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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Pre´ Ca´lculo
Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais
Os s´ımbolos a, b, c, ou x, y, z indicam nu´meros reais quaisquer, e o conjunto de todos os
reais e´ indicado por R.
Soma e Multiplicac¸a˜o
A soma e a multiplicac¸a˜o possuem as seguintes propriedades.
Propriedade Exemplo Descric¸a˜o
Comutativa
a+ b = b+ a 2 + 5 = 5 + 2
Na˜o importa a ordem em que dois nu´me-
ros sa˜o somados
a · b = b · a 2 · 5 = 5 · 2
Na˜o importa a ordem em que dois nu´me-
ros sa˜o multiplicados
Associativa
a+ (b+ c) = (a+ b) + c 2+ (3+5) = (2+3)+ 5
Com treˆs nu´meros, na˜o importa a ordem
em os primeiros dois sa˜o somados
a · (b · c) = (a · b) · c 2 · (3 · 5) = (2 · 3) · 5
Com treˆs nu´meros, na˜o importa a ordem
em que os primeiros dois sa˜o multiplicados
Distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c 2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5 Multiplicar uma soma e´ o mesmo que so-
mar os produtos separadamente
1) Indique as propriedades que esta˜o sendo usadas nas operac¸o˜es a seguir.
a) 7 + 10 = 10 + 7
b) 7 · (2 + 3) = 7 · 2 + 7 · 3
c) (x+ 2 · y) + 3 · z = x+ (2 · y + 3 · z)
d) 2 · (y + z) = 2 · y + 2 · z
e) (3 · x+ 2) · 5 = 15 · x+ 10
f) (x+ y) · (x+ z) = (x+ y) ·x+(x+ y) · z
g) 2 · x(1 + z) = (1 + z) · 2 · x
h) 2 · (x+ y + z) = 2 · (x+ y) + 2 · z
2) Reescreva as expresso˜es usando as propriedades indicadas.
a) Comutativa: 7 + x
b) Associativa: 2 · (5 · y)
c) Distributiva: 3 · (x+ y)
d) Distributiva: 4 · 2 + 4 · y
3) Reescreva as expresso˜es sem o sinal de pareˆnteses.
a) 4 · (x+ z) b) (x+ z) · 5 c) 2 · (3 · z) d) 3 ·x(2+y+3 ·z)
Soma e Subtrac¸a˜o
O 0 e´ o elemento neutro da adic¸a˜o, isto e´, a + 0 = a para todo a ∈ R. Todo nu´mero a
possui um inverso aditivo, isto e´, um nu´mero −a tal que a− a = a+ (−a) = 0. A soma e a
subtrac¸a˜o possuem as seguintes propriedades.
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 1/8
Propriedade Exemplo Descric¸a˜o
−a = (−1) · a −5 = (−1) · 5
O inverso aditivo corresponde a multipli-
car por −1
−(−a) = a −(−2) = 2 O inverso do inverso e´ o pro´prio nu´mero
(−a) · b = a · (−b) (−2) · 5 = 2 · (−5) O sinal de menos transita entre os
termos de uma multiplicac¸a˜o= −(a · b) = −(2 · 5)
(−a) · (−b) = a · b (−3) · (−7) = 3 · 7 Menos com menos da´ mais
−(a+ b) = −a− b −(3 + 5) = −3− 5 O sinal de menos se distribui sobre a soma
4) Reescreva as expresso˜es sem os pareˆnteses. Quando na˜o houver du´vida, a multiplicac¸a˜o
a · b sera´ indicada apenas por ab.
a) −(x− 2)
b) −(x+ 2− z)
c) 4(−6y)
d) −2(x− 2y)
e) (3a)(b+ 2− c)
f) −2(−x)
Multiplicac¸a˜o e Divisa˜o
O 1 e´ o elemento neutro da multiplicac¸a˜o, isto e´, 1a = a para todo a ∈ R. Todo nu´mero
na˜o nulo a possui um inverso multiplicativo, isto e´, um nu´mero 1/a tal que a(1/a) = 1.
