Matemática Aplicada - Guia de Estudos da Unidade 4

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UNINASSAU

Anderson Wilde

26/09/2020

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Matemática Aplicada
UNIDADE 4

1
MATEMÁTICA APLICADA
UNIDADE 4

Para início de conversa

Olá Caro(a) aluno(a), vamos dar início ao estudo da unidade 4.
Após ter feito um minucioso estudo sobre as funções de primeiro e segundo graus, polinomiais e
exponenciais assim como a análise dos gráficos obtidos para estas funções na unidade passada, vamos
agora nos deter ao estudo introdutório do cálculo.
É importante que, ao término desta unidade, você possa ter não só entendido qual a importância do
cálculo no seu futuro, mas também ter adquirido conhecimentos bem específicos como ter compreendido a
diferença entre velocidade média e velocidade instantânea, ter aprendido do que se trata uma reta
tangente a um gráfico, ter conhecimento do que é uma derivada e as regras de derivação, ter aprendido do
que se trata uma integral, entendido a diferença entre integral definida e indefinida e ter conhecimento
das regras de integração.

Orientações da Disciplina

Para começar, é importante que você entenda que o cálculo, também conhecido como cálculo diferencial e
integral, nada mais é do que uma parte muito importante da matemática. Ele trata do estudo da variação,
do movimento e de quantidades que mudam tendendo a outras quantidades. As aplicações do cálculo vão
muito além da matemática, passando pelas áreas da física, química, estatística, economia, astronomia e
muitas outras áreas do conhecimento. Ele é bastante aplicado em situações do cotidiano como, por
exemplo: na determinação de órbitas de astros, na análise do crescimento de populações, em medidas de
fluxo (sanguíneo na saída do coração, fluxo de carros em uma estrada), em medidas de otimização, seja
para maximizar lucros minimizando custos, seja como achar o melhor caminho minimizando o tempo de
percurso. Como você pode perceber as aplicações do cálculo vão muito além da matemática.
Este será o objeto de estudo dessa unidade. Todos os assuntos abordados serão apresentados e
relacionados com situações que estão presentes no nosso cotidiano.
Preparado? Vamos lá, mãos à obra!

2
???
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

Acesse o Ambiente Virtual

Caro(a) estudante, antes de iniciar o estudo da derivada de uma função, sugiro uma rápida leitura do livro
texto das páginas 106 a 114, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa parte inicial.
Inicialmente, o que você precisa entender é que o estudo desse tema irá abranger a definição inicial do
que é derivada, a demonstração de retas tangentes ao gráfico e suas aplicações e as suas propriedades.
Como também será a base para o entendimento de assuntos que estão por vir, como a apresentação de
integral que será feita no fim dessa unidade.
Vamos começar nosso estudo vendo os conceitos e as diferenças entre velocidade média e velocidade
instantânea.

Você sabia?

Você sabe o que é velocidade média? Vamos lá !
A velocidade média nada mais é do que a relação entre a variação da posição de um objeto pela variação
de tempo. Ela é descrita matematicamente da seguinte forma:
v! =
∆s
∆t

Onde:
v!=Velocidade Média
∆s = (s!"#$% − s!"!#!$% )- que corresponde ao Intervalo do deslocamento [posição final – posição
inicial]
∆t = (t!"#$% − t!"!#!$% )- que corresponde ao Intervalo de tempo [tempo final – tempo inicial]

Ou seja, se eu conheço a variação de posição de qualquer corpo, assim como a variação de tempo
necessária para que ocorresse essa variação de posição, então eu posso calcular a velocidade média
desse corpo.
No S.I. (sistema internacional) a unidade adotada é a m s (metros por segundo). Muitas vezes temos as
informações a respeito da variação de posição em km (quilômetros), não em m (metro) e a respeito do
tempo em h (horas), não em s (segundos), por isso é importante saber a conversão e como é feita para

3
transpormos de km h (quilômetros por hora) para m s (unidade da velocidade média no S.I.) e a
transposição inversa também. A equação abaixo irá lhe ajudar no entendimento dessa transformação:

!
!
×3,6 = !"
!
e !"
!
÷ 3,6 = !
!

Uma velocidade média que é dada em m s para obtê-la em km h, basta multiplica-la por 3,6, e uma
velocidade média que é dada em km h para obtê-la em m s, basta dividi-la por 3,6. Muito simples não
é? Veja o exemplo abaixo para fixar melhor.

