Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 1 “A estatística tem uma particularidade: pesquisamos para dizer algo significativo sobre o universo que elegemos, porém a pesquisa só será significativa se conhecermos suficientemente o universo para escolhermos adequadamente as variáveis e as condições de amostragem.” Instrutora: ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA End. : Rua Curuzú, 56 – Alto da Lapa Tel: 55 (11) 3831-1568/ 8109-7733 São Paulo -S.P e-mail: anabiazzi@uol.com.br CURRICULUM VITAE - RESUMIDO Arquiteta, graduada pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas. Pós – graduada em Engenharia de Avaliações e Perícias pela Universidade Santa Cecília -UNISANTA – Santos–SP. Mestre em Engenharia Civil e Urbana pela Escola Politécnica da USP.Profissional autônoma exercendo as mais diversas funções na área de Avaliações e Perícias de Engenharia. Vice- presidente do IBAPE/SP- Instituto Brasileiro de Avaliações e Perícias de Engenharia de São Paulo. Participação como relatora na elaboração da NORMA PARA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS do IBAPE/SP.Coordenadora do estudo “VALORES DE EDIFICAÇÕES DE IMÓVEIS URBANOS” do IBAPE/SP versão 2002.Integrante da Comissão de Estudos da ABNT - COBRACON no processo de revisão das Normas de Avaliações de Bens.Instrutora nos cursos de especialização versando sobre “Inferência Estatística Aplicada à Engenharia de Avaliações de Imóveis” ministrados para entidades e órgãos públicos e em cursos em cursos de pós - graduação “Latu Sensu” em Engenharia de Avaliações e Perícias AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 2 1 - Conceitos Gerais 1.1- A Natureza da Avaliação de um Bem Imóvel Do ponto de vista geral e pela definição contida na NBR (Norma Brasileira) -14.653 - PARTE 1: PROCEDIMENTOS GERAIS, a avaliação de um bem consiste na “análise técnica, realizada por Engenheiro de Avaliações, para identificar o valor de um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade, situação e data”. Sendo que: 3.6 bem: Coisa que tem valor, suscetível de utilização ou que pode ser objeto de direito, que integra um patrimônio 3.6.1 bem tangível: Bem identificado materialmente (ex.: imóveis, equipamentos, matérias-primas) 3.6.2 bem intangível: Bem não identificado materialmente (ex.: fundo de comércio, marcas e patentes) 1.2 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas técnicas brasileiras NBR 14653-2)) 1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos • Quanto ao uso: a) residencial; b) comercial; c) industrial; d) institucional; e) misto. • Quanto ao tipo do imóvel, entre outros: a) terreno (lote ou gleba); b) apartamento; c) casa; d) escritório (sala ou andar corrido); e) loja; f) galpão; g) vaga de garagem; h) misto; AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 3 i) hotéis e motéis; j) hospitais; k) escolas; l) cinemas e teatros; m) clubes recreativos; n) prédios industriais. • Quanto ao agrupamento dos imóveis: a) loteamento; b) condomínio de casas; c) prédio de apartamentos; d) conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos); e) conjunto de salas comerciais; f) prédio comercial; g) conjunto de prédios comerciais; h) conjunto de unidades comerciais; i) complexo industrial. 1.2.2 - Vistoria do bem avaliando Nenhuma avaliação poderá prescindir da vistoria. Em casos excepcionais, quando for impossível o acesso ao bem avaliando, admite-se a adoção de uma situação paradigma, desde que acordada entre as partes e explicitada no laudo. A vistoria deve ser efetuada pelo engenheiro de avaliações com o objetivo de conhecer e caracterizar o bem avaliando e sua adequação ao seu segmento de mercado, daí resultando condições para a orientação da coleta de dados. • É recomendável registrar as características físicas e de utilização do bem e outros aspectos relevantes à formação do valor. • O conhecimento de estudos, projetos ou perspectivas tecnológicas que possam vir a afetar o valor do bem avaliando deverá ser explicitado e suas conseqüências apreciadas. • Caracterização da região ― Aspectos gerais: análise das condições econômicas, políticas e sociais, quando relevantes para o mercado, inclusive usos anteriores atípicos ou estigmas. ― Aspectos físicos: condições de relevo, natureza predominante do solo e condições ambientais. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 4 ― Localização: situação no contexto urbano, com indicação dos principais pólos de influência. ― Uso e ocupação do solo: confrontar a ocupação existente com as leis de zoneamento e uso do solo do município, para concluir sobre as tendências de modificação a curto e médio prazo. ― Infra-estrutura urbana: sistema viário, transporte coletivo, coleta de resíduos sólidos, água potável, energia elétrica, telefone, redes de cabeamento para transmissão de dados, comunicação e televisão, esgotamento sanitário, águas pluviais e gás canalizado. ― Atividades existentes: comércio, indústria e serviço. ― Equipamentos comunitários: segurança, educação, saúde, cultura e lazer. • Caracterização do terreno ― Localização: situação na região e via pública, com indicação de limites e confrontações. ― Utilização atual e vocação, em confronto com a legislação em vigor. ― Aspectos físicos: dimensões, forma, topografia, superfície, solo. ― Infra-estrutura urbana disponível. ― Restrições físicas e legais ao aproveitamento. • Caracterização das edificações e benfeitorias ― Aspectos construtivos, qualitativos, quantitativos e tecnológicos, comparados com a documentação disponível. ― Aspectos arquitetônicos, paisagísticos e funcionais, inclusive conforto ambiental. ― Adequação da edificação em relação aos usos recomendáveis para a região. ― Condições de ocupação. • Situações especiais - Vistoria por amostragem Na avaliação de conjunto de unidades autônomas padronizadas, é permitida vistoria interna por amostragem aleatória de uma quantidade definida previamente pelas partes ou, se houver omissão no contrato, de um percentual mínimo de 10% do total das unidades de cada bloco ou conjunto de unidades de mesma tipologia. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 5 - Impossibilidade de vistoria Quando não for possível o acesso do avaliador ao interior do imóvel, o motivo deve ser justificado no laudo de avaliação. Neste caso, em comum acordo com o contratante, a vistoria interna pode ser prescindida e a avaliação pode prosseguir com base nos elementos que for possível obter ou fornecidos pelo contratante, tais como: a) descrição interna; b) no caso de apartamentos, escritórios e conjuntos habitacionais, a vistoria externa de áreas comuns, a vistoria de outras unidades do mesmo edifício e informações da respectiva administração; c) no caso de unidades isoladas, a vistoria externa. As considerações hipotéticas sobre o imóvel que configuram a situação paradigma, devem estar claramente explicitadas no laudo de avaliação. 1.2.3 Coleta de dados É recomendável que seja planejada com antecedência, tendo em vista: as características do bem avaliando, disponibilidade de recursos, informações e pesquisas anteriores, plantas e documentos, prazo de execução dos serviços, enfim, tudo que possa esclarecer aspectos relevantes para a avaliação. Aspectos Quantitativos É recomendável buscar a maior quantidade possível de dados de mercado, com atributos comparáveis aos do bem avaliando. Aspectos Qualitativos Na fase de coleta de dadosé recomendável: a) buscar dados de mercado com atributos mais semelhantes possíveis aos do bem avaliando; b) identificar e diversificar as fontes de informação, sendo que as informações devem ser cruzadas, tanto quanto possível, com objetivo de aumentar a confiabilidade dos dados de mercado; c) identificar e descrever as características relevantes dos dados de mercado coletados; d) buscar dados de mercado de preferência contemporâneos com a data de referência da avaliação. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 6 Planejamento da pesquisa No planejamento de uma pesquisa, o que se pretende é a composição de uma amostra representativa de dados de mercado de imóveis com características, tanto quanto possível, semelhantes às do avaliando, usando-se toda a evidência disponível. Esta etapa – que envolve estrutura e estratégia da pesquisa – deve iniciar-se pela caracterização e delimitação do mercado em análise, com o auxílio de teorias e conceitos existentes ou hipóteses advindas de experiências adquiridas pelo avaliador sobre a formação do valor. Na estrutura da pesquisa são eleitas as variáveis que, em princípio, são relevantes para explicar a formação de valor e estabelecidas as supostas relações entre si e com a variável dependente. A estratégia de pesquisa refere-se à abrangência da amostragem e às técnicas a serem utilizadas na coleta e análise dos dados, como a seleção e abordagem de fontes de Levantamento de dados de mercado O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas, contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais características econômicas, físicas e de localização. