 90º. 
 Se representarmos essas avenidas por retas, teremos a ideia do cruzamento 
e do ângulo entre elas, conforme o desenho abaixo. Além disso, observe que existem 
quatro ângulos formados por essas retas. 
 
 
 
 Neste tópico abordaremos as posições ente retas, ampliando nosso estudo 
sobre ângulos. 
 
Classificação de ângulos 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 77 e 78. 
 
 No início desta lista vimos as definições de ângulo agudo, ângulo obtuso, 
ângulo raso e ângulo reto. Além delas, existem outras noções importantes a respeito 
de ângulos. 
 
 
Mapa de parte da cidade de Belo Horizonte, MG 
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• Ângulos adjacentes 
Na figura a seguir vamos considerar os ângulos AÔB e BÔC, que têm em 
comum o vértice O e o lado OB. Observe que eles estão destacados com cores 
diferentes e não têm pontos internos em comum. São chamados de ângulos 
adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Dois ângulos são adjacentes 
quando têm em comum o 
vértice e um dos lados, 
porém não têm pontos 
internos em comum
 
 
 
Considere o ângulo AÔB e a 
semirreta OM, que divide o 
ângulo em dois ângulos 
adjacentes. Se a semirreta o 
divide em dois ângulos de 
mesma medida, ela é 
denominada bissetriz de 
AÔB. 
 
• Ângulos complementares 
Os ângulos adjacentes AÔB e BÔC indicados na figura a seguir formam um 
ângulo reto, isto é, um ângulo de medida 90º. Quando isso ocorre, dizemos 
que os ângulos são complementares. 
A medida do ângulo complementar a x pode ser representada como 90º - x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dois ângulos adjacentes são ditos 
complementares quando a soma de 
suas medidas é 90º. 
 
 
• Ângulos suplementares 
Conforme a figura seguinte, os ângulos adjacentes AÔC e CÔB formam um 
ângulo raso, isto é, um ângulo de medida 180º. Dizemos que são ângulos 
suplementares. A medida do ângulo suplementar a x pode ser representada 
como 180º - x. 
 
 
 
 
 
Dois ângulos adjacentes são ditos 
suplementares quando a soma de 
suas medidas é 180º.
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Exemplo 01: 
 Na figura a seguir, qual é a medida do ângulo indicado pela letra x? 
 
 
 Como o ângulo de medida x e o ângulo de medida 70º formam um ângulo raso, dizemos que 
são suplementares. Dessa forma: 
 
x + 70º = 180º 
 
x = 110º 
 
ou 
 
180º - 70º = x 
 
x = 110º 
 
Ângulos entre retas 
 
Ângulos opostos pelo vértice 
Texto retirado de MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. 
Pág. 182. 
 
 
 
 No desenho acima, as retas AD e BC têm em comum o ponto O, e os ângulos 
AÔB e CÔD tem em comum o vértice O. 
 Observe que nos ângulos AÔB e CÔD os lados de um são semirretas opostas 
aos lados do outro. 
 Os ângulos AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice. 
 Nessa mesma figura, AÔC e BÔD também são ângulos opostos pelo vértice. 
 Ângulos opostos pelo vértice apresentam uma propriedade. Que tal 
descobri-la? 
 
 
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 Vamos escolher os ângulos opostos pelo vértice LPM e RPN e mostrar que 
eles têm medidas iguais. 
 
			 	 
 
a é o suplemento de x ® a = 180º - x 
b é o suplemento de x ®180º - x 
 
Logo a = b. 
 
 Os ângulos LPM e RPN têm medidas iguais e, portanto, são ângulos 
congruentes. 
 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
Ângulos de duas paralelas com uma transversal 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 73 e 74. 
 
 Considere agora as retas paralelas r e s. Essas duas retas são concorrentes a 
uma terceira reta t, dita transversal. Na figura destacam-se os oito ângulos formados. 
 