A multiplicac¸a˜o b(1/a) e´ frequentemente abreviada como b(1/a) = b/a, e esse nu´mero
e´ dito a frac¸a˜o de numerador b e denominador a. A divisa˜o e a multiplicac¸a˜o de frac¸o˜es
possuem as seguintes propriedades.
Propriedade Exemplo Descric¸a˜o
a
b
· c
d
=
ac
bd
2
5
· 7
3
=
2 · 7
5 · 3
A multiplicac¸a˜o de frac¸o˜es e´ feita
multiplicando-se os numeradores e os
denominadores.
a
b
c
d
=
a
b
· d
c
2
5
7
3
=
2
5
· 3
7
A divisa˜o de frac¸o˜es e´ feita invertendo-
se uma das frac¸o˜es e multiplicando o
resultado.
ac
bc
=
a
b
2 · 5
7 · 5 =
2
7
Um fator comum no numerador e no de-
nominador na˜o altera a frac¸a˜o.
a
c
+
b
c
=
a+ b
c
2
3
+
5
3
=
7
3
Na soma de frac¸o˜es de mesmo denomina-
dor basta somar os numeradores.
a
c
+
b
d
=
ad
cd
+
bc
dc
2
3
+
5
7
=
2 · 7
3 · 7 +
5 · 3
7 · 3
Se os denominadores sa˜o diferentes, usa-
se a terceira propriedade para reduzir ao
caso anterior.
5) Reescreva as expresso˜es na forma de uma u´nica frac¸a˜o.
a) 2 + 1
2
b) 1
3
+ 1
5
c) 3
5
+ 2
7
d) 2
3
− 3
5
e) 3 + 5
4
− 1
6
f) 3
2
(
2− 1
5
)
g)
(
1 + 1
3
) (
2− 1
4
)
h)
(
1
2
− 2
3
) (
2
5
− 1
4
)
i)
5
3
2
−
1
3
2
j)
4
3
7
5
+ 2
3
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 2/8
k)
2− 1
5
7 + 2
3
l)
1
3
− 1
4
1
5
+ 1
6
Relac¸a˜o de Ordem
Os nu´meros reais podem ser identificados com os pontos de uma reta. Para isso, suponha
que a reta esteja orientada da esquerda para a direita, que seja escolhido um ponto O da
reta, dito a origem, e que seja escolhido ainda uma unidade de medida, indicada por 1. Com
essas escolhas, o nu´mero positivo x pode ser identificado com o ponto que esta´ a` direita e
a uma distaˆncia x da origem. O nu´mero negativo −x e´ identificado com o ponto que esta´
a` esquerda e a uma distaˆncia x da origem. Assim, −x e´ a reflexa˜o do ponto x em torno da
origem. Ora! −(−x) corresponde a refletir −x em torno da origem, e portanto −(−x) = x,
o que explica a regra “menos com menos da´ mais”.
−3
−x
−2 −1 0
O
1 2
x
3 4 5
Uma consequeˆncia natural desta identificac¸a˜o e´ a relac¸a˜o de ordem. De fato, dados dois
nu´meros x e y, ou eles sa˜o iguais ou um esta´ a` esquerda do outro. Usa-se a notac¸a˜o x < y
(leˆ-se x e´ menor do que y) para indicar que x esta´ a` esquerda de y. Neste caso pode-se usar
tambe´m a notac¸a˜o y > x (leˆ-se y e´ maior do que x). Usa-se ainda a notac¸a˜o x ≤ y para
indicar que x e´ menor ou igual a y.
Supondo que x ≤ y, valem as seguintes propriedades:
Propriedade Exemplo Descric¸a˜o
x+ z ≤ y + z ∀z ∈ R 3 + (−2) ≤ 5 + (−2)
Somar um mesmo nu´mero dos dois lados
na˜o altera a desigualdade.
−y ≤ −x −5 ≤ −3 Multiplicar por −1 inverte a desigualdade.
xz ≤ yz ∀z > 0 3 · 2 ≤ 5 · 2
Multiplicar por um nu´mero positivo na˜o
altera a desigualdade.
yz ≤ xz ∀z < 0 5 · (−2) < 3 · (−2)
Multiplicar por um nu´mero negativo in-
verte a desigualdade.