Exemplo

Um veículo localizado no ponto A desloca-se para o ponto B em 10 segundos, considerando A =
10m e B = 100m. Calcule a velocidade média do veículo no trecho analisado.

Solução: Para encontrarmos a velocidade média, vamos aplicar a definição aprendida anteriormente, que
relaciona a distância percorrida com o intervalo de tempo.
v! =?
Cálculo da distância percorrida- ∆s = s!"#$% − s!"!#!$% = 100m− 10m = 90m
Cálculo da variação de tempo- ∆𝒕𝒕 = 𝒕𝒕𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 − 𝒕𝒕𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒔𝒔− 𝟎𝟎𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒔𝒔
Jogando os valores que foram obtidos na fórmula de velocidade média, temos:
𝒗𝒗𝒎𝒎 =
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕 =
𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎
𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒔𝒔 = 𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒔𝒔
Obtivemos, como resposta, 𝟗𝟗𝒎𝒎 𝒔𝒔. Para convertermos esse valor obtido para unidade de 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉, é só
multiplicarmos por 3,6 como aprendemos anteriormente:
𝟗𝟗𝒎𝒎
𝟏𝟏𝒔𝒔 ×𝟑𝟑,𝟔𝟔 =
𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒𝒌𝒌𝒌𝒌
𝟏𝟏𝒉𝒉

Então, 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒉𝒉 como resposta. E isso nos informa que o automóvel se move com uma velocidade
média de 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 quilômetros a cada 𝟏𝟏 hora.

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Palavras do Professor

Caro(a) aluno(a), agora que já entendemos o que é velocidade média, vamos compreender o que é
velocidade instantânea.
Você deve ter percebido que a velocidade média não nos informa a velocidade do objeto em um momento
qualquer durante o intervalo de tempo. Esse veículo pode ter rodado com uma velocidade constante de
𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒉𝒉 durante todo o tempo de trajeto, ou aumentado a velocidade em algum trecho, ou
diminuído a sua velocidade ou até mesmo parado a velocidade momentaneamente, várias vezes durante a
viagem.
A velocidade instantânea pode ser encontrada quando consideramos o intervalo de tempo de
deslocamento infinitamente pequeno, ou seja, quando fazemos o intervalo de tempo tender a zero, isso
matematicamente é representado da seguinte forma: ∆𝒕𝒕 → 𝟎𝟎.

Praticando

Veja o exemplo a seguir:
Uma bola desce uma rampa tal que sua distância 𝒔𝒔 do topo da rampa após 𝒕𝒕 segundos é exatamente 𝒕𝒕𝟐𝟐
centímetros. Qual sua velocidade instantânea após 𝒕𝒕 segundos?

Solução:

Para tentar responder a essa questão, poderíamos tentar calcular a velocidade média sobre intervalos de
tempo cada vez menores.
Por exemplo, vamos calcular a velocidade sobre o intervalo 𝟑𝟑;𝟑𝟑,𝟏𝟏 :
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕
=
(𝟑𝟑,𝟏𝟏)𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟐𝟐
𝟑𝟑,𝟏𝟏 − 𝟑𝟑
=
𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟎𝟎,𝟏𝟏
= 𝟔𝟔,𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒏𝒏𝒏𝒏í𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
Com isso, encontramos uma velocidade de 𝟔𝟔,𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒔𝒔.
Se diminuirmos o intervalo e tomarmos agora o intervalo [3; 3,05]:
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕
=
𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟐𝟐
𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟑
=
𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄í𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
Ao diminuirmos o intervalo, obtivemos uma velocidade de 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒔𝒔.