 
 
 Apesar de termos oito ângulos, se as retas r e s são paralelas, temos apenas 
duas medidas diferentes. Observe que as aberturas indicadas com a mesma cor 
correspondem a ângulos congruentes, isto é, ângulos com a mesma medida. 
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 Eles podem ser identificados como mostramos a seguir: 
• Ângulos opostos pelo vértice são congruentes: 
1 e 3 2 e 4 5 e 7 6 e 8 
• Ângulos correspondentes, que estão na mesma posição em relação à 
transversal, são congruentes: 
1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8 
• Ângulos suplementares, cuja soma deles é igual a 180º: 
1 e 2 
2 e 3 
3 e 8 
4 e 5 
1 e 4 
2 e 7 
3 e 6 
4 e 7 
1 e 6 
2 e 5 
5 e 6 
6 e 7 
1 e 8 
3 e 4 
5 e 8 
7 e 8 
 
Exemplo 02: 
 Na figura abaixo, determine as medidas dos ângulos desconhecidos, considerando que as 
retas r e s são paralelas. 
 
 
 
 Na figura, observe que o ângulo indicado por x é suplementar ao de medida 36º, isto é: 
 
x + 36º = 180º 
x = 180º - 36º 
x = 144º 
 
 Já os ângulos de medidas x e y são correspondentes em relação à transversal. Portanto, têm 
medidas iguais: 
 
y = x 
y = 144º 
 
 
Exercícios 
 
1. O desenho abaixo mostra o caminho que a enfermeira Alice faz de sua casa, 
indicada pelo ponto A, ao hospital, assinalado por H. 
 
 
 
a. Identifique os pontos em que ela muda de direção. 
b. Identifique os pontos em que a mudança de direção é de um quarto de volta. 
c. Identifique os pontos em que a mudança é menor que um quarto de volta. 
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2. Dê as medidas dos ângulos seguintes: 
a. 
 
b. 
 
 
3. Qual é o nome do ângulo que corresponde a um giro de um quarto de volta de 
uma pessoa? 
 
4. Observe os ponteiros dos relógios abaixo. 
 
 
 
a. Quais deles sugerem ângulos retos? 
b. Quais deles sugerem ângulos rasos? 
 
5. Qual é o nome do ângulo cujos lados são semirretas opostas? 
 
6. Classifique os ângulos indicados a seguir como retos, agudos ou obtusos. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
e. 
 
f. 
 
 
7. Quantos ângulos retos são observados na figura a seguir? 
 
 
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8. Na figura a seguir, o ângulo raso foi dividido por uma semirreta vermelha. 
 
 
 
a. Qual é a medida do ângulo agudo dessa figura, se a medida do ângulo obtuso 
for 130º? 
b. Qual é a medida do ângulo obtuso dessa figura, se a medida do ângulo agudo 
for 40º? 
 
9. Identifique os pares de retas perpendiculares nestas figuras. Quais são eles? 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
 
10. Na figura a seguir, com o prolongamento das retas r, s, t e u, obteve-se um 
retângulo, e as retas a e b contêm as diagonais desse retângulo. 
 
 
 
Escreva: 
a. Todos ospares de retas que são paralelas; 
b. Todos os pares de retas que são perpendiculares; 
c. Todos os pares de retas que são oblíquas. 
 
11. Para cada afirmação a seguir, indique V ou F, conforme ela seja verdadeira ou 
falsa, respectivamente. 
a. Duas retas concorrentes são perpendiculares. 
b. Duas retas paralelas apresentam infinitos pontos em comum. 
c. Se duas retas são perpendiculares, então elas são concorrentes. 
d. Duas retas concorrentes que formam um ângulo de 90º são perpendiculares. 
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12. Observe a figura e responda: 
 
 
 
a. Os ângulos APB e APC são adjacentes? 
b. BPC e APB são ângulos adjacentes? 
c. As semirretas PA e PC são perpendiculares. BPC e APB são ângulos 
complementares ou suplementares? 
 