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 7 2 Métodos para identificar o valor de um bem, de seus frutos e direitos Método comparativo direto de dados de mercado Identifica o valor de mercado do bem por meio de tratamento técnico dos atributos dos elementos comparáveis, constituintes da amostra. Preferencialmente utilizado na busca do valor de mercado de terrenos, casas padronizadas, lojas, apartamentos, escritórios, armazéns, entre outros, sempre que houver dados semelhantes ao avaliando. Método involutivo Identifica o valor de mercado do bem, alicerçado no seu aproveitamento eficiente, baseado em modelo de estudo de viabilidade técnico-econômica, mediante hipotético empreendimento compatível com as características do bem e com as condições do mercado no qual está inserido, considerando-se cenários viáveis para execução e comercialização do produto. Utilizado no caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. Método evolutivo Identifica o valor do bem pelo somatório dos valores de seus componentes. Caso a finalidade seja a identificação do valor de mercado, deve ser considerado o fator de comercialização. Indicado para obter o valor de mercado no caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. É o caso de residências de alto padrão, galpões, entre outros. Método da capitalização da renda Identifica o valor do bem, com base na capitalização presente da sua renda líquida prevista, considerando-se cenários viáveis. Recomendado para empreendimentos de base imobiliária, tais como shopping-centers, hotéis. Escolha da metodologia A metodologia escolhida deve ser compatível com a natureza do bem avaliando, a finalidade da avaliação e os dados de mercado disponíveis. Para a identificação do valor de mercado, sempre que possível preferir o método comparativo direto de dados de mercado. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 8 2.1 Avaliação pelo Método Comparativo de Dados de Mercado O Método Comparativo Direto de Dados de Mercado é aquele que define o valor através da comparação com os preços de bens similares, que foram transacionados (vendidos, locados, etc...) recentemente, ou estão ofertados. As particularidades dos dados pesquisados que exercem influência na formação dos preços deverão ser ponderadas através de ajustes, ou pelo Tratamento por Fatores (Homogeneização) ou através de Tratamento Científico (inferência Estatística). 2.1.1. A Prática da Pesquisa Na utilização do Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. Como a população é, normalmente, inacessível na sua totalidade, utiliza-se uma amostra, cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional. É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores próximos à média aritmética. Entretanto, para previsão do valor de mercado de um imóvel, pelo Processo Comparativo, o pesquisador enfrenta dificuldades significativas, pelo fato de ser muito heterogêneo, e o resultado da pesquisa imobiliária é a obtenção de amostras heterogêneas, conseqüência do próprio fato de que o mercado brasileiro não se faz através de imóveis padronizados, ,as sim. diferenciado em função, principalmente, de fenômenos culturais, locacionais e socioeconômicos. Preços unitários homogêneos (difícil na pratica), indicam que, à priori, não devem existir atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado. Preços unitários heterogêneos indicam a possibilidade de haver um ou mais atributos que estão influenciando na formação dos preços deste mercado. Parte-se então para a identificação destes atributos. No início da pesquisa, é necessário um pré-estudo identificando inicialmente que variáveis possam influenciar os preços, mas, em muitos casos, a identificação de certos atributos só será possível durante contatos com os agentes do mercado. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 9 A aplicação adequada do método comparativo está fundamentada na metodologia da pesquisa científica, que se desenvolve através das seguintes fases: 1 - Preparação da pesquisa: 2 - Trabalho de campo; 3 - Processamento e análise dos dados: 4 - Interpretação e explicação dos resultados; 5 - Redação do laudo avaliatório. Portanto, a pesquisa abrange todo o processo avaliatório. Neste curso apresentam- se alguns conceitos básicos sobre as duas primeiras fases. As demais são objetos de outros cursos. 2.1.2 - Preparação da pesquisa Esta fase está vinculada diretamente ao planejamento da pesquisa. Nela se faz a escolha, definição e delimitação do problema em análise. Observa-se as teorias e abordagens a serem empregadas e os conceitos e hipóteses que devem ser levados em consideração. No planejamento da pesquisa imobiliária, o que se pretende é a composição de uma amostragem aleatória de valores de imóveis com características, tanto quanto possível, semelhantes às do avaliando. Cada dado coletado deve reunir condições de tal forma que possa ser considerado um evento representativo do mercado imobiliário na região de pesquisa. Em geral o avaliador conhece a priori as principais características influenciantes sobre o valor de um bem e em conseqüência a formulação das hipóteses de trabalho. Devido ao grande número de variáveis independentes (atributos dos imóveis) que teriam lugar num modelo explicativo do valor de um imóvel e a quantidade reduzida de dados que se trabalha na prática, tenta-se na fase de planejamentoda pesquisa, na medida do possível eliminar a presença de algumas destas variáveis. Por exemplo, na pesquisa de valores para avaliação de um lote urbano, geralmente limita-se a área de pesquisa à mesma região geo-econômica e ao mesmo zoneamento do terreno avaliando, evitando-se assim a presença de duas covariáveis no modelo. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 10 2.1.3 - Trabalho de campo - Levantamento de dados de mercado O trabalho de campo é uma das mais importantes fases do processo avaliatório. Nesta etapa, o engenheiro de avaliações investiga o mercado imobiliário e coleta dados e informações que servirão de base para a avaliação. O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas, contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais características econômicas, físicas e de localização. O levantamento dos elementos pode ser feito, utilizando-se principalmente: • no próprio local, com identificação de placas; • banco de dados existentes; • sites de internet; • empresas Imobiliárias; • corretores especializados; • anúncios de Jornais; • cartórios de Registro Geral de Imóveis; Todas estas fontes devem ser vistas com sua devida cautela. Um cuidado particular deve ser observado quando se tomar como referencia dados de cartórios, pois nem sempre o valor constante numa escritura de compra e venda é o efetivamente negociado. Assim. torna-se necessário verificar junto a um dos participantes da operação, o valor real da transação e confrontar suas informações com outras. Na entrevista com corretores de imóveis ou ofertantes, é de grande importância que o pesquisador se apresente como pessoa realmente interessada em adquirir o bem ofertado, sob pena de receber informações distorcidas ou até mesmo não receber informação alguma. Neste caso o avaliador pode apresentar contra-propostas, visando retirar a super-estimativa que normalmente acompanha o valor de oferta inicial. Informações de sites de internet, atualmente são importantes indicadores quanto à exposição de imóveis no mercado e podem auxiliar nas investigações. É AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 11 um mercado que está crescendo com tendência a serem os grandes formadores de bancos de dados. É importante a visita aos elementos tomados como referência, como forma de verificar todas as informações de interesse. Na própria visita ao campo, muitas vezes consegue-se referências importantes com moradores da própria região, ou pela verificação de placas indicativas da manifestação de comercializar o bem. É importante, também, que os dados coletados sejam de forma diversas, buscando o lado mais qualitativo do que quantitativo na composição da amostra, como forma das informações serem cruzadas, o que aumentará a confiabilidade dos dados levantados. Os dados de oferta são indicações importantes do valor de mercado. Entretanto, devem-se considerar superestimativas que em geral acompanham esses preços e, sempre que possível, quantificá-las pelo confronto com dados de transações. Na amostragem deve-se analisar o uso de informações que impliquem opiniões subjetivas do informante e recomenda-se: a) visitar cada imóvel tomado como referência, com o intuito de verificar, tanto quanto possível, todas as informações de interesse; b) atentar para os aspectos qualitativos e quantitativos; c) confrontar as informações das partes envolvidas, de forma a conferir maior confiabilidade aos dados coletados. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 12 2.2 - O Método Comparativo e a Avaliação de Imóveis Um Método de Avaliação deverá basear-se em um diagnóstico de mercado com a identificação de atributos influenciantes que podem ser expressos de forma quantitativa ou qualitativa. As características do bem em avaliação e do próprio mercado onde está inserido, a forma com que é transacionado e o tipo e volume de informação disponível, determinam a aplicabilidade de cada um dos métodos para se estimar o valor de mercado. Quando baseados em informações de um mercado aberto, destaca-se o método comparativo, o qual pode ser considerado como método eletivo quando houver número suficiente de elementos para compor uma amostra representativa. O critério de Aproximação de Mercado (Marketing Approach) foi no passado, a principal ferramenta de avaliação de imóveis e contemplava o principio de que: "Imóveis similares se venderão a preços similares" Para a sua aplicação bastava obter no mercado elementos comparáveis ou similares ao imóvel objeto de avaliação e não haviam problemas com este método - que era de fácil compreensão e perfeitamente válido - devido as condições de mercado e as ferramentas de cálculos existentes na época. Entretanto, com o passar dos anos e a evidente escassez de dados comparáveis, foi se tornando cada vez mais difícil obter uma amostra representativa de imóveis similares, quando, então, se passou a recorrer a um processo de “corrigir” ou homogeneizar os dados referenciais mediante expressões lógicas- matemáticas, geralmente empíricas, a fim de “ajustá-los” e torná-los semelhantes ao avaliando. As cidades cresceram e se diversificaram e com isto, veio a necessidade de empregar simultaneamente “vários fatores de correção” a uma serie de referenciais, os quais, por serem empíricos e subjetivos, passaram a afetar a exatidão dos cálculos do valor do imóvel. Com a acessibilidade aos computadores pessoais durante a segunda metade da década de oitenta e o advento de pacotes estatísticos, em particular aqueles de Regressão Linear que empregam o método dos Mínimos Quadrados, tornou-se possível utilizar essa técnica uma inovadora ferramenta para o cálculo do valor de bens. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 13 As técnicas de regressão múltipla surgiram como um aperfeiçoamento do método comparativo, já que os próprios referenciais se "auto-corrigem" entre si e constituem um modelo, sem necessidade de utilizar critérios subjetivos por parte do Engenheiro de Avaliações. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 14 2.3–Procedimentos Metodológicos em conformidade as Normas da ABNT 2.3.1- Breve histórico A Engenharia de Avaliações experimentou significativa e definitiva evolução a partir do ano de 1989, quando a Norma Brasileira para Avaliação de Imóveis Urbanos - NBR5676/1989 -, teve sua revisão concluída com grandes avanços em relação ao texto anterior - de 1979 -, reformulando conceitos fundamentais e concretizando o uso da inferência estatística como ferramenta de pesquisa científica e através da qual os trabalhos passaram a ter uma classificação de “nível rigoroso” e “rigoroso especial”. Os procedimentos utilizando o método cartesiano até aquele momento, norteados por formulações empíricas através de critérios numéricos dedutivos e racionais, pelos chamados “fatores de homogeneização”, não perderam sua utilidade e tiveram uma classificação com grau de rigor dito “normal”. Em 1991 entrou em vigor o Código de Defesa do Consumidor, que, por sua vez, tornou obrigatório o uso das normas técnicas brasileiras (art. 39, inciso VIII). Em meados de 1998, com o início de nova revisão, todas normas envolvendo avaliação de bens foram incorporadas numa única, que passou a sersubdividida em Partes de acordo com a natureza do bem. Esta norma denominada NBR- 14.653/01 e substituindo a anterior NBR 5676/89, teve a Parte 1 - Procedimentos Gerais, aprovada no ano de 2.001. A Parte 2, NBR-14.653-2, específica para Imóveis Urbanos, foi concluída com reformulações substanciais, especialmente quanto aos critérios para tratamento de dados, passando a ser denominados “tratamento por fatores” ou” tratamento científico” e os anteriormente denominados níveis de rigor (expedito, normal ou rigoroso), que passaram a ser substituídos por níveis de fundamentação e níveis de precisão e com classificações independentes ao tipo de tratamento empregado nos dados. A metodologia científica para tratamento dos dados com base na inferência estatística é referenciada pelas normas técnicas, como uma das alternativas de aplicação do método comparativo direto e por isso será o enfoque principal desta apostila. No método comparativo direto, pela própria designação, o valor do imóvel é obtido diretamente, pela comparação com imóveis similares. Neste sentido, é condição AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 15 fundamental a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado estatisticamente, como amostra representativa do mercado imobiliário. Se a qualidade da pesquisa de mercado (ou da amostra) é fundamental, o processo de tratamento dos dados que a compõem, pode ser o fator determinante na avaliação de um bem. Os preços dos imóveis, por natureza são heterogêneos – se fossem homogêneos, o que dificilmente acontece, não existiriam variações e a avaliação poderia ser feita simplesmente pela média de preços - o que implica na necessidade de estabelecer relações que expliquem essas variações. 2.3.2- Tratamento dos dados É recomendável, preliminarmente, a sumarização das informações obtidas sob a forma de gráficos que mostrem as distribuições de freqüência para cada uma das variáveis, bem como as relações entre elas. Nesta etapa, verificam-se o equilíbrio da amostra, a influência das possíveis variáveis-chave sobre os preços e a forma de variação, possíveis dependências entre elas, identificação de pontos atípicos, entre outros. Assim, pode-se confrontar as respostas obtidas no mercado com as crenças a priori do engenheiro de avaliações, bem como permitir a formulação de novas hipóteses. Os dados devem ser tratados para obtenção de modelos de acordo com a metodologia escolhida. No tratamento dos dados podem ser utilizados, alternativamente e em função da qualidade e da quantidade de dados e informações disponíveis: − Tratamento por fatores: homogeneização por fatores e critérios, fundamentados por estudos e posterior análise estatística dos resultados homogeneizados. − Tratamento científico: tratamento de evidências empíricas pelo uso de metodologia científica que leve à indução de modelo validado para o comportamento do mercado. Deve-se levar em conta que qualquer modelo é uma representação simplificada do mercado, uma vez que não considera todas as suas informações. Por isso, precisam ser tomados cuidados científicos na sua elaboração, desde a preparação da pesquisa e o trabalho de campo, até o exame final dos resultados. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 16 O poder de predição do modelo deve ser verificado a partir do gráfico de preços observados na abscissa versus valores estimados pelo modelo na ordenada, que deve apresentar pontos próximos da bissetriz do primeiro quadrante. Alternativamente, podem ser utilizados procedimentos de validação. No Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. A população geralmente é inacessível na sua totalidade, utilizando-se uma amostra, cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional. É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores próximos à média aritmética. Preços unitários homogêneos (difícil na pratica) indicam que, à priori, devem existir poucos atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado, ou se necessário, utilizando-se fatores de ajustes com pouca influencia. No Processo Comparativo, portanto, a amostra deve ser representativa de forma a permitir construir um modelo que permita estimar o valor médio populacional e prever valor médio do imóvel avaliando. A figura a seguir ilustra a diferença entre aplicar fatores e utilizar análise de regressão (no exemplo é considerada uma variável explicativa, ou seja, Valor/m2 versus Frente). AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 17 Tratamento por fatores: utiliza-se "fatores" empíricos para ajustar os dados de mercado à média, ou seja, são efetuadas transformações matemáticas que expressem, em termos relativos, as diferenças entre os atributos dos dados de mercado e os do bem avaliando, que é estimado pela média ajustada pelos fatores. Tratamento por análise de regressão linear: procura-se encontrar a média que mais se aproxima dos dados de mercado, ou seja, as diferenças dos atributos dos dados da pesquisa são ajustados com base na própria amostra, onde é possível construir um modelo e com ele prever o valor médio do bem avaliando AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 18 2.4– Especificação das Avaliações A especificação de uma avaliação está