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Meu caro(a), continuando com esse processo, tomando intervalos cada vez menores, poderíamos concluir
que a velocidade instantânea da bola nessas condições é de 𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒔𝒔. Portanto, vamos ver diretamente o
que está acontecendo com o quociente por meio do que chamamos de limite da velocidade média sobre o
intervalo [3;t] quando t se aproxima de 3 (esse limite estuda a tendência da velocidade media àmedida
que t se aproxima de 3).
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟑𝟑
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟑𝟑
𝒕𝒕𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟐𝟐
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟑𝟑
𝒕𝒕 + 𝟑𝟑 (𝒕𝒕 − 𝟑𝟑)
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟑𝟑
𝒕𝒕 + 𝟑𝟑 .
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟑𝟑
𝒕𝒕 + 𝟑𝟑 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝒕𝒕 ≠ 𝟑𝟑, 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
𝒕𝒕 − 𝟑𝟑
= 𝟏𝟏
= 6
Note que t não é igual a 3, mas está se aproximando de 3 como um limite, o que nos permite fazer o
cancelamento de 𝒕𝒕 − 𝟑𝟑. Se fosse igual a 3, o desenvolvimento feito nos levaria a uma conclusão incorreta
que é a de que 𝟎𝟎/𝟎𝟎 = 𝟔𝟔. A diferença entre igualar a 3 e se aproximar de 3 como um limite é sutil, mas
importantíssima do ponto de vista algébrico.
Com isso vamos entender matematicamente do que se trata o cálculo do limite. Não é simples a definição
algébrica de limite, podemos, então, usar o seguinte resultado que diz, por definição: quando escrevemos
“𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒂𝒂 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝑳𝑳” temos de fato que f(x) se aproxima de L na medida em que x se aproxima de a.

Palavras do Professor

Vamos agora iniciar o estudo das retas tangentes a um gráfico. Vamos iniciar observando o gráfico abaixo
que é o gráfico da função do exemplo anterior, da bola cujo espaço foi definido pela expressão 𝒔𝒔 = 𝒕𝒕𝟐𝟐.

Se você fizer a ligação entre os pontos (1,1) e (2,4) com uma reta, você irá obter uma reta secante ao
gráfico, uma reta secante nada mais é do que qualquer reta que cruze dois ou mais pontos do gráfico da
função. Você também pode encontrar a tangente do ângulo que essa reta forma com o eixo horizontal 𝒙𝒙,
ou seja, encontrar a inclinação da reta.
Se (𝒔𝒔𝟏𝟏, 𝒇𝒇(𝒔𝒔𝟏𝟏)) e (𝒔𝒔𝟐𝟐, 𝒇𝒇(𝒔𝒔𝟐𝟐)) são dois pontos do gráfico, então a velocidade média sobre o intervalo
[𝒔𝒔𝟏𝟏, 𝒔𝒔𝟐𝟐] pode ser interpretada como a inclinação da reta contendo esses dois pontos. De fato, designamos
as quantidades com os símbolos 𝜟𝜟𝜟𝜟/𝜟𝜟𝜟𝜟.
Vamos agora ver o seguinte exemplo para que você entenda como encontrar a inclinação da reta tangente
ao gráfico da função visto acima, a reta tangente nada mais é do que uma reta que toca o gráfico da
função em apenas um ponto.

Exemplo

Use limites para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de s = t2 no ponto (1, 1).

Usaremos as mesmas ideias, já utilizadas anteriormente. Aplicando o limite de 𝒕𝒕 tendendo a 𝟏𝟏, teremos:
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟏𝟏
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟏𝟏
𝒕𝒕𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟐𝟐
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟏𝟏
𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 (𝒕𝒕 − 𝟏𝟏)
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟏𝟏
(𝒕𝒕 + 𝟏𝟏)
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒕𝒕→𝟏𝟏
𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒𝒒 𝒕𝒕 ≠ 𝟏𝟏, 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
𝒕𝒕 − 𝟏𝟏
= 𝟏𝟏
= 2

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Com isso obtemos que a tangente do ângulo é igual a 2. Observe, com isso, que os métodos, tanto para
resolver o problema da reta tangente como para resolver o problema da velocidade instantânea, são os
mesmos.

Veja o vídeo!

A derivada
Vistas as definições de retas secantes e tangentes, agora vamos aprender o conceito de derivada. Para
isso, sugiro inicialmente a visualização na íntegra do seguinte vídeo:
http://www.youtube.com/watch?v=mQSVKCmeAQE. Ele mostra do que se trata uma reta secante, uma
reta tangente e fala da definição de derivada. Esse vídeo tem duração de 12 minutos e 28 segundos e é de
grande importância para seu entendimento que você o visualize e compreenda o conteúdo exposto.
Espero que goste!
Se tomarmos a seguinte função 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) qualquer, então podemos dizer que o 𝒚𝒚 vai variar quando o 𝑥𝑥
variar.

Veremos, agora, a definição de taxa média de variação e de derivada. Se 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 (𝒙𝒙), então a taxa média
de variação de 𝒚𝒚 com relação a 𝒙𝒙 sobre o intervalo [𝒂𝒂,𝒃𝒃] é
∆𝒚𝒚
∆𝒙𝒙
= 𝒇𝒇 𝒃𝒃 !𝒇𝒇 (𝒂𝒂)
𝒃𝒃!𝒂𝒂

Geometricamente, esta é a inclinação da reta secante (reta vermelha mostrada no gráfico abaixo) que
passa pelos pontos (𝒂𝒂, 𝒇𝒇 (𝒂𝒂)) 𝒆𝒆 (𝒃𝒃, 𝒇𝒇 (𝒃𝒃)).