13. Indique a medida do ângulo complementar dos ângulos a seguir. 
a. 33º b. 12º c. 25,5º d. 39º 
 
14. Determine a medida do ângulo suplementar dos ângulos a seguir. 
a. 40º b. 32,5º c. 33,55º d. 162,3º 
 
15. Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. 
a. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser retos. 
b. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser agudos. 
c. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser obtusos. 
d. Dois ângulos que são adjacentes e suplementares podem ser um agudo e 
outro obtuso. 
e. O ângulo complementar de um ângulo de 45º também tem medida 45º. 
f. O ângulo complementar de um ângulo de 32º tem medida menor que 32º. 
g. O dobro do ângulo complementar de um ângulo de medida 20º é um ângulo 
agudo. 
h. O dobro do ângulo suplementar de um ângulo de medida 160º é um ângulo 
agudo. 
 
16. Na figura abaixo, AOBC é um retângulo. 
 
 
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a. Em relação às medidas, que tipo de par de ângulos são AÔC e CÔB? 
b. Qual é a medida de AÔC e a de seu complemento? 
 
17. A medida de um ângulo é x, e a de seu suplemento é x – 30º. Quais são as 
medidas desses ângulos. 
 
18. A medida de um ângulo é 2m e a de seu complemento é 3m + 25º. Qual é o valor 
de m? 
 
19. Um quarto da medida do suplemento de um ângulo corresponde a 27º. Qual é a 
medida desse ângulo? 
 
20. A soma do triplo da medida de um ângulo com seu complemento é 167º. Qual é 
a medida desse ângulo? 
 
21. A medida de um ângulo é o quádruplo de seu complemento. Quanto mede esse 
ângulo? 
 
22. Quanto mede um ângulo que tem a mesma medida de seu complemento? 
 
23. Um ângulo tem a metade da medida de seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
 
24. A bissetriz de um ângulo reto o divide em dois ângulos de mesma medida. Qual 
é essa medida? 
 
25. Na figura a seguir, as letras x, y, z e w representam as medidas dos ângulos 
formados por duas retas concorrentes. 
 
 
 
Estabeleça uma relação entre as medidas abaixo. 
a. x e z 
b. x e y 
c. x e w 
d. y e w 
e. y e z 
 
26. Observe a figura abaixo. Imagine que os palitos de sorvete sejam retas. 
Identifique dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 
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27. A letra x está indicando a medida de um ângulo desconhecido nas figuras 
seguintes. Determine essa medida. 
a. 
 
b. 
 
 
28. No quadrilátero ABCD, o ângulo APB mede 31º. Qual é o valor de x? 
 
 
 
29. Dois ângulos opostos pelo vértice têm suas medidas representadas por 4x – 30º 
e x + 60º. Então: 
a. Determine o valor de x. 
b. Obtenha as medidas dos dois ângulos. 
 
30. As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice somam 72º. Quanto medem o 
complemento e o suplemento de cada um desses ângulos? 
 
31. As duas baquetas parecem formar ângulos opostos pelo vértice. Qual é a medida 
do suplemento de MÔN? 
 
 
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32. Na figura a seguir, as retas u e v são paralelas. Tendo em vista que quatro dos 
ângulos formados na transversal têm a medida indicada, determine a medida de 
cada um dos demais ângulos. 
 
 
 
33. As retas m e n são paralelas e cortam a reta t em dois pontos. Nesses dois pontos 
estão indicados alguns ângulos. 
 
 
 
Determine: 
a. A medida do ângulo y; 
b. A medida do ângulo x; 
c. A medida do ângulo z. 
 
34. Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. Qual é a medida do ângulo 
indicado pela letra x? 
 
 
 
35. Considerando que as retas r e s são paralelas e observando possíveis valores 
para os ângulos indicados pelas letras a e b, responda: 
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a. Se a = 160º, qual é a medida do ângulo b? 
b. Se a = 158º, qual é a medida do ângulo b? 
c. Se a = 140º, qual é a medida do ângulo b? 
d. Se b = 60º, qual é a medida do ângulo a? 
e. Se b = 80º, qual é a medida do ângulo a? 
 
