APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS (EDO)

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APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
1. INTRODUÇÃO
As equações diferencias são objeto de intensa atividade de pesquisa pois apresentam aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações práticas em diversas áreas como, medicina, engenharia, química, biologia,etc. Estas equações estão relacionadas com vários fenômenos físicos tais como: mecânica dos fluidos, fluxo de calor, vibrações, circuitos elétricos, reações químicas, dentre várias outros. Além de apresentarem diversas ramificações, neste trabalho abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias equações que só apresentam derivadas ordinárias - em relação a uma variável.
As equações diferenciais ordinárias (EDOs) modelam vários fenômenos físicos do nosso cotidiano, tanto no campo da engenharia como das ciências físicas e sociais, o que justifica o estudo destes tipos de equações. A aplicações de equações diferencias ordinárias na análise de circuitos elétricos é o nosso objetivo.
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Fenômenos físicos freqüentemente envolvem relações entre uma variável independente x e uma variável dependente y, tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem descritas com uma função de variável independente[1]:
Às vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de seus valores e derivadas da função desconhecida .
Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a tensão como uma função do tempo, v(t), que pode ser escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e das propriedades do circuito.
Uma função expressa como uma função da variável independente x, da variável independente y e suas derivadas é dita equação diferencial.
Uma relação que envolve derivadas ate ordem n é dita equação diferencial ordinária(EDO), podendo ser colocada na forma matemática:
As equações diferenciais ordinárias podem ser classificadas pela ordem e pela linearidade. A ordem de equação diferencial ordinária é a ordem da mais alta derivada
presente na equação.
3. APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 
As características tensão-corrente do capacitor e do indutor introduzem as equações diferenciais na análise dos circuitos elétricos.
As Leis de kirchoff e as características tensão-corrente dos elementos conduzem, em conjunto,a uma equação diferencial linear, cuja solução define a dinâmica temporal das variáveis corrente e tensão elétrica nos diversos componentes do circuito.[2]
De acordo com a ordem e as características da equação diferencial obtida, classifica-se os circuitos, e as respectivas soluções, de acordo com:
· Ordem da Equação:
· Circuitos de 1ª ordem :Exemplo: RL,RC Equação Linear de 1ª Ordem
· Circuitos de 2ª ordem :Exemplo; RLC Equação Linear de 2ª Ordem
· Tipo de Solução:
· Equações Diferenciais Lineares Homogêneas
· Equações Diferenciais Lineares não-Homogêneas
Para compreendermos a análise dos circuitos de 1ª e 2ª ordem, é importante termos em mente alguns conceitos básicos de eletricidade:
a) A intensidade da corrente elétrica i é a taxa de variação da carga elétrica Q em relação ao tempo que passa por uma seção transversal de um condutor, isto é .
b) A capacitância C de um capacitor a uma carga elétrica Q,com uma diferença de potencial v entre as placas é .
c) A lei de Ohm: a diferença de potencial V nos terminais de um resistor de resistência R submetido a uma intensidade de corrente I é dada por 
3.1. Modelagem de Equações Diferenciais com Circuitos elétricos
Objetivando ilustrar a modelagem de equações diferenciais desenvolveremos a seguir modelos de sistemas dinâmicos e demonstraremos exemplos práticos.
· Circuito RC
· Circuito RLC
3.1.1. Circuito RC
Figura 1: Circuito RC[3]
O circuito RC, como ilustra a figura 1, é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potência ou uma força eletromotriz E(t) ligados em série. A queda de potencial num resistor de resistência R é igual a e num capacitor de capacitância C é igual a .
Pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas) a soma das forças eletromotrizes (neste caso apenas E(t)) é igual a soma das quedas de potencial(neste caso na resistência e no capacitor), ou seja,[4]
Como , então a carga q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial:
Exemplo prático
1. Um circuito RC série com uma bateria que gera tensão de 100V, tem uma resistência de 200Ω, um capacitor de A chave K1 é fechada em t=0, encontre a carga inicial Q(t)e a corrente i(t) no capacitor , a tensão no resistor Vr (t) e a tensão no capacitor Vc(t) em cada instante t, sendo a carga inicial do capacitor q(0)=0.
 