Podemos desenvolver a definição para a taxa instantânea de 𝒚𝒚 com relação a 𝒙𝒙 no valor de 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂
usando limites, ou seja, quando fazemos com que a diferença entre os pontos 𝒂𝒂 e 𝒃𝒃 tenda a zero, como
você pode observar no vídeo sugerido. Essa taxa de variação instantânea mencionada acima é exatamente
o que chamamos de derivada, ou seja, a derivada da função 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) quando 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂.

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Quando fazemos (𝒃𝒃 − 𝒂𝒂) → 𝟎𝟎 (a diferença entre os pontos 𝒂𝒂 e 𝒃𝒃 tende a zero), estamos simplesmente
fazendo com que o ponto 𝒃𝒃 esteja o mais próximo possível de a. Com isso ao invés de obtermos uma reta
secante que está ligada a dois pontos do gráfico, temos uma reta tangente, que toca o gráfico em apenas
um ponto.

Vamos agora ver a definição de derivada em um ponto. A derivada da função 𝒇𝒇 em 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂, denotada por
𝒇𝒇’ (𝒂𝒂) (lê-se ‘f linha de a’, representação usada para diferenciar uma derivada de sua função
correspondente), pode ser definida através do seguinte limite:
𝒇𝒇! 𝒂𝒂 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒙𝒙→𝒂𝒂
𝒇𝒇 𝒙𝒙 − 𝒇𝒇(𝒂𝒂)
𝒙𝒙 − 𝒂𝒂

Desde que o limite exista.
Geometricamente, representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto (a, f
(a)), como mostrado no gráfico anterior.
Se você considerar 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂 + 𝒉𝒉, onde 𝒉𝒉 é a diferença entre um ponto 𝒙𝒙 qualquer e o ponto 𝒂𝒂, então
fazer 𝒙𝒙 se aproximar de 𝒂𝒂 é o mesmo que fazer 𝒉𝒉 tender a 𝟎𝟎.
Então a derivada da função 𝒇𝒇 em 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂, denotada por 𝒇𝒇’ (𝒂𝒂) (lê-se ‘f linha de a’), se torna:
𝒇𝒇! 𝒂𝒂 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝒂𝒂 + 𝒉𝒉 − 𝒇𝒇 (𝒂𝒂)
𝒉𝒉

Desde que o limite exista.
Uma observação importante é que, pelo fato de a derivada de uma função em um ponto poder ser vista
geometricamente como a inclinação da reta tangente à curva 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) passando pelo próprio ponto, a
derivada pode não existir, uma vez que essa reta tangente pode não estar bem definida.
Vamos ver o exemplo abaixo para fixarmos melhor o que você acabou de aprender.
Exemplo: Encontrar 𝒇𝒇’ (𝟐𝟐) se 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐– 𝟓𝟓
Solução:

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𝒇𝒇’ 𝟐𝟐 =
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝟐𝟐!𝒉𝒉 !𝒇𝒇 𝟐𝟐
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟐𝟐!𝒉𝒉 𝟐𝟐!𝟓𝟓! 𝟐𝟐𝟐𝟐!𝟓𝟓
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟒𝟒!𝟒𝟒𝒉𝒉! 𝒉𝒉𝟐𝟐 !𝟒𝟒
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟒𝟒𝒉𝒉! 𝒉𝒉𝟐𝟐
𝒉𝒉
=
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎 𝟒𝟒 + 𝒉𝒉
𝒉𝒉
𝒉𝒉
= 𝟏𝟏,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒉𝒉 ≠ 𝟎𝟎
𝒇𝒇’ 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒

Veja o vídeo!
Caro(a) estudante, a derivada também pode ser definida como uma função de 𝒙𝒙. Antes de você ver a
definição de derivada de uma função, sugiro a visualização do seguinte vídeo, na íntegra
http://www.youtube.com/watch?v=OONLu0WnmkQ. Nele será mostrada essa definição e sua aplicação.
Esse vídeo tem duração de 7 minutos e 3 segundos e será muito importante para o seu entendimento nos
assuntos a seguir.