36. Sendo r e s duas retas paralelas, determine: 
 
 
 
a. A medida do ângulo indicado pela letra x; 
b. A medida do ângulo indicado por 2x; 
c. A relação entre as medidas desses dois ângulos. 
 
37. Na figura ao lado, as retas r e u são paralelas. De acordo com as medidas dos 
ângulos indicadas, determine a medida do ângulo indicado pela letra: 
 
 
 
a. x b. y 
 
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38. As retas a e b, representadas a seguir, são paralelas. Determine as medidas dos 
ângulos desconhecidos. 
 
 
 
39. As retas r e s são paralelas e as linhas tracejadas são paralelas a essas duas 
retas. 
 
 
 
Conforme as medidas dos ângulos indicados na figura, responda: 
a. Qual é a medida do ângulo indicado pela letra a? 
b. Qual é a medida do ângulo indicado pela letra b? 
 
40. (UFU) Dois ângulos consecutivos são complementares. Então, o ângulo formado 
pelas bissetrizes desses ângulos é: 
A 20º B 30º C 35º D 40º E 45º 
 
41. (FUVEST) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e 
o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: 
 
 
 
 
A 50 B 55 C 60 D 80 E 100 
 
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42. (UNAERP) As retas r e s são interceptadas pela transversal t, conforme a figura. 
O valor de x para que r e s sejam paralelas é: 
 
 
 
A 20º B 26º C 28º D 30º E 35º 
 
43. (PUC/SP) Um ângulo mede a metade de seu complemento. Então, esse ângulo 
mede: 
A 30º B 60º C 45º D 90º E 68º 
 
44. (UNIRIO) As retas r1 e r2 são paralelas. O valor do ângulo a, apresentado na 
figura a seguir, é: 
 
 
 
45. (CESGRANRIO) As retas r e s da figura são paralelas cortadas pela transversal 
t. Se o ângulo B é o triplo de A, então B - A vale: 
 
 
 
A 90º B 85º C 80º D 75º E 60º 
 
46. (UEL) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos 
números 5, 20 e 25, respectivamente. 
 
 
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	 20 
O suplemento do ângulo de medida x tem medida igual a: 
A 144º B 128º C 116º D 82º E 54º 
 
47. (CESGRANRIO) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo 
que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 72º. Então, qualquer dos 
ângulos obtusos formados mede: 
A 142º B 144º C 148º D 150º E 152º 
 
48. (UFG) Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: 
 
 
 
A 100º B 120º C 110º D 140º E 130º 
 
49. (ENEM 2009) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que 
está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no 
tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do 
tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto 
é, de modo a completar os desenhos. 
 
 
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009. 
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	 21 
É possível preencher corretamenteo espaço indicado pela seta no tabuleiro da 
figura A colocando a peça: 
A 1 após girá-la 90º no sentido horário. 
B 1 após girá-la 180º no sentido anti-horário. 
C 2 após girá-la 90º no sentido anti-horário. 
D 2 após girá-la 180º no sentido horário. 
E 2 após girá-la 270º no sentido anti-horário. 
 
50. (ENEM 2009) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou 
países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas 
capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um 
avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um 
segmento de reta com extremidades em DF e em 4. 
 
 
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. 
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado). 
 
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a 
direção que forma um ângulo de 135º no sentido horário com a rota 
Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, 
Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que 
forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião 
AII ao partir de Brasília – DF. Considerando que a direção seguida por um avião 
é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela 
cidade de destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma 
conexão em: 
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	 22 
A Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. 
B Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. 
C Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. 
D Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. 
E Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 
 
 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
51. Esta figura representa o percurso de um ônibus entre duas cidades: Alvorada (A) 
e Encanto (E). 
 
 
 
a. Observe o desenho e identifique os pontos onde há mudança de direção. 
b. Que tipo de ângulo é o CDE e o ABC? 
 
52. Observe estes ângulos. Cada um está identificado com uma letra. Anote, 
separadamente, as letras que indicam ângulos agudos e as letras que indicam 
ângulos obtusos. 
 
