Lista de Exercicos Sistemas de controle Ficha #4

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MIEEC - Sistemas e Controlo
11 de Outubro de 2019
Ficha #4 de Teórico-Práticas de Sistemas e Controlo
1. Considere o modelo de estado homogéneo
ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x0
Para as seguintes matrizes da dinâmica
A =
[
a 1
0 b
]
com ab 6= 0, A =
[
−3 2
−1 0
]
determine as matrizes de transição eAt respectivas, utilizando os seguintes métodos:
a) Transformada de Laplace.
b) Por diagonalização.
c) Pelo teorema de Cayley-Hamilton.
2. Para o sistema
ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x0
com
A =

−2 1 0 0
0 −2 1 0
0 0 −2 0
0 0 0 −1

determine a matriz de transição eAt (Ajuda: repare na estrutura da matriz A).
3. Considere o sistema
ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x0
onde A é uma matriz de dimensão 2× 2 com todos os valores próprios reais e distintos.
a) Determine a solução x(t) para x0 = v1, onde v1 é um vector próprio associado ao valor próprio λ1.
b) Sabendo que para x0 = [1 0]
T tem-se a solução x(t) = [e−t 0]T e para x0 = [0 1]
T obtém-se
x(t) =
[
e−t − e−2t e−2t
]T
, determine a solução x(t) para qualquer condição inicial x0.
4. Simulação do modelo linearizado de um pêndulo (continuação)
Considere um pêndulo cujo o movimento obedece à dinâmica não linear
θ̈ +
b
m`2
θ̇ +
g
`
sin θ =
1
m`2
T
onde m denota a massa do pêndulo, b o coeficiente de atrito, ` o comprimento do braço, g = 9.8m/s2
a aceleração gravitica, θ a posição angular que denota o desvio do pêndulo face ao eixo vertical e T um
torque externo de actuação.
a) Para os seguintes valores m = ` = 1 e b = 10 (nas unidades adequadas) construa o modelo de estado
do sistema linearizado utilizando o comando MATLAB sys = ss(A,B,C,0)
b) Obtenha a resposta no tempo do estado x(t) para a condição inicial x0 = [1 0]
T e com entrada
nula. Para isso defina o vector dos tempos e do sinal de entrada (exemplo: t = 0:0.01:5; u =
zeros(size(t))) e utilize as instruções [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0);plot(t,y),grid
Visualize também a resposta x(t) no plano de estado (exemplo: figure(2); plot(x(:,1),x(:,2)),grid
c) Efectue o mesmo exerćıcio em b) mas agora com uma condição inicial x0 que apenas excite o modo
mais rápido do sistema. (Nota: o comando eig também retorna os vectores próprios).
d) Idem, mas para o modo mais lento.