6) Descida qual e´ o menor dos dois nu´meros dados.
a) 3 e 7/2
b) −3 e −7/2
c) 3 e 13/4
d) 2/3 e 0, 67
e) −2/3 e −0, 7
f) 2/3 e 3/4
7) Descida se as desigualdades sa˜o verdadeiras ou falsas.
a) −5 < −7
b)
√
2 > 1, 41
c) 10/11 < 12/13
d) −1/2 < −1
e) −√2 > −3
f) 1, 1 < 1, 11
8) Escreva as sentenc¸as na forma de uma desigualdade.
a) x e´ positivo
b) t e´ menor do que 4
c) a e´ maior do que pi
d) x e´ maior que −3 e menor que 1/2
e) a distaˆncia de x ate´ 2 e´ menor do que 3
f) y e´ negativo
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 3/8
g) z e´ maior do que 1
h) b e´ no ma´ximo 8
i) w e´ positivo e menor do que 17
j) y esta´ a uma distaˆncia maior do que 2
do nu´mero 7
Conjuntos
Um conjunto e´ apenas um nome que se da´ a uma colec¸a˜o de objetos, objetos que sa˜o
ditos os elementos do conjunto. Por exemplo, A = {1, 2, 3} e´ o conjunto cujos elementos sa˜o
os nu´meros 1, 2 e 3. A notac¸a˜o 2 ∈ A e´ usada para indicar que 2 e´ um elemento de A, e
5 6∈ A significa que 5 na˜o e´ um elemento de A.
Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5, 6}, a notac¸a˜o A ∪ B = {1, 2, 3, 4} (unia˜o de
A e B ) e´ usada para indicar o conjunto dos elementos que esta˜o em A ou em B, ou em
ambos. Ja´ a notac¸a˜o A ∩ B = {2, 3} (intersec¸a˜o de A e B) e´ usada para indicar o conjunto
dos elementos que esta˜o tanto em A quanto em B. Como na˜o existe elemento comuns entre
A e C, a intersec¸a˜o desses conjuntos e´ vazia, e usa-se a notac¸a˜o A ∩ C = ∅.
1, 2, 3,︸ ︷︷ ︸
A
4, 5, 6︸ ︷︷ ︸
C
B︷ ︸︸ ︷
2, 3, 4
9) Encontre o conjunto indicado se
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12} e C = {4, 8, 12, 16}
a) A ∪ B
b) B ∪ C
c) A ∪ C
d) A ∪ B ∪ C
e) A ∩B
f) B ∩ C
g) A ∩ C
h) A ∩B ∩ C
Intervalos
Um tipo particularmente importante de conjunto sa˜o os intervalos. Grosso modo, um
intervalo inclui todos os nu´merosentre dois extremos. Por exemplo, usa-se a notac¸a˜o
(2, 3) = {x ∈ R; 2 < x < 3}
(x em R tal que 2 < x < 3) 2 3
para indicar o intervalo aberto de extremos 2 e 3, sem incluir os extremos. Esse intervalo esta´
representado graficamente na figura acima, em que os c´ırculos sem preenchimento indicam
que o intervalo na˜o inclui os extremos. Para incluir um dos extremos, por exemplo, o 2,
usa-se na notac¸a˜o [2, 3) = {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}. Veja outros intervalos na tabela abaixo,
onde o c´ırculo preenchido indica que o extremo correspondente pertence ao intervalo.
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 4/8
Notac¸a˜o Descric¸a˜o Ilustrac¸a˜o
[2, 3) {x ∈ R; 2 ≤ x < 3}
2 3
[2, 3] {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 3}
2 3
(2, 3] {x ∈ R; 2 < x ≤ 3}
2 3
(2,∞) {x ∈ R; 2 < x}
2
[2,∞) {x ∈ R; 2 ≤ x}
2
(−∞, 3) {x ∈ R; x < 3}
3
(−∞, 3] {x ∈ R; x ≤ 3}
3
(−∞,∞) R
O s´ımbolo ∞ na˜o e´ um nu´mero. Ele e´ usado apenas para indicar que o intervalo na˜o tem
extremo superior. Analogamente, −∞ e´ usado para indicar a falta do extremo inferior.