 
 
53. Considere o quadrado ABCD ilustrado a seguir. Nele foram utilizados dois 
segmentos de reta para unir os vértices opostos da figura, e observe que no 
cruzamento desses segmentos formaram-se 4 ângulos. Qual é a medida de cada 
um desses ângulos? 
 
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	 23 
 
 
54. Observe a representação de um campo de futebol. 
 
 
 
Responda: 
a. Que tipo de ângulo está indicado em cada um dos cantos do campo de futebol? 
b. No meio do campo, a linha está dividindo o círculo ao meio. Qual é o nome de 
cada um dos dois ângulos que formam o círculo central? 
c. Que tipo de ângulo a linha que divide o campo ao meio forma com as linhas 
laterais? 
 
55. Para responder às questões a seguir, você deverá observar o ponteiro das horas 
(pequeno) e o ponteiro dos minutos (grande) de um relógio. 
a. Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, qual é o ângulo que ele gira? 
b. Quanto tempo o ponteiro grande precisa para dar um giro completo? 
c. A partir das 12 h, após quantas horas o ponteiro pequeno descreverá um 
ângulo reto? 
d. A partir das 12 h, após quantos minutos o ponteiro grande descreverá um 
ângulo reto? 
e. A partir das 12 h, de quantos minutos o ponteiro grande precisa percorrer para 
formar um ângulo raso? 
 
56. Indique as medidas em graus do menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio 
às: 
a. 1 hora b. 2 horas c. 3 horas 
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	 24 
d. 4 horas e. 5 horas f. 6 horas 
 
57. Prolongando os quatro lados de um retângulo, obtêm-se as retas r, s, t e u. 
Indique quais retas são paralelas e quais são perpendiculares. 
 
 
 
58. Na figura a seguir, está representado um quadrado e seis retas, das quais quatro 
são os prolongamentos dos lados e duas são os prolongamentos de suas 
diagonais. 
 
 
 
a. Escreva todos os pares de retas que são perpendiculares. 
b. Escreva todos os pares de retas que são paralelas. 
 
59. Observe os ângulos que existem na figura abaixo. 
 
 
 
a. Quais ângulos são adjacentes ao ângulo NÂM? 
b. Existem ângulos adjacentes a PÂR? Quais? 
c. Identifique dois ângulos suplementares. 
 
60. EÂB, FBC e DCA são ângulos externos do triângulo ABC. 
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	 25 
 
 
 
a. Qual desses ângulos é adjacente a BCA? 
b. Identifique o ângulo adjacente a CAB? 
c. Qual desses ângulos externos é adjacente a ABC? 
 
61. Observe os três ângulos indicados na figura abaixo. 
 
 
 
a. Qual é o ângulo adjacente ao ângulo a? 
b. Qual é o ângulo adjacente ao ângulo q? 
c. Adicionando a	+ q, obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso? 
d. Adicionando b	+ q, obtemos um ângulo agudo ou um ângulo obtuso? 
e. Qual é a soma das medidas dos três ângulos indicados? 
 
62. Complete a tabela abaixo com as medidas dos ângulos que faltam. 
 
Ângulo A Complementar de A Suplementar de A 
32º 
 45º 
 120º 
66º 
 88º 
 100º 
 
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	 26 
63. Escreva V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. Em seguida, 
reescreva as afirmações falsas, de modo que sejam verdadeiras. 
a. O complemente de um ângulo é sempre um ângulo agudo. 
b. O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo agudo. 
c. A medida do suplemente de um ângulo reto é 180º. 
 
64. Os ângulos adjacentes ABC e CBD são suplementares. Um deles tem o triplo da 
medida do outro. Quais são as medidas desses ângulos? 
 
 
 
65. Na figura abaixo, os ângulos a	e b, são complementares. Responda às questões: 
 
 
 
a. Se um deles tem medida igual a 20º, qual é a medida do outro? 
b. Se um deles tem o dobro da medida do outro, quais são as medidas dos dois 
ângulos? 
 
66. Na figura abaixo, as retas r e s, que formam quatro ângulos retos. 
 
 
 
a. Determine o valor de x conforme medidas indicadas na figura. 
b. Obtenha as medidas dos três ângulos indicados na figura. 
 