Figura 2: Circuito RC representativo do exemplo 1
Como foi visto na teoria analisando o circuito temos que pela segunda lei de Kirchoff (lei das malhas):
 
Substituindo os dados do exercício, temos :
A equação é linear. Multiplica-se a equação pelo fator integrante
Integrando-se obtemos:
Substituindo os valores iniciais t=0 e Q=0 obtemos:
Logo,
Sabendo que 
	
Com a equação da corrente, podemos encontrar a tensão do resistor (Vr(t)) e com a equação da carga, encontramos a tensão do capacitor. 
3.1.2. Circuito RLC
Figura 3: Circuito RLC[3]
Um circuito RLC é mostrado na figura 3, que é formado por um capacitor, um resistor e um indutor ligados em série a um gerador. A queda de potencial num resistor de resistência R é igual a , num capacitor de capacitância C é igual a e em um indutor de indutância L é igual a .
Pela segunda lei de kirchoff(lei das malhas) a soma das forças eletromotrizes(neste caso apenas E(t) é igual a soma das quedas de potencial(neste caso na resistência, no capacitor e no indutor), ou seja,[4]
Substituindo-se obtemos uma equação diferencial de 2ª ordem para a carga elétrica no capacitor.
Com condições iniciais e . uma equação diferencial de 2ª ordem para a corrente elétrica no circuito pode ser obtida derivando-se a equação (20), ou seja
Substituindo 
Com condições iniciais e . A última condição é obtida usando a equação 21.
Exemplo prático
2. Um circuito RLC em série tem um resistor de 150 Ω, um indutor de 0.1H e um capacitor de 10-6F. A carga inicial no capacitor é de 10-5C e não há corrente inicial. Se a voltagem impressa ao circuito for 0.5(t em segundos) e o circuito fechado no instante t=0, estabeleça a equação diferencial para a corrente elétrica no circuito em cada instante de tempo e determine também as condições iniciais.
Solução:
O circuito RLC em série é representado na figura 4 abaixo:
Figura 4: Circuito representativo do exemplo prático 2[1]
De acordo com a figura 4, i(t) denota-se a corrente do circuito elétrico em série, e pela segunda lei de kirchoff,a soma queda de tensão através do indutor,resistor e capacitor é igual a voltagem E(t) :
Como já foi visto nas seção 3.1.2 a equação linear de segunda ordem pra a corrente do circuito é:
Representando ,e reescrevendo a equação acima temos:
E substituindo os dados temos:
 
De acordo com a condição inicial i(0)=0 ,
Substituindo os valores:
 
Onde 
 é a equação homogênea
 é a equação particular
A equação característica é 
Resolvendo e equação(32), temos que as raízes da equação é e 
Como obteve 2 raízes complexas pode ser dizer que representa um circuito subamortecido cuja a solução real é:
Logo,
Agora encontra-se a solução particular da equação não homogênea:
Sendo 
Obtemos
A=0.06
Assim a solução geral é
Sendo 
 
3. Um circuito RLC em série tem um capacitor de um resistor de 25W e um indutor de 5H, como mostra a figura 3 do exemplo anterior. O capacitor se encontra inicialmente descarregado. Se uma bateria de for ligada em série ao circuito e este for fechado em t=0, determine a carga no capacitor em qualquer instante t >0.
Solução: 
A equação (46) representa a equação diferencial para a carga no
capacitor:
Substituindo os dados do circuito temos
Representando , e reescrevendo a equação 47 simplificada temos:
A equação característica é
Resolvendo a equação 49, temos as seguintes raízes .
Logo a solução geral da equação homogênea, que tem duas raízes reais e distintas é
Agora encontra-se uma solução particular da equação não homogênea da forma
Substituindo a equação (51),(52),(53), em (48) obtemos
Logo,
 
Portanto a solução geral da equação diferencial é
Derivando a equação geral: 
Substituindo as condições iniciais (t=0), q(t)=0, q’(t)=0 obtemos
Logo a solução geral da equação é:
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1]C.Eduardo,Equações Diferenciais Ordinárias-Modelagem de Sistemas Dinâmicos,Departamento de Automação de Sistemas.UFSC,DAS-5103: Cálculo Numérico Controle e Automação.
[2]J.R kaschny, Análise de Circuitos 1ª e 2ª Ordem
[3]S.N.Patrícia, Equações Diferenciais Ordinárias,Universidade do Rio de Janeiro(2005)
[4] S.J.Reginaldo,Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias,Universidade Federal de Minas Gerais.Julho,2010.