Cálculo Avançado

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Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais
	O maior conjunto que conhecemos é o conjunto dos números complexos, cuja forma algébrica é dada por z = x + iy, na qual x é a parte real e y é a parte imaginária, podendo x e y serem iguais a zero; se x = 0, dizemos que z = iy é imaginário, e se y = 0 temos z = x um número real. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O conjugado de um número complexo nunca é igual a ele mesmo.
(    ) Um número real pode ser imaginário. 
(    ) Um número complexo pode ser real. 
(    ) O conjugado de um número complexo não altera o módulo. 
(    ) Se um número complexo não é real, então ele é imaginário. 
(    ) Se um número é imaginário puro, sua parte imaginária é igual a zero. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	a)
	F - F - V - V - V - F.
	b)
	V - V - F - F - F - V.
	c)
	V - F - V - F - V - F.
	d)
	F - V - V - F - V - F.
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	2.
	Ao calcularmos as raízes de uma função do segundo grau encontramos três possibilidades, quando o valor de Delta é positivo a função possui duas raízes reais, quando Delta é igual a zero a função possui apenas uma raiz real, já quando Delta é menor que zero temos que calcular a raiz quadrada de um número negativo, e nesse caso a função possui duas raízes complexas. Podemos afirmar que as raízes da função do segundo grau:
	
	a)
	1 e 5
	b)
	- 1 e - 5
	c)
	- 3 - 2i e - 3 + 2i
	d)
	3 - 2i e 3 + 2i
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	3.
	A fórmula de Euler permite reescrever as funções trigonométricas e trigonométricas hiperbólicas como soma de funções exponenciais. Utilizando a representação na forma exponencial, podemos afirmar que
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.
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	4.
	Da mesma maneira que fazemos a composição de duas funções com variáveis reais, podemos também fazer a composição de duas funções com variáveis complexas. Então a composição
	
	a)
	Somente a opção III está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
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	5.
	O limite de uma função complexa é calculado de maneira análoga ao feito para funções reais já que uma função complexa pode ser reescrita como a soma de duas funções reais, essas duas funções são chamadas de parte real e imaginária. Sejam
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.
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	6.
	Utilizando as propriedades de limite de funções complexas, temos que o limite
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção IV está correta.
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	7.
	O conjugado do número complexo a + ib é definido por a - ib. Dados os números complexos z = 2 - 5i e w = 3 + i, podemos afirmar que o conjugado do produto de z e w é igual a:
	a)
	2 - 15i
	b)
	6 - 5i
	c)
	5 - 4i
	d)
	11 - 13i
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	8.
	Sabendo a forma algébrica de um número complexo, podemos reescrevê-lo também na forma trigonométrica. A forma trigonométrica do número complexos
	
	a)
	Somente a opção III está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
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	9.
	Uma função é contínua se satisfaz três condições, estar definida em todos pontos, o limite existir para todos os pontos e o limite ser igual ao valor da função. A função
	
	a)
	Somente a opção III está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção II está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
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	10.
	Sabendo a forma algébrica de um número complexo, podemos reescrevê-lo também na forma trigonométrica. A forma trigonométrica do número complexos
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
	
	Usando as propriedades de funções harmônicas, podemos encontrar a parte imaginária de uma função analítica sabendo sua parte real. A parte imaginária da função analítica que tem como parte real
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção I está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção IV está correta.
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	2.
	Em muitas situações, precisamos utilizar as derivadas de ordem n para encontrar informações das funções, por exemplo, nos problemas de maximização, usamos o teste da derivada segunda para verificar se um ponto é máximo ou mínimo. Para calcular as derivadas sucessivas de funções complexas, podemos proceder da mesma maneira que para funções reais. Podemos então afirmar que a derivada segunda da função
	
	a)
	Somente a opção I está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
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	3.
	Para uma função complexa ser derivável, basta que a sua parte real e a sua parte imaginária tenham as derivadas parciais de primeira ordem contínua e que elas satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann. Sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são
	
	a)
	Apenas a equação II de Cauchy-Riemann.
	b)
	As duas equações de Cauchy-Riemann.
	c)
	Nenhuma das duas equações de Cauchy-Riemann.
	d)
	Apenas a equação I de Cauchy-Riemann.
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	4.
	Para integrar uma função complexa, temos que determinar o caminho de integração (essa ideia é similar à integral de linha). Considerando uma semicircunferência parametrizada
	
	a)
	Somente a opção I está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	Somente a opção IV está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.
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	5.
	Para integrarmos funções complexas sobre curvas, precisamos que essas curvas estejam na forma parametrizadas, ou seja, escrever essa curva na forma de uma função vetorial. Considerando a reta que liga os pontos (2, 0) e (1, 4), podemos afirmar que a parametrização dessa curva é igual a:
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção IV está correta. 
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	6.
	A regra de L'Hospital é uma regra utilizada para calcular de forma mais simples limites que são indeterminações do tipo 0 divido por 0 ou infinito dividido por infinito; essa regra consiste em derivar o numerador e denominador de uma fração separadamente até que o limite seja possível de calcular. Utilizando a Regra de L'Hospital, temos que
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
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	7.
	Para integrarmos funções complexas sobre curvas, precisamos que essas curvas estejam na forma parametrizadas, ou seja, escrever essa curva na forma de uma função vetorial. Considerando uma circunferência de raio igual a 2 e centro no ponto (3, 0), podemos afirmar que a parametrização dessa curva é igual a:
	