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	 27 
67. Na figura abaixo, as retas r e s são concorrentes. Além disso, há uma semirreta 
com origem no ponto de encontro dessas duas retas. 
 
 
 
De acordo com as medidas dos ângulos indicados, determine: 
a. A medida do ângulo colorido na figura; 
b. A medida de x; 
c. As medidas dos ângulos formados pelas retas concorrentes r e s. 
 
68. A medida de um ângulo é igual a 2
3
 do seu complemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
 
69. Dois ângulos são suplementares. A medida de um deles é a metade da medida 
do outro. Calcule a medida desses ângulos. 
 
70. A medida de um ângulo é tal que o dobro da medida de seu complemento é 16º. 
Qual é a medida desse ângulo? 
 
71. Considere que um ângulo é tal que o triplo da medida de seu suplemento é 90º. 
Qual é a medida desse ângulo? 
 
72. Na figura abaixo estão representadas 3 retas e indicados 8 ângulos. 
 
 
 
a. Escreva pares de ângulos que são opostos pelo vértice. 
b. Escreva pares de ângulos que são adjacentes e suplementares. 
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	 28 
73. Se um ângulo tem medida 35º, qual é a medida de ângulo oposto a ele pelo vértice? 
 
74. Se dois ângulos opostos pelo vértice, têm medidas indicadas por 4x – 10º e 6x – 
40º, determine: 
a. O valor de x; 
b. A medida desses dois ângulos; 
c. A medida do ângulo suplementar de x. 
 
75. Na figura a seguir, observe os ângulos indicados pelas letras a, b e d. 
Considerando a medida do ângulo b = 23º, determine a medida: 
 
 
 
a. Do ângulo a; 
b. Do ângulo d. 
 
76. Na figura estão representadas duas retas concorrentes;e no ponto de encontro, 
três ângulos. Responda: 
 
 
 
a. Se a medida do ângulo a for igual a 45º, quais serão as medidas dos ângulos 
b e g? 
b. Se a medida do ângulo a for igual a 55º, quais serão as medidas dos ângulos 
b e g? 
c. Se a medida do ângulo a for igual a 41º, quais serão as medidas dos ângulos 
b e g? 
d. Qual é a soma das medidas dos ângulos a e g? 
e. E dos ângulos b e g? 
 
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	 29 
77. Nesta figura s//p e a é uma reta transversal a elas. Identifique um par de ângulos, 
um com vértice em A e outro com vértice em B, e que sejam: 
 
 
 
a. Congruentes; 
b. Suplementares. 
c. Por que med MÂX = med BÂL? 
d. Por que mede MÂX = med RBS? 
e. O que podemos dizer sobre med MÂX e med NBR? 
 
78. Na figura abaixo, as retas m e n são paralelas e t é uma transversal a m e a n. 
 
 
 
a. AMN e MNB são congruentes ou suplementares? 
b. Qual é a medida de AMN? 
c. Qual é o valor de a? 
d. Qual é a medida de SMN? 
e. Identifique outro ângulo que tenha vértice em N e a mesma medida de AMN. 
 
79. Na figura abaixo r//s. Determine os valores de x, y e z. 
 
 
 
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	 30 
80. As retas r e s são paralelas e t, uma reta transversal a elas. Calcule x + y + z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 31 
Lista 48 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. Alice mudou de direção nos pontos B, C, D, E, F e G. 
b. Os pontos em que a mudança de direção é de um quarto de volta são B, C e 
F. 
c. Os pontos em que a mudança de direção é menor que um quarto de volta são 
D e G. 
2. 
a. 30º b. 110º 
3. O ângulo que corresponde a um giro de um quarto de volta de uma pessoa é o 
ângulo reto. 
4. 
a. O relógio C sugere ângulos retos. 
b. O relógio B sugere ângulos rasos. 
5. O nome do ângulo cujos lados são semirretas opostas é ângulo raso. 
6. 
a. Ângulo agudo 
b. Ângulo reto 
c. Ângulo obtuso 
d. Ângulo agudo 
e. Ângulo obtuso 
f. Ângulo reto 
 