Voltando ao nosso raciocínio, essa função, também chamada de função derivada, tem como domínio o
conjunto de todos os valores do domínio de 𝒇𝒇, para os quais 𝒇𝒇 tem derivada, isto é, 𝒇𝒇 é diferenciável. A
função 𝒇𝒇’ pode ser então definida adaptando a definição que já vimos para 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂.
Se 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 (𝒙𝒙), então a derivada da função 𝒇𝒇 com relação a 𝒙𝒙 é a função 𝒇𝒇’, cujo valor em 𝒙𝒙 é dado da
seguinte forma:
𝒇𝒇′(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝒙𝒙!𝒉𝒉 !𝒇𝒇 (𝒙𝒙)𝒉𝒉
para todos os valores de 𝒙𝒙 onde o limite existe.

Praticando

Os exemplos abaixo vão nos mostrar uma notação que você pode encontrar quando estamos tratando de
derivada de uma função.
Exemplo: Encontre 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) se 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟒𝟒, em outras palavras, está sendo pedido que se encontre 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
se
𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟒𝟒.
Solução:
𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉 − 𝒇𝒇 𝒙𝒙
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒙𝒙 + 𝒉𝒉 𝟒𝟒 − 𝒙𝒙𝟒𝟒
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝒉𝒉 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒉𝒉𝟑𝟑 + 𝒉𝒉𝟒𝟒 − 𝒙𝒙𝟒𝟒
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝒉𝒉 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒉𝒉𝟑𝟑 + 𝒉𝒉𝟒𝟒
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐𝒉𝒉 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒉𝒉𝟑𝟑

10
𝒉𝒉
𝒉𝒉
= 𝟏𝟏,𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒒𝒒𝒒𝒒𝒆𝒆 𝒉𝒉 ≠ 𝟎𝟎
𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑
Com isso concluímos que 𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑, isto é, 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
= 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑.

Exemplo: Encontre 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) se 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝟏𝟏
𝒙𝒙
, em outras palavras, está sendo pedido que se encontre 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅

se 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙
.
Solução:
𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒇𝒇 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉 − 𝒇𝒇 (𝒙𝒙)
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝟏𝟏
𝒙𝒙 + 𝒉𝒉 −
𝟏𝟏
𝒙𝒙
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
𝒙𝒙 − ( 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉 )
𝒙𝒙 ( 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉)
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
− 𝒉𝒉
𝒙𝒙 ( 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉)
𝟏𝟏
𝒉𝒉
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒉𝒉→𝟎𝟎
−𝟏𝟏
𝒙𝒙 ( 𝒙𝒙 + 𝒉𝒉)
= −
𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐

Com isso concluímos que 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = !𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
, isto é, 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅
= !𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐

Palavras do Professor

Agora que você já aprendeu a definição de derivada em um ponto e derivada de uma função, vamos ver as
regras que existem para aplicarmos os conceitos aprendidos, que facilitam o processo de derivação de
uma função. Todos os resultados podem ser demonstrados, porém aqui irei apenas citar algumas
propriedades das funções.
§ Função Constante
Tomando a função constante 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 , a derivada dessa função constante é dada por
𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝟎𝟎.

§ Função soma
Tomando 𝒖𝒖 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒗𝒗 𝒙𝒙 duas funções quaisquer, a soma dessas funções é dada da forma:
𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒖𝒖 (𝒙𝒙) + 𝒗𝒗 (𝒙𝒙). A derivada da soma das duas funções será a soma das derivadas
das funções, 𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝒖𝒖’ 𝒙𝒙 + 𝒗𝒗’ 𝒙𝒙 .

§ Função diferença
Tomando 𝒖𝒖 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒗𝒗 𝒙𝒙 duas funções quaisquer, a diferença entre essas funções é dada da
forma: 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒖𝒖 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 𝒙𝒙 . A derivada da diferença das duas funções será a diferença
das derivadas das funções, 𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝒖𝒖’ 𝒙𝒙 − 𝒗𝒗’ 𝒙𝒙 .

§ Função potência

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Tomando a seguinte função 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝒂𝒂, onde 𝒂𝒂 é uma constante. A derivada dessa função
será dada da seguinte forma: 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝒂𝒂. 𝒙𝒙(𝒂𝒂!𝟏𝟏).