10) Represente graficamente os conjuntos
A = {x ∈ R; −3 ≤ x}, B = {x ∈ R; x < 3} e C = {x ∈ R; −2 < x ≤ 7}
Em seguida determine os conjuntos indicados.
a) A ∪ B
b) B ∪ C
c) A ∪ C
d) A ∪ B ∪ C
e) A ∩B
f) B ∩ C
g) A ∩ C
h) A ∩B ∩ C
11) Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades e, em seguida, represente-os
graficamente.
a) (−7,−1)
b) (1, 5]
c) [3, 7)
d) [−5, 2]
e) [3,∞)
f) (−∞, 2)
12) Reescreva as desigualdades a seguir na notac¸a˜o de intervalo e, em seguida, represente-as
graficamente.
a) x ≤ 2
b) −1 ≤ x < 12
c) 2 ≤ x ≤ 4
d) −5 ≤ x
e) −2 < x
f) −5 < x < 3
13) Reescreva os conjuntos a seguir na notac¸a˜o de intervalo e e de desigualdades.
a) −2 3
b) −2 3
c) 0 1
d) −1 0
14) Represente graficamente os conjuntos a seguir.
a) (−3, 0) ∪ (−1, 1)
b) (−3, 5] ∪ [0, 8)
c) (−∞,−3) ∪ (3,∞)
d) (−3, 0) ∩ (−1, 1)
e) (−3, 5] ∩ [0, 8)
f) (−∞, 3) ∩ (1,∞)
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 5/8
Mo´dulo e Distaˆncia
O mo´dulo, ou valor absoluto, de um nu´mero a ∈ R e´ a distaˆncia do ponto a a` origem.
Essa distaˆncia e´ indicada por |a| (mo´dulo de a). Por exemplo, a distaˆncia de 3 a` origem e´ 3,
e portanto |3| = 3. Ja´ a distaˆncia de −2 a` origem e´ 2, e portanto | − 2| = 2. Vale notar que
| − 2| = −(−2) = 2. Assim, para um nu´mero negativo, a distaˆncia a` origem e´ menos ele.
−2
O
3
Em particular, |a| e´ um nu´mero maior ou igual a zero, pois representa uma distaˆncia.
Outra forma de definir o mo´dulo e´ dizer que |a| e´ aquele entre a e −a que e´ maior ou igual
a zero. Lembrando que −a e´ positivo se a e´ negativo, a definic¸a˜o do mo´dulo e´ equivalente a
|a| =
{
a se 0 ≤ a
−a se a < 0
O´timo. O mo´dulo fornece a distaˆncia de um ponto a` origem. E a distaˆncia entre dois
pontos quaisquer, como se calcula? Por exemplo, qual a distaˆncia entre −2 e 3? Com o
auxilio da figura acima, essa distaˆncia e´ igual a 5, valor que pode ser obtido como |3− (−2)|,
ou ainda como |(−2)− 3|. Em geral, tem-se que
distaˆncia entre a e b = |a− b|
Vale notar que |a− b| = | − (a− b)| = |b− a|, o que expressa a propriedade esperada de que
a distaˆncia entre a e b e´ a mesma entre b e a.
O mo´dulo tem as seguintes propriedades, onde a e b sa˜o quaisquer nu´meros reais:
Propriedade Exemplo Descric¸a˜o
|a| ≥ 0 | − 2| = 2 O mo´dulo e´ sempre maior ou igual a zero.
|a| = | − a| |3| = | − 3| Tanto a quanto −a esta˜o a uma mesmadistaˆncia da origem.
|ab| = |a||b| | − 2 · 3| = | − 2||3| O mo´dulo do produto e´ o produto dosmo´dulos.∣∣∣a
b
∣∣∣ = |a||b| , b 6= 0
∣∣∣∣−23
∣∣∣∣ = | − 2||3| O mo´dulo do quociente e´ o quociente dosmo´dulos.