7. São observados 9 ângulos retos na figura. 
8. 
a. Se o ângulo obtuso da figura for 130º, o ângulo agudo medirá 50º. 
b. Se o ângulo agudo dessa figura for 40º, o ângulo obtuso medirá 140º. 
9. Os pares de retas perpendiculares são b e c. 
10. 
a. r e s; t e u. b. r e t; r e u; s e t; s e u. 
c. r e a; r e b; s e a; s e b; t e a; t e b; u e a; u e b. 
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	 32 
11. 
a. F b. F c. V d. V 
12. 
a. Não. b. Sim. 
c. BPC e APB são ângulos complementares. 
13. 
a. 57º b. 12º c. 64,5º d. 51º 
14. 
a. 140º b. 147,5º c. 146,45º d. 17,7º
15. 
a. V b. F c. F d. V e. V f. F g. F h. V 
16. 
a. AÔC e CÔB são ângulos complementares. 
b. AÔC mede 71,5º e seu complemento (CÔB) mede 18,5º. 
17. Os ângulos medem 105º e 75º. 
18. m = 15º 
19. Esse ângulo mede 72º. 
20. Esse ângulo mede 38,5º. 
21. Esse ângulo mede 72º. 
22. Esse ângulo mede 45º. 
23. Esse ângulo mede 60º. 
24. Esses ângulos medem 45º cada. 
25. 
a. x = z 
b. x + y = 180º 
c. x + w = 180º 
d. y = w 
e. y + z = 180º 
26. 
a. x = 60º b. x = 59º 
27. As repostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
São pares de ângulos opostos pelo vértice: XÔZ e RÔT, YÔZ e SÔT, YÔX e SÔR, 
XÔT e ZÔR, etc. 
28. x = 33º 
29. 
a. x = 30º b. Ambos os ângulos medem 90º. 
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	 33 
30. O complemento desses ângulos mede 72º e seu suplemento mede 144º. 
31. O suplemento de MÔN mede 110º. 
32. Cada um dos demais ângulos medirá 135º. 
33. 
a. y = 160º b. x = 160º c. z = 20º 
34. x = 42º 
35. 
a. b = 20º 
b. b = 22º 
c. b = 40º 
d. a = 120º 
e. a = 100º 
36. 
a. x = 60º b. 2x = 120º 
c. x e 2x são ângulos suplementares, isto é, somam 180º. 
37. 
a. x = 98º b. y = 98º 
38. y = 120º, x = 60º e 2x = 120º 
39. 
a. a = 45º b. b = 60º 
40. E 
41. E 
42. B 
43. A 
44. A 
45. A 
46. A 
47. B 
48. A 
49. C 
50. B 
 
 
Exercícios extras 
 
51. 
a. Houve mudança de direção nos pontos B, C e D. 
b. O ângulo CDE é obtuso e o ângulo ABC é reto. 
52. Ângulo obtuso: A 
Ângulo agudo: C 
53. Cada um dos ângulos mede 90º. 
54. 
a. Os ângulos indicados nos cantos do campo de futebol são ângulos retos. 
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	 34 
b. Os dois ângulos que formam o círculo central são ângulos rasos. 
c. Os ângulos formados pela linha que divide o campo ao meio e as linhas laterais 
são ângulos retos. 
55. 
a. Quando o ponteiro grande anda 60 minutos, ele gira 360º. 
b. O ponteiro grande precisa de 1 hora (ou 60 minutos) para dar um giro completo. 
c. A partir das 12 h, o ponteiro grande descreverá um ângulo reto após 15 minutos. 
d. A partir das 12 h, o ponteiro grande precisa percorrer 30 minutos para formar 
um ângulo raso. 
56. 
a. 30º 
b. 60º 
c. 90º 
d. 120º 
e. 150º 
f. 180º 
57. Paralelas: r e s; t e u. 
Perpendiculares r e t; r e u; s e t; s e u. 
58. Perpendiculares: a e b; a e c; b e d; c e d; e e f. 
Paralelas: a e d; b e c. 
59. 
a. Os ângulos MÂR e NÂP são adjacentes ao ângulo NÂM. 
b. Sim. Os ângulos NÂP e MÂR são adjacentes ao ângulo PÂR. 
c. As respostas podem variar; abaixo temos apenas sugestões. 
NÂM e NÂP ou MÂR e NÂM ou MÂR e PÂR ou PÂR e NÂP. 
60. 
a. O ângulo adjacente ao ângulo a	é o ângulo	q. 
b. Tanto a quanto b são ângulos adjacentes ao ângulo q. 
c. Adicionando a + q, obtemos um ângulo obtuso. 
d. Adicionando b + q, obtemos um ângulo obtuso. 
e. A soma dos três ângulos indicados é 180º. 
61. 
a. O ângulo DCA é adjacente ao ângulo BCA. 
b. EÂB é o ângulo adjacente ao ângulo CÂB. 
c. FBC é o ângulo externo adjacente a ABC. 
 