relacionada tanto com o empenho do engenheiro de avaliações, como com o mercado e as informações que possam ser dele extraídas. O estabelecimento inicial pelo contratante do grau de fundamentação desejado tem por objetivo a determinação do empenho no trabalho avaliatório, mas não representa garantia de alcance de graus elevados de fundamentação. Quanto ao grau de precisão, este depende exclusivamente das características do mercado e da amostra coletada e, por isso, não é passível de fixação a priori. As avaliações serão especificadas quanto a fundamentação e precisão, guardado o critério geral de atribuir graus em ordem numérica e crescente, onde o Grau I é o menor: A fundamentação será função do aprofundamento do trabalho avaliatório, com o envolvimento da seleção da metodologia em razão da confiabilidade, qualidade e quantidade dos dados amostrais disponíveis. A precisão será estabelecida quando for possível medir o grau de certeza e o nível de erro tolerável numa avaliação. Depende da natureza do bem, do objetivo da avaliação, da conjuntura de mercado, da abrangência alcançada na coleta de dados (quantidade, qualidade e natureza), da metodologia e dos instrumentos utilizados. No caso de informações insuficientes para a utilização dos métodos previstos no item 8.1.2 da NBR 14653-1, o trabalho não deve ser classificado quanto à fundamentação e à precisão e deve ser considerado parecer técnico, como definido em 3.34 da NBR 14653-1. Os laudos de uso restrito, conforme 10.3 da NBR 14653-1:2001, podem ser dispensados de especificação, em comum acordo entre as partes. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 19 Graus de fundamentação Tabela 1 – Graus de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear Ite m Descrição Grau III II I 1 Caracterização do imóvel avaliando Completa quanto a todas as variáveis analisadas Completa quanto às variáveis utilizadas no modelo Adoção de situação paradigma 2 Coleta de dados de mercado Características conferidas pelo autordo laudo Características conferidas por profissional credenciado pelo autor do laudo Podem ser utilizadas características fornecidas por terceiros 3 Quantidade mínima de dados de mercado, efetivamente utilizados 6 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes 4 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes 3 (k+1), onde k é o número de variáveis independentes 4 Identificação dos dados de mercado Apresentação de informações relativas a todos os dados e variáveis analisados na modelagem, com foto Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis efetivamente utilizados no modelo Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis efetivamente utilizados no modelo 5 Extrapolação Não admitida Admitida para apenas uma variável, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando não sejam superiores a 100% do limite amostral superior, nem inferiores à metade do limite amostral inferior b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado no limite da fronteira amostral, para a referida variável Admitida, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando não sejam superiores a 100% do limite amostral superior, nem inferiores à metade do limite amostral inferior b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado no limite da fronteira amostral, para as referidas variáveis, simultaneamente 6 Nível de significância (somatório do valor das duas caudas) máximo para a rejeição da hipótese nula de cada regressor (teste bicaudal) 10% 20% 30% 7 Nível de significância máximo admitido nos demais testes estatísticos realizados 1% 5% 10% 9.2.1.1 Para atingir o grau III, são obrigatórias: a) apresentação do laudo na modalidade completa; AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 20 b) discussão do modelo, verificadas a coerência da variação das variáveis em relação ao mercado, bem como suas elasticidades no ponto de estimação. 9.2.1.2 A utilização de códigos alocados no modelo de regressão implica a obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação. 9.2.1.3 A utilização de tratamento prévio por fatores de homogeneização, para a transformação de variáveis em modelos de regressão, implica a obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação. 9.2.1.4 Para fins de enquadramento global do laudo em graus de fundamentação, devem ser considerados os seguintes critérios: a) na tabela 1, identificam-se três campos (graus III, II e I) e sete itens; b) o atendimento a cada exigência do grau I terá um ponto; do grau II, dois pontos; e do grau III, três pontos; c) o enquadramento global do laudo deve considerar a soma de pontos obtidos para o conjunto de itens, atendendo à tabela 2. Tabela 2 – Enquadramento dos laudos segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear Graus III II I Pontos Mínimos 18 11 7 Itens obrigatórios no grau correspondente 3, 5, 6 e 7, com os demais no mínimo no grau II 3, 5, 6 e 7 no mínimo no grau II 1 Todos, no mínimo no grau I Graus de precisão no caso de utilização de modelos de regressão linear Tabela 3 - Grau de precisão da estimativa do valor no caso de utilização de modelos de regressão linear Descrição Grau III II I Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa ≤30% 30%-50% >50% a) Nota: Observar 9.1 a 9.3 desta Norma. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 21 Grau de fundamentação no caso de utilização do tratamento por fatores Item Descrição Grau III II I 1 Caracterização do imóvel avaliando Completa quanto a todos os fatores analisados Completa quanto aos fatores utilizados no tratamento Adoção de situação paradigma 2 Coleta de dados de mercado Características conferidas pelo autor do laudo Características conferidas por profissional credenciado pelo autor do laudo Podem ser utilizadas características fornecidas por terceiros 3 Quantidade mínima de dados de mercado, efetivamente utilizados 12 5 3 4 Identificação dos dados de mercado Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados analisadas, com foto Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados analisadas Apresentação de informações relativas a todas as características dos dados correspondentes aos fatores utilizados Extrapolação conforme B.5.2 do Anexo B Não admitida Admitida para apenas uma variável Admitida 5 Intervalo admissível de ajuste para o conjunto de fatores 0,90 a 1,10 0,80 a 1,20 0,50 a 1,50 Notas: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. (*) No caso de utilização de menos de 5 dados de mercado, o intervalo admissível de ajuste é de 0,80 a 1,25, pois é desejável que, com um número menor de dados de mercado, a amostra seja menos heterogênea. Tabela 4 – Enquadramento do laudo segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de tratamento por fatores Graus III II I Pontos Mínimos 13 8 5 Itens obrigatórios Itens 2, 4 e 5 no grau III, com os demais no mínimo no grau II Itens 2, 4 e 5 no mínimo no grau II e os demais no mínimo no grau I 2 todos, no mínimo no grau I 3 Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. Tabela 5 - Grau de precisão da estimativa de valor nos casos de utilização de modelos de regressão linear ou do tratamento por fatores Descrição Grau III II I Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa ≤30% 30%-50% >50% Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 22 1.3 - PROCEDIMENTOS PARA A UTILIZAÇÃO DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR – EXIGÊNCIAS DA ABNT NBR 14653-2 Anexo A (normativo) A.1 Introdução A.1.1 A técnica mais utilizada quando se deseja estudar o comportamento de uma variável dependente em relação a outras que são responsáveis pela variabilidade observada nos preços é a análise de regressão. A.1.2 No modelo linear para representar o mercado, a variável dependente é expressa por uma combinação linear das variáveis independentes, em escala original ou transformadas, e respectivas estimativas dos parâmetros populacionais, acrescida de erro aleatório, oriundo de variações do comportamento humano – habilidades diversas de negociação, desejos, necessidades, compulsões, caprichos, ansiedades, diferenças de poder aquisitivo, entre outros – imperfeições acidentais de observação ou de medida e efeitos de variáveis irrelevantes não incluídas no modelo. A.1.3 Com base em uma amostra extraída do mercado, os parâmetros populacionais são estimados por inferência estatística. A.1.4 Na modelagem, devem ser expostas as hipóteses relativas aos comportamentos das variáveis dependentes e independentes, com base no conhecimento que o engenheiro de avaliações tem a respeito do mercado, quando serão formuladas as hipóteses nula e alternativa para cada parâmetro. A.2 Pressupostos básicos A.2.1 Ressalta-se a necessidade, quando se usam modelos de regressão, de observar os seus pressupostos básicos, apresentados a seguir, principalmente no que concerne à sua especificação, normalidade, homocedasticidadede, não- multicolinearidade, não-autocorrelação, independência e