§ Função produto
Tomando 𝒖𝒖 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒗𝒗 𝒙𝒙 duas funções quaisquer, o produto dessas funções é dado da forma:
𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒖𝒖 𝒙𝒙 .𝒗𝒗 (𝒙𝒙). A derivada do produto dessas duas funções será dada da seguinte
forma: 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝒖𝒖’ (𝒙𝒙) .𝒗𝒗 (𝒙𝒙) + 𝒖𝒖 (𝒙𝒙) .𝒗𝒗’ (𝒙𝒙).

§ Função produto com um dos fatores constante
Nesse caso, dizemos que existe uma constante multiplicada por função: 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 .𝒗𝒗 𝒙𝒙 . A
derivada desse produto entre uma constante e uma função é dada pelo produto entre a constante
𝒌𝒌 e a derivada da função: 𝒇𝒇’ 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 .𝒗𝒗’ 𝒙𝒙

§ Função quociente
Tomando 𝒖𝒖 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒗𝒗 𝒙𝒙 duas funções quaisquer, o quociente dessas funções é dado da forma:
𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒖𝒖 (𝒙𝒙)
𝒗𝒗 (𝒙𝒙)
,𝒗𝒗 (𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎. A derivada do quociente dessas duas funções será dada da
seguinte forma: 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝒖𝒖
! 𝒙𝒙 .𝒗𝒗 𝒙𝒙 !𝒖𝒖 ! .𝒗𝒗!(𝒙𝒙)
[𝒗𝒗 𝒙𝒙 ]𝟐𝟐
.

§ Função exponencial
Tomando a seguinte função 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙, onde 𝒙𝒙 ∈ 𝑹𝑹,𝒂𝒂 > 𝟎𝟎 𝒆𝒆 𝒂𝒂 ≠ 𝟏𝟏. A derivada dessa
função será dada da seguinte forma: 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝒂𝒂𝒙𝒙 . 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒂𝒂.

§ Função logarítmica
Tomando a seguinte função 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒂𝒂 𝒙𝒙, 𝒙𝒙 ∈ ]𝟎𝟎 ; +∞[ ,𝒂𝒂 > 𝟎𝟎 𝒆𝒆 𝒂𝒂 ≠ 𝟏𝟏. A derivada
dessa função será dada da seguinte forma: 𝒇𝒇’ (𝒙𝒙) = 𝟏𝟏
𝒙𝒙 .𝒍𝒍𝒍𝒍𝒂𝒂
.

Veja o vídeo!
Caro(a) aluno(a), após ter visto as propriedades acerca da derivada das funções, você poderá visualizar o
seguinte vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=4O8KFBRitpE, que irá fazer uma breve apresentação de
derivadas das principais funções utilizadas. Neste vídeo de 9 minutos e 39 segundos, você aprenderá a
derivada das principais funções. Você perceberá que não será necessário aplicar a definição de derivada
toda vez que você precisar derivar uma função.

Acesse o Ambiente Virtual

INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO

Da mesma forma que as operações básicas da matemática possuem operações inversas, como adição e
subtração, multiplicação e divisão, a derivada também tem uma operação inversa, é a chamada
antiderivação ou integração.
Antes de iniciar o estudo da integração e suas propriedades, sugiro uma rápida leitura do livro texto, das
páginas 114 a 122, para que você perceba os tópicos que iremos abordar nessa parte inicial.

Veja o vídeo!
Sugiro também a visualização do seguinte vídeo:
http://www.youtube.com/watch?v=dIDuqrkfIpU&index=2&list=PL71D6FB73CB10FF3D, que irá dar uma
ideia inicial sobre o que é uma integral. Esse vídeo tem duração de 5 minutos e 46 segundos. É bastante
importante que você possa vê-lo antes de começarmos o estudo das integrais.

Vamos lá, se você conhecer as informações da velocidade de um corpo e do tempo que ele transcorreu,
você tem como determinar a distância que esse corpo percorreu, certo? Tomemos o seguinte exemplo para
visualizar melhor o que acabou de ser dito:

Exemplo

Um ônibus se desloca a uma velocidade média de 𝟕𝟕𝟕𝟕𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒉𝒉 ao longo de um trajeto, durante 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎.
Qual foi a distância percorrida por esse ônibus?
No início dessa unidade vimos como é possível calcular a velocidade de um corpo. Relembrando, se
soubermos a distância percorrida e o tempo transcorrido, conseguimos saber a velocidade a partir da
seguinte relação:

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𝒗𝒗𝒎𝒎 =
∆𝒔𝒔
∆𝒕𝒕

Daí, você pode observar que, se temos agora a velocidade do corpo e o tempo transcorrido, conseguimos
saber a distância percorrida pela seguinte relação:
∆𝒔𝒔 = 𝒗𝒗𝒎𝒎.∆𝒕𝒕
Então, para esse exemplo, teremos ∆𝒔𝒔 = 𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒉𝒉
.𝟏𝟏,𝟓𝟓𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒌𝒌𝒌𝒌.
Podemos observar a análise gráfica de duas formas. Vamos supor inicialmente que esse ônibus trafegou
todo esse trajeto com velocidade constante.