15) Calcule as expresso˜es a seguir.
a) |7|
b) | − 6|
c) |√2− 2|
d) |5− pi|
e) || − 1| − |3||
f) |1− | − 4||
g)
−2
| − 3|
h) −1− |2− | − 3||
i) |(−2) · 3|
j)
∣∣∣∣
(
−1
3
)
· 9
∣∣∣∣
k)
∣∣∣∣−23
∣∣∣∣
l)
∣∣∣∣2− 55− 2
∣∣∣∣
16) Determine a distaˆncia entre os nu´meros dados.
a) 3 e 15
b) −3 e 7
c)
2
3
e
5
7
d)
2
3
e −5
7
e) −2 e −7
f) 1, 4 e −2, 8
Pre´-Ca´lculo Lista de Exerc´ıcios Nu´meros Reais – 6/8
Respostas
1) a) Comutativa da soma
b) Distributiva
c) Associativa
d) Distributiva
e) Distributiva e comutativa do produto
f) Distributiva
g) Comutativa do produto
h) Distributiva
2) a) x+ 7
b) (2 · 5) · y
c) 3 · x+ 3 · y
d) 4 · (2 + y)
3) a) 4 · x+ 4 · z
b) x · 5 + z · 5
c) 6 · z
d) 6 · x+ 3 · x · y + 9 · x · z
4) a) −x+ 2
b) −x− 2 + z
c) −24y
d) −2x+ 4y
e) 3ab+ 6a− 3ac
f) 2x
5) a) 5
2
b) 8
15
c) 31
35
d) 1
15
e) 49
12
f) 27
10
g) 7
3
h) −1
40
i) 19
6
j) 20
31
k) 27
115
l) 5
22
6) a) 3
b) −7/2
c) 3
d) 2/3
e) −0, 7
f) 2/3
7) a) Falsa
b) Verdadeira
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Verdadeira
f) Verdadeira
8) a) x > 0
b) t < 4
c) a > pi
d) −3 < x < 1/2
e) −1 < x < 5
f) y < 0
g) z > 1
h) b ≤ 8
i) 0 < w < 17
j) y < 5 ou y > 9
9) a) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}
b) B ∪ C = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 16}
c) A ∪ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16}
d) A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16}
e) A ∩B = {6, 12}
f) B ∩ C = {12}
g) A ∩ C = {4, 8, 12}
h) A ∩B ∩ C = {12}
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10)
A B C
−3 3 −2 7
a) A ∪ B = R
b) B ∪ C = C
c) A ∪ C = R
d) A ∪ B ∪ C = R
e) A ∩B = {x ∈ R; −3 ≤ x < 3}
f) B ∩ C = {x ∈ R; −2 < x < 3}
g) A ∩ C = {x ∈ R; −3 ≤ x ≤ 7}
h) A ∩B ∩ C = {x ∈ R; −2 < x < 3}
11) a) −7 < x < −1
−7 −1
b) 1 < x ≤ 5
1 5
c) 3 ≤ x < 7
3 7
d) −5 ≤ x ≤ 2
−5 2
e) 3 ≤ x <∞
3
f) −∞ < x < 2
2
12) a) (−∞, 2]
2
b) [−1, 12)
−1 12
c) [2, 4]
2 4
d) [−5,∞)
−5
e) (−2,∞)
−2
f) (−5, 3)
−5 3
13) a) [−2, 3], −2 ≤ x ≤ 3
b) (−2, 3], −2 < x ≤ 3
c) [0, 1), 0 ≤ x < 1
d) (−1, 0), −1 < x < 0
14) a) −3 1
b) −3 8
c) −3 3
d) −1 0
e) 0 5
f) 1 3
15) a) 7
b) 6
c) 2−√2
d) 5− pi
e) 2
f) 3
g)
−2
3
h) −2
i) 6
j) 3
k)
2
3
l) 1
16) a) 12
b) 10
c)
1
21
d)
29
21
e) 5
f) 4, 2
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