inexistência de pontos atípicos, com o objetivo de obter avaliações não-tendenciosas, eficientes e consistentes: a) para evitar a micronumerosidade, o número mínimo de dados efetivamente utilizados (n) no modelo deve obedecer aos seguintes critérios, com respeito ao número de variáveis independentes (k): n ≥ 3 (k+1) ni ≥ 5, até duas variáveis dicotômicas ou três códigos alocados para a mesmacaracterística; AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 23 ni ≥ 3, para 3 ou mais variáveis dicotômicas ou quatro ou mais códigos alocados para a mesma característica onde ni é o número de dados de mesma característica, no caso de utilização de variáveis dicotômicas ou de códigos alocados, ou número de valores observados distintos para cada uma das variáveis quantitativas; b) os erros são variáveis aleatórias com variância constante, ou seja, homocedásticos; c) os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal; d) os erros são não-autocorrelacionados, isto é, são independentes sob a condição de normalidade; e) não devem existir erros de especificação no modelo, isto é, todas as variáveis importantes devem estar incorporadas – inclusive as decorrentes de interação – e nenhuma variável irrelevante deve estar presente no modelo; f) em caso de correlação linear elevada entre quaisquer subconjuntos de variáveis independentes, isto é, multicolinearidade, deve-se examinar a coerência das características do imóvel avaliando com a estrutura de multicolinearidade inferida, vedada a utilização do modelo em caso de incoerência; g) não deve existir nenhuma correlação entre o erro aleatório e as variáveis independentes do modelo. h) possíveis pontos influenciantes, ou aglomerados deles, devem ser investigados e sua retirada fica condicionada à apresentação de justificativas. A.2.2 Verificação dos pressupostos do modelo A.2.2.1 Linearidade Deve ser analisado, primeiramente, o comportamento gráfico da variável dependente em relação a cada variável independente, em escala original. Isto pode orientar o avaliador na transformação a adotar. Existem formas estatísticas de se buscar a transformação mais adequada, como, por exemplo, os procedimentos de Box e Cox. As transformações utilizadas para linearizar o modelo devem, tanto quanto possível, refletir o comportamento do mercado, com preferência pelas transformações mais simples de variáveis, que resultem em modelo satisfatório. Após as transformações realizadas, se houver, examina-se a linearidade do modelo, pela construção de gráficos dos valores observados para a variável dependente versus cada variável independente, com as respectivas transformações. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 24 A.2.2.2 Normalidade A verificação da normalidade pode ser realizada, entre outras, por uma das seguintes formas: a) pelo exame de histograma dos resíduos amostrais padronizados, com o objetivo de verificar se sua forma guarda semelhança com a da curva normal; b) pela análise do gráfico de resíduos padronizados versus valores ajustados, que deve apresentar pontos dispostos aleatoriamente, com a grande maioria situados no intervalo [-2;+2 ]. c) pela comparação da freqüência relativa dos resíduos amostrais padronizados nos intervalos de [-1;+1], [-1,64;+1,64 ] e [-1,96;+1,96 ], com as probabilidades da distribuição normal padrão nos mesmos intervalos, ou seja, 68%, 90% e 95%; d) pelo exame do gráfico dos resíduos ordenados padronizados versus quantis da distribuição normal padronizada, que deve se aproximar da bissetriz do primeiro quadrante; e) pelos testes de aderência não-paramétricos, como, por exemplo, o qui- quadrado, o de Kolmogorov-Smirnov ajustado por Stephens e o de Jarque-Bera. A.2.2.3 Homocedasticidade A verificação da homocedasticidade pode ser feita, entre outros, por meio dos seguintes processos: a) análise gráfica dos resíduos versus valores ajustados, que devem apresentar pontos dispostos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido; b) pelos testes de Park e de White. A.2.2.4 Verificação da autocorrelação O exame da autocorrelação deve ser precedido pelo pré-ordenamento dos elementos amostrais, em relação a cada uma das variáveis independentes possivelmente causadoras do problema ou em relação aos valores ajustados. Sua verificação pode ser feita: a) pela análise do gráfico dos resíduos cotejados com os valores ajustados, que deve apresentar pontos dispersos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido; b) pelo Teste de Durbin-Watson, considerando o pré-ordenamento anteriormente citado. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 25 A.2.2.5 Colinearidade ou multicolinearidade A.2.2.5.1 Uma forte dependência linear entre duas ou mais variáveis independentes provoca degenerações no modelo e limita a sua utilização. As variâncias das estimativas dos parâmetros podem ser muito grandes e acarretar a aceitação da hipótese nula e a eliminação de variáveis fundamentais. A.2.2.5.2 Para verificação da multicolinearidade deve-se, em primeiro lugar, analisar a matriz das correlações, que espelha as dependências lineares de primeira ordem entre as variáveis independentes, com atenção especial para resultados superiores a 0,80. Como também é possível ocorrer multicolinearidade, mesmo quando a matriz de correlação apresenta coeficientes de valor baixo, recomenda-se, também, verificar o correlacionamento de cada variável com subconjuntos de outras variáveis independentes, por meio de regressões auxiliares. A.2.2.5.3 Para tratar dados na presença de multicolinearidade, é recomendável que sejam tomadas medidas corretivas, como a ampliação da amostra ou adoção de técnicas estatísticas mais avançadas, a exemplo do uso de regressão de componentes principais. A.2.2.5.4 Nos casos em que o imóvel avaliando segue os padrões estruturais do modelo, a existência de multicolinearidade pode ser negligenciada, desde que adotada a estimativa pontual. A.2.2.6 Pontos influenciantes ou outliers A existência desses pontos atípicos pode ser verificada pelo gráfico dos resíduos versus cada variável independente, como também em relação aos valores ajustados, ou usando técnicas estatísticas mais avançadas, como a estatística de Cook para detectar pontos influenciantes. A.3 Testes de significância A.3.1 A significância individual dos parâmetros das variáveis do modelo deve ser submetida ao teste t de Student, em conformidade com as hipóteses estabelecidas quando da construção do modelo. A.3.2 A hipótese nula do modelo deve ser submetida ao teste F de Snedecor e rejeitada ao nível máximo de significância de 1%. A.3.3 A significância de subconjuntos de parâmetros, quando pertinente, pode ser testada pela análise da variância particionada, com a utilização do teste da razão de verossimilhança. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 26 A.3.4 Os níveis de significância utilizados nos testes citados nesta subseção serão compatíveis com a especificação da avaliação. A.4 Poder de explicação Em uma mesma amostra, a explicação do modelo pode ser aferida pelo seu coeficiente de determinação. Devido ao fato de que este coeficiente sempre cresce com o aumento do número de variáveis independentes e não leva em conta o número de graus de liberdade perdidos a cada parâmetro estimado, é recomendável considerar também o coeficiente de determinação ajustado. A.5 Campo de arbítrio O campo de arbítrio corresponde à semi-amplitude de 15% em torno da estimativa pontual adotada. Caso não seja adotada a estimativa pontual, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha. A.6 Códigos alocados Recomenda-se considerar tantas variáveis dicotômicas quantas forem necessárias para descrever as diferenças qualitativas, em lugar da utilização de códigos alocados, especialmente quando a quantidade de dados é abundante e pode-se preservar os graus de liberdade necessários à modelagem estatística, definidos nesta Norma. A utilização de códigos alocados é tolerada nos seguintes casos, na seguinte ordem de prioridade: a) quando seus valores são extraídos daamostra com a utilização de variáveis dicotômicas; b) quando são utilizados números naturais em ordem crescente das características possíveis, com valor inicial igual a 1, sem a utilização de transformações, ou seja, na escala original. A.7 Diferentes agrupamentos No caso de utilização no mesmo modelo de regressão de diferentes agrupamentos (tipologia, mercados, localização, usos etc.), recomenda-se verificar a independência entre os agrupamentos, entre as variáveis utilizadas e possíveis interações entre elas. A.8 Apresentação do modelo A variável dependente no modelo de regressão deve ser apresentada no laudo na forma não transformada. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 27 Procedimentos para a utilização de tratamento por fatores Anexo B (normativo) B.1 Neste tratamento de dados, aplicável ao Método Comparativo Direto de Dados de Mercado, é admitida a priori a validade da existência de relações fixas entre os atributos específicos e os respectivos preços. B.1.1 Para isso, são utilizados fatores de homogeneização calculados conforme 8.2.1.4.2, por metodologia científica, que reflitam, em termos relativos, o comportamento do mercado com determinada abrangência espacial e temporal. B.2 É recomendável que sejam utilizados dados de mercado: a) com atributos mais semelhantes possíveis aos do imóvel avaliando; b) que sejam contemporâneos. Nos casos de exame de dados não contemporâneos, é desaconselhável a atualização do mercado imobiliário através de índices econômicos, quando não houver paridade entre eles, devendo, neste caso, o preço ser atualizado mediante consulta direta à fonte. Quando a atualização na forma mencionada for impraticável, só será admitida a correção dos dados por índices resultantes de pesquisa no mercado. B.2.1 Para a utilização deste tratamento, considera-se como dado de mercado com atributos semelhantes aqueles em que cada um dos fatores de homogeneização, calculados em relação ao avaliando, estejam contidos entre 0,50 e 1,50. B.2.2 O preço homogeneizado, resultado da aplicação de todos os fatores de homogeneização ao preço original, deve estar contido no intervalo de 0,50 a 1,50. B.3 Após a homogeneização, devem ser utilizados critérios estatísticos consagrados de eliminação de dados discrepantes, para o saneamento da amostra. B.4 O campo de arbítrio corresponde ao intervalo compreendido entre o valor máximo e mínimo dos preços homogeneizados efetivamente utilizados no tratamento, limitado a 10% em torno do valor calculado. Caso não seja adotado o valor calculado, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha. B.5 Os fatores de homogeneização devem apresentar, para cada tipologia, os seus critérios de apuração e respectivos campos de aplicação, bem como a abrangência regional e temporal. B.5.1 Os fatores de homogeneização não podem ser utilizados fora de sua tipologia, campo de aplicação e abrangências regional e temporal. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 28 B.5.2 As características quantitativas, ou expressas por variáveis proxy, do imóvel avaliando não devem ultrapassar em 50%, para mais ou para menos, respectivamente, os limites superior e inferior observados na amostra. Para as demais características qualitativas é vedada a extrapolação em relação aos limites amostrais. B.5.3 A fonte dos fatores utilizados na homogeneização deve ser explicitada no trabalho avaliatório. B.6 Os fatores de homogeneização que resultem em aumento da heterogeneidade dos valores não devem ser utilizados. 1.2.5- Apresentação do laudo de avaliação 1.2.5.1 Requisitos mínimos O laudo de avaliação deverá conter, no mínimo, as informações abaixo relacionadas: a) identificação da pessoa física ou jurídica e/ou seu representante legal que tenha solicitado o trabalho; b) objetivo da avaliação; c) identificação e caracterização do bem avaliando; d) indicação do(s) método(s) utilizado(s), com justificativa da escolha; e) especificação da avaliação; f) resultado da avaliação e sua data de referência; g) qualificação legal completa e assinatura do(s) profissional(is) responsável(is) pela avaliação; h) local e data do laudo; i) outras exigências previstas nas demais partes desta Norma. 1.2.5.2 Modalidades O laudo de avaliação pode ser apresentado nas seguintes modalidades: a) Simplificado – contém de forma sucinta as informações necessárias ao seu entendimento. b) Completo – contém todas as informações necessárias e suficientes para ser auto-explicável. 1.2.5.3 Laudo de avaliação de uso restrito Obedece a condições específicas pré combinadas entre as partes contratantes, não tendo validade para outros usos ou exibição para terceiros. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 29 Modelagem CAPÍTULO 2 2.1 – A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA APLICADA NA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS As recomendações explicitadas na Norma Brasileira de Avaliação de Imóveis Urbanos visando à utilização da inferência estatística na Engenharia de Avaliações, com algumas exceções, têm sido particularmente voltadas, até o momento, para a utilização da Regressão Linear no cálculo do valor do imóvel. Atualmente a aplicação dessas técnicas estatísticas é bastante facilitada graças ao avanço tecnológico dos computadores que tornou os cálculos relativamente fáceis e originaram vasta disposição de programas aplicativos, em particular aqueles de Regressão Linear que empregam o Método dos Mínimos Quadrados, mas isso não é condição suficiente, pois sua aplicação não pode prescindir do julgamento crítico e de sólidos conhecimentos do mercado imobiliário por parte do engenheiro de avaliações. 2.2 – CONCEITOS DE MODELO Usando dos conceitos introduzidos por Orlando Carneiro de Matos, in Econometria Básica Teoria e Aplicações, a palavra modelo, de modo geral, pode ser entendida como representação simplificada da realidade, estruturada de forma tal que permita compreender o funcionamento total ou parcial dessa realidade ou fenômeno. Num sentido mais restrito, modelo, é uma representação formal de idéias ou conhecimentos acerca de um fenômeno. Essas idéias (chamadas teorias) expressam-se por um conjunto de hipóteses sobre os elementos essenciais do fenômeno e das leis que os regem, as quais geralmente se traduzem sob a forma de um sistema de equações matemáticas. As definições introduzidas na NBR14653-1, de forma resumida, endossam esses conceitos, ou seja: “3.31 modelo: Representação técnica da realidade”. e “3.32 modelo de regressão: Modelo utilizado para representar determinado fenômeno, com base numa amostra, considerando-se as diversas características influenciantes”. Os modelos, de uma forma geral, podem ser puramente teóricos ou econométricos. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 30 Modelos Teóricos são aqueles que expressam leis de mercado sem necessariamente conter a especificação efetiva da forma matemática nem a enumeração exaustiva das variáveis que o compõem. Modelos Econométricos são aqueles que necessariamente contêm as especificações (forma matemática e definição das variáveis) para aplicação empírica, além de incorporar um termo residual com a finalidade de levar em conta variáveis ou outros elementos, que, por alguma razão, não puderam ser considerados explicitamente. A montagem de um modelo é sempre um processo interativo e geralmente requer o uso da evidência empírica dos dados e do conhecimento do mercado analisado. Mesmo contendo os elementos que permitam sua operacionalização, os modelos probabilísticos não admitem relações exatas em virtude da não-inclusão de todas as variáveis que determinam o comportamento do fenômeno e deerros de medidas das variáveis. Constituem uma formulação incompleta da realidade em face da impossibilidade de um modelo abranger todos os fatores que determinam ou condicionam o comportamento do mercado imobiliário, contrastando com os modelos determinísticos que supõem a existência de variáveis que satisfazem exatamente as equações matemáticas. Em um campo tão vasto como o do mercado imobiliário, modelos que simplifiquem a compreensão da realidade, mas que ao mesmo tempo possuam a abrangência suficiente para que os principais fatores intervenientes e suas interações estejam claramente identificados, são de extrema importância. 2.3- OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS Os métodos estatísticos, de um modo geral, envolvem a análise e a interpretação de dados observados em um fenômeno. O conjunto de observações colhidas constitui-se na amostra (no caso específico da avaliação de imóveis, na pesquisa de mercado) e o grupo todo de elementos do qual ela foi extraída, é designado por população. A parte estatística referente a coleta, a sumarização e a descrição dos dados refere-se a estatística descritiva. Compreende a organização e o resumo dos mesmos, bem como análise e interpretações numéricas e gráficas, envolvendo cálculo de medidas, tais como, a média, a mediana, o desvio padrão, etc. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 31 A inferência estatística, por sua vez, envolve a formulação de certos julgamentos (ou conclusões) sobre um todo, após examinar apenas uma parte, ou amostra, dele. Para que a inferência estatística seja válida, a amostra deve ser representativa da população, e a probabilidade do erro, ser especificada. Deste modo, a inferência estatística envolve um raciocínio indutivo: argumentação do específico - amostra - para o geral - população - , no qual impõe-se que obedeça algum modelo de probabilidade. Na prática, o processo de inferência consiste em investigar a forma e o grau das relações entre as observações colhidas em amostras, que se supõem estarem interligadas de alguma maneira e, a partir delas, construir modelos. O modelo escolhido deve satisfazer os pressupostos básicos determinado por um conjunto de testes de hipóteses e, dentro de intervalos de confiança, conferir validade às predições das probabilidades estabelecidas. A abordagem é feita pela análise de regressão, pelo método dos mínimos quadrados. A aplicação do método dos mínimos quadrados, considerando exemplificativamente duas variáveis (Yi, Xi), consiste em encontrar, a partir dos dados amostrais as estimativas para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Yi por unidade de variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos) sejam mínimos. Conceitos de uma equação de regressão (4 elementos básicos): - variáveis : dependente (Y) independentes (X1, X2,...Xn) que podem ser qualitativas ou quantitativas; - relações (ou equações): descrevem o comportamento investigado (no caso o de mercado imobiliário) através de uma função linear (ou linearizáveis): - parâmetros: são as magnitudes das relações (B0, B1, ...,Bn); - termo aleatório ou erro (resíduos): incluído na análise de regressão para contemplar erros devidos a não consideração na regressão de variáveis de importância menor (já que o propósito do modelo é generalizar e simplificar as relações apenas das causas mais importantes), levar em conta o efeito de possíveis erros de medidas ou informações e para captar a imprevisibilidade do comportamento humano, inerentemente aleatório. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 32 Identificação das variáveis do modelo (item 8.2.1.2 da NBR 14653-2) 8.2.1.2.1 Variável dependente Para a especificação correta da variável dependente, é necessária uma investigação no mercado em relação à sua conduta e às formas de expressão dos preços (por exemplo, preço total ou unitário, moeda de referência, formas de pagamento), bem como observar a homogeneidade nas unidades de medida. 8.2.1.2.2 Variáveis independentes As variáveis independentes referem-se às características físicas (por exemplo: área, frente), de localização (como bairro, logradouro, distância a pólo de influência, entre outros) e econômicas (como oferta ou transação, época e condição do negócio – à vista ou a prazo). Sempre que possível, recomenda-se a adoção de variáveis quantitativas. As diferenças qualitativas das características dos imóveis podem ser especificadas na seguinte ordem de prioridade: a) por meio de codificação, com o emprego de variáveis dicotômicas (por exemplo: aplicação de condições booleanas do tipo “maior do que” ou “menor do que”, “sim” ou “não”); b) pelo emprego de variáveis proxy (por exemplo: padrão construtivo expresso pelo custo unitário básico); c) por meio de códigos alocados (por exemplo: padrão construtivo baixo igual a 1, normal igual a 2 e alto igual a 3). DEFINIÇÕES BNR 14.653-1 3.63 variáveis-chave: Variáveis que, a priori e tradicionalmente, são importantes para a formação do valor do imóvel. 3.64 variáveis independentes: Variáveis que dão conteúdo lógico à formação do valor do imóvel objeto da avaliação. 3.65 variáveis qualitativas: Variáveis que não podem ser medidas ou contadas, mas apenas ordenadas ou hierarquizadas, de acordo com atributos inerentes ao bem (por exemplo: padrão construtivo, estado de conservação, qualidade do solo). 3.66 variáveis quantitativas: Variáveis que podem ser medidas ou contadas (por exemplo: área privativa, número de quartos, número de vagas de garagem). 3.67 variável dependente: Variável que se pretende explicar pelas variáveis independentes. 3.68 variável dicotômica: Variável que assume apenas dois valores. 3.69 variável proxy: Variável utilizada para substituir outra de difícil mensuração e que se presume guardar com ela relação de pertinência. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 33 Conceitos Básicos da Inferência Estatística CAPÍTULO 3 3.1- ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS Freqüentemente, um conjunto de dados pode reduzir-se a uma ou algumas medidas que resumem todo o conjunto. Duas são as características importantes dos dados, que as medidas numéricas podem evidenciar: - 1o) o valor central ou mais típico do conjunto - 2o) a dispersão dos números 3.1.1- Medidas de Tendência Central As medidas da tendência central são indicadores que permitem que se tenha uma primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento. Essencialmente, elas informam o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória que ocorrem com a maior freqüência. Uma medida de tendência central é um valor no centro ou no meio de um conjunto de dados. Existem três medidas básicas que refletem a tendência central de uma distribuição de freqüências, sendo elas: a média, a mediana e a moda. A média A média de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de casos. De modo geral a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas. A média pode expressar-se como x (x barra) se o conjunto de valores é uma amostra; se todos os valores da população estão presentes, a média é expressa por μ (letra grega mu). Logo, a média de uma amostra de 70, 90 e 110, é: A mediana A mediana de um conjunto de dados é o valor da variável aleatória a partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra abaixo, indicando, portanto, o valor do meio quando os dados estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente). Se o número de elementos é impar, a mediana é o meio, se o número é par a média dos dois valoresdo meio. A moda A moda de um conjunto de dados é o evento ou categoria de eventos que ocorre com maior freqüência,indicando o valor ou categoria mais provável. Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência máxima, cada um deles é uma moda, e o conjunto se diz bimodal; se mais de dois valores, o conjunto é multimodal. n xMédia ∑= 903 1109070 = ++ = − x AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 34 Sequem alguns exemplos: Média Mediana Moda M (2, 3, 3, 4) M=3 Me=3 Mo=3 M (1,18,19,40) M=19,50 Me=18,50 Mo= não tem M (1,2,3,3,3,7,7,7,11,20) M=6,4 Me=5 Mo=3 e 7 M (9,10,80,80,100) M=55,80 Me=80 Mo=80 A melhor medida de tendência central As diversas medidas de tendência central têm diferentes vantagens e desvantagens, algumas das quais resumidas na tabela abaixo. Uma vantagem importante da média é que leva em conta todos os valores, mas a grande desvantagem é que às vezes pode ser seriamente afetada por valores extremos. Definição Leva em conta todos os valores? Afetada pelos valores extremos? Vantagens Média Soma dos valores dividido pelo número de valores Sim Sim Funciona bem com muitos métodos estatísticos Mediana Valor do meio Não Não Costuma ser boa escolha se há alguns valores extremos Moda Valor mais freqüente Não Não Apropriada para dados de nível nominal Assimetria Em distribuições de freqüência que refletem uma distribuição de probabilidade mais simétrica, como é o caso da Curva Normal, as três medidas convergem para um mesmo resultado. Em distribuições assimétricas, como o caso da Exponencial, as medidas divergem significativamente. A comparação da média, mediana e moda pode nos dizer algo sobre a característica da assimetria, conforme mostrado nas figuras abaixo. Fig. 2 - Assimetria MÉDIA MODA MEDIANA MODA MÉDIA MEDIANA MÉDIA MODA MEDIANA Negativamente Assimétrica: a Média e a Mediana estão à esquerda da Moda . Positivamente Assimétrica: a Média e a Mediana estão à direita da Moda . Simétrica: a Média, a Moda e a Mediana coincidem AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 35 3.1.2 - Medidas de dispersão (ou variação) Para descrever adequadamente um conjunto de dados, além da informação quanto ao “meio” de um conjunto de números, é conveniente dispor também de um método que permita exprimir a dispersão em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade dos resultados obtidos. As medidas de dispersão (ou variação) indicam se os valores estão relativamente próximos um dos outros, ou separados. Elas permitem se identificar até que ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto de observações. .. ..... .... .. Pequena dispersão: números relativamente próximos uns dos outros têm baixas medidas de variação . . . . . . . . . Grande dispersão: valores mais dispersos têm maior medida de variação. Fig. 3 - Dispersão Basicamente, os índices de dispersão expressam diferentes formas de se quantificar a tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não em determinados valores. Existem várias medidas de dispersão que podem avaliar diversos aspectos da variabilidade de um conjunto de dados. As principais são: Amplitude A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor que foi observado para a variável aleatória, servindo para caracterizar a abrangência do estudo. Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior. Geralmente não é calculada, mas é costumeiro mostrar o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A utilidade da amplitude é bastante limitada pelo fato de só levar em conta os dois valores extremos de um conjunto, nada informando quanto aos outros valores. Desvio padrão e variância De um modo geral, o desvio padrão é a mais importante medida de variação de valores e desempenha papel relevante em toda estatística. Ao contrário da amplitude, leva em conta todos os valores. Ao medir a variação em um conjunto de dados amostrais, é razoável começar pelo desvio médio, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada dado e a média do conjunto. Entretanto a soma de todos esses valores (por serem negativos e positivos) é sempre zero. Para se obter uma estatística que realmente meça a variação, toma-se, então, a soma desses valores absolutos (todos positivos). Determinando a média deste somatório, tem-se o desvio médio, dado pela seguinte expressão: O desvio médio absoluto de um conjunto de números é a média dos desvios dos valores a contar da média, ignorando-se o sinal de diferença. Fornece uma idéia da diferença típica entre uma medida isolada e a média da amostra. n xx oDesvioMédi ∑ − = AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 36 Ao invés de utilizar valores absolutos de uma amostra, é possível obter uma medida de variação ainda melhor, tomando os quadrados dos desvios (x-x)2 , que são não-negativos, obtendo-se assim a variância. Calcula-se a variância de uma amostra da mesma forma que o desvio médio, com duas exceções (1) os desvios médios são elevados ao quadrado antes da soma, e (2) tomam-se a média dividindo por n-1 em lugar de n, porque isso dá uma melhor estimativa da variância populacional. Pode-se calcular a variância pela fórmula abaixo: Variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno da média aritmética. Caracteriza a dispersão dos pontos de uma amostra potencializando as diferenças. O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância: Na distribuição gaussiana, cerca de 95% dos casos fica dentro do intervalo entre a média e +1.96*DP. Ou, ainda, pode-se calcular desvio padrão pela fórmula: O Coeficiente de Variação é o desvio padrão dividido pela média. Indica a variabilidade da amostra em relação à média. X S.V.C e && = 3.2 – PROBABILIDADE O método da inferência estatística baseia-se na evidência amostral para formular conclusões sobre toda uma população. As decisões inferenciais se baseiam sem chances - ou probabilidades- de eventos. 3.2.1 – Distribuições de freqüências É o conjunto das freqüências relativas observadas para um dado fenômeno estudado, sendo a sua representação gráfica o Histograma (diagrama onde o eixo horizontal representa faixas de valores da variável aleatória e o eixo vertical representa a freqüência relativa). Quanto maior o tamanho da amostra, mais a distribuição de freqüência tende para a distribuição de probabilidade (Lei dos Grandes Números). Fig. 4 - Distribuição de Freqüências 1 )( 22 − − =∑ n xxi xs 1 )( 2 − − = ∑ n xx s i 1 ])([ 22 − − = ∑∑ n nxx s i i AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 37 3.2.2 – Testes de Aderência Fig. 5 - Aderência A identificação de uma distribuição de probabilidade a partir de um conjunto de freqüências é realizada pelos chamados Testes de Aderência, os quais calculam a probabilidade da diferença entre uma distribuição de freqüência observada e aquela que seria de se esperar a partir de uma determinada distribuição de probabilidade. 3.2.3 – Distribuições de probabilidades Os valores das variáveis aleatórios só são conhecidos após a realização de um experimento e nem todos os valores são igualmente prováveis: portanto as afirmações sobre certos valores são probabilïsticos, especificados através de uma distribuição de probabilidade. Quando se relacionam os valores de uma variável aleatória discreta com sua probabilidade de ocorrência, o resultados é um função densidade de probabilidade:para a variável aleatória discreta X, o valor da função densidade de probabilidade f(x) é a probabilidade de a variável aleatória X tomar o valor de x , f (x)= P (X=x). Para a variável aleatória contínua Y, a função de densidade de probabilidade f(y) pode ser representada por uma equação, descrita graficamente por uma curva. No caso das variáveis contínuas, a área sob a função densidade de probabilidade corresponde à probabilidade. F(y) f(y) a b y Fig. 6– Probabilidade como área sob uma função de densidade de probabilidade. A área total sob a função de densidade de probabilidade 1, e a probabilidade de Y tomar o valor do intervalo [a,b] ou P [a ≤ Y ≤ b] é a área sob a função densidade entre os valores y=a e y = b. Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral. A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de uma distribuição de probabilidades com as especificações de determinado problema. Há uma variedade de tipos de distribuição de probabilidades na estatística, tendo cada uma seu próprio conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição pode ser utilizado. A mais importante e que será abordada a seguir, por ser extensamente usada em problemas de inferência é a distribuição normal. AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 38 3.2.4- Distribuição Normal O conhecimento desta distribuição de probabilidades se deve a Abraham de Moivre (1667- 1754) que, em 1733, apresentou a função que a representa. Tratava-se até então de um exercício teórico, sem aplicação prática. J. Bernoulli (1654-1705) acreditava que poderia haver aplicação na área da economia, no entanto, o uso desses conhecimentos na prática se deve a Pierre-Simon Laplace (1749-1827) na França e a Johan K. F. Gauss (1777-1855) na Alemanha. O nome “Curva de Gauss” se deve à suposição que Gauss tivesse sido a primeira pessoa a fazer uso de suas propriedades; no entanto, em 1924, Karl Pearson reafirmou o papel fundamental de Abraham de Moivre. O gráfico de uma distribuição normal se assemelha à forma de sino.. A curva se prolonga em qualquer das direções a partir da média, tendendo ao eixo horizontal à medida que aumenta a distancia, mas nunca toca o eixo. Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (ó2). Dessa forma são possíveis infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a sua variância. Suas principais características são: - A variável x pode assumir qualquer valor real (-∝ a +∝) - Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o eixo de x. - A curva é simétrica e unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = µ - 1ó) e outro à direita (x = µ +1ó). Como se trata de distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a curva e o eixo das abscissas representa a probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento entre os pontos a e b é calculada pela integral definida da função entre os pontos a e b, representada pela área no gráfico Fig. 07– Curva de Probabilidade Normal 3.2.5-A tabela normal padronizada Curvas normais, com qualquer µ e ó, podem ser transformadas em uma normal muito especial que tem média 0 (µ = 0) e desvio padrão 1 (ó = 1). Esta curva normal com média 0 e desvio padrão 1 é conhecida como curva normal reduzida. Suas probabilidades já foram calculadas e são apresentadas em tabelas de fácil utilização. Como a normal é simétrica, os AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 39 livros apresentam somente as probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade de um intervalo qualquer da metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo equivalente na metade direita. Regra básica para qualquer função de probabilidade: Total da área embaixo da curva = 1.00 ou P(- ∞ < Zi < + ∞) = 1.0 P(...) SIGNIFICA PROBABILIDADE e f(Z) é a função de densidade. Fig. 8– Distribuição normal A tabela da paina seguinte dá a probabilidade de ocorrência de um evento entre 0 e z. Na margem esquerda temos o valor de z com uma decimal e, se necessitamos considerar a segunda decimal, a procuramos na margem superior. No interior obtemos as probabilidades. Para calcular a probabilidade de z entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a linha que tem z = 1,0 e a coluna 0,00 e encontramos o valor 0,3413. Isto significa que a probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e z=1,0 é 0,3413 ou 34,13%. Para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,64, procuramos a célula cuja linha é 1,6 e coluna 0,06 o que resulta o valor 0,8990 ou 89,90%, ou seja: ÁREA ENTRE 1 e –1 DESV. PADRÃO = 68,27% P(- 1 < Zi < + 1) = 0.6827 ÁREA ENTRE 1,64 e –1,64 DESV. PADRÃO = 89,90% P(- 1,64 < Zi < + 1,64) = 0.8990 ÁREA ENTRE 1,96 e –1,96 DESV. PADRÃO = 95% P(- 1,96 < Zi < + 1,96) = 0.9500 ÁREA ENTRE 2 e –2 DESV. PADRÃO = 95,45% P(- 2 < Zi < + 2) = 0.9545 ÁREA ENTRE 3 e –3 DESV. PADRÃO = 99,73% P(- 3 < Zi < + 3) = 0.9973 -1,96δ -1,64δ -1δ 0 +1δ +1,64δ +1,96δ 68% 89,90% 95,0% Fig. 9 – Área sob a curva normal a 1, 2, e 3 desvios padrões a contar de cada lado da média. DISTRIBUICAO NORMAL -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 DESVIOS PADRAO f(Z ) AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA 40 Tabela 1 -Curva Normal (p = área entre 0 e z) segunda casa decimal z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0
Compartilhar