Como você pôde perceber através do gráfico acima, a área do retângulo sombreado é exatamente igual ao
valor obtido pelo produto entre a velocidade e o tempo transcorrido.
Agora, na segunda situação,vamos supor que a função velocidade varie constantemente como uma
função do tempo.

Analogamente, a área dessa curva entre os valores 𝒂𝒂 e 𝒃𝒃 é exatamente o valor da distância percorrida.
Com isso vamos ver que a integral de uma função é definida da seguinte forma:

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Seja uma função 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) no intervalo [𝒂𝒂,𝒃𝒃]. Divida o intervalo [𝒂𝒂,𝒃𝒃] em n subintervalos de
comprimento ∆𝒙𝒙 = (𝒃𝒃!𝒂𝒂)
𝒏𝒏
. Escolha um valor qualquer 𝒙𝒙𝟏𝟏 no primeiro subintervalo, 𝒙𝒙𝟐𝟐 no segundo
intervalo e assim por diante. Calcule 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟏𝟏 , 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟐𝟐 , 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝟑𝟑 ,… , 𝒇𝒇 𝒙𝒙𝒏𝒏 , multiplique cada valor por ∆𝒙𝒙 e
faça a soma dos produtos. A notação para a soma dos produtos é:
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)∆𝒙𝒙
𝒏𝒏
𝒊𝒊!𝟏𝟏

O limite dessa soma quando 𝒏𝒏 tende para +∞ é a solução do problema da área e também a solução para
o problema da distância percorrida. À medida que fazemos o número de subintervalos crescer, quando
fazemos 𝒏𝒏 tender a +∞, fazemos o comprimento ∆𝒙𝒙 diminuir. Esse limite, caso exista, é chamado de
integral definida.
Com isso podemos concluir que seja 𝒇𝒇 uma função definida sobre o intervalo [𝒂𝒂,𝒃𝒃] e seja 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)∆𝒙𝒙𝒏𝒏𝒊𝒊!𝟏𝟏
como definida anteriormente. A integral definida de 𝒇𝒇 sobre [𝒂𝒂,𝒃𝒃] cuja denotação é feita da seguinte
forma: 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒃𝒃𝒂𝒂 é dada por:
𝒇𝒇 𝒙𝒙
𝒃𝒃
𝒂𝒂
= 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒏𝒏→!
𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒊𝒊)∆𝒙𝒙
𝒏𝒏
𝒊𝒊!𝟏𝟏

Desde que esse limite exista. Se o limite existe, então você pode concluir que 𝒇𝒇 é integrável sobre o
intervalo [𝒂𝒂,𝒃𝒃].
Você pode também definir a integral de uma função 𝒇𝒇(𝒙𝒙) sem especificar qual é o intervalo de 𝒙𝒙
considerado. Como resultado, você tem uma função, chamada primitiva, adicionada de uma constante C.
De modo geral, seja 𝒇𝒇 uma função qualquer. A integral indefinida de 𝒇𝒇 cuja denotação é 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 é
dada por:
𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑭𝑭 𝒙𝒙 + 𝑪𝑪
De modo que a derivada de 𝑭𝑭 𝒙𝒙 + 𝑪𝑪 seja 𝒇𝒇(𝒙𝒙).

Veja o vídeo!
Depois do que foi visto, sugiro a visualização do seguinte vídeo:
http://www.youtube.com/watch?v=8n4eJ8XFcwg&list=PL71D6FB73CB10FF3D, que possui uma duração de
8 minutos e 41 segundos. É importante que você veja esse vídeo, pois nele são mostradas regras básicas
de integração indefinida. Lembre-se que o seu tutor aguarda sua sinalização caso haja alguma dúvida.

Continuando nosso raciocínio, as propriedades de integração de funções que serão mostradas têm como
principal objetivo tornar mais fácil o procedimento desenvolvido.