	a)
	Somente a opção III está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.c)
	Somente a opção IV está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
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	8.
	Uma função de duas variáveis é harmônica quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, quando a soma das suas segundas derivadas é igual a zero. Com relação à parte real e imaginária da função complexa
	
	a)
	Somente a parte real da função é harmônica.
	b)
	Tanto a parte real quanto a parte imaginária da função são harmônicas.
	c)
	Somente a parte imaginária da função é harmônica.
	d)
	Tanto a parte real quanto a parte imaginária da função não são harmônicas.
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	9.
	Quando uma função complexa tem uma propriedade importante, essa função recebe um nome. Um exemplo disso são as funções holomorfas. Por que essas funções são chamadas desta forma?
	a)
	Não são analíticas.
	b)
	São deriváveis em todos os pontos do seu domínio.
	c)
	Seu domínio é todo o conjunto dos números complexos.
	d)
	Não é possível calcular sua derivada.
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	10.
	Para uma função complexa ser derivável, basta que a sua parte real e a sua parte imaginária tenham as derivadas parciais de primeira ordem contínua e que elas satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann. Sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são
	
	a)
	Apenas a equação II de Cauchy-Riemann.
	b)
	Apenas a equação I de Cauchy-Riemann.
	c)
	Nenhuma das duas equações de Cauchy-Riemann.
	d)
	As duas equações de Cauchy-Riemann.
	
	Em muitas situações, precisamos utilizar as derivadas de ordem n para encontrar informações das funções, por exemplo, nos problemas de maximização, usamos o teste da derivada segunda para verificar se um ponto é máximo ou mínimo. Para calcular as derivadas sucessivas de funções complexas, podemos proceder da mesma maneira que para funções reais. Podemos então afirmar que a derivada segunda da função
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção II está correta.
	d)
	Somente a opção I está correta.
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	2.
	A integral de uma função complexa que está parametrizada segue as mesmas propriedades de integração de funções reais. O valor da integral definida
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção I está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
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	3.
	O maior conjunto que conhecemos é o conjunto dos números complexos, cuja forma algébrica é dada por z = x + iy, na qual x é a parte real e y é a parte imaginária, podendo x e y serem iguais a zero; se x = 0, dizemos que z = iy é imaginário, e se y = 0 temos z = x um número real. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Se um número é real, sua parte imaginária é igual a zero. 
(    ) O conjugado de um número complexo é sempre o oposto dele. 
(    ) Se um número complexo não é imaginário, então ele é real. 
(    ) Um número imaginário pode ser real. 
(    ) Um número complexo pode ser imaginário.  
(    ) O conjugado de um número complexo é sempre real. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	a)
	V - F - V - F - V - F.
	b)
	V - V - F - F - F - V.
	c)
	F - F - V - V - V - F.
	d)
	F - V - V - F - V - F.
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	4.
	Para uma função complexa ser derivável, basta que a sua parte real e a sua parte imaginária tenham as derivadas parciais de primeira ordem contínua e que elas satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann. Sabendo que as equações de Cauchy-Riemann são
	
	a)
	Apenas a equação I de Cauchy-Riemann.
	b)
	Nenhuma das duas equações de Cauchy-Riemann.
	c)
	As duas equações de Cauchy-Riemann.
	d)
	Apenas a equação II de Cauchy-Riemann.
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	5.
	São muitas as técnicas utilizadas para encontrar a solução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, entre elas podemos citar séries e transformadas. Sobre o nome da técnica para resolver a EDO de segunda ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
	
	a)
	III - II - IV - I.
	b)
	IV - I - II - III.
	c)
	IV - I - III - II.
	d)
	I - IV - III - II.
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	6.
	As funções trigonométricas, mesmo avaliadas a números complexos, preservam as propriedades conhecidas, por exemplo, ser periódica.  Com relação às propriedades das funções trigonométricas, podemos afirmar que
	
	a)
	Somente a opção IV está correta.
	b)
	Somente a opção III está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção II está correta.
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	7.
	Uma equação diferencial ordinária é dita ser do segundo grau quando a sua maior derivada é de ordem 2. Um dos métodos de resolução de EDOs do segundo grau é utilizando a equação característica. Com relação a esse método, sobre o valor de Delta e a solução encontrada, associe os itens, utilizando o código a seguir:
	
	a)
	III - I - II.
	b)
	III - II - I.
	c)
	II - I - III.
	d)
	I - III - II.
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	8.
	Da mesma maneira que fazemos a composição de duas funções com variáveis reais, podemos também fazer a composição de duas funções com variáveis complexas. Então a composição
	
	a)
	Somente a opção I está correta.
	b)
	Somente a opção II está correta.
	c)
	Somente a opção III está correta.
	d)
	Somente a opção IV está correta.
Você não acertou a questão: Atenção! Está não é a resposta correta.
	9.
	Uma das aplicações de série de potência é encontrar a solução de uma equação diferencial ordinária. Utilizando a série de Maclariun para resolver a EDO
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou!
	10.
	A Transformada de Laplace tem a propriedade de ser invisível e as duas serem lineares. Essas duas características da transformada de Laplace são essenciais para as aplicações/resolução de EDOs. Utilizando a Transformada de Laplace, temos que a solução da EDO
	
	a)
	Somente a opção II está correta.
	b)
	Somente a opção IV está correta.
	c)
	Somente a opção I está correta.
	d)
	Somente a opção III está correta.