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	 35 
62. 
 
Ângulo A Complementar de A Suplementar de A 
32º 58º 148º 
45º 45º 135º 
60º 30º 120º 
66º 24º 114º 
2º 88º 178º 
80º 10º 100º 
 
63. Esses ângulos são 135º e 45º. 
64. 
a. Se um deles medir 20º, o outro medirá 70º. 
b. Se um deles medir o dobro da medida do outro, os ângulos medirão 30º e 60º. 
65. 
a. V 
b. F ® O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo obtuso. 
c. F ® A medida do suplemento de um ângulo reto é 90º. 
66. 
a. x = 8º 
b. Os três ângulos indicados na figura medem 48º, 24º e 18º. 
67. 
a. O ângulo colorido na figura mede 180º. 
b. x = 11º. 
c. Os ângulos formados pelas retas concorrentes r e s medem 55º e 125º, 
respectivamente. 
68. Esse ângulo mede 36º. 
69. Esses ângulos medem 60º e 120º. 
70. Esse ângulo mede 82º. 
71. Esse ângulo mede 150º. 
72. 
a. São ângulos opostos pelo vértice: A e C, B e D, E e G, H e F. 
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	 36 
b. São ângulos adjacentes e suplementares: A e B, B e C, C e D, D e A, E e F, F 
e G, G e H, H e E. 
73. O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo de 35º também mede 35º. 
74. 
a. x = 15º 
b. Ambos os ângulos medem 50º. 
c. O ângulo suplementar de x mede 165º. 
75. 
a. a = 157º b. d = 23º 
76. 
a. b = 45º e g = 135º 
b. b = 55º e g = 125º 
c. b = 41º e g = 139º 
d. a + g = 180º 
e. b + g = 180º 
77. 
a. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão. 
MÂR e NBR. 
b. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão. 
LÂB e ABS. 
c. med MÂX = med BÂL porque MÂX e BÂL são ângulos opostos pelo vértice, e 
todos os ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
d. med MÂX = med RBS porque s//p, a é transversal e MÂX e RBS são ângulos 
obtusos. 
e. med MÂX + med NBR = 180º. 
78. 
a. AMN e MNB são ângulos congruentes. 
b. AMN = 107º 
c. a = 39º 
d. SMN = 73º 
e. As respostas podem variar; abaixo temos apenas uma sugestão. 
XNY. 
79. x = 132º, y = 48º e z = 132º 
80. x + y + z = 300º 
Vivi te ajuda! @viviteajuda facebook.com/viviteajuda37 
Lista 48 
Bibliografia 
 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 6. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 7. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 6º ano. 
18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. 
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 7º ano. 
18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. 
• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemáticas: ideias e desafios, 8º ano. 
18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 7º ano. 1ª edição. São 
Paulo: Scipione, 2015. 
• Apostila de Matemática: Volume 01. Editora Bernoulli: Belo Horizonte, 2012. 
• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 20 de setembro de 2017.