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Conheça, a seguir, as propriedades de integrais indefinidas, ou seja, propriedades das integrais sem
determinação do intervalo real a que se esteja fazendo referência.
§ Dadas duas funções 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒈𝒈 𝒙𝒙 , a integral indefinida da soma das duas funções 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒈𝒈 𝒙𝒙
será dada pela soma das integrais indefinidas das duas funções: 𝒇𝒇 𝒙𝒙 + 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 =
𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅
§ Dadas duas funções 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒈𝒈 𝒙𝒙 , a integral indefinida da diferença das duas funções
𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝒈𝒈 𝒙𝒙 será dada pela diferença das integrais indefinidas das duas funções: 𝒇𝒇 𝒙𝒙 −
𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅
§ Dada a seguinte função qualquer 𝒇𝒇 𝒙𝒙 , a integral indefinida do produto entre uma constante e
essa função 𝒇𝒇 𝒙𝒙 será dada pelo produto da constante pela integral indefinida da função:
𝒌𝒌. 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒌𝒌. 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅

Agora serão apresentadas algumas regras para finalizar o estudo inicial das integrais.

§ 𝒙𝒙𝒏𝒏𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒙𝒙
𝒏𝒏!𝟏𝟏
𝒏𝒏!𝟏𝟏
+ 𝑪𝑪, para 𝒏𝒏 ≠ −𝟏𝟏.
§ 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝒌𝒌. 𝒙𝒙 + 𝑪𝑪
§ 𝒙𝒙!𝟏𝟏𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 + 𝑪𝑪
§ 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒆𝒆𝒙𝒙 + 𝑪𝑪
§ 𝒂𝒂𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒂𝒂
𝒙𝒙
𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
+ 𝑪𝑪, com 𝒂𝒂 > 𝟎𝟎 𝒆𝒆 𝒂𝒂 ≠ 𝟏𝟏.

Acesse o Ambiente Virtual

Tudo que foi visto até aqui pode também ser complementado com a leitura e a resolução dos exercícios
contidos no livro, presente na biblioteca virtual, intitulado Cálculo, do autor George B. Thomas (volume 1).
Como aqui vimos, apenas a parte introdutória do estudo das derivadas, sugiro a leitura apenas das
seguintes páginas: 317 a 320 (introdução e lista de integrais indefinidas).
Nesta unidade você conheceu as derivadas e integrais das funções, viu que a integral é a operação inversa
da derivada. Tudo que foi visto aqui foi apresentado de forma introdutória, muito provavelmente você irá
se aprofundar no estudo do cálculo em outros momentos da sua caminhada. Agora é interessante, para
fixar o exposto, que você leia, no livro texto, na íntegra, olhasse todo o conteúdo e os exemplos e
exercícios que lá estão presentes. Em seguida, só precisa realizar as atividades presentes no ambiente
virtual para concluir a 4° unidade.

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Palavras do Professor

Prezado(a) aluno(a), com isso chegamos ao fim da nossa 4° unidade. É importante que, ao finalizar essa
unidade, você tenha adquirido os conhecimentos básicos relacionados ao estudo e aplicações iniciais do
cálculo aqui apresentados, pois eles serão bastante utilizados, não só em outras disciplinas, mas em
outras áreas do conhecimento.
Com isso terminamos também a disciplina de Matemática aplicada.
Foi um prazer ter acompanhado você até aqui. Espero que tenha tido sucesso no estudo da matemática,
que, como você pode perceber, está presente sempre no cotidiano e é de grande importância para
entendimento de muitas outras áreas do conhecimento. Espero que os assuntos estudados desde a
1°unidade, quando vimos a parte introdutória da álgebra, abordando o estudo dos conjuntos numéricos e
números reais, estudo de radiciação e potenciação, estudo dos polinômios e sua fatoração e estudo das
expressões fracionárias, ainda estejam bem fresquinhos na sua memória. Assim como os vistos na 2°
unidade, no estudo das equações e inequações. E, já mais recente, no estudo da 3° unidade que englobou
o estudo das funções e seus gráficos, funções essas de 1° grau, 2° grau, polinomial e exponencial. Nessa
última unidade e não menos importante, vimos a parte introdutória do cálculo, que é ferramenta usada em
diversas áreas do conhecimento humano.
Sempre que sentir necessidade sugiro que volte e veja os pontos que você sentiu dificuldade ou não pegou
muito bem. E lembre-se: matemática requer não só entendimento, mas muito mais que isso, requer tempo
e prática.
Desejo sucesso e até próxima.
Bons estudos!